光纤光栅传感器原理及应用毕业论文

摘要
光纤光栅作为近几十年来快速发展起来的新型光电子无源器件，在光纤通信和光纤传感领域得到广泛应用。

由于它具有体积小、灵活、无源、波长选择性好、带宽范围大、附加损耗小、极化不敏感、不受非线性效应影响、易与光纤系统连接以及偏振相关小等诸多优点，是一种应用前景非常广的光电子无源器件。

本论文对光纤光栅的发展、基本原理进行了详细介绍。

列举了几种光纤光栅的理论分析方法，并对耦合模理论和传输矩阵法进行了深入探讨。

还对光纤光栅的各种制作方法进行了比较，总结出它们的优缺点。

最后列举了一些光纤光栅的应用。

关键词：非均匀光纤光栅;耦合模理论;传输矩阵法;逐点写入法;光纤光栅传感器
ABSTRACT
The fiber grating is a kind of new optoelectronic of passive components, which was quickly developed and widely applied in the areas of optical fiber communication and optical fiber sensing in recent decades. Optical fiber grating has many unique features, such as little size, light weight, flexible, passive, wavelength selective, wide bandwidth, small dissipation, polarization insensitive, unaffected by nonlinear effect and easy to connect with fiber optic system etc., which is one kind of optical passive components which has wide application prospects.
This article details the development of fiber grating,the basic principle.And lists several theoretical analysis methods.It also studies coupled-mode theory and transfer matrix method deeply.It compares various production methods of fiber grating,and summarizes their advantages and disadvantages.At the last,the article lists a number of applications of the fiber grating.
Keywords:Non-uniform fiber grating;Coupled-mode theory;Transfer matrix method;Point by point writing method;Fiber grating sensor
目录
摘要 (I)
ABSTRACT (I)
1、绪论 0
2、光纤光栅的基本原理 (2)
2.1 光纤光栅 (2)
2.2 光纤光栅谱 (4)
2.3 非均匀光纤光栅 (4)
3、光纤光栅理论的分析方法 (6)
3.1 耦合模理论 (6)
3.2 传输矩阵法 (10)
4、光纤光栅的制作方法 (11)
4.1 纵向驻波干涉法 (11)
4.2 相位掩膜法 (12)
4.3 振幅掩模法 (13)
4.4
CO激光逐点写入法 (13)
2
5、光纤光栅的应用 (15)
5.1光纤激光器 (16)
5.2半导体激光波长选择与稳定器 (16)
5.3光纤放大器增益平坦化器件 (16)
5.4色散补偿与脉冲压缩 (17)
5.5光纤光栅在光通信中的其他应用] (18)
5.6光纤光栅传感器 (18)
6、总结...........................................................................................错误!未定义书签。

致谢.................................................................................................错误!未定义书签。

参考文献. (19)
1、绪论
光电子器件的进步推动了光纤通信的发展，期间出现了包括光纤光栅在内的各种光纤器件。

光纤光栅是最近几年发展非常迅速的光纤无源器件，是通过一定的方法在光纤纤芯形成永久性折射率周期性变化的光纤器件，实质上是纤芯折射率发生周期性变化的一段光纤。

一般是利用某些光纤（如纤芯掺锗的光纤）的光致折射率变化特性，通过采用紫外激光曝光的方法使纤芯的折射率发生改变。

也有用将光纤侧面抛光并和平面光栅相结合的方法制作光纤光栅。

实际上，只要在光纤纤芯或包层中沿轴向形成永久性的折射率周期或准周期性变化，都能够形成光纤光栅。

在光纤中写入光纤光栅，其基本作用是使某些波长的光的传输受到损耗或反射。

光纤光栅是近十多年来得到迅速发展的光纤器件,其应用是随着写入技术的不断改进而发展起来的，逐渐在实际中得到应用。

1978年，加拿大通信研究中心的Hill等发现纤芯掺锗的光纤具有光敏性，并利用驻波干涉法制成了世界上第一根光纤光栅[1]。

光纤的光敏性主要是指光纤的折射率在受到某些波长的激光照射后，会发生永久改变的特性。

通常情况需要紫外光照射，折射率会向着增大的方向改变。

具有光敏性的光纤主要是纤芯掺锗的光纤，受到紫外光照射后，纤芯折射率会增加，而包层折射率不变。

驻波干涉法是利用纤芯掺锗的光敏光纤，使488nm的氩离子激光在光纤中沿相反的两个方向传播，在光纤中形成一个稳定的驻波干涉条纹，由于这一波长的激光会使纤芯的折射率发生永久的改变，纤芯的折射率就会按照驻波的分布而形成周期性的永久变化，在驻波的波峰处折射率会增加，而波谷处则几乎不变。

折射率的这种周期性改变会对某一极窄带宽内的光具有极强的反射作用，而其他波长的光则可以几乎不受影响地通过，其反射特性和光栅的周期有关，这种反射在机理上服从布拉格衍射的原理，因此称为光纤布拉格光栅[2]。

布拉格父子是英国物理学家，因研究X射线晶体学而著名，他们认为晶体中整齐排列相互平行的原子可以看成衍射光栅，并推导出了晶体衍射中著名的布拉格公式。

1915年，布拉格父子共同获得诺贝尔物理学奖。

层状物质或薄膜的反射与X射线在晶体上的反射类似，因此成为布拉格反射。

早在光纤光栅以前，就把平面光波导中沿光传播方向制作的多层介质结构（这种结构称为光栅）的反射称为布拉格反射，
相应的光栅称为布拉格光栅[3]。

光纤中光栅的反射事实上也是一种层状介质的反射，因此把光纤中沿轴向分布的多层介质结构称为光纤布拉格光栅。

通常，把利用这种方法制作的光纤光栅称为“Hill gratings”[4]，其特指反射波长与写入波长相同的光栅，当时制作光栅的反射率可以达到接近100%的包和值，反射带宽可小于200MHz，这种方法虽然结构简单，但存在许多不足，只能制成反射波长为写入激光波长的光栅，还需要高掺锗量的光纤，在制作过程中要求光源非常稳定，也就是形成的驻波条纹在写入过程中保持不变，这在当时是比较高的要求。

另外，写入的光栅也较长，当时为1m左右，对温度较为敏感，因此限制了它的应用，这种方法目前已很少采用，但对光纤光栅发展具有重要意义。

在制成“Hill gratings”后的10余年里，光纤光栅的应用与制作均发展十分缓慢，由于这种制作方法及光栅本身存在的不足，限制了光栅在实际中的应用。

直到1989年，美国东哈特福德联合技术研究中心的Meltz等利用244nm的紫外光双光束全息曝光法成功地制成了光纤光栅，用两束相干光相遇时所产生的干涉条纹使光敏光纤曝光，形成折射率的周期性永久改变，从而制成光栅[3]。

与纵向驻波干涉法相比，这种方法的写入效率大大提高，并且可以通过改变两干涉光的波长和两光束之间的夹角来调整光栅的周期，易于获得所希望的布拉格反射波长，这种光栅已达到实用阶段。

但这种方法也有其缺点：一是对光源的相干性要求较高；二是对系统的稳定性要求较高。

在光纤光栅的发展过程中，掺锗光纤的载氢技术具有重要意义。

掺锗光纤本身具有光敏性，但当要求折射率改变较大时，相应就要提高纤芯的掺锗浓度这会影响光纤自身的特性。

1993年贝尔实验室的Lemaire等用光纤载氢技术增强了光纤的光敏性，这种方法适用于任何掺锗的光纤。

通过光纤的载氢能够将在不增加掺锗浓度情况下，使光纤的光敏性大大提高。

1993年，又提出了制作光纤布拉格光栅的相位掩模法，是到目前为止最为实用化的一种方法，仍被普遍采用。

这种方法的关键是相位掩模板。

利用紫外激光照射掩模板，通过掩模板的衍射形成的条文使光纤曝光而形成光栅。

同相位掩膜法制作光纤光栅的优点是工艺简单，重复性好，成品率高，便于大批量生产，光栅周期与曝光用的光源波长无关，这些优点使制作光纤光栅变得简单和实用，大大推动了光纤光栅技术的应用和发展。

缺点是相位板制作成本较高，一块相位
板只能制作一种固定周期的光纤光栅，但用光学系统放大或拉伸光纤的办法也可制作周期稍有不同的光栅。

1996年，出现了长周期光纤光栅，这种光纤的周期较长，可以在数十微米到几百微米之间。

光纤布拉格光栅具有选择性反射作用，而长周期光纤光栅则是将纤芯模（或导模）耦合到包层模，包层模在传播不远后会损耗掉，从而在透射光中形成损耗峰。

长周期光纤光栅的损耗作用也具有选择性，但其光谱要宽得多，其最早的制作方法是振幅掩模法。

1996年，Vengarsker等借用光纤布拉格光栅的相位掩模写入法，利用248nm的紫外激光，通过一块振幅掩模板照射载氢后的掺锗光纤，从而在纤芯中形成永久折射率改变，首次制成了长周期光纤光栅。

1998年，报道了采用10.6μm的CO₂激光脉冲逐点写入长周期光栅的方法，这种方法的优点是灵活性高，使用普遍的通信光纤，而且不必载氢，不用掩模板，周期容易控制，可以制作切趾光纤光栅，对光源的相干性没有要求；缺点是需要控制光栅周期，需要精确的运动控制机构，周期小时难度较大，而且受光点尺寸限制，光栅周期不能太小。

目前主要用高频CO₂激光脉冲逐点写入长周期光纤光栅。

另外，还可以用微透镜阵列，普通紫外光源等方法写入长周期光纤光栅，或电弧放电法，刻槽法，离子束写入法等，但目前主要的写入方法仍是利用紫外激光的振幅掩模法和CO₂激光逐点写入法[4]。

2、光纤光栅的基本原理
2.1 光纤光栅
常见的光纤光栅是利用光纤材料（主要是掺锗光纤）的光敏性，在纤芯形成折射率周期性的变化，从而改变光原有的传输路径，使光的方向或传输区域发生改变，相当于在光纤中形成一定带宽的滤波器或反射器（镜），通常的光纤，为了使纤芯的折射率高于包层的折射率，而在纤芯中掺入锗，包层仍是纯石英，掺入锗后的纤芯具有光敏性，纯石英则没有，因此，只有纤芯的折射率发生改变，而包层不变。

如图1所示，在纤芯中阴影部分表示折射率周期变化，且较大一些。

图1 光纤光栅示意图
光纤光栅能够将特定波长的光从一个模式耦合到其他模式中，光栅的周期和相应模式的传播常数之间需要满足一定的条件，这一条件称为谐振条件，光纤布拉格光栅和长周期光纤光栅的谐振条件均可从平面光栅方程
Λ=-λ
θθm n 12sin nsin 加以说明[5]。

其中，m 为衍射的级数，可以为零或整数；n 为光栅两侧介质的折射率；λ为光在真空中的波长；Λ为光栅的周期。

光在光纤中传输遇到光栅时，将发生衍射，只有在满足光栅方程时，才能够使干涉加强而成为新的模式在光纤中传输，而不满足光栅方程时，对其传输没有影响。

如图2所示，光纤布拉格光栅将前向传输的纤芯模耦合到后向传输的纤芯模中，这时，两个模的传播常数大小相等，符号相反，即∞==βββ--12，而且1级衍射光束较强，因此，m 取一1，则由方程Λ
=-πββ2m 12得到
Λ=∞πβ （2-1）
或 Λ=∞eff n 2λ （2-2） 以上两式就是光纤布拉格光栅的谐振条件。

图2 光纤布拉格光栅将纤芯模耦合到那后向传输的纤芯模中
图3给出了长周期光纤光栅的示意图，纤芯模被耦合到了包层模，∞=ββ1，cl 2ββ=，则由平面光栅方程，m 仍取一1，可以得到长周期光纤光栅的谐振条件为
Λ=
-∞πββ2cl （2-3） 或
()
Λ-=∞cl eff eff n n λ （2-4） 这两个式子都是常用的长周期光纤光栅的谐振条件。

图3 长周期光纤光栅将纤芯模耦合到包层模中
由于，∞
eff n 和cl eff n 相差不是很大，从Λ=∞eff n 2λ和()
Λ-=∞cl eff eff n n λ可以看出，长周期光纤光栅的周期比光纤布拉捂光栅的周期大得多，图4给出了谐振波长与光栅周期的关系。

图4 长周期光纤光栅的周期与谐振波长的关系
上述说明是一种粗略的方法，但结果和后边用耦合模理论得到的结果是一致的。

在上述说明中，为了简便，图2和图3给出的光栅，折射率的变化只占了纤芯中的一小部分区域，而实际上，折射率改变部分是整个纤芯区都变化的。

2.2 光纤光栅谱
光纤布拉格光栅对光纤中传输的光具有反射作用，反射光的光谱宽度比较窄，一般可以达到1nm 以下，也可以有几纳米。

图5是一种较典型的光纤布拉格光栅的反射谱。

长周期光纤光栅能将纤芯模耦合到包层模，相当于纤芯模受到了损耗，从而在输出端形成损耗峰。

峰的宽度较大，在数纳米到几十纳米之间，也有更宽的，另外，包层模较多，同一个光纤光栅可以将纤芯模耦合到不同的包层模，从而在一定的波长范围内有多个损耗峰。

图6是一种较典型的长周期光纤光栅的透射谱(一个损耗峰)，图7给出了长周期光纤光栅在较宽波长范围内的透射谱。

图5 光纤布拉格光栅反射谱 图6 长周期光纤光栅的透射谱
图7 长周期光纤光栅将纤芯模耦合到不同包层模形成的多损耗峰
2.3 非均匀光纤光栅
虽然光纤光栅在栅区的折射率分布具有一定的周期性，但一般来说，折射率分布因不同的制作方法而有所不同。

对阶跃光纤，无论是光纤布拉格光栅还是长周期光纤光栅，栅区的折射率分布均可写为
()2121321,,,,,r r r r r r r n n z r n n n ＞＞＞＜⎪⎩
⎪⎨⎧∆+=ϕ （2-5） 其中，r 、ϕ、z 是在柱坐标系中的坐标，z 轴沿光纤轴线方向并指向纤芯模的传播方向，r 是距光纤轴线的垂直距离，ϕ是方位角；()z r n ,,ϕ∆表示折射率的变化是r 、ϕ、z 的函数，大多数情况下，()z r n ,,ϕ∆=()z n ∆，对正弦光纤光栅，
()()()()⎩
⎨⎧⎭⎬⎫⎥⎦⎤⎢⎣⎡+Λ+=∆=∆z z m z n z n z r n φπσϕ2cos 1,,1 （2-6）
这里，Λ为光栅的周期；()z σ为光栅的慢变包络；()z φ为光栅的相移，对非相移光纤光栅，()0z =φ；1m 0≤≤。

可见，()z n ∆在最大值()()m z n +11σ和最小值()()m z n -11σ之间变化。

最大值和最小值的差为()z mn σ1，即m 影响折射率变化的对比度，通常称为条纹的可见度，一般可取1m =。

对非相移光纤光栅，有
()()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛Λ+=∆z z n z n πσ2cos 11 （2-7） 对正弦型光纤光栅，折射率变化的幅度与光栅周期均是常数，称为均匀正弦型光纤光栅，简称为均匀光纤光栅。

这时，()σσ=z 是常数，即
()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛Λ+=∆z n z n πσ2cos 11 （2-8） 这是折射率分布最简单的光纤光栅。

通常，把其他的光纤光栅称为非均匀光纤光栅。

均匀光纤光栅是一种基本的光纤光栅，其他光栅可以借助于上式，利用傅里叶级数展开的方法进行研究。

非均匀光纤光栅有啁啾光纤光栅[如图8所示]、切趾光纤光栅[如图9所示]、相移光纤光栅[如图10所示]、超结构光纤光栅或取样光纤光栅[如图11所示]、摩尔光纤光栅[如图12所示]。

此外，还有相位取样光纤光栅（如图13所示）[6]。

图8 啁啾光纤光栅
图9 切趾光纤光栅
图10 相移光纤光栅
图11 取样光纤光栅
图12 摩尔光纤光栅
图13 相位取样光纤光栅
虽然光纤布拉格光栅与长周期光纤光栅均可以有均匀、啁啾、切趾、相移等类型，但最基本的还是均匀光纤光栅。

均匀光纤光栅制作相对方便，但不能满足一些特定的要求，非均匀光纤光栅制作较为困难，但可以达到一些特定的要求，如改进边模振荡等。

均匀光纤光栅的特点是周期与调制幅度均为常数，这是最常见的光纤光栅，但边模振荡较严重。

啁啾光纤光栅的特点是周期沿轴向逐渐变化，如图14所示，这种变化一般
都较缓慢。

一般情况下，每个周期的折射率改变量保持不变。

啁啾光纤光栅比均匀光纤光栅有较大的反射带宽，还具有色散补偿能力，可用于大容量密集波分复用系统的色散补偿器件，还可用于脉冲压缩等。

图14 啁啾光纤光栅的折射率变化示意图
相移光纤光栅的特点是光栅在某些位置发生相位跳变，通常是π相位跳变，从而改变光谱的分布。

3、光纤光栅理论的分析方法
光是电磁波，符合麦克斯韦方程。

通过麦克斯韦方程组的边界条件可以分析 光纤中光的传输性质。

在理想的光纤中，这些模式之间彼此独立传输，不会有能 量耦合；而如果光纤中存在微扰时，比如折射率的不均匀或者纤芯、包层直径的 变化，某些模式之间必然会发生耦合，通常采用经典的耦合模理论来解决这一问 题。

耦合模理论通过假定微扰存在时光纤中的模式不发生变化，即仍然处于未受 扰动时的模式，并认为可以将微扰存在时的光场仍然展开为无微扰情况下光纤中 各模式的叠加，这一假定通常称为微扰近似。

另外，当用耦合模理论分析光纤光 栅时，通常还需要做同步近似来简化耦合方程组，即认为只有相互同步的两个模 式间才会发生有实际效果的耦合作用，从而忽略其它所有非同步模式的影响。

对 于正弦调制的均匀光纤光栅，即其折射率的变化量满足某个正弦函数，周期和调制幅度均为常数，其耦合模方程组具有解析解。

对于复杂的光纤光栅，目前可用 分段均匀的传输矩阵法来分析。

下面分别讨论耦合模理论法和传输矩阵法[7]。

3.1 耦合模理论[8]
光纤光栅耦合模理论是诠释光波在波导中的物理行为即波导中的同类模和不同类模之间功率交换行为的基本方法，亦是分析光纤光栅的最有效方法。

当理想波导受到某种微扰时，该波导的电极化强度矢量可看作两部分组成： ()()()t r t r t r P 0，，，P P ∆+= （3-1） 其中()t r 0，P 是未受微扰的波导中由电场()t r ，E 感生的电极化强度，()t r ，P ∆表示因介质常数ε的某种变异()r ε∆使波导受微扰后的总电极化强度与理想波导情况下的电极化强度之差。

这时的场方程应为有源的麦克斯韦方程
101H i E ωμ=⨯∇ （3-2） P i E i H ∆⋅-=⨯∇ωωε11- （3-3） 假定2E 、2H 为某一导模之场,则
202-H i E ωμ=⨯∇ （3-4）
22-E i H ωε=⨯∇ （3-5） 可以导出
()()
*21*210*211*2E E i H H i H E E H ⋅-⋅=⨯∇⋅-⨯∇⋅ωεωμ （3-6） ()
()P E i E E i H H i H E E H ∆⋅+⋅+⋅=⨯∇⋅-⨯∇⋅2*21*2101*2*21-ωωεωμ （3-7） 将以上两式相加，利用矢量运算公式便可得到
()P E i H E H E ∆⋅=⨯+⨯⋅∇*
21*2*21ω （3-8） 将算符∇分解成横向算符t ∇，和纵向算符
z ∂∂ z
i z t ∂∂+∇=∇∧ （3-9） 便可得到
()()
P E i H E H E z H E H E z t t ∆⋅=⨯+⨯∂∂+⨯+⨯⋅∇*21*2*211*2*21ω （3-10） 下面在z 等于常数的波导横截面上对上式积分，首先研究第一项。

令
()
t H E H E g 1*2*21⨯+⨯= （3-11）
g 是一个横向矢量场，利用二维散度定理，在横截面上取某一闭合曲线C ， 并让C 趋于无穷
⎰⎰⎰+∞∞∧⋅=⋅∇-c t t ds e g gdxdy g （3-12） ∧
t e 是垂直于曲线C 的单位矢量(法线矢量元)，ds 是曲线元。

当积分环C 趋于无穷时，由于模式22H E 、是导模，其场在无穷远处必然趋于零，因此 ⎰⎰+∞
∞=⋅∇-0gdxdy t （3-13） 可以得到
()⎰⎰⎰⎰+∞∞
+∞∞∆⋅=⨯+⨯∂∂-*21*2*21-Pdxdy E i dxdy H E H E z z ω （3-14） 由微扰近似可知，受微扰的场可以展开为无微扰情况下各模式的叠加，只 是展开系数不再是常数，而是随z 变化的：
()()()[]
()∑⋅+=v t i v z i v z i v e y x e e z B e z A t z y x E v v ωββ--1,,,, （3-15）
()()()[]
()∑⋅-=v t i v z i v z i v e y x h e z B e z A t z y x H v v ωββ--1,,,, （3-16）
式中()z A v 和()z B v 分别是沿+z 和一z 方向传播的第y 阶模的慢变振幅。

令
()()z i v v v e z A z a β= （3-17）
()()z i v v v e z B z b β-= （3-18）
则（3-13）、（3-14）两式可写为
()()()[]()∑⋅+=v
t i v v v e y x e z b z a t z y x E ω-1,,,, （3-19）
()()()[]()∑⋅-=v
t i v v v e y x h z b z a t z y x H ω-1,,,, （3-20）
首先讨论22H E 、为某个正向传播的模式的情况，号码记为μ，写成
()()()t z i e y x e t z y x E ωβμμ-=,,,,2 （3-21）
()()()
t z i e y x h t z y x H ωβμμ-=,,,,2 （3-22） 光纤中模式的正交关系式为
()
μμδv z v z dxdy h e i =⨯⋅⎰⎰+∞∞∧*-21 （3-23） μδv 是克朗耐克尔δ，当μ=v 时为1，否则为0。

将（3-19）和（3-20）代入（3-14）利用（3-23），可以得到
()
()()⎰⎰+∞
∞⋅∆⋅=--*4exp dxdy e P t i i z i dz z da μμμωωαβμ （3-24） 如果22H E 、表示的是一个反向传播的模式，记为μ-，则
()()()t z i e y x e t z y x E ωβμμ+=--2,,,, （3-25）
()()()
t z i e y x h t z y x H ωβμμ+=--2,,,, （3-26） 将式(3-19)、(3-20)、(3-25)、(3-26)利用正交关系式(3-23)及
反向模与正向模的关系式
()()()y x e y x e y x e z
v t v v ,,,--= （3-27） ()()()y x h y x h y x h z
v t v v ,,,-+-= （3-28） 最后可以得到
()
()()dxdy e P t i i z b i dz z db ⎰⎰+∞
∞⋅∆⋅=+--*4exp -μμμμωωβ （3-29） 将式(3-17)、(3-18)分别代入(3-24)、(3-29)，得到
()
()()⎰⎰+∞∞⋅∆⋅=-*-exp 4exp dxdy z i e P t i i dz
z dA μμμβωω （3-30） ()
()()⎰⎰+∞
∞⋅∆⋅=--*exp 4exp -dxdy z i e P t i i dz z dB μμμβωω （3-31） 我们将()t r P ,∆也分解成横向分量()t r P t ,∆和纵向分量()t r P z ,∆两部分，分 别予以讨论。

()()()[]()∑⋅+∆=∆=∆v
t i t v v v T t e y x e z b z a E t r P ωεε-1,, （3-32）
这里用到了横向分量的正交展开，式中的ε∆是位置的函数，即
()z y x ,,εε∆=∆。

由方程(4-3)可得到
()t
t z H E i 11-⨯∇=∆+εεω （3-33） 于是纵向分量()t r P z ,∆可以写成如下形式
()()()[]()
()()[]()t i t v v v v v
t i t v v v t z z e y x e z b z a e e z b z a i H i E t r P ωωεεεεεεεωε
εεωε--11,11,⋅⋅-∆+∆⋅=⋅⨯∇⋅-∆+∆-=⨯∇∆+∆-=∆=∆∑∑ （3-34） 将(3-32)、(3-34)代入(3-30)、(3-31)得
（3-35） （3-36） 式中()z A μ代表正向传播模的幅度，()z B μ代表反向传播模的幅度。

定义
⎰⎰+∞∞⋅⋅∆=-*
4μμεω
t v t v t e e dxdy K （3-37） 为横向耦合系数；
⎰⎰+∞∞⋅⋅∆+∆⋅=-*4μμε
εεεω
z v z v t e e dxdy K （3-38） 为纵向耦合系数，于是
()()[]()()[]∑∑+-+-+=v v z v t v v v v z v t v v z i K K B i z i K K A i dz
dA μμμμμμμ
ββββ-exp exp （3-39）
()()[]()
()[]∑∑++---=v
v z v t v v v v z v t v v z i K K B i z i K K A i dz dB μμμμμμμββββ-exp exp - （3-40） 式(3-39)和(3-40)称为耦合模方程组，是求解各种耦合模问题的基础。

它描述了系统中任何一个导模的慢变振幅沿传播方向的变化情况。

表明了
这种变化同波导介电常数的变化()z y x ,,ε∆、该模式的场分布以及存在于波导中 的其仙模式的关系。

3.2 传输矩阵法[9]
传输矩阵法就是对折射率非均匀变化的光栅，将其分成许多段，把整个光栅 看作是由每一段均匀光栅的级连叠加而成，每一段都用2×2的矩阵来等价表示， 这样整个非均匀光栅就可用一系列的2×2矩阵的连乘积表示，利用这个矩阵就可求出光栅的反射率[10]。

假如用一个 2×2 的矩阵k F 来描述第k 个光栅段的传输特性，对于布拉格光栅来说，则有
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--11k k k k k N M F N M （3-41） 当知道所有光栅段的传输矩阵k F 后，就可以得到整个光栅的传输特性矩阵 F 。

12100:F F F F F F N M F N M i s s s s ⋅⋅⋯⋯⋅⋅⋯⋯⋅⋅=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡- (3-42) 则光栅的反射系数为
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡===22211211
1121://F F F F F F F M N s s ρ （3-43） 对于均匀的光纤布拉格光栅，其传输矩阵为：
()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆+∆∆∆⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-∆=∧∧)sinh(cosh sinh -sinh -)sinh(cosh z i z z i z i z i z F k γγσγγγκγγκγγσγ （3-44） 其中()2122σκγ+=，z ∆为光栅段的长度，由于分段均匀传输矩阵法是基于均匀光栅的耦合模理论的，则所分光栅段长度内包含的光栅周期数则应能满足耦合模 理论近似而不能太少。

对于布拉格光栅，细分的光栅段数S 必须满足：S 远小于D eff L
n λ2。

对于非连续光栅或者相位突变光栅，则相当于在光栅中插入了一个相移特性 矩阵：
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝
⎛=2exp 002-exp k k Pk i i F ϕϕ （3-45） 对于有非均匀光纤光栅
z n eff k ∆=λπϕ22，与波长以及光栅之间的间隔长度有关； 对于相位突变光栅，2
k ϕ为常数。

4、光纤光栅的制作方法
4.1 纵向驻波干涉法
纵向驻波干涉法(内部写入法)是加拿大通信研究中心的Hill 等于1978年首次发现光纤光敏性而提出的方法[11]。

它是利用光的干涉制成光纤光栅，由氩离子激光器产生的488nm 连续波激光经分光板和聚集物镜后，通过光纤的一个端面耦合进入掺锗的单模光纤中，光纤的另一端的端面产生菲涅耳反射(反射率约为4％)，与原入射光在光纤中形成一个驻波场，驻波的能量分布使纤芯折射率分布沿光纤长度呈周期性变化。

透射光的变化由光电探测器观测，反射光的变化由光
电探测器观测。

如果光场足够强并且照射时间足够长，这个场与掺锗光纤作用会使光纤的折射率发生变化，于是，光纤中就形成了与驻波场空间分布相同的折射率全息光栅。

这个光栅在入射场消失后还可以稳定存在。

制作过程中，开始反射光较弱，只是端面的菲涅耳反射，随着时间的增加，反射光越来越强，透射光则逐渐变弱，最后几乎消失。

这种方法制作的光纤布拉格反射滤波器线宽可以很窄(<200MHz)，反射率很高，几乎可达100％，这种光栅被称为“Hill Gratings”。

但制作这种光纤光栅的效率低，需要的曝光时间较长，对光源的稳定性要求高，而且只能制作反射波长和写入波长相同的光纤布拉格光栅反射器，光栅的调谐范围很小，还由于这种布拉格反射器的光栅区较长(典型长度达1m)，因此，这种光纤布拉格光栅对力和温度特别敏感，大大限制了它的应用。

4.2 相位掩膜法
相位掩模法是将光敏光纤贴近相位掩模板，利用相位掩模板近场衍射所产生的干涉条纹在光纤中形成折射率的周期性扰动，从而形成光纤光栅，相位掩模板是基于光刻技术，利用照相平版印刷技术，在透紫外光的平玻璃板表面上蚀刻出周期性的浮雕结构。

当紫外光通过时，会产生衍射。

这个方法首先在1993年由加拿大通信研究中心的Hill和美国贝尔实验室的Anderson同时分别提出[12]，他们采用的是斜入射方法，紫外光以一定的倾角照射相位掩模板，用此方法得到的光纤光栅的周期与相位掩模板的刻蚀周期相同。

目前，更常用的方法是正入射，通过适当选择相位掩模板的刻蚀深度，可以将0级衍射光束强抑制到小于入射光束强的5％，而1
±级衍射光束的能量达到入射光能量的40％左右，所以，制作
Λ，光纤光栅时可以不考虑0级衍射光束的作用。

如果相位掩模板的周期为
mask
则光栅的周期为2/
Λ。

mask
用相位掩模法制作光纤光栅的优点是工艺简单，重复性好，成品率高，便于大批量生产，光栅周期与曝光用的光源波长无关，大大降低了对光源相干性和稳定性的要求。

还可以在一块相位掩模板下放置多根光纤，一次完成多个光栅的写入，这些优点使制作光纤光栅变得简单化和实用化，大大推动了光纤光栅技术的应用和发展。

缺点是相位掩模板制作成本较高，一块相位掩模板只能制作一种固定周期的光纤光栅，但用光学系统放大或拉伸光纤的办法也可制作周期稍有不同。