全国通用2020_2022三年高考数学真题分项汇编专题09三角函数(含答案及解析)

全国通用2020_2022三年高考数学真题分项汇编：
09 三角函数
1．【2022年全国甲卷】将函数f(x)=sin(ωx+π
3)(ω>0)的图像向左平移π
2
个单位长度后
得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是（）
A．1
6B．1
4
C．1
3
D．1
2
【答案】C 【解析】【分析】
先由平移求出曲线C的解析式，再结合对称性得ωπ
2+π
3
=π
2
+kπ,k∈Z，即可求出ω的最小值.
【详解】
由题意知：曲线C为y=sin[ω(x+π
2)+π
3
]=sin(ωx+ωπ
2
+π
3
)，又C关于y轴对称，则ωπ
2
+
π3=π
2
+kπ,k∈Z，
解得ω=1
3+2k,k∈Z，又ω>0，故当k=0时，ω的最小值为1
3
.
故选：C.
2．【2022年全国甲卷】设函数f(x)=sin(ωx+π
3
)在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（）
A．[5
3,13
6
)B．[5
3
,19
6
)C．(13
6
,8
3
]D．(13
6
,19
6
]
【答案】C
【解析】
【分析】
由x的取值范围得到ωx+π
3
的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．【详解】
解：依题意可得ω>0，因为x∈(0,π)，所以ωx+π
3∈(π
3
,ωπ+π
3
)，
要使函数在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，又y=sinx，x∈(π
3
,3π)的图象如下所示：
则5π
2<ωπ+π
3
≤3π，解得13
6
<ω≤8
3
，即ω∈(13
6
,8
3
]．
故选：C．
3．【2022年全国乙卷】函数f(x)=cosx+(x+1)sinx+1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为（）
A．−π
2，π
2
B．−3π
2
，π
2
C．−π
2
，π
2
+2D．−3π
2
，π
2
+2
【答案】D
【解析】
【分析】
利用导数求得f(x)的单调区间，从而判断出f(x)在区间[0,2π]上的最小值和最大值. 【详解】
f′(x)=−sinx+sinx+(x+1)cosx=(x+1)cosx，
所以f(x)在区间(0,π
2)和(3π
2
,2π)上f′(x)>0，即f(x)单调递增；
在区间(π
2,3π
2
)上f′(x)<0，即f(x)单调递减，
又f(0)=f(2π)=2，f(π
2)=π
2
+2，f(3π
2
)=−(3π
2
+1)+1=−3π
2
，
所以f(x)在区间[0,2π]上的最小值为−3π
2，最大值为π
2
+2.
故选：D
4．【2022年新高考1卷】记函数f(x)=sin(ωx+π
4)+b(ω>0)的最小正周期为T．若2π
3
<T
<π，且y=f(x)的图象关于点(3π
2,2)中心对称，则f(π
2
)=（）
A．1 B．3
2C．5
2
D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.
【详解】
由函数的最小正周期T 满足2π
3<T <π，得2π
3<
2πω<π，解得2<ω<3，
又因为函数图象关于点(3π
2,2)对称，所以3π
2ω+π
4=kπ,k ∈Z ，且b =2， 所以ω=−1
6+2
3k,k ∈Z ，所以ω=5
2，f(x)=sin(5
2x +π
4)+2， 所以f(π
2)=sin(5
4π+π
4)+2=1. 故选：A
5．【2022年新高考2卷】若sin(α+β)+cos(α+β)=2√2cos (α+π
4)sinβ，则（ ） A ．tan(α−β)=1 B ．tan(α+β)=1 C ．tan(α−β)=−1 D ．tan(α+β)=−1
【答案】C 【解析】 【分析】
由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解. 【详解】
由已知得：sin αcos β+cos αsin β+cos αcos β−sin αsin β=2(cos α−sin α)sin β, 即：sin αcos β−cos αsin β+cos αcos β+sin αsin β=0， 即：sin (α−β)+cos (α−β)=0, 所以tan (α−β)=−1, 故选：C
6．【2021年甲卷文科】若cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈= ⎪-⎝⎭
，则tan α=（ ）
A B C D 【答案】A 【解析】 【分析】
由二倍角公式可得2sin 22sin cos tan 2cos 212sin αααααα=
=-，再结合已知可求得1
sin 4
α=，利用同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】 cos tan 22sin α
αα
=
-
2sin 22sin cos cos tan 2cos 212sin 2sin αααα
αααα
∴=
==--， 0,2
πα⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，cos 0α∴≠，2
2sin 112sin 2sin αα
α∴=
--
，解得1
sin 4
α=，
cos α
∴=sin tan cos ααα∴==. 故选：A. 【点睛】
关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sin α. 7．【2021年乙卷文科】函数()sin cos 33
x x
f x =+的最小正周期和最大值分别是（
） A ．3π B ．3π
和2 C ．6π D ．6π和2
【答案】C 【解析】 【分析】
利用辅助角公式化简()f
x ，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值. 【详解】
由题，()sin cos 3s 33334x x x x f x x π=+=+⎛+⎫
⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为
2
6
1
3
T
故选：C ．
8．【2021年乙卷文科】2
2π5π
cos cos 1212
-=（ ） A
．1
2 B
C
D 【答案】D 【解析】 【分析】
由题意结合诱导公式可得2
2
225cos cos cos sin 12
121212
π
πππ
-=-，再由二倍角公式即可得解. 【详解】 由题意，2
2
22225cos
cos cos cos cos sin 12
12122121212π
ππππππ⎛⎫
-=--=- ⎪⎝⎭
cos
6
π
==
故选：D.
9．【2021年乙卷理科】把函数()y f x =图像上所有点的横坐标缩短到原来的1
2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到函数sin 4y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图像，则()f x =
（ ） A ．7sin 212
x π⎛⎫-
⎪⎝⎭
B ．sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭
C ．7sin 212x π⎛
⎫- ⎪⎝⎭
D ．sin 212x π⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭
【答案】B 【解析】 【分析】
解法一：从函数()y f x =的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到23y f x π⎡⎤
⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，
即得2sin 34f x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，再利用换元思想求得()y f x =的解析表达式；
解法二：从函数sin 4y x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到
()y f x =的解析表达式.
【详解】
解法一：函数()y f x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
2倍，纵坐标不变，得到
(2)y f x =的图象，再把所得曲线向右平移
3π
个单位长度，应当得到23y f x π⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦的图象，
根据已知得到了函数sin 4y x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭的图象，所以
2sin 34f x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，
令23t x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭,则,234212t t x x πππ=+-=+,
所以()sin 212t f t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以()sin 212x f x π⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
；
解法二：由已知的函数sin 4y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭逆向变换，
第一步：向左平移
3π个单位长度，得到sin sin 3412y x x πππ⎛⎫⎛
⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到sin 212x y π⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
的图
象，
即为()y f x =的图象，所以()sin 212x f x π⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
.
故选：B.
10．【2021年新高考1卷】下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭单调递增的区间是
（ ） A ．0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．3,22ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
【答案】A 【解析】 【分析】 解不等式()222
6
2
k x k k Z πππππ-<-
<+
∈，利用赋值法可得出结论.
【详解】
因为函数sin y x =的单调递增区间为()22,22k k k Z ππππ⎛
⎫-+∈ ⎪⎝⎭，
对于函数()7sin 6f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，由()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，
解得()2223
3
k x k k Z ππ
ππ-
<<+
∈， 取0k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为2,
33ππ
⎛⎫- ⎪⎝⎭
， 则20,,233
πππ⎛⎫⎛⎫⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2,,233
ππππ⎛⎫⎛⎫
⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，A 选项满足条件，B 不满足条件； 取1k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为58,33ππ⎛⎫
⎪⎝⎭， 32,
,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭且358,
,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪
⎪⎝
⎭⎝⎭，358,2,233ππππ⎛⎫⎛⎫
⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，CD 选项均不满足条件. 故选：A. 【点睛】
方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sin y A ωx φ=+形式，再求
()sin y A ωx φ=+的单调区间，只需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =的相应单调区间内
即可，注意要先把ω化为正数．
11．【2021年新高考1卷】若tan 2θ=-，则()
sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（ ）
A ．65
-
B ．25
-
C ．25
D ．65
【答案】C 【解析】 【分析】
将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母(221sin cos θθ=+)，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入tan 2θ=-即可得到结果． 【详解】
将式子进行齐次化处理得：
()()()22
sin sin cos 2sin cos sin 1sin 2sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθ
+++==+++ ()2222
sin sin cos tan tan 422sin cos 1tan 145
θθθθθθθθ++-====+++． 故选：C ． 【点睛】
易错点睛：本题如果利用tan 2θ=-，求出sin ,cos θθ的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．
12．【2021年新高考2卷】北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O ，半径r 为6400km 的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为
22(1cos )S r πα=-（单位：2km ），则S 占地球表面积的百分比约为（ ）
A ．26%
B ．34%
C ．42%
D ．50%
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果. 【详解】
由题意可得，S 占地球表面积的百分比约为：
2
26400
164003600002(1.cos )1cos 44242%2
2
r r παα
π---
+==
≈=.
13．【2020年新课标1卷理科】设函数()cos π
()6
f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f
(x )的最小正周期为（ ）
A ．10π
9
B ．7π6
C ．
4π3
D ．
3π2
【答案】C 【解析】 【分析】
由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫-
⎪⎝⎭，即可得到4cos 096π
πω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭，结合4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭
是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点即可得到4962πππω-⋅+=-，即可求得3
2
ω=，再利用三角函数周期公式即可得解. 【详解】
由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
， 将它代入函数()f x 可得：4cos 09
6π
πω⎛⎫-
⋅+= ⎪⎝⎭ 又4,09π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点， 所以4962πππω-
⋅+=-，解得：32
ω= 所以函数()f x 的最小正周期为224332
T π
ππ
ω
=
=
= 故选：
C
本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题. 14．【2020年新课标1卷理科】已知 π()0,α∈
，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（ ）
A B ．23
C ．13
D 【答案】A 【解析】 【分析】
用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于cos α的一元二次方程，求解得出cos α，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论. 【详解】
3cos28cos 5αα-=，得26cos 8cos 80αα--=，
即23cos 4cos 40αα--=，解得2
cos 3
α=-或cos 2α=（舍去），
又(0,),sin απα∈∴==故选：A. 【点睛】
本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.
15．【2020年新课标2卷理科】若α为第四象限角，则（ ） A ．cos2α>0 B ．cos2α<0 C ．sin2α>0 D ．sin2α<0
【答案】D 【解析】 【分析】
由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可. 【详解】
方法一：由α为第四象限角，可得
3222,2
k k k Z π
παππ+<<+∈， 所以34244,k k k Z ππαππ+<<+∈
此时2α的终边落在第三、四象限及y 轴的非正半轴上，所以sin 20α< 故选：D.
方法二：当6π
α=-时，cos 2cos 03πα⎛⎫
=-> ⎪⎝⎭
，选项B 错误； 当3π
α=-
时，2cos 2cos 03
πα⎛⎫
=-< ⎪⎝⎭
，选项A 错误； 由α在第四象限可得：sin 0,cos 0αα<>，则sin 22sin cos 0ααα=<，选项C 错误，选项D 正确； 故选：D. 【点睛】
本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
16．【2020年新课标3卷理科】已知2tan θ–tan(θ+π
4
)=7，则tan θ=（ ）
A ．–2
B ．–1
C ．1
D ．2
【答案】D 【解析】 【分析】
利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案. 【详解】
2tan tan 74πθθ⎛
⎫-+= ⎪⎝
⎭，tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-，
令tan ,1t t θ=≠，则1271t
t t
+-=-，整理得2440t t -+=，解得2t =，即tan 2θ=. 故选：D. 【点睛】
本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.
17．【2020年新课标3卷文科】已知πsin sin =31θθ⎛
⎫
++ ⎪⎝
⎭
，则πsin =6θ⎛
⎫
+ ⎪⎝
⎭
（ ）
A ．1
2 B C ．23
D 【答案】B 【解析】 【分析】
将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值. 【详解】
由题意可得：1sin sin 12θθθ+=，
则：3sin 12θθ=1cos 2θθ+=
从而有：sin cos
cos sin
6
6
π
π
θθ+=
，
即sin 63πθ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭故选：B. 【点睛】
本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.
18．【2020年新课标3卷文科】在△ABC 中，cos C =23
，AC =4，BC =3，则tan B =（ ）
A B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】
先根据余弦定理求c ，再根据余弦定理求cos B ，最后根据同角三角函数关系求tan .B 【详解】
设,,AB c BC a CA b ===
2222
2cos 916234933
c a b ab C c =+-=+-⨯⨯⨯
=∴=
222
1cos sin tan 29a c b B B B ac +-==∴===故选：C 【点睛】
本题考查余弦定理以及同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属基础题. 19．【2022年新高考2卷】已知函数f(x)=sin(2x +φ)(0<φ<π)的图像关于点(2π3
,0)中
心对称，则（ ） A ．f(x)在区间(0,5π12
)单调递减
B ．f(x)在区间(−
π12
,11π12
)有两个极值点
C ．直线x =7π6是曲线y =f(x)的对称轴
D ．直线y =√3
2−x 是曲线y =f(x)的切线
【答案】AD 【解析】
根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出． 【详解】 由题意得：f (
2π3
)=sin (
4π3
+φ)=0，所以
4π3
+φ=k π，k ∈Z ，
即φ=−4π3
+k π,k ∈Z ，
又0<φ<π，所以k =2时，φ=2π3
，故f(x)=sin (2x +
2π3
)．
对A ，当x ∈(0,
5π
12
)时，2x +2π3
∈(
2π3
,
3π2
)，由正弦函数y =sinu 图象知y =f(x)在(0,5π12
)
上是单调递减； 对B ，当x ∈(−π12
,11π
12
)时，2x +
2π3
∈(π2,
5π
2
)，由正弦函数y =sinu 图象知y =f(x)只有1
个极值点，由2x +2π3
=3π2
，解得x =5π12
，即x =5π12
为函数的唯一极值点；
对C ，当x =7π6时，2x +2π3=3π，f(7π6)=0，直线x =7π6不是对称轴；
对D ，由y ′=2cos (2x +
2π3
)=−1得：cos (2x +
2π3
)=−1
2，
解得2x +2π3=2π3+2k π或2x +2π3=4π3+2k π,k ∈Z , 从而得：x =k π或x =π3
+k π,k ∈Z ,
所以函数y =f(x)在点(0,√3
2)处的切线斜率为k =y ′|x=0
=2cos 2π
3
=−1， 切线方程为：y −√32=−(x −0)即y =√3
2−x ．
故选：AD ．
20．【2020年新高考1卷（山东卷）】下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +
φ)= （ ）
A ．π
sin(3
x +） B ．πsin(2)3
x -
C ．π
cos(26
x +）
D ．5π
cos(
2)6
x - 【答案】BC 【解析】
首先利用周期确定ω的值，然后确定ϕ的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果. 【详解】 由函数图像可知：22362T πππ=-=，则222T ππωπ
===，所以不选A, 不妨令2ω=,
当2536212x π
ππ+
==时，1y =-∴()5322122k k Z ππϕπ⨯+=+∈， 解得：()2
23
k k ϕππ=+∈Z ，
即函数的解析式为：
2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
.
而5cos 2cos(2)66x x ππ⎛
⎫+=-- ⎪⎝
⎭
故选：BC. 【点睛】
已知f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)由ω＝
2T
π
即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ.
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
21．【2022年全国乙卷】记函数f(x)=cos(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T ，
若f(T)=√3
2
，x =π
9为f(x)的零点，则ω的最小值为____________．
【答案】3 【解析】 【分析】
首先表示出T ，根据f (T )=√3
2
求出φ，再根据x =π9
为函数的零点，即可求出ω的取值，从而
得解； 【详解】
解： 因为f (x )=cos (ωx +φ)，（ω>0，0<φ<π） 所以最小正周期T =2πω
，因为f (T )=cos (ω⋅
2πω
+φ)=cos(2π+φ)=cosφ=
√3
2
， 又0<φ<π，所以φ=π6
，即f (x )=cos (ωx +π
6
)，
又x =π9
为f (x )的零点，所以π9
ω+π6
=π2
+k π,k ∈Z ，解得ω=3+9k,k ∈Z ，
因为ω>0，所以当k =0时ωmin =3； 故答案为：3
22．【2021年甲卷文科】已知函数()()2cos f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则2f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
__
_____________.
【答案】【解析】 【分析】
首先确定函数的解析式，然后求解2f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值即可.
【详解】
由题意可得：31332,,241234T T T
ππππ
πω=
-=∴===， 当1312x π=
时，()1313
22,2126
x k k k Z πωϕϕπϕππ+=⨯
+=∴=-∈， 令1k =可得：6
π
ϕ=-
，
据此有：()52cos 2,
2cos 22cos 62266f x x f πππππ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫
=-=⨯-== ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
故答案为：
【点睛】
已知f (x )＝Acos (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)由ω＝
2T
π
即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ.
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
23．【2021年甲卷理科】已知函数()2cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则满足条件
74()()043f x f f x f ππ⎛
⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫---
> ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
的最小正整数x 为________．
【答案】2 【解析】 【分析】
先根据图象求出函数()f x 的解析式，再求出7(),()43
f f π4π
-的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得. 【详解】
由图可知313341234
T πππ=-=，即2T π
πω==，所以2ω=； 由五点法可得23
2
π
π
ϕ⨯
+=
，即6
π
ϕ=-
；
所以()2cos 26f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭.
因为7()2cos 143f π11π⎛⎫-
=-= ⎪⎝⎭，()2cos 032f 4π5π⎛⎫
== ⎪⎝⎭
；
所以由74(()())(()())043
f x f f x f ππ
--
->可得()1f x >或()0f x <； 因为()12cos 22cos 1626f πππ⎛⎫⎛⎫
=-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以，
方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足()0f x <，即cos 206x π⎛
⎫-< ⎪⎝
⎭，
解得,36
k x k k π5ππ+
<<π+∈Z ，令0k =，可得536x <<ππ
，
可得x 的最小正整数为2.
方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足()0f x <，又(2)2cos 406f π⎛
⎫=-< ⎪⎝
⎭，符合题
意，可得x 的最小正整数为2. 故答案为：2. 【点睛】
关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解ω，根据特殊点求解ϕ.
24．【2020年新课标2卷文科】若2
sin 3
x =-，则cos2x =__________．
【答案】1
9
【解析】 【分析】
直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可. 【详解】
22281
cos 212sin 12()1399x x =-=-⨯-=-=.
故答案为：1
9
.
【点睛】
本题考查了余弦的二倍角公式的应用，属于基础题.
25．【2020年新高考1卷（山东卷）】某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆
弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为C ，tan ∠ODC =3
5
，//BH DG ，
EF =12 cm ，DE=2 cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7 cm ，圆孔半径为1 cm ，则图中阴影部
分的面积为________cm 2．
【答案】5
42
π+
【解析】 【分析】
利用3
tan 5
ODC ∠=求出圆弧AB 所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形AOB 的面积，
求出直角OAH △的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得. 【详解】
设==OB OA r ，由题意7AM AN ==，12EF =，所以5NF =，
因为5AP =,所以45AGP ︒∠=， 因为//BH DG ，所以45AHO ︒∠=，
因为AG 与圆弧AB 相切于A 点，所以OA AG ⊥， 即OAH △为等腰直角三角形；
在直角OQD △中，5OQ =，7DQ =，
因为3
tan 5OQ ODC DQ ∠==，所以2125=，
解得r =
等腰直角OAH △的面积为11
42S =⨯=；
扇形AOB 的面积(2
213324
S π
π=⨯⨯=，
所以阴影部分的面积为
1215
4
22
S S
ππ
+-=+.
故答案为：
5
4
2
π+.
【点睛】
本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针.。