2015年福建高考文科数学试题及答案word精校版(福建卷)

1
5．若直线x
b=
1(a>0,b>0)过点(1,1)，则a+b的最小值等于（13，且α为第四象限角，则
tanα的值等于（
A．12
5C
．
12
2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）
数学（文史类）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若(1+i)+(2-3i)=a+bi（a,b∈R,i是虚数单位），则a,b的值分别等于（）
A．3,-2B．3,2C．3,-3D．-1,4
2．【考点】若集合M={x-2≤x<2}，N={0,1,2}，则M N等于（）A．{0}B．{}C．{0,1,2}D{0,1}
3．下列函数为奇函数的是()
A．y=x B．y=e x C．y=cos x D．y=e x-e-x
4．阅读如图所示的程序框图，阅读相应的程序．若输入x的值为1，则输出y的值为（
A．2B．7C．8D．128
）
a+y
）
A．2B．3C．4D．5
6．若sinα=-5
）
5B ．-
1255
D．-12
A ． -
3
f ( x ) = ⎨ 1
的图像上．若在矩形 ABCD 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率等于 A ． 1
10．变量 x , y 满足约束条件 ⎨ x - 2
y + 2 ≥ 0 ，若 z = 2 x - y 的最大值为 2，则实数 m 等于（ ）
⎪mx - y ≤ 0 2 ) ， k sin x cos x < x
”是“ k < 1 ”的（
3
4
7．设 a = (1,2) ， b = (1,1) ， c = a + kb ．若 b ⊥ c ，则实数 k 的值等于（
）
5 5 3 B ． -
C ．
D ．
2
3
3
2
8 ． 如 图 ， 矩 形 ABCD 中 ， 点 A 在 x 轴 上 ， 点 B 的 坐 标 为 (1,0) ． 且 点 C 与 点 D 在 函 数
⎧ x + 1, x ≥ 0 ⎪
⎪⎩- 2 x + 1, x < 0
（
）
1 3 1
B ．
C ．
D ．
6
4 8 2
9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）
A ． 8 + 2 2
B ．11 + 2 2
C ．14 + 2 2
D ．15
⎧ x + y ≥ 0 ⎪
⎩
A ． -2
B ． -1
C ．1
D ． 2
11．已知椭圆 E : x 2 y 2 + a 2 b 2
= 1(a > b > 0) 的右焦点为 F ．短轴的 一个端点为 M ，直线 l :3 x - 4 y = 0 交
椭圆 E 于 A , B 两点．若 AF + BF = 4 ，点 M 到直线 l 的距离不小于
范围是（ ）
3
3 3 A ． (0,
] B ． (0,
] C ． [ ,1) D ． [ ,1) 2 2 4
12．“对任意 x ∈ (0, π ）
4 5
，则椭圆 E 的离心率的取值
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
第II卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡的相应位置.
13．某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为_______．
14．若∆ABC中，AC=3，A=450，C=750，则BC=_______．
15．若函数f(x)=2x-a(a∈R)满足f(1+x)=f(1-x)，且f(x)在[m,+∞)上单调递增，则实数m 的最小值等于_______．
16．若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点，且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于________．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分12分)
等差数列{a
n }中，a
2
=4，a+a=15．
47
（Ⅰ）求数列{a}的通项公式；
n
（Ⅱ）设b=2a n-2+n，求b+b+b+⋅⋅⋅+b的值．
n12310
18.（本小题满分12分）
全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示．
（I）现从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[7,8]内的概率；
（II）根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．
19.（本小题满分12分）
已知点F为抛物线E:y2=2px（p>0）的焦点，点A(2,m)在抛物线E上，且A F=3．
（I）求抛物线E的方程；
（II）已知点G
(-1,0)，延长A F交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线G A
相切的圆，必与直线G B相切．
cos + 10cos 2
20.（本小题满分 12 分）
如图， AB 是圆 O 的直径，点 C 是圆 O 上异于 A ， B 的点， PO 垂直于圆 O 所在的平面，且
PO = OB = 1 ．
（I ）若 D 为线段 A C 的中点，求证： A C ⊥ 平面 P D O ；
（II ）求三棱锥 P - AB C 体积的最大值；
（III ）若 B C = 2 ，点 E 在线段 PB 上，求 C E + OE 的最小值．
21.（本小题满分 12 分）
已知函数 f (x ) = 10 3 sin x
x x
．
2 2 2
（I ）求函数 f (x )的最小正周期；
（II ）将函数 f (x )的图象向右平移 π
6
个单位长度，再向下平移 a （ a > 0 ）个单位长度后得到函数
g (x )的图象，且函数 g (x )的最大值为 2 ．
（i ）
求函数 g (x )的解析式；
（ii ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数 x ，使得 g (x 0
22.（本小题满分 14 分）
) > 0 ．
已知函数 f (x ) = ln x -
(x - 1)2
2
．
（I ）求函数 f (x )的单调递增区间；
（II ）证明：当 x > 1 时， f (x ) < x -1；
（III ）确定实数 k 的所有可能取值，使得存在 x > 1 ，当 x ∈ (1, x 0
)时，恒有 f (x ) > k (x -1)．
数学试题（文史类）参考答案
一、
选择题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题 5 分，满分 60 分。

1.A
2.D
3.D
4.C
5.C
6.D
7.A
8.B
9.B
10.C
11.A
12.B
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算。

每小题 4 分，共 16 分。

13. 25
14.
2
15. 1 16. 9
三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
⎪⎩(a 1 + 3d )+ (a 1 + 6d ) = 15
17.本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与
方程思想、划归与转化思想。

满分 12 分。

解：（I ）设等差数列{a
n
}的公差为 d 。

⎧⎪a + d = 4
由已知得 ⎨ 1
⎧a = 3 解得 ⎨ 1
⎩d = 1
所以 a = a + (n -1)d = n + 2
n
1
（II ）由（I ）可得 b = 2n + n
n
所以 b + b + b + ……+ b = (2 + 1) = (2 2 + 2) = (2 3 + 3) + ……+ (2 10 +10)
1 2
3
10
= (2 + 22 + 23 + ......+210 ) + （1+2+3+ (10)
= 2(1- 210) (1+ 10) ⨯10 +
1 -
2 2
= (211 - 2) + 55
= 211+ 53 = 2101
18.本小题主要考查古典概型，频率分布表、平均数等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、
应用意识，考查必然与或然思想等，满分 12 分。

解法一：（I ）融合指数在[7，8]内的“省级卫视新闻台”记为 A ， A ， A ；融合指数在[4,5）内
1
2
3
的“省级卫视新闻台”记为B ， B ，从融合指数在[4,5）和[7，8]内的“省级卫视新
1 2
闻台”中随机抽取 2 家所有基本事件是：
{A , A },{A , A },{A , A },{A , B },{A , B },{A , B },{A , B }, 1
2
1
3
2
3
1
1
1
2
2
1
2
2
{A , B },{A , B },{B , B }，共 10 个。

3
1
3
2
1
2
期中，至少有 1 家融合指数在[7，8]内的基本事件是{A , A },{A , A },{A , A },
1
2
1
3
2
3
{A , B },{A , B },{A , B },{A , B },{A , B },{A , B }, 共 9 个。

1 1
1
2
2
1
2
2
3
1
3
2
所以所求的概率 P =
9
10。

（II ）这 20 家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于
4.5 ⨯ 2
, A , A , B , B A , 1 3 2 3 1 1 (
) (
)
8 7 3
+ 5.5 ⨯ + 6.5 ⨯ + 7.5 ⨯
20 20 20 20
=6.05.
解法二：（I ）融合指数在[7，8]内的“省级卫视新闻台”记为 A ， A ， A ；融合指数在[4.5）
1
2
3
内的“省级卫视新闻台”记为B ， B ，从融合指数在[4,5）和[7，8]内的“省级卫
1 2
视新闻台”中随机抽取 2 家的所有的基本事件是：
{A , A } { A , } { A , } { , A } { , A } { , } { B , }A , B ,
1 2 1 2 2 1 2 2 {A , B },{A , B },{B , B }，共 10 个。

3
1
3
2
1
2
其中，没有 1 家融合指数在[7，8]内的基本事件是{B , B
1
2
}，共一个。

所以所求的概率 P = 1 - 1 9
= 。

10 10
（II ）同解法一。

19.本小题主要考查抛物线、直线与圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查推理论
证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想。

妈妈粉 12 分
解法一：（I ）由 抛物线的定义得
A F = 2 +
p
．
2
因为 A F = 3 ，即 2 +
p
2
= 3 ，
解得 p = 2 ，
所以抛物线 E 的方程为 y 2 = 4x ．
（II ）因为点 A (2, m ) 在抛物线 E : y 2 = 4x 上，
所以 m = ±2 2 ，由抛物线的对称性，不妨设 A 2,2 2 ．
由 A
2,2 2 ， F (1,0 )可得直线 A F 的方程为 y = 2 2 (x -1)．
，从而 B , - 2 ⎪ ． 2 - (-1) 3
G B = ，
1 (
- -1)
(
)
( )
⎪⎩ y 2 = 4 x ，得 2 x 2 - 5 x + 2 = 0 ， 解得 x = 2 或 x = 1 ⎛ 1 ，从而 B , - 2 ⎪ ．
⎧⎪ y = 2 2 (x - 1) 由 ⎨ ，得 2 x 2 - 5 x + 2 = 0 ，
⎪⎩ y 2 = 4 x
解得 x = 2 或 x =
又 G (-1,0 )，
1 ⎛ 1 ⎫
2 ⎝ 2 ⎭
所以 k G A = 2 2 - 0 2 2
=
， k - 2 - 0 2 2
=- 3 2
所以 k
G A
+ k G B
= 0 ，从而 ∠A GF = ∠B G F ，这表明点 F 到直线 G A ， G B 的距离相等，
故以 F 为圆心且与直线 G A 相切的圆必与直线 G B 相切．
解法二：（I ）同解法一．
（II ）设以点 F 为圆心且与直线 G A 相切的圆的半径为 r ． 因为点 A (2, m ) 在抛物线 E : y 2 = 4x 上，
所以 m = ±2 2 ，由抛物线的对称性，不妨设 A 2,2 2 ．
由 A 2,2 2 ， F (1,0 )可得直线 A F 的方程为 y = 2 2 (x -1)．
⎧⎪ y = 2 2 (x - 1)
由 ⎨
⎫ 2 ⎝ 2 ⎭
又 G (-1,0 )，故直线 G A 的方程为 2 2 x - 3 y + 2 2 = 0 ，
从而r=
22+22
所以点F到直线G B的距离d=22+22
8+9=
42
17．
又直线G B的方程为22x+3y+22=0，
8+9=
42
17
=r．
这表明以点F为圆心且与直线G A相切的圆必与直线G B相切．
20.本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、锥体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想。

满分12分。

解法一：（I）在∆AO C中，因为OA=O C，D为A C的中点，
所以A C⊥O D．
又PO垂直于圆O所在的平面，
所以PO⊥A C．
因为D O PO=O，
所以A C⊥平面P D O．
（II）因为点C在圆O上，
所以当C O⊥AB时，C到AB的距离最大，且最大值为1．
1
又AB=2，所以∆AB C面积的最大值为⨯2⨯1=1．
2
又因为三棱锥P-AB C的高PO=1，
1
故三棱锥P-AB C体积的最大值为⨯1⨯1=
31 3．
（III）在∆POB中，PO=OB=1，∠POB=90，所以PB=12+12=2．
从而 O C ' = OE + E C ' = 2
= 1 + 2 - 2 2  2 2 2 2 ⎪⎭
同理 P C = 2 ，所以 PB = P C = B C ．
在三棱锥 P - AB C 中，将侧面 B C P 绕 PB 旋转至平面 B C 'P ，使之与平面 ABP 共面，
如图所示．
当 O ， E ， C ' 共线时， C E + OE 取得最小值．
又因为 OP = OB ， C 'P = C 'B ，
所以 O C ' 垂直平分 PB ，
即 E 为 PB 中点．
6 2 + 6
+ =
2 2 2
，
亦即 C E + OE 的最小值为
2 + 6 2
．
解法二：（I ）、（II ）同解法一．
（III ）在 ∆POB 中， PO = OB = 1 ， ∠POB = 90 ，
所以 ∠OPB = 45 ， PB = 12 + 12 = 2 ．同理 P C = 2 ．
所以 PB = P C = B C ，所以 ∠C PB = 60 ．
在三棱锥 P - AB C 中，将侧面 B C P 绕 PB 旋转至平面 B C 'P ，使之与平面 ABP 共面，如图
所示．
当 O ， E ， C ' 共线时， C E + OE 取得最小值．
所以在 ∆O C 'P 中，由 余弦定理得：
O C '2 = 1 + 2 - 2 ⨯1⨯ 2 ⨯ cos (45 + 60 )
⎛ 2 1 2 3 ⎫ ⨯ - ⨯ ⎝
= 2 + 3 ．
从而 O C ' = 2 + 3 = 2 + 6
2
．
所以 C E + OE 的最小值为 2 6
+ ．
2 2
解：（I ）因为 f (x ) = 10 3 sin cos + 10cos 2
= 10sin x + ⎪ + 5 ．
5
5 2 3 5
5
21.本小题主要考查三角函数的图像与性质、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括
能力、推理论证能力、创新意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想、有限与无限思想、数形结
合思想。

满分 12 分。

x x x
2
2 2
= 5 3sin x + 5cos x + 5
⎛ π ⎫ ⎝
6 ⎭
所以函数 f (x )的最小正周期 T = 2π ．
（II ）（i ）将 f (x )的图象向右平移
π
6
个单位长度后得到 y = 10sin x + 5 的图象，再向下平移 a
（ a > 0 ）个单位长度后得到 g (x ) = 10sin x + 5 - a 的图象．
又已知函数 g (x )的最大值为 2 ，所以10 + 5 - a = 2 ，解得 a = 13 ．
所以 g (x ) = 10sin x - 8 ．
（ii ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数 x ，使得 g (x
) > 0 ，就是要证明存在无穷多个
互不相同的正整数 x ，使得10sin x - 8 > 0 ，即 sin x > 4
．
由 4 3 π 4
< 知，存在 0 < α < ，使得 s in α = ．
0 0
由正弦函数的性质可知，当 x ∈ (α , π - α 0
)时，均有 s in x > 4
．
5
因为 y = sin x 的周期为 2π ，
所以当 x ∈ (2k π + α ,2 k π + π - α 0
)（ k ∈ Z ）时，均有 s in x > 4
．
5
因为对任意的整数 k ， (2k π + π - α
) - (2k π + α ) = π - 2α
0 >
π
3 > 1，
sin x > 4
k
．
所 以 对 任 意 的 正 整 数 k ， 都 存 在 正 整 数 x ∈ (2k π + α ,2 k π + π - α
k 0
) ，使得
解：（I ） f ' (x ) = - x + 1 = ， x ∈ (0, +∞) ．
⎨ (x )的单调递增区间是 ⎛ 0, 1 + ⎪ ． 2 则有 F ' (x ) = ．
则有 G ' (x ) = - x + 1 - k = ．
2 2
亦即存在无穷多个互不相同的正整数 x ，使得 g (x 0 0 ) > 0 ．
22.本小题主要考查函数的单调性、倒数及其应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创
新意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想、数形结合思
想。

满分 14 分。

1 - x
2 + x + 1 x
x
由 f ' (x ) > 0 得 ⎧ x > 0 ⎩- x 2 + x + 1 > 0 1 + 5 解得 0 < x < ． 2 故 f 5 ⎫ ⎝ ⎭
（II ）令 F (x ) = f (x )- (x -1)， x ∈ (0, +∞) ．
1 - x 2
x
当 x ∈ (1, +∞)时， F ' (x ) < 0 ，
所以 F (x )在 [1,+∞) 上单调递减，
故当 x > 1 时， F (x ) < F (1) = 0 ，即当 x > 1 时， f (x ) < x -1．
（III ）由（II ）知，当 k = 1 时，不存在 x > 1 满足题意． 0 当 k > 1 时，对于 x > 1 ，有 f (x ) < x -1 < k (x -1) ，则 f (x ) < k (x -1)，
从而不存在 x > 1 满足题意． 0
当 k < 1 时，令 G (x ) = f (x )- k (x -1) ， x ∈ (0, +∞) ，
1 - x
2 + (1 - k ) x + 1 x
x 由 G ' (x ) = 0 得， - x 2 + (1 - k )x + 1 = 0 ．
解得 x = 1 - k -
(1 - k )2 + 4 1
< 0 ， x = 1 - k + (1 - k )2 + 4 2 > 1 ． 当 x ∈ (1, x 2
)时， G ' (x ) > 0 ，故 G (x ) 在 [1, x ) 内单调递增． 2
从而当 x ∈ (1, x 2 )时， G (x ) > G (1) = 0 ，即 f (x ) > k (x -1)，
(-∞,1)．综上，k的取值范围是。