基于混沌系统的保密通信研究-电信科学技术第十研究所

安全与保密

基于混沌系统的保密通信研究

刘 娟

（重庆邮电大学 通信与信息工程学院 重庆 400065）

摘 要：简要介绍了一般混沌系统的概念和特点，以及其超级状态——超混沌

系统与一般混沌系统相比的优点；对混沌保密通信进行了介绍，对目前混沌保密通信技术的研究状况进行了综述；最后对进一步需要研究的问题进行了讨论。

关键字：混沌 超混沌 保密通信

混沌是二十世纪最重要的科学发现之一，被誉为继相对论和量子力学之后的第三次物理革命。这一理论揭示了有序与无序的统一、确定性与随机性的统一，几乎覆盖了一切科学领域，尤其是在物理学、电子学、力学、数学、经济学、生物学等方面。近年来，混沌理论与保密通信的结合，对通信领域的高科技发展提供了一个新的方向。

从2000年开始，国际上对混沌通信研究的步伐越来越快。“现在国际上基于混沌的通信

系统的发展己经处于成熟状态，己有几种可能的通信方案被认同和颇具特色”［1］，这个鲜明

的观点和总体性、方向性的结论更加增强了人们的信心，看到了混沌通信美好的发展前景。

一、混沌系统

混沌是非线性动力学系统所特有的一种运动形式，是在确定性系统中出现的一种貌似无规则的类随机现象。这里的确定性系统是指混沌系统由确定的动力学方程所描述；随机是指混沌本身具有内在随机性，表现为系统长期行为的不可预测性。同时，必须指出，混沌不等于混乱，它是一种貌似无序的复杂有序现象。

混沌的定义很多，比较常用的是R.L.Devaney 采用拓扑方法给出的定义。

定义1[3]：n n R R f →:称为是拓扑传递的，如对任何一对开集n R V U ⊂,，存在0>k ，使得Φ≠⋂V U f k )(。其中，)(U f k 表示迭代k 次的函数。这一定义意味着，具有拓扑传递性的动力系统不能被分解为两个在映射下不变的、非交的开集，即不能被细分或不能被分解为两个在f 下相互影响的子系统[4]。

定义2[3]：n n R R f →:有对初始条件的敏感依赖性，如存在0>δ，对任何n R x ∈和x 的任何领域N ，存在N y ∈和自然数n ，使得δ>-)()(y f x f n n 。定义2表明，具有对初始条件的敏感依赖性的映射，使得至少存在一个任意接近x 的点，在f 的反复迭代下最终要和x 分离至少为δ的距离。

定义3[3]：设V 为一合集，如果

(1) f 有对初始条件的敏感依赖性；

(2) f 是拓扑传递的；

(3) 周期点在V 中稠密。

则，V V f →:称为在V 上是混沌的。

定义3表征了混沌映射的三个要素：不可预测性，不可分解性，包含一定规律性。

定义4(连续流的混沌定义) [3]：对于系统)(x F x

= ，以0x 为初始值的解表示为x x x t =),0(),,(0ϕϕ。记N n x n n x x ∈=Γ=Γ=Γ),,()(,),,2()2(),,1()1(ϕϕϕ ，如果

),(,),2(),1(n ΓΓΓ是混沌序列，则系统)(x F x

= 是混沌的。 但是，研究混沌运动规律，了解某一系统是否会有混沌运动产生，人们往往不是通过混沌数学定义来确定，而是通过混沌的一般特征去判断、研究。因此，在这里需要描述一下混沌的主要特征。[4]

(1) 对初值的敏感依赖性系统的输出状态为混沌时，即使是以非常微小差别的初始值输入，其输出状态经过有限时间后将会以指数率相互分离。

(2) 分数维特性奇异吸引只是轨道在相空间中经过无数次的靠近与分离、拉伸与折叠形成的几何图形，具有层次结构的自相似特点。

(3) 普适性所谓普适性是指不同系统在趋向混沌状态时所表现出来的某些共同特征，它不依具体的系统方程或参数而变。

(4) Lyapunov指数的统计特性对非线性映射而言，Lyapunov指数表示n维相空间中运动轨道沿各基向量的平均指数发散率。当Lyapunov指数小于零时，轨道间的距离按指数消失，系统运动状态对应于周期运动或平衡点；当Lyapunov指数大于零时，则在初始状态相邻的轨道按指数分离，系统运动对应于混沌状态；当Lyapunov指数等于零时，各轨道间距离不变，迭代产生的点对应分岔点(即周期加倍的位置)。

根据混沌特性可知，判断一个动力学系统是否为混沌系统主要有以下四种方法：[4]

(1)运动轨迹与相图法根据Matlab的ODE程序进行仿真试验或用Runge-Kutta(龙格库达)法对系统进行仿真试验，可以得到系统的运动轨迹和相平面图，如图1所示。根据相点的运动轨迹或变化情况，可以凭经验对系统的运动特性进行初步判断。但是该方法只能得到初略的定性估计。

图1 混沌系统相图

(2)频谱分析法它的依据是纯随机性的运动包含所有可能的频谱成分，而一切非随机的运动都具有一定的频谱结构。根据功率表达式可以画出系统的功率频谱图，如果谱图具有单峰或几个峰，则该系统为周期或拟周期系统；如果谱图无明显的峰值或峰连成一片，则这个系统为湍流或混沌系统。

(3)Lyapunov指数混沌运动最基本的特征之一是运动对初始条件的敏感依赖性。而李雅普诺夫(Lyapunov)指数可以表征系统运动的特征，它沿某一方向取值的正负和大小表示长时间系统相邻轨道沿该方向平均发散或收敛的快慢程度。对于高维的动力学系统，有一组Lyapunov指数，称为Lyapunov指数谱，如图2所示。其中，每个指数对应于某一特定方向上的轨道熟练率或发散率。一般情况下，Lyapunov指数的个数等于相空间的维数。对于一个混沌系统，它的Lyapunov指数谱中至少有一个指数值为正。因此，可以通过计算Lyapunov 指数来定量判断系统的混沌特性。

图2 Lyapunov指数

(4)分岔分析法分岔理论研究非线性常微分系统由于参数的改变而引起解的不稳定性，从而导致解的数目变化的行为。如果某个动力系统结构是不稳定的，则任意小的、适当的扰动都会使系统的拓扑结构发生突然的变化，称这种质的变化为动态分岔。用这种全新的思想可以临摹系统在整个演化过程中所表现出来的大致画面，如图3所示。

图3 分岔图

二、超混沌系统

超混沌有超过一个的正的Laypunov指数，相对于一般的混沌系统有着更为复杂的动力学行为——它比混沌信号更为随机。利用它做信号载波，调制后的信号变得异常复杂，破译难度增大。在信道中传输的信号即使被攻击者截获，若想从截获的信号中重构出原超混沌系统，从而破译出信息信号是很困难的。因此，利用超混沌系统的同步来进行通信，比一般的混沌通信具有更好的保密性、更大的存储容量、信息处理能力和更强的鲁棒性。

三、混沌保密通信

混沌保密通信的基本思想是：利用混沌信号作为载波，将传输信号隐藏在混沌载波之中，或者通过符号动力学分析，赋予不同的波形以不同的信息序列，在接收端，利用混沌的属性或同步特性解调出所传输的信息。

由于混沌信号具有宽带类噪声的特点，将信息信号隐藏或叠加到混沌信号上发送后，一般接收端会以为是噪声信号，窃听者难以从中窃取到信息信号。只有通过混沌同步解调，才可以得到发送端发送的信息信号，由此达到保密的效果。[1]

其次，混沌信号还具有难以预测的特点，并对初始条件十分敏感，因而可以产生性能良好的扩频序列。利用这种特性可以非常方便地产生大量不相关的信源，从序列的有限长度不可能导出系统的初始条件，从而起到保密通信的作用。

基于以上混沌保密通信的特点，目前研究的混沌保密通信，按照处理的信息传输形式可以大致分成以下三类：

1．连续流混沌保密通信

连续流混沌保密通信属于“模—模”的通信方式，即信道上传输的是模拟信号。它分为混沌掩盖、混沌开关和混沌调制三个大的方向：

（1）混沌掩盖技术它是在发送端的混沌发生器产生的混沌信号上叠加上信息信号，通过信道发送出去；解码器利用这个传输的信号来同步另一个等价混沌系统，这个等价的混沌系统输出一个重构的混沌信号，然后从所传输信号中减去这个重构的混沌信号，以恢复信息信号。为保证同步，解码器端收到的信号中信息信号比起混沌信号应足够小[5]。

（2）混沌开关技术其编码器是由二个或多个具有不同参数的自治混沌系统组成。根