2015年江苏省高考数学试卷及答案(word版本)

数学I试题
参考公式：
圆柱的体积公式：V_±= Sh ，其中S 是圆柱的底面积，h 为高.
圆锥的体积公式：V 0_=^Sh ，其中S 是圆锥的底面积，h 为高.
_、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1•已知集合A={1，2, 3}，B={2,
4, 5}，则集合AUB 中元素的个数为踿银踿
2.已知一组数据
4, 6, 5, 8, 7, 6,那么这组
1只白球，1只红球，2只黄
球•从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜6•已知向量 a = (2，1)，b = (1，-2) •若 ma + nb = (9，
-8)( m，n 沂 R )，则m -n 的值为银•
7.不等式2x2-x <4的解集为银•
9•现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个•若将
它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新
12. 在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2 - y2 = 1右支
上的一个动点.若点
P到直线 x - y + 1 = 〇的距离大
13. 已知函数/(%)= |lm:|，g(%)= ji^^i _ 2 。

:’ 则方
程 |/(>) + |= 1 实根的
个数为 ▲.
14设向量a k = (cos
k仔 .k仔 k仔
—,sin — + cos —) (k =0, 1,2, 666
12)，则移（a^ak + 1)的值为摇
二、解答题:本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指
定区域内作答，解答时应写出文字说
明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分14分）
在AABC 中，已知从= 2，A(：= 3，A =
60o.
(1) 求BC的长；
(2) 求sin2C的值.
16. (本小题满分14分）
如图，在直三棱柱ABC-AAq中，已知AC
丄BC, •设的中
点为 D，B'nBC^E.
求证：（1)DE//平面AA";
(2)BC\
17. (本小题满分14分）
某山区外围有两条相互垂直的直线型公
路，为进一步改善山区的交通现
状，计划修建一条连接两条公路和山区边
界的直线型公路.记两条相互
垂直的公路为11, 12,山区边界曲线为C,
(3) 是否存在力，d及正整数n，k，使得a『，a2n +
k，a n + 2k，a4n + 3k依次构成等比数列？并说
明理由.
数学I试题参考答案
一、 填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分，共计70分.
1.5
2.6
3.S5
6.-3
7. {x - 1<x<2}(或
（-1，2))
10. (x - 1)2+y2=211.2
〇12. ^
二、 解答题
本小题主要考查余弦定理、正弦定理，同角三角函数关系与二倍角公式，考查运算求解能
力.满分14分.
解:⑴由余弦定理知，BC 2
=AB
2
+AC2- 2AB • AC -cosA
= 4 + 9 - 2x2x3x+ = 7，
所以BC= 7.
AB BC
4. 7
5. 6
8.3
9. 7
13.4
14. 9 3 (2)由正弦定理知，.C- . A，
smC sinA
因为AB<BC，所以C为锐角AB 2sin60o ^21
⑵①由（1)知，y=1〇〇〇(5臆x 臆20)，则点P 的坐标为(t ，1〇〇)〇)，
x t
设在点P 处的切线1交x ，y 轴分别于A ，B 点，y' = - 2〇〇)〇，
x
1000 2000 31 3000,
贝丨J 1 的万程为 y - -^= - -^(x - t )，由此得 A(y ，0)，B(0,
m /,3t 、2一,3000、2 3 12 4x106 rc …故/(0=
( 2 ) + ( t 2 ) = 2 t 2+ t
4
，
tE[5,20].
当te(5, 10 2)时，g'(t) < 0, g ⑴是减函数；
当t E (10 2, 20)时，g '(t ) >0, g ⑴是增函数.
从而，当t =10 2时，函数g ⑴有极小值，也是最小值，所以g(t)min = 300, 此时/(t)min = 15 3.
答:当t = 10 2时，公路1的长度最短，最短长度为15 3千米.
18.本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线的方程、直线与直线、直线与椭圆位置关
当 a<0时，XE(-¥,0)U(-Z3a, +¥)时,/，(x)
>0,X E(0, -Z3a)时,/，(x) <0,所以函数/(x)在(-¥,0), (-23a, + ¥)上单调递增，
在(0, - 23a)上单调递减.
(2)由⑴知，函数/(x)的两个极值为/(0)= b
,/(-23a) = 247
a3+b ,则函数/(x)有三个 零点
等价于/(0)•/(-23a) = b(247a3+b) <0,从而
a
> 0,
士3〈“〇或<
a < 0,
0 < b < - 27 a3 ■
又 b = c - a,所以当 a >0时，27“3 - a + c >0
或当 a <0时，27“3 - a + c <0. 设g(a) =
247a3-a +c,因为函数/(x)有三个零点时，a的
取值范围恰好是 (-¥,-3)U(1,3 )胰（2 ,+
¥),
贝 IJ在（-¥, - 3)上 g(a) < 0,且在（1, 3 )U(
3 , + ¥)上 g(a) > 0 均恒成立，
从而g(- 3) = c - 1臆0,且g( 2 ) = c - 1逸
0,因此 c = l.
此时，/(x) = x3+ ax 2
+1- a = (x + 1) [x2+ (
a - 1)x + 1 - a]，
化简得2k[ln(1 +2t) -ln(1+ t)]= n[2ln(1 + t) -ln(1 +2t)]，
且 3k[ln(1 +31) -ln(1 + t)] = n[3ln(1 + t) -ln(1 +31)].
再将这两式相除，化简得
ln( 1 + 31)ln( 1 + 21) + 3ln( 1 + 21)ln( 1 + t) = 4ln( 1 + 31)ln( 1 + t) ( ** ).
令g( t) = 4ln(l + 3 t)ln(1 + t) - ln(1 + 31 )ln(1 + 2t) - 3ln(1 + 2t )ln(1 + t)， 则忆（）2 [ (1 +3t)
2ln(1 +3t) -3 (1 +2t)2ln(1
+2t) +3 (1 + t)2ln(1 + t)]
则g(t)=(1 + t)(1 +2t)(1 +3t) .
令渍（t)= (1 + 3t)2ln(1 +31) - 3 (1 +
2t)2ln(1 + 2t) + 3 (1 + t)2ln(1 + t)，
则渍'（t)=6[(1 + 3t)ln(1 + 3t) - 2(1 +
2t)ln(1+ 2t) + (1 + t)ln(1+ t)].令
渍i(t) =渍'（t)，贝l j 渍1(t)=6 [3ln(1
+3t) - 4ln( 1 +2t) +ln(1 + t)].
令渍2(t)=渍1(t)，则渍2(t)=(1
+ t)(1
+122
t)(1 +31) >〇*
由 g(0)
=渍(0)=渍 1(0)=渍 2(0)=0,渍2(t)>0，
知渍2(t)，渍1(t)，渍⑴，g(t)在（-了，0)和(0，+ ¥)上均单调.
故g(t)只有唯一零点t=0,即方程（**)只有唯一解t = 〇,故假设不成立.
所以不存在^，d及正整数n，k，使得<，k+
数学域（附加题）参考答案
21.【选做题】
[选修4-1:几何证明选讲]
本小题主要考查圆的基本性质和相似三角形等基础知识，考查推 理论证能力.满分10分.
证明：因为AB=AC ，所以蚁ABD =蚁C.
又因为蚁C =蚁E ，所以蚁ABD =蚁E,又Z 似E
为公共—，可知…AWLB.[选修4-2:矩阵与变换]
本小题主要考查矩阵的特征值与特征向量的概念等基础知识，考 查运算求解能力.满分10分.
解：由已知，得A 琢=-’ 2
即
x 1
1
x - 1
即{尤2+/-_2^0,令:r=1，解得
2=1, X = L
所以m = (1, 1, 1)是平
面PCD的一个法向量.
AD • m J3
从而 cos〈AD，
m业
IA寅I
m
3，
3
所以平面PAB与平
面PCD所成二面角的
余弦值为
3
(2)因为B P=
(-1，0,2)，设B Q=
ABp= (-A，0,2A) (0臆
姿臆1)，
又CB= (0，-1，0)，
贝IJcQ= CB+B Q= (-
A，_1，2A),又D P=
(0，一2,2)，
1
+
2
A
从而 c〇s〈 CQ, DP〉= CQ Dp
= .
CQ
DP 10A2+ 2
= (k+
1) +2+(k +1) - 1+(k +3) - \
结论成立；
3)若k + l=6t + 2,贝lj k = 6t + 1,此时有
f( k + 1)= f( k)+2 = k + 2 ^^^^ + 2
= (k+ 1) + 2 + k+ 1
+ (k + 1) -
2
,结论成
立；
4)若k + 1=6t + 3,贝ij k = 6t + 2,此时有
f( k + 1)= f( k) +2= k + 2 + ^^^ + 2
=(k+ 1) +2+ (k+ 1) - 1 +结论成
立；
5)若k + 1=6t + 4,贝lj k = 6t + 3,此时有
f( k + 1)= f( k) +2= k+ 2+ k21+3
+
2
= (k+1) + 2+k+1+(k+ 1) -1
,结论成
立；
6)若k + 1=6t + 5,贝ij k = 6t + 4,此时有
k k —1
f(k + 1)=f(k) + 1=k + 2 + 全 + ^^+ 1
=(k +1) + 2 +(k+1)-1
+(k+ 3)-
2
,
结论成立.
综上所述，结论对满足n逸6的自然数n均成立.。