美式看跌期权定价的数值解法

美式看跌期权定价的数值解法
美式期权定价通常采用数值方法，包括二叉树法、有限差分法和monte carlo模拟法。

其中，二叉树法和有限差分法都属于逆向求解的方法，可以求出美式期权的最优执行时刻以及价格，但对于路径依赖期权和具有多标的资产的期权，这两种方法受到了限制。

monte carlo模拟方法的原理虽然是正向求解，但20世纪90年代以来，学者们通过将树图分析技术以及动态规划原理引入monte carlo模拟中，已经实现了美式期权的monte carlo模拟定价。

本文首先介绍了lsm方法的理论框架和基本原理，其次以单一标的资产的美式看跌期权为例，给出了具体的算法实现步骤以及matlab 程序，最后通过一个实例说明lsm方法的可行性及优缺点。

一.lsm方法的理论框架和基本原理
为模拟美式期权定价，首先设立以下基本假定：标的资产价格演化过程遵循几何布朗运动市场是无摩擦；无风险利率r为固定的常数。

为简化计算，将期权的有效期[0，t]均分为个子区间，这样期权只可能在n+1个交易时点行权：0=t0<t1<t2<……<tn=t。

在t时刻前的某一可能执行点tn时刻，若立即行权，期权价值即执行期权获得的收益现金流max（k-st，0），是已知的；若继续持有，期权价值即为继续持有该期权的期望收益它是个条件期望，依赖于下一时点期权决策的价值，需逆向求解，这是一般的monte carlo模拟法无法做到的。

然而通过实证研究发现，只要标的资产价格过程
具有马尔科夫性，拟合的条件期望函数可用多个不同阶的拉格朗日多项式线性组合而成，根据标的变量个数的不同，选择不同个数的多项式的线性组合。

因此，我们将所有（m条）样本路径在时点tn的价格stn和stn2为解释变量，将对应样本路径上的期望收益作为被解释变量，建立如下线性回归模型：
将各个资产价格样本路径带入到回归方程，就可得到期权在各个时点继续持有的价值无偏估计。

得到标的资产价格的多条样本路径后，将各路径的期权价值折现求均值，所求即为期权价格。

二.lsm方法的算法实现步骤
1、我们以单一标的资产美式看跌期权为例，详细分析lsm方法的实现步骤：
（1）monte carlo模拟生成标的资产价格过程的m条样本路径。

将时间区间[0，t]离散化，均分为n个子区间，△t=t/n。

在风险中性测度下，期望收益率为n无风险利率，即a=r，根据伊藤定理，标的资产价格过程的离散形式为：
其中，j∈[1，m]，表示第j条样本路径；因此，利用生成随机数模拟得到标的资产价格的一条样本路径st1jst2j……stnj……stnj，重复执行m次模拟，就可得到标的资产价格的样本路径矩阵sm×n。

（2）计算每条样本路径的行权策略和各时刻期权价值。

在到期
日tn=t时刻，执行期权当且仅当期权是实值的，即stnj？刍k，此时期权价值为k-stnj。

接着，来看tn-1时刻，若期权是实值的，即stn-1？刍k，则可以考虑执行期权。

但是，是否真的执行，还要考虑继续持有的期望收益，如果它小于行权获得的收益k-stn-1，则立即执行，否则，继续持有。

而持有期权的期望收益用拟合的线性回归方程求得。

同理，我们可以求得tn-2，tn-3，……，0时刻的行权决策。

对于每条路径j，最终得到一个最优停时。

（3）求期权价格。

经过m次模拟后，得到m条标的资产价格的样本路径，每条路径上的最优停时tj*，和在该时刻的期权价值
k-stj.，j∈[1，m]
美式期权的价格也是每条样本路径的期权价值按无风险利率贴
现后求均值。

贴现因子各不相同，所以应分别贴现再求均值，计算公式为：
三.lsm方法的应用举例及分析
假设标的资产初始价格s0=100，执行价格k=120，无风险利率
r=0.05，期权存取期为1年，即t=1，标的资产收益波动率
sigma=0.2，时点个数n=250，模拟路径个数m=10000，则运行以上程序matlab，将各参数值代入，可得：
下面绘制美式期权价值的模拟图：
可见，最小二乘monte carlo模拟方法可以给美式期权定价，程序简单，计算量小，为美式期权定价提供了可行的操作方法，并且
给出了数值解。

为了说明方便，本文只针对了具有单一标的资产（无红利支付）看跌期权的情形。

对于看涨期权，由金融随机分析理论知，不支付红利条件下，不提前行权的期权价值最大，即在到期时刻行权是最优的，价值的计算与欧式期权是一样的，所以不多加分析；对于具有多标的资产的美式看跌期权和路径依赖的美式期权，lsm算法的实现非常复杂，程序也相当繁琐，受知识水平限制，尚未研究出来。