北师大版七年级数学下册学案(含解析)：第五章生活中的轴对称4利用轴对称进行设计

4利用轴对称进行设计
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利用轴对称设计图案
（1）图案的设计常常利用对称、倒置、旋转、重复等手段和形式，尤其是利用轴对称的性质“如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的__________”为依据来设计图案．
（2）如图是44
的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有__________个．
【答案】:（1）垂直平分线
（2）4
【解析】:
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考点一:剪纸中的轴对称
1．过新年时，小强家的窗户上贴着如图所示的美丽的剪纸图案，它的对称轴有（）条．
A．0B．4C．8D．无数
【答案】:C
【解析】:
2．如图，把一张正方形纸片对折三次后沿虚线剪下，展开后得到的图形是（）．
A．B．C．D．
【答案】:C
【解析】:
3．如图，一张正方形纸片经过两次对折，并在如图所示的位置上剪去一个小正方形，打开后得到的图形是（）．
A
．B
．C
．D
．
【答案】:D
【解析】:
考点二:设计轴对称图形
4．如图，由4个小正方形组成的田字格，ABC
△的顶点都是小正方形的顶点，在田字格上能画出与ABC
△成轴对称，且顶点都在小正方形顶点上的三角形的个数共有（）．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】:C
【解析】:
5．如图，由小正方形组成的“L”形图中，请你用三种方法分别在图中添画一个小正方形，使宦成为轴对称图形．
方法一
方法二方法三
【答案】:见解析
【解析】:解:如图所示．
6．如图，一轴对称图形画出了它的一半，请你以直线l为对称轴画出它的另一半．
l
【答案】:略
【解析】:
7．如图，草原上有两个居民点P，Q，MM'是一条公路，NN'是一条河流．一汽车从P出发，把一
批参加社会实践活动的学生送到公路上，再到河边去加水，最后回到Q ．问:怎样安排两个停靠点R ，S ，可使行驶的路程最短？（作图回答）（数学思想链接:转化思想）
Q
P N'
M'
N M
【答案】:见解析
【解析】:解:如图所示．
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1．（5分）永州的文化底蕴深厚，永州人民的生活健康向上，如瑶族长鼓舞，东安武术，宁远举重等，下面的四幅简笔画是从永州的文化活动中抽象出来的，其中是轴对称图形的是（）．
A
． B
．
C ． D
．
【答案】:C
【解析】:
2．（5分）一名同学想用正方形和圆设计一个图案，要求整个图案关于正方形的某条对角线所在直线对称，那么下列图案中不符合要求的是（）．
A
． B
． C
． D ．
【答案】:D
【解析】:
3．（5分）（2016•资阳一模）如图，图乙的图案是由图甲中五种基本图形中的两种拼接而成，这两种基本图形是（）．
甲
①②③④
⑤
乙
A．①②B．①③C．①④D．③⑤
【答案】:B
【解析】:
4．（5分）在如图所示的方格纸上画有2条线段，若再画一条线段，使图中的三条线段组成一个轴对称图形，则这条线段的画法最多有__________种．
D
C
B
A
【答案】:4
【解析】:
5．（12分）请在下列三个22
的方格中，各画出一个三角形，要求所画三角形是图中三角形经过轴对称变换后得到的图形，且所画的三角形顶点与方格中的小正方形顶点重合，并将所画三角形涂上阴影．（注:所画的三个图形不能重复）
①
②③
【答案】:见解析
【解析】:解:示例:如图所示．
6．（10分）将一张正方形的纸沿对角线对折一次后，得到一个等腰直角三角形，沿等腰直角三角形底边上的高对折一次，又得到一等腰直角三角形，再沿着其底边上的高对折一次，共对折了三次后，在中间剪去一个小圆，则展开盾得到的图形有几条对称轴？
【答案】:4条
【解析】:
7．（10分）在现实生活中，很多优美的图形都是由几个简单的几何图形组成的，请你用圆、三角形、线段三个几何图形，依照图中的例子设计三个不同的轴对称图案，并赋予它一个合适、有趣的名称．
电灯羽毛球稻草人
【答案】:见解析 【解析】:解:答案不唯一．
风铃
狐狸
8．（10分）（拓展提升题）（2016•深圳期末）观察设计．
（1）观察如图的①～④中阴影部分构成的图案，请写出这四个图案都具有的两个共同特征． （2）借助图⑤的网格，请设计一个新的图案，使该图案同时具有你在解答（1）中所写出的两个共同
特征．（注意:新图案与图①～④的图案不能一样）
①
②
③
④⑤
【答案】:见解析 【解析】:解:（1）示例:所给个四个图案具有的共同特征:①都是轴对称图形；②面积都等于四个小正方形的面积之和；③都是直线型图案．
（2）示例
:
尖子生成长计划6
活用“三线合一’’巧解题
一、利用“三线合一”求角的度数 1．如图，已知房屋顶角100BAC ∠=︒，过屋顶A 的立柱AD BC ⊥，屋檐AB AC =．求顶架上的B ∠，
C ∠，BA
D ∠，CAD ∠的度数．
D C
B
A
【答案】:见解析
【解析】:解:因为AB AC =，100BAC ∠=︒，AD BC ⊥， 所以40B C ∠=∠=︒，50BAD CAD ∠=∠=︒
二、利用“三线合一”求线段的长度
2．如图，在ABC △中，AB AC =，AD BD BC ==，DE AB ⊥于点E ，若9CD =，且BDC △的周长为39，求AE 的长．
E D
C B
A
【答案】:见解析
【解析】:解:因为BDC △的周长39BD BC CD =++=，9CD =，所以30BD BC +=． 因为AD BD BC ==，所以15AD BD BC ===．
所以15924AB AC AD DC ==+=+=．
又因为AD BD =，DE AB ⊥， 所以1122
AE EB AB ==
=． 三、利用“三线合一”说明线段相等 3．如图，在等腰三角形ABC 中，AB AC =，AD 是BC 边上的中线，ABC ∠的平分线BG 交AD 于点E ，EF AB ⊥，垂足为F ．试说明:ED EF =．
G F
E
D C B A
【答案】:见解析
【解析】:解:因为AB AC =，AD 为BC 边上的中线，
所以AD BC ⊥，即ED BC ⊥（三线合一）．
因为BG 为ABC ∠的平分线，EF AB ⊥，ED BC ⊥，
所以ED EF =．
四、利用“三线合一”说明角相等
4．如图，AD 是ABC △的角平分线，且AE AC =，EF BC ∥交AC 于点F ．试说明:DEC FEC ∠=∠．
F E
C
B
A
【答案】:见解析 【解析】:解:因为AD 平分EAC ∠，AE AC =，
所以AD 垂直平分EC ．
所以DE DC =．所以DEC DCE ∠=∠．
又因为EF BC ∥，
所以FEC DCE ∠=∠．
所以DEC FEC ∠=∠．
五、利用“三线合一”说明垂直平分
5．如图，已知AD 是ABC △的角平分线，DE ，DF 分别是ABD △和ACD △的高．试说明:AD 垂直平分EF ．
F E
C
B
A
【答案】:见解析
【解析】:解:因为DE AB ⊥，DF AC ⊥，BAD CAD ∠=∠，AD AD =， 所以ADE △≌ADF △．
所以AE AF =．
又因为AD 平方EAF ∠，
所以AD 垂直平分EF ．
六、利用“三线合一”说明角的倍分关系
6．如图，在ABC △中，AB AC =，CF EF =，DE 垂直平分AB ，BE AC ⊥，AF BC ⊥．试说
明:12EFC AFC ∠=∠． F E
D
C B A
【答案】:见解析
【解析】:解:因为DE 垂直平分AB ，所以AE BE =． 因为BE AC ⊥，
所以ABE △是等腰直角三角形．
所以45BAC ABE ∠=∠=︒．
又因为AB AC =， 所以11(180)(18045)67.522
ABC BAC ∠=︒-∠=⨯︒-︒=︒． 所以67.54522.5CBE ABC ABE ∠=∠-∠=︒-︒=︒．
因为AB AC =，AF BC ⊥，所以BF CF =．
又CF EF =，所以BF EF =，
所以22.5BEF CBE ∠=∠=︒，
所以18022.522.545EFC BFE BEF CBE ∠=︒-∠=∠+∠=︒+︒=︒． 因为AF BC ⊥，所以90AFC ∠=︒， 所以12
EFC AFC ∠=∠． 七、利用“三线合一”说明线段的倍分关系（构造三线法） 7．如图，已知等腰直角三角形ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，BF 平分ABC ∠，CD BD ⊥交BF 的延长线于点D ．试说明:2BF CD =．
F D
C
B
A
【答案】:见解析
【解析】:解:如图，延长BA ，CD 交于点F ．
因为BF 平分ABC ∠，CD BD ⊥，BD BD =，
所以BDC △≌BDE △．
所以BC BE =，DE DC =．
因为90BAC ∠=︒，90BDC ∠=︒，AFB DFC ∠=∠，
所以ABF DCF ∠=∠．
又AB AC =，90BAF CAE ∠=∠=︒，
所以ABF △≌(ASA)ACE △，
所以BF CE =．
故2BF CD =． F E
D
C B A
八、利用“三线合一”说明线段的和差关系（构造三线法） 8．如图，在ABC △中，AD BC ⊥于点D ，且2ABC C ∠=∠．试说明:CD AB BD =+．
D C
B A
【答案】:见解析
【解析】:解:如图，以A 为圆心，AB 长为半径画弧交CD 于点E ，连接AE ，则AE AB =， 所以AEB ABC ∠=∠．
因为AD BC ⊥，所以AD 是BE 边上的中线，即DE BD =． 又因为2ABC C ∠=∠，所以2AEB C ∠=∠．
而180AEB AEC CAE C ∠=︒-∠=∠+∠，
所以CAE C ∠=∠．
过点E 作EF AC ⊥于点F ，
易知AEF △≌CEF △，
则CE AE AB ==，故CD AB BD =+．
F
E D C B
A。