高等代数专升本辅导材料

高等代数专升本辅导材料
一、填空题
1． 多项式可整除任意多项式。

2．若242(1)1x ax bx -∣++，则a = ，b = 。

3、设f(x)=x 4+3x 2-kx+2用x-1除余数为3，则k= 。

4、若n 元齐次线性方程组AX=0满足r(A)= r ，则AX=0的基础解系中有 _____________个解向量。

5、若矩阵运算A+BC-X=2E ，则X= 。

6、设A==⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-1,003020100A 则
7、在行列式131402
1
b a -中, b 的代数余子式为-24, 则a =________．
8. 当矩阵A=______时, 秩A=0.
9、(1) 二次型()2234,y xy x y x f +-=的矩阵=A 。

(2) 323121321),,(x x x x x x x x x f -+=的矩阵为 。

(3) 2
4
4323322241312143217865423),,,(x x x x x x x x x x x x x x x x f -++--+-= 的矩阵 。

(4) 24
4323222121432142),,,(x x x x x x x x x x x x f -+-++=的矩阵 。

(5)
()()n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x f 12321312121222222),(-++++++++= 的矩阵 。

二、判断题 1、设12
n ααα是n P 中n 个向量，若n P β∀∈，有12,n αααβ线性相关，则
12n ααα线性相关。

（ ）
2、若向量组的秩为r ，则其中任意r 个向量都线性无关。

（ ）
3、若向量组的秩为r ，则其中任意r+1个向量都线性相关。

（ ）
4、若两个向量组等价，则它们含有相同个数的向量。

（ ）
5、当a 1=a 2=…a r =0时，有a 1α1+a 2α2+…+a r αr =0, 那么α1,α2,…,αr 线性无关。

（ ）
6、若向量组α1，…，αr 线性相关，则它的任意一部分向量也线性相关。

（ ）
7、若向量组α1，…，αr 线性无关，则它的任意一部分向量也线性无关。

（ ） 8、若线性方程组AX= B 中，方程的个数小于未知量的个数，则AX=B 一定有无穷多解。

（ ） 9、若线性方程组AX=B 中方程的个数等于未知量的个数，则AX=B 有唯一解。

（ ） 10、若线性方程组AX=B 的方程的个数大于未知量的个数，则AX=B 一定无解。

（ ）
11、若A ，B 都不可逆，则A+B 也不可逆。

（ ） 12、若A ，B 都可逆，则A+B 也可逆。

（ ） 13、若AB 可逆，则A ，B 都可逆。

（ ）
14、若AB 不可逆，则A ，B 都不可逆。

（ ） 15、若AB=0，则A=0或B=0。

（ ） 16、若AB=0，且A ≠0，则B=0。

（ ） 17、若AB=AC ，且A ≠0，则B=C 。

（ ） 18、若AB=AC ，且|A|≠0，则B=C 。

（ ） 19、（A+B ）（A-B ）=A 2-B 2 。

（ ） 20、若AB=BA ，则（AB ）n =A n B n 。

( )
21、若AB=E ，则B=A -1，A=B -1。

（ ）
22、若)()()(21x f x f x g +, 且)()()(21x f x f x g -, 则)()(1x f x g ,且)()(2x f x g . 23、在向量空间3R 中, 1231223(,,)(2,,)x x x x x x x σ=-, 则σ是3R 的一个线性变换. ( ).
三、选择题
1、A 为方阵，则3A =（ ）
A. 3A
B. A
C. 3n A
D. 3n A 2、排列n(n-1)…2 1 的逆序数为 （ ） A 、n-1 B 、
2)1(-n n C 、n D 、2
)
1(+n n 3、如果排列i 1i 2…i n 的逆序数是k,则排列i n i n-1…l’2l’1的逆序数是 （ ）
A 、k
B 、n-k
C 、
k n n --2)1( D 、k n n -+2
)
1( 4、、3212150
2
1
--中，5的代数余子式是 （ ）
A 、5
B 、-5
C 、-6
D 、6
5、n
n 0
000010
02000
1000
-=（ ） A 、n! B 、()
!12
)1(n n n -- C 、()!12
)
2)(1(n n n n --- D 、(-1)n
n!
6、设A 为n 级方阵，且|A|=2，则|-3A|=（ ） A 、-6 B 、6 C 、2 (-3)n D 、2n （-3）n
7、设向量组α1=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0011,α2=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1100,α3=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0101,α4=⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛1111，则极大无关组为（ ）。

A 、α1,α 2
B 、α1,α2,α 3
C 、α1,α2,α 4
D 、α 1 8、以下结论正确的是（ ）
A 、 对向量组α1,α2,…αr ,若k 1α1+k 2α2+…+k r αr =0就有k 1=k 2=…k r =0，则称α
1,α2，…，αr 线性无关
B 、 若有一组不全为0的数λ1，λ2，…，λr 使λ1α1+λ2α2+…，λr αr ≠0，则
向量组α1，α2，…，αr 线性无关
C 、 若α1，…, αr 线性相关，则其中每一个向量都可由其余向量线性表出。

D 、 若有全为0的数k 1=k 2=…=k r =0使k 1α1+k 2α2+ …+k r αr =0，则α1, α2，…，
αr 线性无关。

9、设线性方程组AX=B 的一般解为⎩⎨⎧-=+=131
232
31x x x x （x 3是自由未知量），则（ ）
A 、 只有令x 3=0才能求出AX=
B 的特解。

B 、令x 3=1求得特解为⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛23
C 、令x 3=2求得特解为⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛255 D 、令x 3=0求得特解为⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-11
10、设齐次线性方程组AX=0有无穷多解，则对任意n 维列向量B ，方程组AX=B （ ）
A 、有无穷多解
B 、可能无解
C 、有唯一解
D 、只有零解 11（难）、若n 阶方阵A*=0，则r(A)为 。

A 、n-1 B 、<n-1 C 、1 D 、0
12、设A=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡d c b a ，则A*= 。

A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡a b c d
B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡--a b c d
C 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡--a c b d
D 、⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡a c
b d
13、若A 可逆，则（A*）-1=（ ）。

A 、
A A ||1
B 、1|
|1-A A C 、|A| A D 、|A|A -1
14、下列数集是数域的是（ ）.
(A) S 1={Z n m m
n ∈,2
}; (B) S 2={Z b a bi a ∈+,};
(C) S 3={Z z nz ∈}; (D) S 4={Q b a b a ∈+,2}． 15、22)13)()(1()(--+=x i x x x f 在复数域上的标准分解式是（ ）
(A)22)13)()(1(--+x i x x ; (B) 22)13())((--+x i x i x ;
(C)22)31())((--+x i x i x ; (D) 22)3
1
())((9--+x i x i x ．
16、在一个含有n 个未知数m 个方程的线性方程组中，若方程组有解，则（ ） (A) m ＞n ； (B) m ＜n ； (C) m =n ； (D)与m ,n 的大小无关． 17、下列矩阵中( )不是初等矩阵
(A)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100010001; (B)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101010100; (C)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010100001; (D)⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛100010101．
18、下列二次型属于正定的是( )
A: 22
21321),,(x x x x x f += B: 212322213212),,(x x x x x x x x f +++= C: 3121232221321634),,(x x x x x x x x x x f --++= D: 323121232221321222),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=
19、
四、计算题
1、求下列齐次线性方程组的一个基础解系，并写出它的通解。

12341234
12341234502303803970
x x x x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪+-+=⎪⎨
-++=⎪⎪+-+=⎩ 2、012114210A ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪-⎝⎭
，判断A 是否可逆，若可逆，求1A -
3、t 取什么值时，下列二次型是正定的？
()222
123123121323,,5224f x x x x x x tx x x x x x =+++-+
4、d=
3
214214314324321
5、d=y
y x x -+-+111111111
1111111
6、n
n n
n -----110
0000
2
200
001113
2
1
7、Dn=x
a a a
x a a a x
8、用线性方程组的特解及导出组的基础解系表示出一般解。

⎪⎩⎪
⎨⎧=+++=-++=+-+3
222124321
43214321x x x x x x x x x x x x 9、求A 的逆⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---302543121 10、解矩阵方程
AX=B 。

其中A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----1574012521，B=⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡231201 11、证明：设A ，B 为n 阶方阵，证明：若A+B+AB=0，则AB=BA 。

答案：∵A+B+AB=0，∴E+A+B+AB=E ①， 因此有（E+A ）（E+B ）=E ， 即E+A 可逆，故可得（E+B ）（E+A ）=E ⇒E+B+A+BA=E ② ，比较①②式便得AB=BA 12、已知二次型 f=x 12+2x 22+5x 32+2x 1x 2+2x 1x 3+6x 2x 3
1、 求二次型f 对应的矩阵A ；
2、 用配方法化二次型为标准形；
13、在P 4中，求由向量 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧-=-=--=-=)
1,3,5,1()1,3,5,4()1,3,1,1()1,3,1,2(4321a a a a 生成的子空间的基与维数。

14、（选作）求正交矩阵T 使T -1AT 为对角阵，其中Ａ＝⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛----542452222
是实的对称阵。

15、化下列二次型为标准形。

(1) 32212
221321623),,(x x x x x x x x x f ---= (2) 23
322221213214422),,(x x x x x x x x x x f ++++= (3) 323121321224),,(x x x x x x x x x f ++-=
(4) 42433241312124222143212222442),,,(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f ++++++++=
(5) 4232434143218228),,,(x x x x x x x x x x x x f +++= 16、t 取什么值时下列二次型为正定二次型
(1) 3231212
322214225x x x x x tx x x x +-+++ (2) ()
322123222122x x x x x x x t -+++ (3) 32312123222161024x x x x x tx x x x +++++
解：
(1) 二次型矩阵
时二次型为正定05405
411045011000
5212111232213
21<<-⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<-<<-∴>--==∆>-=∆=∆⎪⎩⎪
⎨⎧>∆>∆>∆⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=t t t t t A t t t A (2) 时二次型正定当2>t
(3) 无论t 取何值时，二次型都不是正定的
17、（难）求λ的值，使二次型2222222)(),,,(w xz yz xy z y x w z y x f ++-+++=λ为正定。

解：
二次型),,,(w z y x f 的矩阵秩为
()()时二次型正定
当时
当时当二次型也正定正定易知时当20
2020,011
,01
1
11
1
10
A 2211000011011011
1232
>∴<<==∴∴>=∆>=
∆>--=∆>>-+=⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛--=λλλλλ
λλ
λ
λλλλλλλA A A A A
18、求)(x f 被)(x g 除所得的商式和余式：
( i ) ;13)(,14)(2
34--=--=x x x g x x x f (ii) ;23)(,13)(3
235+-=-+-=x x x g x x x x f
19、令()()()x g x g x f x f 2121,,),(都是数域F 上的多项式，其中()01≠x f 且
()()()()()().|,|112121x g x f x f x f x g x g 证明：()().|22x f x g 20、证明有理系数多项式
()!!212n x x x x f n
+++=
没有重因式.
21、判断5是不是多项式
5057422243)(235+++-=x x x x x f
的根.如果是的话,是几重根?
22．设
d x c x b x a x x x +-+-+-=-+-)2()2()2(5322
323 求d c b a ,,, [提示:应用综合除法．] 23．将下列多项式)(x f 表成a x -的多项式.
)(i 1,)(5==a x x f ;
)(ii 2,32)(24-=+-=a x x x f .
24．求一个次数小于4的多项式)(x f ,使2)5(,0)4(,1)3(,3)2(==-==f f f f
25、令)(),(x g x f 是两个多项式,并且)()(33x g x f +可以被12
++x x 整除.
证明
.0)1()1(==g f
26、证明以下多项式在有理数域上不可约:
)(i 108234-+-x x x ;
)(ii ;66182245+++x x x )(iii 32234-+-x x x ;
)(iv 136++x x .
27、λ取怎样的数值时，线性方程组
2321321321,
,1λλλλλ=++=++=++x x x x x x x x x
有唯一解，没有解，有无穷多解？
28、求下列矩阵在实数域内的特征根和相应的特征向量：
(i) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----175131023； (ii) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---504941754；(iii) ⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝
⎛---6123020
663
．
《高等代数》专升本必备
第1章行列式
1.用定义计算行列式：
（1）
1
014
3
0021
132
1
221---（2）5
0000
00004
00030
00200
01000
3.用方程组求解公式解下列方程组:
(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--0520322321321321x x x x x x x x x (2)⎪⎩⎪
⎨⎧=+-=-+=++2
32120321
321321x x x x x x x x x
4.用行列式的性质证明：
3
3
3
222111333
33
322222
21111112c b a c b a c b a a c c b b a a c c b b a a c c b b a =+++++++++
第2章矩阵
1．设
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=530142A ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=502131B ， ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=313210
C ，
求3A -2B +C 。

2．计算下列矩阵
（1）[]231312⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡， （2）⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡973412100010001 （3）⎥
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢⎣⎡-220
13
1210131
43113412， 3．设
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=111111111A ， ⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=21213112
1B
求（1）AB ―3B ； （2）AB ―BA ； （3）（A ―B ）（A +B ）；（4）A 2
―B 2
4.用分块矩阵的乘法计算下列各题
. ⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡-=ββα
α20000000
0002A ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=ββ
α
α
2
000000
0002
B 求ABA .
1.用|
|*1A A A =-求矩阵的逆矩阵
(1),⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b a A 其中ad ―bc ≠0; (2)⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=113111321A
2.用2.矩阵的初等变换求逆矩阵
(1)⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=213541702A (2)⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------1111111111111111 ( 4.解下列矩阵方程
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡021102341010100001100001010X 5.若A 为非退化矩阵,并且AB=BA ,试证： A -1B=BA -1。

3.求逆矩阵:
(1)⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡323513123 (2)⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----121023*********
3 4.求矩阵的秩:
(1)⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---443112112013; (2)⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---1401
1
313021512012211
第3章线性方程组
1．求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=+-+-=+-+=-+-0
97154034705320253432143214
3214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的通解。

2．将下列向量用其余向量线性表示：
（1）α1=(1，1，-1)T , α2=(1，2，1)T , α3=(0，0，1)T , β=(1，0，-2)T ;
(2) α1=(1，1，1, 1)T , α2=(1，1，-1，-1)T , α3=(1，-1，1，-1)T , α4=(1，-1，-1，1)T
β=(1，2，1，1)T 。

3．判断下列向量组的线性相关性：
（1）α1=(1，1，1)T , α2=(0，2，5)T , α3=(1，3，6)T ； （2）α1=(2，-1，3)T , α2=(3，-1，5)T , α3=(1，-4，3)T
4．试证：（1）若α1，α2，α3线性无关，则2α1+α2，α2+5α3，4α3+3α1线性无关。

（2）若α1，α2，α3线性无关，则α1，α1+α2，α1+α2+α3线性无关。

5.求下列向量组的秩和它的一个极大无关组:
(1) α1=(2，1，1)T , α2=(1，2，-1)T , α3=(-2，3，0)T ；
(2) α1=(2，1，3, -1)T , α2=(3，-1，2，0)T , α3=(1，3，4，-2)T , α4=(4，-3，1，1)T
6．求下列向量组的秩及其一个极大无关组,并把其余向量用极大无关组表示 ：
(1)α1=(1，-1，2, 4)T , α2=(0，3，1，2)T , α3=(3，0，7，14)T , α4=(1，-1，2，3)T (2) α1=(1，1，1)T , α2=(1，1，0)T , α3=(1，0，0)T , α4=(1，-2，-3)T
7.试证:由向量α1=(0，1，1)T , α2=(1，0，1)T , α3=(1，1，0)T 所生成的向量空间就是R 3.
8.验证α1=(1，-1，0)T , α2=(2，1，3)T , α3=(3，1，2)T 为R 3的一个基,并把β1=(5，0，7)T , β2=(-9，-8，-13)T 用这个基线性表示 。

9．求下列齐次线性方程组的一个基础解系和它的通解：
（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=-+-=+-+01113530333045234321
43214321x x x x x x x x x x x x （2）⎪⎪
⎩⎪⎪⎨
⎧
=+-+-=+-+=+-+-=-+-0
1361520320
24303524
3214
3214
3214321x x x x x x x x x x x x x x x x 10.判断下列向量组的线性相关性,并求秩和一个极大无关组: (1)α1=(1，2，-1, 4)T , α2=(9，100，10，4)T , α3=(-2，-4，2，-8)T ;
(2) α1=(1，2，1, 3)T , α2=(4，-1，-5，-6)T , α3=(1，-3，-4，-7)T , α4=(2，1，-1，0)T 11. k 取何值时,方程组
⎪⎩⎪⎨⎧-=-+--=++-=-++1
21232324321
343212
4321x x x x k x x x x k x x x kx
有解?并求它的全部解.
12.问a,b 为何值时方程组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
=-+++=+++=-+++=++++b
x x x x x x x x x a x x x x x x x x x x 5432154325
432154321334536223231
相容?相容时求出它的全部解.
第4 章矩阵对角化与二次型
1． 设有向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=121α ，⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=132β （1）求内积（α+β，α-β） （2）求长度 ||2α-3β|| 。

2． 已知向量组
（1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1211α，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3322α，⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1733α；（2）.110,101,011321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=ααα
试将它们先正交化，再标准化。

3． 指出下列矩阵是否是正交矩阵？说明理由。

（1）⎥⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--
-
=12
13
12
1121
31
2
1
1A （2）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----
--
=979494949198949891A 4.求下列矩阵的特征值及特征向量
（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=4211A （2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=201335212A （3）⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=284014013
A
5．设A 是n 阶可逆矩阵，证明它的特征根λ0≠0，而且10-λ是A -1
的特征根。

3.设λ0是A 的特征根,k 是实数,试证(1) k λ0是kA 的特征根;(2)
20λ是A 2
的特征根.
4.将下列实对称 矩阵对角化
（1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=320222021A （2）⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=542452222
A
1. 将下列二次型写成矩阵形式
（1）2
3
222121321532),,(x x x x x x x x f -++= （2）323123222121321643222),,(x x x x x x x x x x x x f +++--=
2．用配方法化二次型为标准形，并求出所用的可逆线性变换 （1）xz yz xy z y x z y x f 26252),,(222+++++=
（2）32312121321224),,(x x x x x x x x x x f ++-=
3.用正交变换化下列二次型为标准，并求出所用的正交变换
322
22121321442),,(x x x x x x x x x f -+-=
4.判定下列二次型的正定性
32312123222132148455),,(x x x x x x x x x x x x f --+++=
5.将下面向量组正交化,单位化.
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=001,101,011321ααα
6..求下列矩阵的特征值和特征向量.
(1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--201054021, (2)⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----542452222
.
并问它们的特征向量是否两两正交?
7.求一个正交变换,将矩阵
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=020212022A
化为对角矩阵.
8..求一个正交变换,化下列二次型为标准形.
433241212
423222143212222),,,(x x x x x x x x x x x x x x x x f +--++++=.
9.判定下列二次型的正定性.
4
34231412
12423222143211264221993),,,(x x x x x x x x x x x x x x x x x x f --++-+++=.
10.设A 是正定矩阵,试证1
,-A A T
也是正定矩阵.
综合除法与余数定理
综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。

综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。

本节我们将作一些初步介绍。

一、综合除法
一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。

当被除式)(x f 除以除式)0)((),(≠x g x g 得商式)(x q 及余式)(x r 时，就有下列等式：
)()()()(x r x q x g x f +⋅=。

其中)(x r 的次数小于)(x g 的次数，或者0)(=x r 。

当0)(=x r 时，就是)(x f 能被)(x g 整除。

下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算——综合除法。

例1、用综合除法求3474142x x x -++除以2-x 所得的商和余式。

解：
余式
商的各项的系数
8
26322
4
1264
4140
7
2++--+--++-
∴)2()74142(34-÷-++x x x x 的商是263223+--x x x ，余式是8。

上述综合除法的步骤是：
（1）把被除式按降幂排好，缺项补零。

（2）把除式的第二项-2变成2，写在被除式的右边，中间用一条竖线隔开。

（3）把被除式的第一项的系数2移到横线的下面，得到商的第一项的系数。

（4）用2乘商的第一项的系数2，得4，写在被除式的第二项的系数-7的下面，同
-7相加，得到商的第二项系数-3。

（5）用2乘商的第二项的系数-3，得-6，写在被除式的第三项的系数0的下面，
同0相加，得到商的第三项的系数-6。

（6）用2乘商的第三项的系数-6，得-12，写在被除式的第四项的系数14的下面，
同14相加，得到商的第三项系数2。

（7）用2乘商的常数项2，得4，写在被除式的常数项4的下面，同4相加，得到
余式8。

前面讨论了除式都是一次项系数为1的一次式的情形。

如果除式是一次式，但一次项系数不是1，能不能利用综合除法计算呢？
例2、求)23()1623103(23-÷+-+x x x x 的商式Q 和余式R 。

解：把除式缩小3倍，那么商就扩大3倍，但余式不变。

因此先用3
2-x 去除被除式，再把所得的商缩小3倍即可。

5
4161512333
2
108216231033-+++++-+++-+
∴Q=542-+x x ， R=6。

下面我们将综合除法做进一步的推广，使除式为二次或者二次以上的多项式时也能够利用综合除法来求商和余式。

例3、用综合除法求)23()4101173(2234-+÷-+-+x x x x x x 的商Q 和余式R 。

解：2
31
232
3234
66
94101173-++-++-+--+--+-+
∴Q=5232+-x x ， R=23-x 。

二、余数定理
余数定理又称裴蜀定理。

它是法国数学家裴蜀（1730~1783）发现的。

余数定理在研究多项式、讨论方程方面有着重要的作用。

余数定理：多项式)(x f 除以a x -所得的余数等于)(a f 。

略证：设R a x x Q x f +-⋅=)()()( 将x=a 代入得R a f =)(。

例4、确定m 的值使多项式m x x x x x f +++-=1183)(345能够被x-1整除。

解：依题意)(x f 含有因式x-1，故0)1(=f 。

∴1－3＋８＋11＋ｍ＝０。

可得ｍ＝－17。

求一个关于x 的二次多项式，它的二次项系数为1，它被x-3除余1，且它被x-1除和被x-2除所得的余数相同。

解：设b ax x x f +==2)(
∵)(x f 被3-x 除余1，∴139)3(=++=b a f ①
∵
)
(x f 被1-x 除和2-x 除所得的余数相同，∴
b a b a f f ++=++=241)2()1(即 ②
由②得3-=a ，代入①得1=b ∴13)(2+-=x x x f 。

注：本例也可用待定系数法来解。

同学们不妨试一试。

即：1))(3())(2())(1(2++-≡++-≡++-≡++p x x R n x x R m x x b ax x 由R n x x R m x x ++-≡++-))(2())(1(，可得1,2-=-=n m 再由1))(3()1)(2(++-≡+--p x x R x x ，解得0=p 。

∴13)(2+-=x x x f 。

练习：
1、综合除法分别求下面各式的商式和余式。

（1）)2()76543(234-÷-+--x x x x x ； （2）)4()81496(345+÷+-++x x x x x ；
（3）)())()((23a x abc x ca bc ab x c b a x -÷-+++++-； （4）)23()188859(334224y x y x xy y y x x -÷+--+； （5）)32()15151672(2234+-÷+-+-x X x x x x ； （6）)253()712(23356-++÷--+x x x x x x x
2、一个关于x 的二次多项式)(x f ，它被x-1除余2，被x-3除余28，它可以被x+1整
除，求)(x f 。

3、一个整系数四次多项式)(x f ，有四个不同的整数4321,,,αααα，可使
,1)(,1)(21==ααf f
1)(,1)(43==ααf f ，求证：任何整数β都不能使1)(-=βf 。