直线与圆锥曲线的位置关系 课件(62张)

由直线 l 与双曲线交于不同的两点得
1-3 2 ≠ 0,
= (-6 2k)2 + 36(1-3 2 ) = 36(1- 2 ) > 0,
1
3
故 k2≠ 且 k 2<1.①
6 2k
-9
1-3
1-32
设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=
2,x1x2=
.
由·>2 得 x1x2+y1y2>2.
直线与圆锥曲线的位置关系
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1.直线与圆锥曲线位置关系的判断方法
(1)代数法,把圆锥曲线方程与直线方程联立消去 y,整理得出关于 x 的
方程 Ax2+Bx+C=0,若圆锥曲线是双曲线或是抛物线,当 A=0 时,表示直线与
双曲线的渐近线或抛物线的轴平行;当 A≠0 时,记该一元二次方程根的判
别式为 Δ.(ⅰ)若 Δ>0 时,直线与圆锥曲线相交;(ⅱ)若 Δ=0 时,直线与圆锥曲
截的线段的中点坐标时,设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标,代入圆锥曲
线的方程并作差,从而求出直线的斜率,然后利用中点求出直线方程.“点差
法”的常见题型有:求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直
平分线问题.必须提醒的是“点差法”具有不等价性,即要考虑判别式 Δ 是否
为正数.
4.圆锥曲线的定值、最值、存在性问题很大一部分是利用等价转化思
B. -∞,-
2
2
∪
2
,+
2
∞
C.(-∞,-2 2)∪(2 2,+∞)
D.(-∞,- 2)∪( 2,+∞)
)
【答案】D
4
2
1
2
2
1

2
【解析】直线 AB 的方程为 y= x-1,与抛物线方程 x = y 联立得 x - x+ =0,

2
4

由于直线 AB 与抛物线 C 没有公共点,所以 Δ= 2 -2<0,解得 t> 2或 t<- 2,
·>2(其中 O 为原点),求 k 的取值范围.
2
2
【解】(1)设双曲线方程为 2 − 2 =1(a>0,b>0),


由已知得 a= 3,c=2.∴b=1.
2 2
故所求双曲线方程为 -y =1.
3
(2)将 y=kx+
2 2
2代入 -y =1,
3
可得(1-3k 2)x2-6 2kx-9=0,
故选 D.
2
4.斜率为 1 的直线 l 与椭圆 +y2=1 交于不同两点 A,B,则|AB|的最大值为
4
(
)
A.2
B.
4 5
5
C.
4 10
5
8 10
5
D.
【答案】C
2
5
4
4
【解析】设直线 l 的方程为 y=x+t,代入 +y2=1 消去 y 得 x2+2tx+t 2-1=0,
4· 5-2
由题意得 Δ=(2t) -5(t -1)>0,即 t <5.故弦长|AB|= 2·
而
x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+ 2)(kx2+ 2)=(k 2+1)x1x2+ 2k(x1+x2)+2=(k2+1)·
6 2k
-9
1-3 2
+ 2k·
2
+2=
1-3 2
2
3 +7
于是
3 +7
3 2-1
,
1
3
>2,解此不等式得 <k 2<3.②
3 2-1
1
由①②得 <k 2<1.
域求出参数的变化范围.
2
1.直线 y=kx-k+1 与椭圆
9
+
2
=1 的位置关系为(
4
)
A.相交
B.相切
C.相离
D.不确定
【答案】A
【解析】由于直线 y=kx-k+1=k(x-1)+1 过定点(1,1),(1,1)在椭圆内,故直线与
椭圆必相交.
2.(2012·福建泉州质检)“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个
或|MN|= 1 +
1

2 |y1-y2|=
1+
1

2
[(1 + 2 )2 -41 2 ]求距离.
(2)当直线的斜率 k 不存在时,可求出交点坐标,直接计算.
(3)若涉及直线过圆锥曲线的焦点弦问题,一般利用圆锥曲线的定义去
解决.
3.点差法:在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交和被
公共点”的(
)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】与渐近线平行的直线也与双曲线只有一个公共点.
2
1
3.已知抛物线 C 的方程为 x = y,过 A(0,-1),B(t,3)两点的直线与抛物线 C 没
2
有公共点,则实数 t 的取值范围是
(
A.(-∞,-1)∪(1,+∞)
存在的情形.
1.求证:不论
2
2
m 取何值,直线 l:mx-y-m+1=0 与椭圆 + =1 总有交点.
16
9
-- + 1 = 0,
【证法一】由
消去 y 得
2
2
+ = 1,
2
2
(-+1)
+
16
9
16
9
=1,
3
故 k 的取值范围为 -1,-
3
3
∪
3
,1
3
.
在讨论直线和圆锥曲线的位置关系时,先联立方程组,再消去
x(或 y),得到关于 y(或 x)的方程,如果是直线与圆或椭圆,则所得方程一定为
一元二次方程;如果是直线与双曲线或抛物线,则需讨论二次项系数等于
零和不等于零两种情况,只有二次方程才有判别式,另外还应注意斜率不
想求有关圆锥曲线问题中参数的取值范围,常用的处理方法有:
(1)不等式(组)的知识.根据题意结合图形列出所讨论的参数适合的不
等式(组),通过解不等式(组)得出参数的变化范围;
(2)转化为求函数的值域.把所讨论的参数作为一个变量,另一个适当的
参数作为自变量来表示这个变量,从而建立函数关系,再通过讨论函数的值
2
2
25Βιβλιοθήκη ≤4 105
.
5.若直线 y=a
2
与椭圆
3
是
.
【答案】(-2,2)
+
2
=1 恒有两个不同交点,则 a
4
的取值范围
T 题型一直
线与圆锥曲线的位置关系
例 1 已知中心在坐标原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),右顶点
为( 3,0).
(1)求双曲线 C 的方程;
(2)若直线 l:y=kx+ 2与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B,且
线相切;(ⅲ)若 Δ<0 时,直线与圆锥曲线相离.
(2)几何法,在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线,利用图象和性质
可判断直线与圆锥曲线的位置关系.
2.直线与圆锥曲线的相交弦长问题
(1)斜率为 k 的直线与圆锥曲线有两个公共点 M(x1,y1),N(x2,y2),可结合
韦达定理,代入弦长公式
|MN|= (2-1)2 + (2 -1 )2 = 1 + 2|x1-x2|= (1 + 2 )[(1 + 2 )2 -412 ],