人教版高中数学选修三第二单元《随机变量及其分布》测试题(包含答案解析)(2)

一、选择题
1．某人射击一发子弹的命中率为0.8，现他射击19发子弹，理论和实践都表明，这19发子弹中命中目标的子弹数n 的概率()f n 如下表，那么在他射击完19发子弹后，其中击中目标的子弹数最大可能是（ ）
A ．14发
B ．15发
C ．16发
D ．15或16发
2．《山东省高考改革试点方案》规定：2020年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A 、B +，B 、C +、C 、D +、D 、E 共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%、16%、7%、3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[]91,100，[81,90]，[]71,80、[]61,70、[]51,60、[]41,50、
[]31,40、[]21,30、八个分数区间，得到考生的等级成绩，如果山东省某次高考模拟考试
物理科目的原始成绩X ～()50,256N ，那么D 等级的原始分最高大约为（ ）
附：①若X ～()2
,N
μσ，X Y μ
σ
-=，则Y ～()0,1N ；②当Y ～()0,1N 时，()1.30.9P Y ≤≈.
A ．23
B ．29
C ．36
D ．43
3．某种疾病的患病率为0.5%，已知在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为99%，则患该种疾病且血检呈阳性的概率为（ ） A ．0.495% B ．0.940 5%
C ．0.999 5%
D ．0.99%
4．已知随机变量()2,1X
N ，其正态分布密度曲线如图所示，若向长方形OABC 中随
机投掷1点，则该点恰好落在阴影部分的概率为（ ） 附：若随机变量()2,N ξ
μσ，则()0.6826P μσξμσ-≤≤+=，
()220.9544P μσξμσ-≤≤+=.
A ．0.1359
B ．0.7282
C ．0.6587
D ．0.8641
5．已知随机变量ξ，η的分布列如下表所示，则（ ）
ξ
1 2 3
P
13
12
16
η
1 2 3
P
16
12
13
A ．E E ξη<，D D ξη<
B ．E E ξη<，D D ξη>
C ．E E ξη<，
D D ξη= D ．
E E ξη=，D D ξη=
6．已知随机变量()2
~0,X N σ，若()10.2P X
>=，则()01P X <<的值为( )
A ．0.1
B ．0.3
C ．0.6
D ．0.4
7．甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的
概率均为3
4
，且各局比赛结果相互独立.则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（ ）
A ．
13
B ．
25
C ．
23
D ．
45
8．随机变量X 服从正态分布(
)()()2
10,12810X N P X m P X n σ->==，，≤≤，
则
12
m n
+的最小值为（ ） A ．342+B ．622+
C ．322+
D ．642+
9．一个盒子装有4件产品，其中有3件一等品，1件二等品.从中不放回的取两次，每次取出一件.设事件A 为“第一次取到的是一等品”，事件B 为“第二次取到的是一等品”.则
()|P B A =（ ）
A ．
34
B ．
13
C ．
23
D ．
12
10．抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A ：“甲骰子的点数大于3”；事件B ：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则P （B /A ）的值等于（ ） A ．
118
B ．
19
C ．
16
D ．
13
11．随机变量()~1,4X N ，若()20.2p x ≥=，则()01p x ≤≤为（ ） A ．0.2
B ．0.3
C ．0.4
D ．0.6
12．下列关于正态分布2(,)(0)N μσσ>的命题： ①正态曲线关于y 轴对称；
②当μ一定时，σ越大，正态曲线越“矮胖”，σ越小，正态曲线越“瘦高”； ③设随机变量~(2,4)X N ，则1()2
D X 的值等于2；
④当σ一定时，正态曲线的位置由μ确定，随着μ的变化曲线沿x 轴平移. 其中正确的是（ ） A ．①②
B ．③④
C ．②④
D ．①④
二、填空题
13．在一个不透明的摸奖箱中有五个分别标有1，2，3，4，5号码的大小相同的小球，现甲､乙､丙三个人依次参加摸奖活动，规定：每个人连续有放回地摸三次，若得到的三个球编号之和恰为4的倍数，则算作获奖，记获奖的人数为X ，则X 的数学期望为___________.
14．随机变量X 的取值为0、1、2，()00.2P X ==，0.4DX =，则EX =______. 15．加工某种零件需要两道工序，第一道工序出废品的概率为0.4，两道工序都出废品的概率为0.2，则在第一道工序出废品的条件下，第二道工序又出废品的概率为__________． 16．甲、乙等4人参加4100⨯米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是______.
17．某校高二学生一次数学诊断考试成绩（单位：分）X 服从正态分布(
)2
110,10
N ，从
中抽取一个同学的数学成绩ξ，记该同学的成绩90110ξ<≤为事件A ，记该同学的成绩
80100ξ<≤为事件B ，则在A 事件发生的条件下B 事件发生的概率
()P B A =______．（结果用分数表示）
附参考数据：()0.68P X μσμσ-<≤+=；()220.95P X μσμσ-<≤+=；
()330.99P X μσμσ-<≤+=．
18．从标有1，2，3，4，5的五张卡中，依次抽出2张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为________；
三、解答题
19．某高校为了加快打造一流名校步伐，生源质量不断改善.据统计，该校2014年到
2020年所招的学生高考成绩不低于600分的人数y 与对应年份代号x 的数据如下：
（1）若关于具有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程y bx a =+，并预测2021年该校所招的学生高考成绩不低于600分的人数；
（2）今有A 、B 、C 、D 四位同学报考该校，已知A 、B 、C 被录取的概率均为
13
，D 被录取的概率为
1
2
，且每位同学是否被录取相互不受影响，用X 表示此4人中被录取的人数，求X 的分布列与数学期望.
参考公式：()()
()
1
2
1
n
i
i
i n
i
i x x y y b x x ==--=
-∑∑，ˆa y bx
=-.参考数据：7
1
301i
i y
==∑，
()()7
1
140i
i
i x x y y =--=∑.
20．在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩ξ近似服从正态分布
()70,100N ．已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名．
（1）此次参赛的学生总数约为多少人?
（2）若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，则设奖的分数线约为多少分? 说明：对任何一个正态分布()2~,X N
μσ来说，通过1X Z μ
σ
-=
转化为标准正态分布
()~0,1Z N ，从而查标准正态分布表得到()()1P X X Z <=Φ． 参考数据：可供查阅的
（部分）标准正态分布表()Z Φ
21．魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974 年发明的.魔方与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议，而魔方受欢迎的程度更是智力游戏界的奇迹.通常意义下的魔方，即指三阶魔方，为
333
⨯⨯的正方体结构，由26个色块组成.常规竞速玩法是将魔方打乱，然后在最短的时间
内复原.截至2020年，三阶魔方还原官方世界纪录是由中国的杜宇生在2018年11月24日于芜湖赛打破的纪录，单次3.475秒.
（1）某魔方爱好者进行一段时间的魔方还原训练，每天魔方还原的平均速度y (秒) 与训练天数x (天)有关，经统计得到如下数据：
现用y a x
=+
作为回归方程类型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测该魔方爱好者经过长期训练后最终每天魔方还原的平均速度y 约为多少秒(精确到1) ?
参考数据（其中1
i i
z x =）
对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线ˆˆˆv
a u β=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1
22
1
ˆˆˆ,n
i i i n
i
i u v
nuv a
v u u
nu β
β==-==--∑∑. （2）现有一个复原好的三阶魔方，白面朝上，只可以扭动最外侧的六个表面.某人按规定将魔方随机扭动两次，每次均顺时针转动90︒，记顶面白色色块的个数为X ，求X 的分布列及数学期望()E X .
22．为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘制成折线图如下:
(1)已知该校有400名学生，试估计全校学生中，每天学习不足4小时的人数； (2)若从学习时间不少于4小时的学生中选取4人，设选取的男生人数为X ，求随机变量X 的分布列及均值E (X );
(3)试比较男生学习时间的方差2
1s 与女生学习时间的方差2
2s 的大小.(只需写出结论) 23．2020年5月1日起，北京市实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其它垃圾四类. 生活垃圾中有一部分可以回收利用，回收1吨废纸可再造出0.8吨好纸，降低造纸的污染排放，节省造纸能源消耗.某环保小组调查了北京市房山区某垃圾处理场2020年6月至12月生活垃圾回收情况，其中可回收物中废纸和塑料品的回收量（单位：吨）的折线图如图：
（Ⅰ）现从2020年6月至12月中随机选取1个月，求该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨的概率；
（Ⅱ）从2020年6月至12月中任意选取2个月，记X 为选取的这2个月中回收的废纸可再造好纸超过3.0吨的月份的个数. 求X 的分布列及数学期望；
(Ⅲ)假设2021年1月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量为a 吨. 当a 为何值时，自
2020年6月至2021年1月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量的方差最小.（只需写出结论，不需证明）
（注：方差()()
()
222
2
121n s x x x x x x n ⎡
⎤=-+-++-⎢
⎥⎣⎦
，其中x 为1x ，2x ，…… n x 的平
均数）
24．某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额(单位：元)，如图所示：
（1）现从去年的消费金额超过3 200元的消费者中随机抽取2人，求至少有1位消费者去年的消费金额在(3 200，4 000]内的概率；
（2）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制，详情如下表： 会员等级
消费金额
(1 600，3 200]内的消费者都将会申请办理银卡会员，消费金额在(3 200，4 800]内的消费者都将会申请办理金卡会员，消费者在申请办理会员时，需一次性缴清相应等级的消费金额，该健身机构在今年底将针对这些消费者举办消费返利活动，现有如下两种预设方案： 方案1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”给予奖励：普通会员中的“幸运之星”每人奖励500元；银卡会员中的“幸运之星”每人奖励600元；金卡会员中的“幸运之星”每人奖励800元.
方案2：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有3个白球、2个红球(球只有颜色不同)的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球，若摸到红球的总数为2，则可获得200元奖励金；若摸到红球的总数为3，则可获得300元奖励金；其他情况不给予奖励.规定每位普通会员均可参加1次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加2次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加3次摸奖游戏(每次摸奖的结果相互独立).请你预测哪一种返利活动方案该健身机构的投资较少？并说明理由.
25．假设有3箱同种型号零件，里面分别装有50件、30件、40件，而且一等品分别有
20件、12件和24件，现在任取一箱，从中不放回地先后取出两个零件，试求： （1）先取出的零件是一等品的概率； （2）两次取出的零件均为一等品的概率．
26．学校趣味运动会上增加了一项射击比赛，比赛规则如下：向A 、B 两个靶进行射击，先向A 靶射击一次，命中得1分，没有命中得0分；再向B 靶连续射击两次，如果只命中一次得2分，一次也没有命中得0分，射击B 靶如果连续命中两次则得5分.甲同学准备参赛，经过一定的训练甲同学的射击水平显著提高，目前的水平是：向A 靶射击，命中的概
率是
45；向B 靶射击，命中的概率为3
4.假设甲同学每次射击结果相互独立. （1）求甲同学恰好命中一次的概率；
（2）求甲同学获得的总分X 的分布列及数学期望.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
设第k 发子弹击中目标的概率最大，根据题意，可以表示第1k -、k 、1k +发子弹击中目
标的概率，进而可得()()1f k f k ≥+且()()1f k f k ≥-，即可得关于k 的不等式组，求解可得答案． 【详解】
根据题意，设第k 发子弹击中目标的概率最大，而19发子弹中命中目标的子弹数n 的概率
()19190.80.2k k k P n k C -⋅⋅==（0k =，1，2，
，19），
则有()()1f k f k ≥+且()()1f k f k ≥-，
即191118191919112019190.80.20.80.20.80.2
0.80.2k k k k k k
k
k k k k k
C C C C -++-----⎧⋅⋅≥⋅⋅⎨⋅⋅≥⋅⋅⎩ ，解可得1516k ≤≤ ， 即第15或16发子弹击中目标的可能性最大，
则他射完19发子弹后，击中目标的子弹最可能是第15或16发. 故选：D ． 【点睛】
本题考查n 次独立重复试验中发生k 次的概率问题，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题．
2．B
解析：B 【分析】
由于原始分与对应等级分的分布情况是相同的，由(P 等级分≥40)0.9=即有(P 原始分
≥
50
16
x -)0.9=，结合原始分满足X ～()50,256N 的正态分布即可得均值和标准差，而X Y μ
σ
-=
且()1.30.9P Y ≤≈知( 1.3)0.9P Y ≥-≈，即有
50
16
x - 1.3=-求解即可 【详解】
由题意知：X ～()50,256N 则有50μ=，16σ=
设D 等级的原始分最高大约为x ，对应的等级分为40 ，而(P 等级分
≥40)1(7%3%)0.9=-+=
∴有(P 原始分≥
50
16
x -)0.9= 而()1.30.9P Y ≤≈，由对称性知( 1.3)0.9P Y ≥-≈
∴有
50
16x - 1.3=-，即29.229x =≈ 故选：B 【点睛】
本题考查了正态分布的应用，根据两个有相同分布情况的数据集概率相等，由已知数据集上某点上的概率找到另一个数据集上有相等概率的点，即可找到等量关系，进而求点的位置。

注意正态分布的对称性应用
3．A
解析：A 【分析】
设事件A ＝“血检呈阳性”，B ＝“患该种疾病”,由题得P （B ）＝0.005，P (A |B )＝0.99， 由条件概率得P (AB )＝P （B ）P (A |B )，计算即得解. 【详解】
设事件A ＝“血检呈阳性”，B ＝“患该种疾病”． 依题意知P （B ）＝0.005，P (A |B )＝0.99， 由条件概率公式P (A |B )＝
()
()
P AB P B ， 得P (AB )＝P （B ）P (A |B )＝0.005×0.99=0.00495， 故选：A. 【点睛】
本题主要考查条件概率的计算和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
4．D
解析：D 【分析】
根据正态分布密度曲线的对称性和性质，再利用面积比的几何概型求解概率，即得解. 【详解】
由题意，根据正态分布密度曲线的对称性，可得：
()()1
(01)(22)0.13592
P X P P μσξμσμσξμσ≤≤=-≤≤+--≤≤+=
故所求的概率为10.1359
0.86411
P -==， 故选：D 【点睛】
本题考查了正态分布的图像及其应用，考查了学生概念理解，转化与划归的能力，属于基础题.
5．C
解析：C 【分析】
由题意分别求出E ξ，D ξ，E η，D η，由此能得到E ξ＜E η，D ξ＞D η． 【详解】 由题意得： E ξ111123326=⨯
+⨯+⨯=116
， D ξ22211111111151(1)(2)(3)636108
266=-
⨯+-⨯+-⨯=．
E η111131236236
=⨯
+⨯+⨯=， D η＝（1316-
）216⨯+（2136-）212⨯+（3136
-）2151
3108⨯=， ∴E ξ＜E η，D ξ=D η． 故选：C ． 【点睛】
本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查运算求解能力，是中档题．
6．D
解析：D 【分析】
根据题意随机变量(
)2
~0,X N σ可知其正态分布曲线的对称轴，再根据正态分布曲线的
对称性求解，即可得出答案． 【详解】
根据正态分布可知()
()20|111P X P X >+<<=，故()010.4P X <<=．故答案选D ． 【点睛】
本题主要考查了根据正态分布曲线的性质求指定区间的概率．
7．A
解析：A 【分析】
记事件:A 甲获得冠军，事件:B 比赛进行三局，计算出事件AB 的概率和事件A 的概率，然后由条件概率公式可得所求事件的概率为()()()
P AB P B A P A =.
【详解】
记事件:A 甲获得冠军，事件:B 比赛进行三局，
事件:AB 甲获得冠军，且比赛进行了三局，则第三局甲胜，前三局甲胜了两局， 由独立事件的概率乘法公式得()1
23139
44432
P AB C =⋅
⋅⋅=， 对于事件A ，甲获得冠军，包含两种情况：前两局甲胜和事件AB ，
()2
392743232
P A ⎛⎫∴=+=
⎪⎝⎭，()()()932132273P AB P B A P A ∴==⋅=，故选A. 【点睛】
本题考查利用条件概率公式计算事件的概率，解题时要理解所求事件的之间的关系，确定两事件之间的相对关系，并利用条件概率公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.
8．D
【分析】
利用正态密度曲线的对称性得出12
m n +=，再将代数式22m n +与12
m n +相乘，展开后
可利用基本不等式求出12
m n
+的最小值． 【详解】 由于()210,X
N σ，由正态密度曲线的对称性可知，()()128P X P X m >=<=，
所以，()()1
88102P X P X <+≤≤=，即12
m n +=，221m n ∴+=， 由基本不等式可得
(
)1212422266m n m n m n m n n m ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭
6=， 当且仅当()420,0m n m n n m
=>>
，即当n =时，等号成立， 因此，
12
m n +
的最小值为6+，故选D. 【点睛】
本题考查正态密度概率以及利用基本不等式求最值，解题关键在于利用正态密度曲线的对称性得出定值，以及对所求代数式进行配凑，以便利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于中等题．
9．C
解析：C 【分析】
利用古典概型概率公式计算出()P AB 和()P A ，然后利用条件概率公式可计算出结果． 【详解】
事件:AB 前两次取到的都是一等品，由古典概型的概率公式得()23241
2
A P A
B A ==，
由古典概型的概率公式得()3
4
P A =
，由条件概率公式得()()
()142233
P AB P B A P A =
=⨯=， 故选C. 【点睛】
本题考查条件概率公式求概率，解题时要弄清楚各事件之间的关系，关键在于灵活利用条件概率公式计算，考查运算求解能力，属于中等题．
10．C
【分析】
利用古典概型的概率公式计算出()P AB 和()P A ，然后利用条件概率公式()
P B A =
()
()
P AB P A 可计算出结果． 【详解】
事件:AB 甲的骰子的点数大于3，且甲、乙两骰子的点数之和等于7，则事件AB 包含的基本事件为()4,3、()5,2、()6,1，由古典概型的概率公式可得()316612
==⨯P AB ， 由古典概型的概率公式可得()3162
P A ==， 由条件概率公式得()()()
11
2126
P AB P B A P A ==
⨯=，故选C. 【点睛】
本题考查条件概率的计算，解题时需弄清楚各事件的基本关系，并计算出相应事件的概率， 解题的关键在于条件概率公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题．
11．B
解析：B 【解析】
分析：根据正态分布的整体对称性计算即可得结果. 详解：(0)(2)0.2,P X P X ≤=≥=
10.22
(01)0.3,2
P X -⨯∴≤≤=
= 故选B.
点睛：该题考查的是有关正态分布的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有正态分布曲线的对称性，从而求得结果.
12．C
解析：C 【解析】
分析：根据正态分布的定义，及正态分布与各参数的关系结合正态曲线的对称性，逐一分析四个命题的真假，可得答案．
详解：①正态曲线关于x μ=轴对称，故①不正确，
②当μ一定时，σ越大，正态曲线越“矮胖”，σ越小，正态曲线越“瘦高”；正确；
③设随机变量()~2,4X N ，则12D X ⎛⎫
⎪⎝⎭
的值等于1；故③不正确； ④当σ一定时，正态曲线的位置由μ确定，随着μ的变化曲线沿x 轴平移.正确.
故选C.
点睛：本题以命题的真假判断为载体考查了正态分布及正态曲线，熟练掌握正态分布的相
关概念是解答的关键．
二、填空题
13．【分析】由题意可知抽得三球编号和为4812三种情况的基本事件有31种而总事件有125种即三个球编号之和恰为4的倍数的概率为则有根据二项分布的期望公式求期望即可【详解】三个球编号之和恰为4的倍数的基本 解析：
93125
【分析】
由题意可知抽得三球编号和为4,8,12三种情况的基本事件有31种，而总事件有125种，即三个球编号之和恰为4的倍数的概率为31125，则有31
~(3,
)125
X B ，根据二项分布的期望公式求期望即可. 【详解】
三个球编号之和恰为4的倍数的基本事件：(1,1,2)有3种、(1,2,5)有6种、(1,3,4)有6种、(2,2,4)有3种、(2,3,3)有3种、(2,5,5)有3种、(3,4,5)有6种、(4,4,4)有1种，而总共有555125⨯⨯=， ∴三个球编号之和恰为4的倍数的概率为31125，由题意31
~(3,
)125
X B ， ∴X 的数学期望：3193()3125125
E X =⨯=. 故答案为：93125
. 【点睛】
关键点点睛：根据编号和分组得到三个球编号之和恰为4的倍数的基本事件数，进而确定其概率，由人数为X 服从31
(3,
)125
B 的二项分布，求期望. 14．【分析】设可得出可求出的表达式利用方差公式可求出的值即可求出的值【详解】设其中可得出解得因此故答案为：【点睛】本题考查利用随机变量方差求数学期望解题的关键就是列出方程求解考查运算求解能力属于中等题 解析：1
【分析】
设()2P X x ==，可得出()10.8P X x ==-，可求出EX 的表达式，利用方差公式可求出x 的值，即可求出EX 的值. 【详解】
设()2P X x ==，其中00.8x ≤≤，可得出()10.8P X x ==-，
()00.210.820.8EX x x x ∴=⨯+⨯-+=+，
()()()()222
0.80.20.20.8 1.20.4DX x x x x x =+⨯+-⨯-+-⨯=，解得0.2x =，
因此，0.20.81EX =+=. 故答案为：1. 【点睛】
本题考查利用随机变量方差求数学期望，解题的关键就是列出方程求解，考查运算求解能力，属于中等题.
15．05【解析】分析：利用条件概率求解详解：设第一道工序出废品为事件则第二道工序出废品为事件则根据题意可得故在第一道工序出废品的条件下第二道工序又出废品的概率即答案为05点睛：本题考查条件概率的求法属基
解析：0.5 【解析】
分析：利用条件概率求解.
详解：设第一道工序出废品为事件,A 则()0.4P A = ，第二道工序出废品为事件B ，则根据题意可得()0.2P AB =，故在第一道工序出废品的条件下，第二道工序又出废品的概率
()()
()1.2
P AB P B A P A =
= 即答案为0.5
点睛：本题考查条件概率的求法，属基础题.
16．【分析】根据古典概型的概率计算公式先计算总的基本事件数：甲不跑第一棒的基本事件数：再确定所求事件：甲不跑第一棒的条件下乙不跑第二棒的的基本事件数：即可得到答案【详解】由题得甲不跑第一棒的总的基本事件
解析：7
9
【分析】
根据古典概型的概率计算公式，先计算总的基本事件数：甲不跑第一棒的基本事件数：
1333C A ，再确定所求事件：甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的的基本事件数：
13123322C A A A -，即可得到答案.
【详解】
由题得甲不跑第一棒的总的基本事件数：13
3318C A =，
甲不跑第一棒，乙跑第二棒的基本事件有12
224A A =，
所以甲不跑第一棒，乙不跑第二棒的基本事件有1312
332214C A A A -=，
所以由古典概型的概率公式得：
在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是：147189
P =
=.
故答案为：79
. 【点睛】
本题考查古典概型概率公式的应用、利用排列组合计算基本事件数，解题关键在于求甲不跑第一棒，乙不跑第二棒的基本事件数时，利用正难则反的思想，先计算甲不跑第一棒，乙跑第二棒的基本事件数，再用总的基本事件数减去这个结果即为所求.
17．【分析】计算出和然后利用条件概率公式可得出的值【详解】由题意可知事件为所以由条件概率公式得故答案为【点睛】本题考查条件概率的计算同时也考查了正态分布原则计算概率解题时要将相应的事件转化为正态分布事件 解析：
2795
【分析】
计算出()P AB 和()P A ，然后利用条件概率公式可得出()
()()
P AB P B A P A =的值.
【详解】
由题意可知110μ=，10σ=，事件AB 为90100ξ<≤，
902μσ=-，
100μσ=-，
所以，
()()()
901002P AB P P ξμσξμσ=<≤=-<≤-()()220.950.6827
22200P X P X μσμμσμσσ-<≤+-=+=
-<≤-=， ()()()()95
901102222200
P A P P P X ξμσξμμσμσ=<≤=-<≤=
-≤+=<， 由条件概率公式得()
()()
27200272009595P AB P B A P A ==
⋅=，故答案为27
95
. 【点睛】
本题考查条件概率的计算，同时也考查了正态分布3σ原则计算概率，解题时要将相应的事件转化为正态分布事件，充分利用正态密度曲线的对称性计算，考查计算能力，属于中等题.
18．【分析】设事件A 表示第一张抽到奇数事件B 表示第二张抽取偶数则P （A ）P （AB ）利用条件概率计算公式能求出在第一次抽到奇数的情况下第二次抽到偶数的概率【详解】解：从标有12345的五张卡片中依次抽出2 解析：
1
2
【分析】
设事件A 表示“第一张抽到奇数”，事件B 表示“第二张抽取偶数”，则P （A ）35
=
，P
（AB ）323
5410
=⨯=，利用条件概率计算公式能求出在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率． 【详解】
解：从标有1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张，
设事件A 表示“第一张抽到奇数”，事件B 表示“第二张抽取偶数”，
则P （A ）35=
，P （AB ）3235410
=⨯=， 则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为：
P （A|B ）()()3P AB 1
103P A 25
=
==． 【点睛】
本题考查概率的求法，考查条件概率等基础知识，考查运算求解能力．
三、解答题
19．（1）回归直线方程为523y x =+，该高校2021年所招的学生高考成绩不低于600分的人数预测值为63人；（2）分布列见解析，数学期望()32
E X =. 【分析】
（1）求出x 、y 的值，将参考数据代入最小二乘法公式，求出b 、a 的值，可得出y 关于
x 的回归直线方程，再将8x =代入回归直线方程，即可得出结论；
（2）由题意可知，随机变量X 的可能取值有0、1、2、3、4，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的分布列，进而可计算得出()E X . 【详解】
（1）根据表中数据，计算可得1234567
47
++++++=
=x ，
29333644485259
437
y ++++++=
=，
()
()()()7
2
222
22221
321012328i
i x x =-=-+-+-++++=∑，
又
()()7
1
140i
i
i x x y y =--=∑，
()()
()
7
1
7
2
1
140
ˆ528
i
i
i i
i x x y y b
x x ==--==
=-∑∑，则ˆ435423a y bx
=-=-⨯=，
y ∴关于x 的回归直线方程为523y x =+，
令8x =，可得582363y =⨯+=，
即该高校2021年所招的学生高考成绩不低于600分的人数预测值为63人； （2）由条件可知，X 的所有可能取值为0、1、2、3、4，
()3
1140113227
P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
()23
13
1111110
11113323227
P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-⨯-+-⨯=
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()22
2133111111121113323323P X C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-⨯-+⨯⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
()3
2
323
3111117
3113233254
P X C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-+⨯⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
()3
3311143254
P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭， X ∴的分布列如下表所示：
()012342727354542
E X ∴=⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】
思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：
（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布； （2）求出每一个随机变量取值的概率；
（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率. 20．（1）526（人）；（2）83分. 【分析】
（1）由题意知9070(90)(2)10P ξ-⎛⎫<=Φ=Φ ⎪⎝⎭
，则(90)1(90)P P ξξ=-<可求，结
合对应人数可得总人数；
（2）假定设奖的分数线为x 分，由题意知7050
()10.095110526
x P x ξ-⎛⎫=-Φ=
= ⎪⎝⎭，查表得x 值.
【详解】 （1）由题意知
9070(90)1(90)11(2)10.97720.022810P P ξξ-⎛⎫
=-<=-Φ=-Φ=-= ⎪⎝⎭
，
故此次参赛的学生总数约为
12
5260.0228
≈（人）．
（2）假定设奖的分数线为x 分，由题意知
7050
()1()10.095110526x P x P x ξξ-⎛⎫=-<=-Φ=
= ⎪⎝⎭
， 即700.904910x -⎛⎫
Φ= ⎪⎝⎭
，查表得
70 1.3110x -=， 解得83.1x =，故设奖的分数线约为83分． 【点睛】
本题关键在于正确理解正态分布概率计算公式及运用.
21．（1）100
ˆ13y x
=+，每天魔方还原的平均速度y 约为13秒；（2）分布列见解析，50
9
. 【分析】
（1）利用题设中的数据清除y 的平均值，进而可以求出ˆb
的值和ˆa 的值，即可求解； （2）写出随机变量X 的可能取值，求出对应的概率，得出分布列，利用期望的公式，即可求解. 【详解】
（1）由题意，根据表格中的数据，可得99994532302421
507
y ++++++=
=，
可得7
1
7
2
21
7184.570.375055
ˆ1000.550.55
7i i
i i i z y z y
b
z z
==-⋅-⨯⨯==
==-∑∑，
所以501000.3713a y bz =-=-⨯=，
因此y 关于x 的回归方程为：100
ˆ13y
x
=+， 所以最终每天魔方还原的平均速度y 约为13秒 （2）由题意，可得随机变量X 的取值为3,4,6,9，
可得141(3)669A P X ===⨯，1422
(4)669
A P X ⨯===⨯，
()1111
42241205(6)66
369
A A A A P X ++==
==
⨯，11
221(9)669A A P X ⨯===⨯，
所以X 的分布列为
所以()346999999
E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】
求随机变量X 的期望与方差的方法及步骤： 理解随机变量X 的意义，写出X 可能的全部值； 求X 取每个值对应的概率，写出随机变量的分布列； 由期望和方差的计算公式，求得数学期望()(),E X D X ；
若随机变量X 的分布列为特殊分布列（如：两点分布、二项分布、超几何分布），可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解.
22．（1）240人；（2）分布列见解析，2；（3）2
2
12s s >. 【分析】
（1）由折线图分析可得20名学生中有12名学生每天学习不足4小时，把频率当概率可以估计校400名学生中天学习不足4小时的人数；（2）学习时间不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X 的取值为0，1，2，3，4；利用组合知识，由古典概型公式计算可得X =0，1，2，3，4的概率，进而可得随机变量X 的分布列；（3）根据折线图，看出男生、女生的学习时间的集中与分散程度，根据方差的实际意义可得答案． 【详解】
(1)由折线图可得共抽取了20人，其中男生中学习时间不足4小时的有8人，女生中学习时间不足4小时的有4人.
故可估计全校学生中每天学习时间不足4小时的人数为400×
12
20
=240. (2)学习时间不少于4小时的学生共8人，其中男生人数为4， 故X 的所有可能取值为0，1，2，3，4. 由题意可得
P (X=0)=4448170C C =，
P (X=1)=13444
8168
7035C C C ==， P (X=2)=22444
83618
7035C C C ==， P (X=3)=31444
8168
7035
C C C ==，。