大一下高数下册知识点

高等数学下册知识点
第八章 空间解析几何与向量代数
（一） 向量线性运算
定理1：设向量a ≠0,则向量b 平行于a 的充要条件是存在唯一的实数λ,使 b ＝λa
1、 线性运算：加减法、数乘；
2、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限,向量的坐标分解式；
3、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a =
,),,(z y x b b b b =
；
则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±
, ),,(z y x a a a a λλλλ= ；
4、 向量的模、方向角、投影：
1） 向量的模：
222z y x r ++= ；
2） 两点间的距离公式：2
12212212)()()(z z y y x x B A -+-+-=
3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,,
4） 方向余弦：r
z r y r x ===γβαcos ,cos ,cos 5） 投影：ϕcos Pr a a j u
=,其中ϕ为向量a 与u
的夹角;
（二） 数量积,向量积
1、 数量积：θcos b a b a
=⋅
12a a a =⋅
2⇔⊥b a 0=⋅b a
2、 向量积：b a c
⨯=
大小：θsin b a ,方向：c b a
,,符合右手规则 10 =⨯a a 2b a //⇔0 =⨯b a
运算律：反交换律 b a a b
⨯-=⨯
（三） 曲面及其方程 1、 曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S
2、 旋转曲面：
yoz 面上曲线0),(:=z y f C ,
绕y 轴旋转一周：
0),(2
2=+±z x y f 绕
z 轴旋转一周：
0),(22=+±z y x f
3、 柱面：
0),(=y x F 表示母线平行于z 轴,准线为⎪⎩⎪⎨⎧==0
),(z y x F 的柱面
4、 二次曲面
1） 椭圆锥面：2
2
2
22z b y a x =+ 2） 椭球面：122
222
2=++c
z b y a x
旋转椭球面：122
222
2=++c
z a y a x
3） 单叶双曲面：122
222
2=-+c z b y a x
4） 双叶双曲面：122
22
2
2
=--c
z
b y a x
5） 椭圆抛物面：z b
y a x =+22
2
2
6） 双曲抛物面马鞍面：z b y a x =-22
2
2
7） 椭圆柱面：122
2
2
=+b y
a x
8） 双曲柱面：122
2
2=-b y a x
9） 抛物柱面：
ay x =2 （四） 空间曲线及其方程
1、 一般方程：⎪⎩⎪⎨⎧==0
),,(0
),,(z y x G z y x F
2、 参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ,如螺旋线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===bt z t a y t a x sin cos
3、 空间曲线在坐标面上的投影
⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ,消去z ,得到曲线在面xoy 上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0
0),(z y x H （五） 平面及其方程
1、 点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A
法向量：),,(C B A n =
,过点),,(000z y x
2、 一般式方程：0=+++D Cz By Ax
截距式方程：
1=++c
z
b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n = ,),,(2222C B A n =
,
4、 点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： （六） 空间直线及其方程
1、 一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++0
022221111D z C y B x A D z C y B x A
2、 对称式点向式方程：p z z n y y m x x 0
00-=-=-
方向向量：),,(p n m s = ,过点),,(000z y x
3、 参数式方程：⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧+=+=+=pt z z nt
y y mt x x 000
4、 两直线的夹角：),,(1111p n m s = ,),,(2222p n m s =
,
5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角,
第九章 多元函数微分法及其应用
（一） 基本概念
1、 距离,邻域,内点,外点,边界点,聚点,开集,闭集,连通集,区域,闭区域,有界集,无界集;
2、 多元函数：1定义：设n 维空间内的点集D 是R 2的一个非空子集,称映射f ：D →R 为定义在D 上的n 元函数;当n ≥2时,称为多元函数;记为
U=fx 1,x 2,…,x n ,x 1,x 2,…,x n ∈D;
3、 二次函数的几何意义：由点集D 所形成的一张曲面;如z=ax+by+c 的图形为一张平面,而z=x 2+y 2的图形是旋转抛物线;
4、 极限：1定义：设二元函数fp=fx,y 的定义域D,p0x0,y0是D 的聚点D,如果存在函数A 对于任意给定的正数ε,总存在正数δ,使得当点px,y ∈D ∩∪p0,δ时,都有Ⅰfp-A Ⅰ=Ⅰfx,y-A Ⅰ﹤ε成立,那么就称常数A 为函数fx,y 当x,y →x 0,y 0时的极限,记作
多元函数的连续性与不连续的定义
5、 有界闭合区域上二元连续函数的性质：1在有界闭区域D 上的多元连续
函数,必定在D 上有界,且能取得它的最大值和最小值；2在有界区域D 上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值; 6、 偏导数：设有二元函数z=fx,y,点x 0,y 0是其定义域D 内一点;把y 固定在y0而让x 在x0有增量△x,相应地函数z=fx,y 有增量称为对x/y 的偏增量如果△z 与△x/△y 之比当△x →0/△y →0时的极限存在,那么此极限值称为函数z=fx,y 在x0,y0处对x/y 的偏导数记作
x
y x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆), (), (lim ),(0000000 7、 混合偏导数定理：如果函数的两个二姐混合偏导数f xy x,y 和f yx x,y 在D
内连续,那么在该区域内这两个二姐混合偏导数必相等;
8、 方向导数： βαcos cos y
f
x f l f ∂∂+∂∂=∂∂其中βα,为l
的方向角;
9、 全微分：如果函数z=fx, y 在x, y 处的全增量△z=fx △x,y △y-fx,y 可以表示为△z=A △x+B △y+o ρ,其中A 、B 不依赖于△x, △y,仅与x,y 有关, 当Ρ→0,此时称函数z=fx, y 在点x,y 处可微分,A △x+ B △y 称为函数z=fx, y 在点x, y 处的全微分,记为 （二） 性质
1、 函数可微,偏导连续,偏导存在,函数连续等概念之间的关系：
微分法
1） 定义： u x 2） 复合函数求导：链式法则 z
若(,),(,),(,)z
f u v u u x y v v x y ===,则 v y
z z u z v x u x v x ∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂,z z u z v
y u y v y
∂∂∂∂∂=
⋅+⋅∂∂∂∂∂ 3） 隐函数求导：两边求偏导,然后解方程组 （三） 应用
充分条件
1、 极值
1） 无条件极值：求函数),(y x f z =的极值
解方程组 ⎪⎩⎪
⎨⎧==00y
x f f 求出所有驻点,对于每一个驻点),(00y x ,令
),(00y x f A xx =,),(00y x f B xy =,),(00y x f C yy =,
① 若02
>-B AC ,0>A ,函数有极小值, 若02
>-B AC ,0<A ,函数有极大值； ② 若02
<-B AC ,函数没有极值； ③ 若02
=-B AC ,不定;
2） 条件极值：求函数),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ下的极值 令：),(),(),(y x y x f y x L λϕ+=
——— Lagrange 函数
解方程组 ⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧===0
),(0
0y x L L y x ϕ
2、 几何应用
1） 曲线的切线与法平面
曲线
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===Γ)
()()(:t z z t y y t x x ,则Γ上一点),,(000z y x M 对应参数为0t 处的 切线方程为：)()()(0
0000t z z z t y y y t x x x '-='-='- 法
平
面
方
程
为
：
0))(())(())((000000=-'+-'+-'z z t z y y t y x x t x
2） 曲面的切平面与法线
曲面0),,(:=∑z y x F ,则∑上一点),,(000z y x M 处的切平面方程为：
法线方程为：),,(),,(),,(0
000
00000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=-
第十章 重积分
（一） 二重积分
1、 定义：
∑⎰⎰=→∆=n
k k k k
D
f y x f 1
),(lim d ),(σηξσλ
2、 性质：6条
3、 几何意义：曲顶柱体的体积;
4、 计算： 1） 直角坐标
⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧≤≤≤≤=b x a x y x y x D )()(),(21ϕϕ,
⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧≤≤≤≤=d y c y x y y x D )()(),(21φφ,
2） 极坐标 （二） 三重积分 1、 定义： ∑⎰⎰⎰
=→Ω
∆=n
k k k k k
v f v z y x f 1
),,(lim
d ),,(ζηξ
λ
2、 性质：
3、 计算：
1） 直角坐标
⎰⎰⎰
⎰⎰⎰
=Ω
D
y x z y x z z z y x f y x v z y x f ),()
,(21d ),,(d d d ),,( -------------“先一
后二”
⎰⎰
⎰⎰⎰⎰
=Ω
Z
D b
a
y x z y x f z v z y x f d d ),,(d d ),,( -------------“先二
后一” 2） 柱面坐标
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧===z
z y x θρθρsin cos ,
(,,)d (cos ,sin ,)d d d f x y z v f z z ρθρθρρθΩ
Ω
=⎰⎰⎰
⎰⎰⎰
3） 球面坐标 （三） 应用 曲面D y x y x f z
S ∈=),(,),(:的面积：
第十二章 无穷级数
（一） 常数项级数 1、 定义：
1无穷级数：
+++++=∑∞
=n n n
u u u u u
3211
部分和：n n k k
n u u u u u
S ++++==
∑= 3211
,
正项级数：∑∞
=1n n u ,0≥n u
交错级数：∑
∞
=-1
)1(n n n u ,0≥n u 2级数收敛：若S S n n =∞
→lim 存在,则称级数∑∞
=1
n n u 收敛,否则称级数∑∞
=1
n n u 发散 3绝对收敛：∑∞=1
n n u 收敛,则∑∞
=1n n u 绝对收敛；
条件收敛：∑∞
=1n n u 收敛,而∑∞
=1
n n u 发散,则∑∞
=1
n n u 条件收敛;
定理：若级数∑∞
=1
n n u 绝对收敛,则∑∞
=1
n n u 必定收敛;
2、 性质：
1） 级数的每一项同乘一个不为零的常数后,不影响级数的收敛性； 2） 级数∑∞
=1
n n a 与∑∞
=1
n n b 分别收敛于和s 与σ,,则
∑∞
=±1
)(n n n
b a
收敛且,其和
为s+σ
3） 在级数中任意加上、去掉或改变有限项,级数仍然收敛；
4） 级数收敛,任意对它的项加括号后所形成的级数仍收敛且其和不变;
5） 必要条件：级数∑∞
=1
n n u 收敛即0lim =∞
→n n u . 3、 审敛法
正项级数：∑∞
=1n n u ,0≥n u
1） 定义：S S n n =∞
→lim 存在； 2）
∑∞
=1
n n
u
收敛
⇔{}n
S 有界；
3） 比较审敛法：∑∞=1
n n u ,∑∞
=1
n n v 为正项级数,且),3,2,1( =≤n v u n n
若∑∞=1n n v 收敛,则∑∞=1
n n u 收敛；若∑∞=1
n n u 发散,则∑∞
=1
n n v 发散.
4） 比较法的推论：∑∞
=1
n n u ,∑∞
=1
n n v 为正项级数,若存在正整数m ,当m
n
>时,n n kv u ≤,而∑∞
=1
n n v 收敛,则∑∞
=1
n n u 收敛；若存在正整数
m
,当
m
n >时,n n kv u ≥,而∑∞=1
n n v 发散,则∑∞
=1
n n u 发散.
做题步骤：①找比较级数等比数列,调和数列,p 级数1/n p ；②比较大小；③是否收敛;
5） 比较法的极限形式：设∑∞
=1
n n u ,∑∞
=1
n n v 为正项级数,
1若)0( lim +∞<≤=∞→l l v u n n
n ,而∑∞=1n n v 收敛,则∑∞=1n n u 收敛； 2若0lim >∞→n n n v u 或+∞=∞→n
n
n v u lim ,而∑∞=1n n v 发散,则∑∞=1n n u 发散. 6） 比值法：∑∞
=1n n u 为正项级数,设l u u n
n n =+∞→1
lim ,则当1<l 时,级数∑∞=1n n u 收敛；则当1>l 时,级数∑∞=1
n n u 发散；当1=l 时,级数∑∞
=1
n n u 可能收敛也可能发散.
7） 根值法：∑∞
=1
n n u 为正项级数,设l u n n
n =∞
→lim ,则当1<l 时,级数∑∞
=1
n n u 收敛；则当1>l 时,级数∑∞=1n n u 发散；当1=l 时,级数∑∞
=1
n n u 可能收敛也可能发散.
8） 极限审敛法：∑∞
=1
n n u 为正项级数,若0lim >⋅∞→n n u n 或+∞=⋅∞
→n n u n lim ,则级
数∑∞=1
n n u 发散；若存在1>p ,使得)0( lim +∞<≤=⋅∞
→l l u n n p
n ,则级数∑∞
=1
n n u 收敛.
交错级数：
莱布尼茨审敛法：交错级数：
∑∞
=-1
)
1(n n n
u ,0≥n u 满足：
),3,2,1( 1 =≤+n u u n n ,且0lim =∞
→n n u ,则级数∑∞=-1
)1(n n n u 收敛;
任意项级数：
∑∞
=1
n n
u
绝对收敛,则
∑∞
=1
n n
u
收敛;
常见典型级数：几何级数：⎪⎩⎪⎨⎧≥<∑∞
=1 1 0q q aq n n
发散，
收敛， p -级数：⎪⎩⎪⎨⎧≤>∑∞
=1p 1 11发散，
收敛，
p n n p
（二） 函数项级数
1、 定义：函数项级数∑∞
=1)(n n x u ,收敛域,收敛半径,和函数；
2、 幂级数：∑∞
=0
n n
n
x a
收敛半径的求法：ρ=+∞→n
n n a a 1
lim ,则收敛半径 ⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧=∞++∞
=+∞<<=0 , ,00 ,1
ρρρρR。