工程数学试题及参考答案

工程数学试题B

、单项选择题(每小题 3分，本题共21分)

1 .设A, B 为n 阶矩阵，则下列等式成立的是( )

(A) AB BA (B) (C) (A B)T A T B T (D)

12 3 4

2 .设A

12 3 4

(A) 0 (B) (C) 3

(D)

3 .设A, B 为n 阶矩阵， 既是A 又是B 的特征值，x 既是A 又是B 的特征向 量，则结论()成立.

(A) 是A B 的特征值 (B) 是A B 的特征值 (C) x 是A B 的特征向量

(D) 是AB 的特征值

4 .设A, B 为随机事件，下列等式成立的是( ).

(A) P(A B) P(A) P(B) (B) P(A B) P(A) P(B) (C) P(AB) P(A) P(B) (D)

P(A B) P(A)

P(AB)

5 .随机事件A, B 相互独立的充分必要条件是( ).

(A) P(AB) P(A)P(B) (B) P(AB) P(A)

(C) P(AB) 0

(D)

P(A B) P(A) P(B) P(AB)

一 1 3

X 1

X i ,则下列各式中()不是统计量 3 i 1

(AB )T A T B T (AB )T AB

6.设f(x)和F(x)分别是随机变量 *分分布密度函数和分布函数，则对任意

a b,有 P(a X b) ( ) .

(A) b F(x)dx

(B)

a

(C) f(b) f(a)

b

a

f(x)

dx

F(a) F(b)

7.对来自正态总体X ~ N(

2

)( 未知)的一个样本X I ,X 2,X 3,

(A) X (B) X i

i 1

1 3

2 — 1

3 2

(C) - (X i ) (D) - (X i X)

3 i 1 3 i 1

、填空题(每小题3分，共15分)

1.设A, B均为3阶矩阵，A 2, B 3 ,则3A T B 1

2.线性无关的向量组的部分组一定

3.已知 P(A) 0.3, P(B A) 0.5 ,贝U P(A B)

4.设连续型随机变量X的密度函数是f(x),则E(X)

5.若参数的估计量？满足E(?),则称？为的估计.

三、计算题(每小题10分，共60分)

、一〜， 1 2 一，，

1.设矩阵A ，求A的特征值与特征向量.

0 3

2.线性方程组的增广矩阵为求此线性方程组的全部解.

3.用配方法将二次型f(x1,x2,x3) 7x12 3x2 5x； 6x2x3化为标准型，并求出所作的满秩变换.

4.两台车床加工同样的零件，第一台废品率是1%,第二台废品率是2%,加工出来的零件放在一起。已知第一台加工的零件是第二台加工的零件的3倍，求任意取出的零件是合格品的概率.

5.袋中有10个球，其中三白七黑，有放回地依次抽取，每次取一个，共取 4 次求：⑴取到白球不少于3次的概率；⑵没有全部取到白球的概率.

6.某厂生产一种型号的滚珠，其直径 X~N( ,0.09),今从这批滚珠中随机

地抽取了16个，测得直径(单位：mm的样本平均值为，求滚珠直径的置信度为的置信区间(双侧临界值 1.96).

四、证明题(本题4分)

设A为正交矩阵，试证：|A等于1或1.

、单项选择题（每小题3分，本题共21分）

、填空题（每小题3分，共15分）

1. 18

2.线性无关

3.0.8

4. xf(x)dx

5.无偏.

三、计算题（每小题10分，共60分）

1.解：解特征方程

1 2 『

E A 八（1）（3） 0，得

0 3

特征化 1 1, 2 3。

当1时，解方程组（E A）X 0,系数矩阵

解得对应的特征向量为: X1

3时，解方程组（E A）X 0,系数矩阵

2 2 1 1

3E A

0 0 0 0

. . ......... .. 1

解得对应的特征向量为：X2 。

1

1 因此，特征值1 1,

2 3。与1对应的全部特征值为kX1 k 0 ,k 0；

1

与3对应的全部特征值为kX2 k ,k 0

1

2.解：增广矩阵

1 1

2 1 1 2 1

3 6 1 112 1

3 0 2

4 2

1 0

2 4 2

112 1

0 1 2 1,

0 0 0 0

方程组等价于：x 1 x 2 2x 3 1

。取自由未知量X 3 1得对应齐次方程的基础

X 2 2x 3

1

2 解系：i 2 ;令X

3 0,得特解：X 0

1 ° 1

2

1T （其中k 为任意常数）

3

.解：配方如下:

y 〔 X 1

令y 2 X 2 X 3 ,即所求满秩线性变换为

y 3 X 3

化为标准型：7y 12 3y 2 2y 2。

X 1

f(X

1

，X

2，X 3

) 7 y

1

3 y

2 2y 3, X

2

4 .解：设A=｛取出的是第i 台机床生产的零件｝, i=1 , 2;

B=｛ 取出的合格品｝。

6 .解：选则统计量:

置信区间为 X 1.96下，X 1.96-，代入数值，得

n n

[4.203, 4.497]. 四、证明题（本题4分）

X 1 y 1

X 2

y 2 y 3 ,此时可将原二次型

X 3 y

1 0 0 y 1 0 1 1 y

2 0 0

1y 3

X 3

5.解：（1）所求概率为:

3

3 3 7 1

C 4

10 10

4

3 4 7 0

C 4

10

10

0.0837,

（2）所求概率为:

1-

C

4

10 10

0.9919.

由题设: N(0,1).

0.95 ,

X

1.96

P