2016年全国初中数学联合竞赛试题及详解

2021年全国初中数学联合竞赛试题

第一试 (3月20日上午8:30 - 9:30)

一、选择题〔此题总分值42分，每题7分〕

(此题共有6个小题，每题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个〔不管是否写在括号内〕，一律得0分.) 1.用[]x 表示不超过x 的最大整数，把[]x x -称为x 的小数局部.，a 是t 的小数局部，b 是t -的小数局部，那么 〔 〕

.A 1

2

.B 3 .C 1 .D 3 2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校方案恰好用500元购置上述图书

30本，那么不同的购书方案有 〔 〕

.A 9种 .B 10种 .C 11种 .D 12种

3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，那么称这个正整数为“和谐数〞.如：3

3

3

3

21(1),2631,=--=- 2和26均为“和谐数〞.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数〞之和为

〔 〕

.A 6858 .B 6860 .C 9260 .D 9262

3(B 〕.二次函数2

1(0)y ax bx a =++≠的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).当a b -为整数时，ab = 〔 〕

.A 0 .

B 14 .

C 3

4

- .D 2- 4.O 的半径OD 垂直于弦AB ,交AB 于点C ，连接AO 并延长交O 于点E ,假设

8,AB =2

CD =,那么

BCE

∆的面积为

〔 〕

.A 12 .B 15 .C 16 .D 18

5.如图，在四边形ABCD 中，0

90BAC BDC ∠=∠=，5AB AC ==

1CD =,对角

线的交点为

M

，那

么

DM =

( )

.

A 32 .

B 53

.

C 2 .

D 12

6.设实数,,x y z 满足1,x y z ++= 那么23M xy yz xz =++的最大值为 ( )

.A 12 .B 23 .C 3

4

.D 1 二、填空题〔此题总分值

28分，每题7分〕

(此题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.)

1.【1(A)、2〔B 〕】 ABC ∆的顶点A 、C 在反比例函数〔0x >〕的图象上，

090ACB ∠=,030ABC ∠=,AB x ⊥轴，点B 在点A 的上方，且6,AB =那么点C 的坐标

为 .

1(B).ABC ∆的最大边BC 上的高线AD 和中线AM 恰好把BAC ∠三等分，AD =那么AM = .

2(A).在四边形ABCD 中，BC ∥AD ,CA 平分BCD ∠,O 为对角线的交点，

,CD AO =,BC OD =那么ABC ∠= .

3.【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 .

3(B).假设质数p 、q 满足：340,111,q p p q --=+<那么pq 的最大值为 . 4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内〔每格填入一个数〕，使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为M ,那么M 的最大值为 .

第二试 (3月20日上午9:50 — 11:20)

一、〔此题总分值20分〕

,a b 为正整数，求22324M a ab b =---能取到的最小正整数值.

二、〔此题总分值25分〕 (A ).如图，点C 在以AB 为直径的

O 上，CD AB ⊥于点D ,点E 在BD 上，,

AE AC =四边形DEFM 是正方形，AM 的延长线及

O 交于点N .证明:FN DE =.

(B ).：5,a b c ++= 2

2

2

15,a b c ++= 333

47.a b c ++=

求222222

()()()a ab b b bc c c ca a ++++++的值.

三、〔此题总分值25分〕

(A ).正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且

222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)

4x y y z z x xy yz zx

------++= .

(1) 求的值.

(2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.

(B ).如图，在等腰ABC ∆中,5,AB AC ==

D 为BC 边上异于中点的点，点C 关于直线

AD 的对称点为点E ,EB 的延长线及AD 的延长线交于点,F 求AD AF ⋅的值.

2021年全国初中数学联合竞赛试题及详解 第一试 (3月20日上午8:30 - 9:30)

一、选择题〔此题总分值42分，每题7分〕

(此题共有6个小题，每题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个〔不管是否写在括号内〕，一律得0分.)

1.用[]x 表示不超过x 的最大整数，把[]x x -称为x 的小数局部.，a 是t 的小数局部，

b 是t -的小数局部，那么 〔 〕

.A 1

2

.B 2 .C 1 .D 【答案】A .

【解析】

1

22,2t =

=<<-324,∴< 即34,t <<

3 1.a t ∴=-=

又

221,t -=---<-423,∴-<-<-

(4)2b t ∴=---=11211,

2222b a ∴

-==-=应选A . 2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校方案恰好用500元购置上述图

书30本，那么不同的购书方案有 〔 〕

.A 9种 .B 10种 .C 11种 .D 12种

【答案】C .

【解析】设购置三种图书的数量分别为,,,x y z 那么30101520500x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩

，

即，解得 依题意得，,,x y z 为自然数〔非负整数〕， 故010,x ≤≤x 有11种可能的取值〔分别为0,1,2,

,9,10)，对于每一个x 值，y 和z 都

有唯一的值〔自然数〕相对应. 即不同的购书方案共有11种，应选C .

3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，那么称这个正整数为“和谐数〞.如：3

3

3

3

21(1),2631,=--=- 2和26均为“和谐数〞.那么，不超过2016的正整数中，所

有

的

“

和

谐

数

〞

之

和

为

〔 〕