高二上学期期末考试数学试卷含答案

高二上学期期末考试数学试卷含答案
一、单选题
1．如图，在斜棱柱1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 的交点为点M ，AB a =，AD b =，1AA c =，则1MC =（ ）
A ．11
22a b c ++
B ．11
22---a b c
C ．11
22
-++a b c
D ．11
22
a b c --+
2．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是正方形ABCD 的中心，则直线1A D 与直线1B M 所成角大小为（ ） A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
3．已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为（ ） A 7
B 13
C 7
D 134．在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为（ ）
A ．π2
B ．π3
C ．π4
D ．π6
5．设1F 、2F 分别为双曲线()222210,0x y
a b a b
-=>>的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足
212PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率e 为（ ）
A ．4
5
B ．54
C ．35
D ．53
6．已知直线斜率为k ，且13k -≤≤α的取值范围是（ ）
A ．30,,324πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭
B ．30,,34πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭
C ．30,,624πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭
D ．30,,64πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭
7．若圆()()2
2
:cos sin 1M x y θθ-+-=02θπ≤<（）与圆22:240N x y x y +--=交于A 、B 两点，则tan ∠ANB 的最大值为（ ）
A ．12
B ．34
C ．45
D ．43
8．已知EF 是圆22:2430C x y x y +--+=的一条弦，且CE CF ⊥，P 是EF 的中点，当弦EF 在圆C 上运动时，直线:30l x y --=上存在两点,A B ，使得2
APB π∠≥恒成立，则线段AB 长度的最小值是（ ）
A ．321+
B ．42+2
C ．43+1
D ．432+
二、多选题
9．对于任意非零向量()111,,a x y z =，()222,,b x y z =，以下说法错误的有 A ．若a b ⊥，则1212120x x y y z z ++=
B ．若//a b ，则111
222
x y z x y z =
= C ．121212
222222
111222
cos ,x x y y z z x y z a z b x y ++=
++⋅+>+<
D ．若1111===x y z ，则a 为单位向量
10．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M 为11A C 与11B D 的交点，若1,,AB A b c a D AA ===，则下列正确的是（ ）
A ．11
22
BM a b c =-+
B ．1A
C a b c =++ C ．1AC 5
D ．16
cos ,3
AB AC =
11．已知直线:cos sin 1l x y αα+=与圆22:6O x y +=交于A ，B 两点，则（ ） A ．线段AB 的长度为定值
B ．圆O 上总有4个点到l 的距离为2
C ．线段AB 的中点轨迹方程为221x y +=
D ．直线l 的倾斜角为
2
π
α+
12．已知圆22:5,,O x y A B +=为圆O 上的两个动点，且2,AB M =为弦AB 的中点()22,C a ，()
22,2D a +.当,A B 在圆O 上运动时，始终有CMD ∠为锐角，则实数a 的可能取值为（ ） A ．-3 B ．-2
C ．0
D ．1
三、填空题
13．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，直线1A B 和平面11A DC 所成角的正弦值是____；
14．过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)-中的三点的一个圆的方程为____________． 15．过点()1,2且与圆221x y +=相切的直线的方程是______．
16．设过原点的直线与双曲线C ：22
221x y a b
-=()0,0a b >>交于,P Q 两个不同点，F 为C 的一个焦点，若
4
tan 3PFQ ∠=，5QF PF =，则双曲线C 的离心率为__________.
四、解答题
17．已知圆22:(4)(2)4C x y -+-=，圆22:450M x x y -+-=. (1)试判断圆C 与圆M 的位置关系，并说明理由； (2)若过点()6,2-的直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程.
18．已知直线()2
1:(2)340l m x m m y ++-+=和直线2:22(3)20()l mx m y m m +-++=∈R .
(1)当m 为何值时，直线1l 和2l 平行？ (2)当m 为何值时，直线1l 和2l 重合？
19．已知圆1C ：222280x y x y +++-=与2C ：22210240x y x y +-+-=相交于A 、B 两点． (1)求公共弦AB 所在的直线方程；
(2)求圆心在直线y ＝－x 上，且经过A 、B 两点的圆的方程；
(3)求经过A 、B 两点且面积最小的圆的方程．
20．已知双曲线22
22
:
1(0,0)x y C a b a b -=>>过点A ，焦距为(0,)B b ． (1)求双曲线C 的方程；
(2)是否存在过点3,02D ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的直线l 与双曲线C 交于M ，N 两点，使△BMN 构成以MBN ∠为顶角的等腰三
角形？若存在，求出所有直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 21．
(1)在平面直角坐标系xOy 中，直线1y x =-与圆C 相切于点(2,1)-，圆心C 在直线2y x =-上. 求圆C 的方程； (2)已知圆1O 22:(0)x y m m +=>与圆2O ：226890+-++=x y x y 相交，求实数m 的取值范围.
22．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>()2,1A ．
（1）求C 的方程：
（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ
为定值。

参考答案
1--8AAADD BDB
9．BD 10．BD 11．AC 12．AD 13
14．()()2
2
2313x y -+-=或()()2
2
215x y -+-=或224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2
2
81691525x y ⎛⎫-+-= ⎪
⎝
⎭． 15．1x =或3450x y -+= 16
17．（1）把圆M 的方程化成标准方程，得22(2)9x y -+=， 圆心为(2,0)M ，半径13r =.
圆C 的圆心为(4,2)C ，半径22r =， 因为
15MC <=
=，
所以圆C 与圆M 相交， （2）
①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为6x =到圆心C 距离为2，满足题意； ②当直线l 的斜率存在时，设其方程为2(6)y k x +=-，
2=，解得3
4
k =-，
故直线l 的方程为34100x y +-=.
综上，直线l 的方程为34100x y +-=或6x =. 18．（1）
由题意，()()
()22
23(2)230
2420m m m m m m m ⎧-+--=⎪
⎨+-⨯≠⎪⎩
， 得()()()2
3(2)10
20m m m m ⎧--+=⎪⎨-≠⎪⎩
，解得3m =或1m =- 当3m =或1m =-时，直线1l 和2l 平行. （2）
由题意，()()
()22
23(2)2302420m m m m m m m ⎧-+--=⎪
⎨+-⨯=⎪⎩
， 得()()()2
3(2)10
20m m m m ⎧--+=⎪⎨-=⎪⎩
，解得2m =， 当2m =时，直线1l 和2l 重合.
19．（1）将两圆方程相减得x －2y ＋4＝0，此即为所求直线方程． （2）设经过A 、B 两点的圆的方程为
()2222210240
228x y x y x y x y λ+++-+-+-=+（λ为常数），
则圆心坐标为115,11λλλλ---⎛⎫
⎪
++⎝⎭
；又圆心在直线y ＝－x 上，故115011λλλλ---+=++， 解得1
2
λ=-，故所求方程为226680x y x y ++-+=．
（3）
由题意可知以线段AB 为直径的圆面积最小．两圆心所在直线方程为2x ＋y ＋3＝0， 与直线AB 方程联立得所求圆心坐标为()2,1-
故面积最小的圆的方程为()()2
2
215x y ++-=．
20．1
）由题设，c =
A 在双曲线上，
∴222
2
5
811a b a b ⎧+=⎪
⎨-=⎪⎩，可得2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，
∴双曲线C 的方程为2
214
x y -=.
（2）由（1）知：(0,1)B ，
直线l 的斜率一定存在，当直线斜率为0时，直线l ：0y =，符合题意；
设直线l 为3
()2
y k x =+，1122(,),(,)M x y N x y ，
联立双曲线方程可得：2222(14)12(94)0k x k x k ---+=， 由题设2140
0k ⎧-≠⎨∆>⎩
，
∴2
1221214k x x k +=-，212
29414k x x k +=--，则121223(3)14k y y k x x k +=++=-. 要使△BMN 构成以MBN ∠为顶角的等腰三角形，则||||BM BN =，
∴MN 的中点坐标为22263(
,)142(14)
k k
k k --， ∴2222
2
31
18322(14)61214k
k k k k k k k -+---==-，可得1
8k =或2k =-， 当2k =-时，Δ0<，不合题意，所以1
8
k =，直线l ：21630x y -+=，
∴存在直线l 为0y =或21630x y -+=，使△BMN 构成以MBN ∠为顶角的等腰三角形. 21．(1)因圆心C 在直线2y x =-上，则设圆心(,2)C a a -，半径是r ，
于是得圆C 方程是222()(2)x a y a r -++=，而圆C 与直线1y x =-相切于点(2,1)A -， 即CA 与直线1y x =-垂直，则有直线CA 斜率21
12
CA a k a -+=
=-，解得1a =， 因此，圆心(1,2)C -
，||r CA = 所以圆C 的方程是：22(1)(2)2x y -++=. (2)
圆2O ：226890+-++=x y x y 化为22(3)(4)16x y -++=，圆心2(3,4)O -，半径24r =， 而圆1O 的圆心1(0,0)O
，半径1r =
12||5d O O ==， 因圆1O 与圆2O 相交，于是有1212||r r d r r <+<-
，即|4|54<<，
解得19<<，即181m <<， 所以实数m 的取值范围是181m <<. 22．
（1
）由题意可得：2222241
1c a
a b a b c ⎧=⎪
⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩
，解得：2226,3a b c ===，
故椭圆方程为：22
163
x y +=.
(2)［方法一］：通性通法 设点()()1122,,,M x y N x y ，
若直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为：y kx m =+，
代入椭圆方程消去y 并整理得：()222
124260k x kmx m +++-=，
可得122412km x x k +=-+，212226
12m x x k
-=+， 因为AM AN ⊥，所以·0AM AN =，即()()()()121222110x x y y --+--=， 根据1122,kx m y kx m y =+=+,代入整理可得：
()
()()()2
2
121212140x x km k x x k
m ++--++-+=，
所以(
)
()()222
22
264121401212m km
k km k m k k
-⎛⎫
++---+-+= ⎪++⎝⎭
， 整理化简得()()231210k m k m +++-=， 因为(2,1)A 不在直线MN 上，所以210k m +-≠，
故23101k m k ++=≠，，于是MN 的方程为2133y k x ⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭()1k ≠，
所以直线过定点直线过定点21,33P ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
.
当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -， 由·0AM AN =得：()()()()111122110x x y y --+---=， 得()
1
2
2
1210x y -+-=，结合22
11163
x y +=可得：2113840x x -+=，
解得：123
x =或2
2x =（舍）.
此时直线MN 过点21,33P ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
.
令Q 为AP 的中点，即41,33Q ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP △的斜边，故12DQ AP ==
， 若D 与P 重合，则12DQ AP =
，故存在点41,33Q ⎛⎫
⎪⎝⎭
，使得DQ 为定值. ［方法二］【最优解】：平移坐标系
将原坐标系平移，原来的O 点平移至点A 处，则在新的坐标系下椭圆的方程为
22
(2)(1)163
x y +++=，设直线MN 的方程为4mx ny ．将直线MN 方程与椭圆方程联立得22
4240x x y y +++=，即
22()2()0x mx ny x y mx ny y +++++=，化简得22(2)()(1)0n y m n xy m x +++++=，即
2
(2)()(1)0y y n m n m x x ⎛⎫⎛⎫
+++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．
设()()1122,,,M x y N x y ，因为AM AN ⊥则1212AM AN y y k k x x ⋅=
⋅1
12
m n +==-+，即3m n =--． 代入直线MN 方程中得()340n y x x ---=．则在新坐标系下直线MN 过定点44,33⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
，则在原坐标系下直
线MN 过定点21,33P ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
．
又AD MN ⊥，D 在以AP 为直径的圆上．AP 的中点41,33⎛⎫
⎪⎝⎭
即为圆心Q ．经检验，直线MN 垂直于x 轴时也
成立．
故存在41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，使得1||||2DQ AP =．
［方法三］：建立曲线系 A 点处的切线方程为
21163
x y ⨯⨯+=，即30x y +-=．设直线MA 的方程为11210k x y k --+=，直线MB 的方程为22210k x y k --+=，直线MN 的方程为0kx y m -+=．由题意得121k k ．
则过A ，M ，N 三点的二次曲线系方程用椭圆及直线,MA MB 可表示为
()()22112212121063x y k x y k k x y k λ⎛⎫
+-+--+--+= ⎪⎝⎭
（其中λ为系数）
． 用直线MN 及点A 处的切线可表示为()(3)0kx y m x y μ-+⋅+-=（其中μ为系数）．
即()()22112212121()(3)63x y k x y k k x y k kx y m x y λμ⎛⎫
+-+--+--+=-++- ⎪⎝⎭
． 对比xy 项、x 项及y 项系数得 ()()()121212(1),4(3),21(3).k k k k k m k k k m λμλμλμ⎧+=-⎪
++=-⎨⎪+-=+⎩
①
②③
将①代入②③，消去,λμ并化简得3210m k ++=，即2133
m k =--．
故直线MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭，直线MN 过定点21,33P ⎛⎫
- ⎪⎝⎭．又AD MN ⊥，D 在以AP 为直径的圆
上．AP 中点41,33⎛⎫
⎪⎝⎭
即为圆心Q ．
经检验，直线MN 垂直于x 轴时也成立．故存在41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，使得1||||2DQ AP =
［方法四］：
设()()1122,,,M x y N x y ．
若直线MN 的斜率不存在，则()()1111,,,M x y N x y -． 因为AM AN ⊥，则0AM AN ⋅=，即()12
21210x y -+-=．
由22
11163
x y +=，解得123x =或12x =（舍）．
所以直线MN 的方程为2
3
x =
． 若直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为y kx m =+，则()()()222
122()6120x kx m k x x x x ++-=+--=．
令2x =，则()()122
2(21)(21)
2212k m k m x x k +-++--=
+．
又()()2
2
1221262y m y y y y y k k -⎛⎫⎛⎫+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1y =，则()()122(21)(21)1112k m k m y y k +--+---=+． 因为AM AN ⊥，所以()()()()12122211AM AN x x y y ⋅=--+--2
(21)(231)
12k m k m k +-++=+0=，
即21m k =-+或21
33
m k =--．
当21m k =-+时，直线MN 的方程为21(2)1y kx k k x =-+=-+．所以直线MN 恒过(2,1)A ，不合题意； 当2133m k =--时，直线MN 的方程为21213333y kx k k x ⎛
⎫=--=-- ⎪⎝⎭，所以直线MN 恒过21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．
综上，直线MN 恒过21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以||AP =
又因为AD MN ⊥，即AD AP ⊥，所以点D 在以线段AP 为直径的圆上运动．
取线段AP 的中点为41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，则1||||2DQ AP =．
所以存在定点Q ，使得||DQ 为定值．。