高中物理必修三 新教材 讲义 第1节 电势能和电势

第十章静电场中的能量
第1节电势能和电势
[学习目标] 1.知道静电力做功与路径无关。

2.理解电势能的概念，认识电势能的相对性。

3.理解静电力做功与电势能变化的关系。

4.知道电势的定义方法、定义式和单位。

5.通过建立电势概念的过程，理解电势是从能的角度描述电场的物理量。

知识点一静电力做功的特点电势能
如图所示，试探电荷q在电场强度为E的匀强电场中，
(1)沿直线从A移动到B，静电力做的功为多少？
(2)若q沿折线AMB从A点移动到B点，静电力做的功为多少？
(3)试猜想静电力做功有什么特点。

提示(1)静电力F＝qE，静电力与位移间的夹角为θ，静电力对试探电荷q做的功W＝Fl AB cos θ＝qEl AM。

(2)在线段AM上静电力做的功W1＝qEl AM，在线段MB上静电力做的功W2＝0，总功W＝W1＋W2＝qEl AM。

(3)静电力做功与路径无关。

❶静电力做功的特点
(1)静电力做功：在匀强电场中，静电力做功W ＝qEl cos θ。

其中θ为静电力与位移方向之间的夹角。

(2)静电力做功的特点：在静电场中移动电荷时，静电力做的功与电荷的起始位置和终止位置有关，与电荷经过的路径无关。

❷电势能
(1)定义：电荷在电场中具有的势能，用E p 表示。

(2)静电力做功与电势能变化的关系：静电力做的功等于电势能的减少量。

表达式：W AB ＝E p A －E p B 。

⎩⎨⎧静电力做正功，电势能减少；静电力做负功，电势能增加。

(3)电势能的大小：电荷在某点的电势能，等于把它从这点移动到零势能位置时静电力所做的功。

(4)零势能位置：电场中规定的电势能为0的位置，通常把电荷在离场源电荷无限远处或把电荷在大地表面的电势能规定为0。

1.对静电力做功特点的理解
静电力对电荷所做的功，与电荷的初末位置有关，与电荷经过的路径无关。

该结论适用于任何静电场。

这与重力做功的特点相似。

2.对电势能的理解
3.电势能增减的判断方法
【例1】 将带电荷量为6×10－6 C 的负电荷从电场中的A 点移到B 点，克服静电力做了3×10－5 J 的功，再从B 点移到C 点，静电力做了1.2×10－5 J 的功，则：
(1)电荷从A 点移到B 点，再从B 点移到C 点的过程中电势能改变了多少？
(2)如果规定A 点的电势能为零，则该电荷在B 点和C 点的电势能分别为多少？
(3)如果规定B 点的电势能为零，则该电荷在A 点和C 点的电势能分别为多少？ 答案 (1)增加了1.8×10－5 J (2)3×10－5 J 1.8×10－5 J
(3)－3×10－5 J －1.2×10－5 J
解析 (1)W AC ＝W AB ＋W BC ＝(－3×10－5＋1.2×10－5) J ＝－1.8×10－5 J 。

可见电势能增加了1.8×10－5 J 。

(2)如果规定A 点的电势能为零，由公式得该电荷在B 点的电势能为
E p B ＝E p A －W AB ＝0－W AB ＝3×10－5 J
同理，C 点的电势能为
E p C ＝E p A －W AC ＝0－W AC ＝1.8×10－5 J 。

(3)如果规定B 点的电势能为零，则该电荷在A 点的电势能为
E p A ′＝E p B ′＋W AB ＝0＋W AB ＝－3×10－5 J
C 点的电势能为
E p C ′＝E p B ′－W BC ＝0－W BC ＝－1.2×10－5 J 。

【训练1】 (多选)如图所示，固定在Q 点的正点电荷的电场中有M 、N 两点，
已知MQ －<NQ －。

下列叙述正确的是( )
A.若把一正点电荷从M点沿直线移到N点，则静电力对该电荷做正功，电势能减少
B.若把一正点电荷从M点沿直线移到N点，则该电荷克服静电力做功，电势能增加
C.若把一负点电荷从M点沿直线移到N点，则静电力对该电荷做正功，电势能减少
D.若把一负点电荷从M点沿直线移到N点，再从N点沿不同路径移回到M点，则该电荷电势能不变
答案AD
解析在正点电荷形成的电场中，正电荷受到的静电力沿电场线方向，从M点移到N点，静电力做正功，电势能减少，A正确，B错误；在正点电荷形成的电场中，负点电荷受到的静电力与电场线方向相反，负点电荷从M点移到N点，静电力做负功，电势能增加，C错误；把一负点电荷从M点沿直线移到N点，再从N点沿不同路径移回到M点，静电力做的总功为零，电势能不变，D正确。

知识点二电势
❶定义：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量之比。

❷公式：φ＝E p q。

❸单位：在国际单位制中，电势的单位是伏特，符号是V，1 V＝1 J/C。

❹特点
(1)相对性：电场中各点电势的高低，与所选取的0电势的位置有关。

(2)标矢性：电势是标量，只有大小，没有方向，但有正负。

❺与电场线关系：沿着电场线方向电势逐渐降低。

1.对公式φ＝E p
q的理解
(1)φ取决于电场本身；
(2)公式中的E p、q均需代入正负号。

2.电场中某点的电势是相对的，它的大小和零电势点的选取有关。

在物理学中，常取离场源电荷无限远处的电势为0，在实际应用中常取大地的电势为0。

3.电势虽然有正负，但电势是标量。

在同一电场中，电势为正值表示该点电势高于零电势，电势为负值表示该点电势低于零电势，正负号不表示方向。

4.电势高低的判断方法
(1)电场线判断法：沿电场线方向，电势越来越低。

(2)场源电荷判断法：离场源正电荷越近的点，电势越高；离场源负电荷越近的点，电势越低。

(3)电势能判断法：由φ＝E p
q知，对于正电荷，电势能越大，所在位置的电势越高；
对于负电荷，电势能越小，所在位置的电势越高。

5.电势与电势能
电势的计算
【例2】如果把电荷量为q＝＋1.0×10－8C的电荷从无限远处移到电场中的A 点，需要克服静电力做功W＝1.2×10－4 J，那么：
(1)q在A点的电势能和A点的电势各是多少？
(2)q未移入电场前，A点的电势是多少？
答案(1)1.2×10－4 J 1.2×104 V (2)1.2×104 V
＝0，解析(1)取无限远处的电势为零，电荷在无限远处的电势能也为零，即φ
∞
E p∞＝0
由W∞A＝E p∞－E p A得
E p A＝E p∞－W∞A＝0－(－1.2×10－4 J)
＝1.2×10－4 J
再由φA＝E p A
得
q
φA＝1.2×104 V。

(2)A点的电势是由电场本身决定的，跟A点是否有电荷存在无关，所以q未移入电场前，A点的电势仍为1.2×104 V。

电场强度、电势和电势能的关系
【例3】(多选)在如图所示的电场中有A、B两点，下列判断正确的是()
A.电势φA>φB，电场强度E A>E B
B.电势能φA>φB，电场强度E A<E B
C.将电荷量为q的正电荷从A点移到B点，静电力做正功，电势能减少
D.将电荷量为q的负电荷从A点移到B点，电荷具有的电势能E p A>E p B
答案BC
解析沿着电场线方向电势逐渐降低，则φA>φB，电场线密处电场强度大，则E A<E B，选项A错误，B正确；正电荷从A点移到B点，静电力做正功，电势能减少，选项C正确；负电荷从A点移到B点，静电力做负功，电势能增大，故
E p A<E p B，选项D错误。

【训练2】(多选)如图所示，在点电荷Q产生的电场中，实线MN是一条方向未标出的电场线，虚线AB是一个电子只在静电力作用下的运动轨迹。

设电子在A、B两点的加速度大小分别为a A、a B，电势能分别为E p A、E p B。

下列说法正确的是()
A.电子一定从A向B运动
B.若a A>a B，则Q靠近M端且为正电荷
C.无论Q为正电荷还是负电荷一定有E p A<E p B
D.B点电势可能高于A点电势
答案BC
解析电子在电场中做曲线运动，虚线AB是电子只在静电力作用下的运动轨迹，静电力沿电场线指向曲线的凹侧，电场的方向与静电力的方向相反，如图所示。

由所给条件无法判断电子的运动方向，故A错误；若a A>a B，说明电子在A点受到的静电力较大，A点的电场强度较大，根据点电荷的电场分布可知，靠近M 端为场源电荷的位置，应为正电荷，故B正确；无论Q为正电荷还是负电荷，一定有电势φA>φB，电子电势能E p＝－eφ，电势能是标量，所以一定有E p A<E p B，故C正确，D错误。

1.(静电力做功的特点)(多选)下列说法正确的是()
A.电荷从电场中的A点运动到B点，路径不同，静电力做功的大小就可能不同
B.电荷从电场中的某点出发，运动一段时间后，又回到了该点，则静电力做功为零
C.正电荷沿电场线运动，静电力对正电荷做正功，负电荷逆着电场线运动，静电力对负电荷做正功
D.电荷在电场中运动，因为静电力可能对电荷做功，所以能量守恒定律在电场中并不成立
答案BC
解析静电力做功和电荷运动路径无关，故A错误；静电力做功只和电荷的初、末位置有关，所以电荷从某点出发又回到了该点，静电力做功为零，故B正确；正电荷沿电场线方向运动，则正电荷受到的静电力方向和电荷的位移方向相同，故静电力对正电荷做正功，同理，负电荷逆着电场线方向运动，静电力对负电荷做正功，故C正确；电荷在电场中运动虽然有静电力做功，但是电荷的电势能和其他形式的能之间的转化仍然遵循能量守恒定律，故D错误。

2.(静电力做功和电势能)把负点电荷沿电场线方向由a点移至c点的过程中，关于静电力对电荷所做的功和电荷电势能的变化，下列说法正确的是()
A.静电力做正功，电势能增加
B.静电力做正功，电势能减少
C.静电力做负功，电势能增加
D.静电力做负功，电势能减少
答案C
解析把负点电荷沿电场线方向由a点移至c点的过程中，受力方向与位移方向相反，故静电力做负功，电势能增加，故C正确，A、B、D错误。

3.(电势能的大小计算)(2022·湖南娄底期中)在电场中，把一点电荷从A点移到B 点，克服静电力做的功为6×10－8 J，以下说法正确的是()
A.电荷在B点具有的电势能是6×10－8 J
B.电荷在B点具有的电势能是－6×10－8 J
C.电荷的电势能增加了6×10－8 J
D.电荷的电势能减少了6×10－8 J
答案C
解析电荷在电场中某点的电势能具有相对性，只有确定了零电势能点，电荷在B点的电势能才是确定的数值，故A、B错误；电荷从A点移到B点的过程中克服静电力做的功为6×10－8 J，因此电荷的电势能增加了6×10－8 J，C正确，D 错误。

4.(电场强度、电势和电势能的关系)(多选)如图所示，某区域电场线左右对称分布，M、N为对称线上的两点。

下列说法正确的是()
A.M点电势一定高于N点电势
B.M点电场强度一定大于N点电场强度
C.正电荷在M点的电势能大于在N点的电势能
D.将电子从M点移动到N点，静电力做正功
答案AC
解析沿电场线方向，电势降低，所以M点电势一定高于N点电势，A正确；电场线的疏密程度表示电场的强弱，由图可知，M点电场强度一定小于N点电场强度，B错误；正电荷q在M点的电势能E p M＝qφM，在N点的电势能E p N＝qφN，由于φM>φN，所以E p M>E p N，C正确；电子在电场中受静电力的方向沿NM指向M，故从M移动到N，静电力做负功，D错误。

题组一静电力做功和电势能
1.如图所示，在匀强电场中有A、B两点，将一电荷量为q的正点电荷从A点移到B点，第一次沿直线AB移动该电荷，静电力做功为W1；第二次沿路径ACB 移动该电荷，静电力做功为W2；第三次沿曲线ADB移动该电荷，静电力做功为W3，则()
A.W1>W2>W3
B.W1<W2<W3
C.W1＝W2＝W3
D.W1＝W2>W3
答案C
解析假设A、B两点相距为l，直线AB与电场线的夹角为θ(θ<90°)，根据功的定义可知，静电力做的功均为qEl cos θ，故沿三种路径移动该电荷，静电力做功相等，选项C正确，A、B、D错误。

2.(2022·北京昌平区期末)如图所示，在电场强度为E的匀强电场中，将电荷量为＋q的点电荷从电场中A点经B点移动到C点，其中AB⊥BC，AB＝4d，BC＝3d，则此过程中静电力所做的功为()
A.3qEd
B.4qEd
C.5qEd
D.7qEd
答案B
解析静电力做功与路径无关，只和始、末位置有关，从B点到C点静电力不做功，故静电力做功为W＝qE×4d＝4qEd，选项B正确。

3.如图所示，静电场中的一条电场线上有M、N两点，箭头代表电场的方向，则()
A.M点的电场强度大小一定比N点的大
B.电子从M点运动到N点静电力做正功
C.电子在M点的电势能比在N点的低
D.电子在M点受到的静电力大小一定比在N点的大
答案C
解析由于题中只给出了一条电场线，不能确定电场线的疏密，因此不能确定电场强度大小，也不能确定电子在M、N两点受到的静电力大小，选项A、D错误；电子从M点运动到N点，静电力做负功，电子的电势能增加，所以电子在M点的电势能比在N点的低，选项B错误，C正确。

题组二对电势的理解
4.(多选)在孤立的点电荷的电场中，下列说法正确的是()
A.电场中电场线越密的地方，电场强度越大
B.两条电场线不能相交
C.沿电场线方向电势越来越低
D.电场强度越大的地方电势也越高
答案ABC
解析电场中电场线越密的地方，电场强度越大，A正确；若两条电场线相交，在相交处电场强度就有两个方向，所以两条电场线不能相交，B正确；沿电场线方向电势越来越低，C正确；电场强度的大小与电势的大小无关，D错误。

5.将一正电荷从无穷远处移入电场中的M点，电势能减少了8.0×10－9 J，若将另一等量的负电荷从无穷远处移入电场中的N点，电势能增加了9.0×10－9J，则下列判断中正确的是()
A.φM<φN<0
B.φN>φM>0
C.φN<φM<0
D.φM>φN>0
答案C
解析取无穷远处电势为零，则正电荷在M点的电势能为－8×10－9J，负电荷在N点的电势能为9×10－9 J。

由φ＝E p
知，M点的电势φM<0，N点的电势φN<0，
q
且|φN|>|φM|，即φN<φM<0，故C正确。

6.图甲中AB是某电场中的一条电场线。

若将一负电荷从A点处由静止释放，负电荷仅在静电力作用下沿电场线从A到B运动过程中的速度—时间图像如图乙所示。

关于A、B两点的电势高低和电场强度大小关系，下列说法中正确的是()
A.φA>φB，E A>E B
B.φA>φB，E A<E B
C.φA<φB，E A>E B
D.φA<φB，E A<E B
答案C
解析负电荷从A点由静止释放能加速运动到B点，说明负电荷受到的静电力方向从A指向B，那么电场方向就是由B指向A，由于沿电场线方向电势逐渐降低，所以A、B两点的电势关系是φA<φB；负电荷从A点运动到B点的过程中，加速度是逐渐减小的，由牛顿第二定律知，负电荷从A运动到B时，受到的静电力是逐渐减小的，由E＝F
知，E A>E B，C正确。

q
题组三电场强度、电势、电势能的关系
7.(多选)关于静电场，下列说法正确的是()
A.电势等于零的物体一定不带电
B.电场强度为零的点，电势不一定为零
C.同一电场线上的各点，电势一定相等
D.负电荷沿电场线方向移动时，电势能一定增加
答案BD
解析电势的零点是人为选取的，则电势等于零的物体也可以带电，故A错误；
电势是标量，与零电势点的选取有关，所以电场强度为零的地方电势不一定为零，故B正确；沿电场线的方向电势逐渐降低，故C错误；根据公式E p＝qφ知，负电荷在电势越低的地方电势能越大，在电势越高的地方电势能越小，所以负电荷从电势高的点运动到电势低的点，电势能一定增加，故D正确。

8.(多选)将一电荷量为＋Q的小球放在不带电的金属球附近，稳定后所形成电场的电场线分布如图所示，a、b为电场中的两点，则()
A.a点的电场强度比b点的大
B.a点的电势比b点的低
C.试探电荷－q在a点的电势能比在b点的大
D.将试探电荷－q从a点移到b点的过程中，静电力做负功
答案AD
解析电场线的疏密表示电场强度的大小，据图可知，a点的电场强度比b点的电场强度大，故A正确；a点所在处的电场线从Q发出到不带电的金属球终止，所以a点的电势高于金属球的电势，而b点所在处的电场线从金属球发出到无穷远，所以金属球的电势高于b点的电势，所以a点的电势比b点的电势高，故B 错误；电势越高的地方，负电荷具有的电势能越小，即负电荷在a点的电势能较b点小，把试探电荷－q从电势能小的a点移动到电势能大的b点，电势能增加，静电力做负功，故C错误，D正确。

9.(2022·江苏泰州中学高一期中)如图所示为某电场中的一条电场线，电场线上有
A、B、C三点且AB＝BC，一电子从A点出发经B点运动到C点。

下列说法正确的是()
A.该电场是匀强电场
B.在A、B、C三点中，A点的电势最高
C.在A、B、C三点中，A点的电场强度最大
D.在A、B、C三点中，电子在A点的电势能最大
答案B
解析只有一条电场线不能确定是否为匀强电场，A错误；沿着电场线的方向电势逐渐降低，则A点的电势最高，C点的电势最低，B正确；电场线的疏密表示电场的强弱，一条电场线无法比较疏密，所以无法比较强弱，C错误；电子带负电，受力与电场方向相反，沿电场线方向，静电力对电子做负功，电势能增大，故电子在A点的电势能最小，D错误。

10.(多选)如图甲所示，A、B是一条电场线上的两点，若在某点释放一初速度为零的电子，电子仅受电场力作用，从A点运动到B点，其速度随时间变化的规律如图乙所示。

则()
A.A、B两点的电势φA＜φB
B.A、B两点的电场强度E A＝E B
C.电子在A、B两点的电势能E p A＜E p B
D.电子在A、B两点受的静电力F A＜F B
答案AD
解析由图可知，电子做初速度为零的加速度增大的加速直线运动，说明电子所受静电力增大，电子在A点受到的静电力小于在B点受到的电场力，即F A＜F B，由F＝qE可知，A点的电场强度小于B点的电场强度，即E A＜E B，故D正确，
B错误；电子由静止开始沿电场线从A运动到B，静电力的方向从A指向B，而电子带负电，则电场强度方向从B指向A，根据沿着电场线电势降低可知，A点的电势低于B点电势，即φA＜φB，故A正确；由图可知，电子的速度增大，动能增大，根据能量守恒得知，电子的电势能减小，则电子在A点的电势能大于在B点的电势能，即E p A＞E p B，故C错误。

11.如图所示的匀强电场中，有A、B、C三点，AB＝5 cm，BC＝12 cm，其中AB 沿电场方向，BC和电场方向成60°角。

一个电荷量为q＝4×10－8C的正电荷从A移到B，静电力做功为W1＝1.2×10－7 J。

求：
(1)匀强电场的电场强度E的大小；
(2)该电荷从B到C，电荷的电势能改变多少？
答案(1)60 N/C(2)减少1.44×10－7 J
解析(1)由W1＝qE|AB|得，该电场的电场强度大小为E＝
W1 q|AB|
＝1.2×10－7
4×10－8×5×10－2
N/C＝60 N/C。

(2)该电荷从B到C，静电力做功为W2＝F·|BC|cos 60°＝qE·|BC|cos 60°＝4×
10－8×60×12×10－2×0.5 J＝1.44×10－7J，所以，该过程电荷的电势能减少1.44×10－7 J。

12.如图所示，在电场强度大小E＝1×104 N/C的水平匀强电场中，有一根长l＝15 cm的绝缘细线，一端固定在O点，另一端系一个质量m＝3 g、电荷量q＝2×10－6 C的带正电小球，当细线处于水平位置时，小球从静止开始释放，g取10 m/s2。

求：
(1)小球从开始释放到到达最低点B的重力势能、电势能分别变化了多少；
(2)若取A点电势为零，则小球在B点的电势能、电势分别为多少。

答案(1)－4.5×10－3 J3×10－3 J
(2)3×10－3 J 1.5×103 V
解析(1)在该过程中，小球的重力势能变化量ΔE p＝－mgl＝－4.5×10－3J，电势能变化量ΔE p电＝Eql＝3×10－3 J。

(2)若取A点电势为零，则E p A＝qφA＝0，因ΔE p电＝E p B－E p A，故小球在B点的
＝1.5×103 V。

电势能E p B＝ΔE p电＋E p A＝3×10－3 J，所以φB＝E p B
q。