第五章 恒定磁场

|
Mr (rr)|
A(r)
0
4
V
|r
Mr(r|)dV
0 4
V
|
Mr (rr)
|
dV
A(r)
0
4
V
|r
Mr(r|)dV
0 4
V
|
Mr (rr)
|
dV
利用下列矢量恒等式（见杨儒贵教材16页例1-6-2），
( A)dV
V
S (en A)dS
A(r)
0
4
V
|r Mr(r|)dV
S B dS
S ( A) dS
l A dl
利用矢量磁位计算磁通非常便利！
23
B(r) A(r)
A(r) ??
设 A A
A A
无旋场定义： 0
A A B
A A A 2 2 0
仅定义旋度，矢量场不惟一。
对于恒定磁场，定义 A(r) 0 库伦规范
0 4
S
M
|
(r ) r
r
en |
dS
A(r)
0
4
V
|r Mr(r|)dV
0 4
S
M
|
r(r)r
en |
dS
A(r) 0 J (r ')dV '
4 V ' R
对 比
A(r) 0 JS (r ')dS '
4 S ' R
A(r) 0 I dl '
4 l ' R
J M
J S
在无源区中， J 0 ，则
2 A 0
矢量拉普拉斯方程。
26
标量磁位
在无源区中， J 0
B 0J 0
无旋场可以表示为一个标量的梯度场。
B 0m 式中标量 m 称为标量磁位。
B 0
2m 0
根据边界条件，求解标量磁位满足的拉普拉斯方程， 可得标量磁位，然后即可求出磁感应强度。
标量磁位的应用仅限于无源区。
磁化电流 媒质发生磁化后，出现的磁矩是由于媒质中形成
“新的电流”产生的，这种电流称为磁化电流。实际 上，磁化电流是由于媒质内电子的运动方向改变，或 者产生新的运动方式形成的。但是形成磁化电流的电 子仍然被束缚在原子或分子周围，所以磁化电流又称 为束缚电流。磁化电流密度以 J表示。
利用矢量磁位与磁矩的关系 （见107页式5-42），
Js
dS’
2) 面电流密度
dZ
Js
dI dz
v0
dq dzdl
dl dt
v0
v
电
dl
JsdS ' vdS ' dqv
流
元
Jl
3)线电流密度
dl
Jl
I
v0
dq dl
dl dt
v0
v
Jldl vdl dqv
电流元与磁感应强度
电荷元
dq dl dS dV
外部电场强度 Q
E 4 r2 er
载流导体之间、永磁体之间以及载流导体与永磁 体之间的相互作用，都起源于运动电荷之间（通过 磁场）的相互作用。
永磁体间的磁现象，来源于永磁体中分子电流通过 磁场的相互作用。
2
电流元 一、电流的物理模型
1) 体电流密度
Jv
dS
Jv
dI dS
v0
dq dSdl
dl dt
v0
v
dl
JvdV vdV dqv
F 0
Idl (I dl eR )
4 l l
R2
r'
r
F
Idl 0
l
4
I dl eR l R2
F l Idl B
将磁场中电流元受力的安培力定律看作是磁场的 基础实验“定律”，以和电场中的库仑定律对应。
6
毕奥－沙伐定律
B
0
I
dl
eR
4 l R 2
作为磁感应强度的定义。
安培环路定理
l B dl 0I
( B) dS S
0
J dS
S
B 0J
真空中恒定磁场基本方程
B 0
B 0J
S B dS 0
l B dl 0 I
磁通连续性原理
安培环路定理
真空中恒定磁场为有旋无散场！
真空中电场方程与磁场方程
18
例：一根无限长同轴电缆的截面，芯线通有均匀分布 的电流I，外皮通有量值相同但方向相反的电流，试 求各部分的磁感应强度。
R
rer
zez
Idl R Irdze
B 0Ir
4
b dz a [r 2 z2 ]3/ 2 e
0I 4 r
b r2 b2
a
r2
a2
e
Idz
a
R
y
rer
P x
导线为无限长时，
B
0 I 2 r
e
例：求半径为a、电流为I的电流圆环在轴线上产生的磁感应强度。
解：取电流元 Idl
Idl
Iade
源点到场点距离
R zez aer
Idl
R
Ia(zer
aez
)d
B 0
4
Ia(zer aez )d
(z2 a2 )3/2
0Ia2
4
2 0
ez d
(a2 z2 )3/2
0 Iaz 4
2 er d
0 (a2 z2 )3/2
0 Ia 2
2(a2 z2 )3/2
ez
这是一个平行平面磁场，磁场的分布 与电缆的长度无关，也和角无关。
r<R1,内导体电流密度
J I
R12
I I
r
2
drrd
r2
I
R12 0 0
R12
2 0
B rd
0I
r2 R12
B
0 Ir 2R12
R1<r<R2,
2
0 Brd 0I
B
0 I 2 r
R2<r<R3,
I I I r 2 R22 I R32 r 2
电荷元受到的电场力
d f dqE
F Edq
电流元 dqv Jldl JsdS ' JvdV
外部磁感应强度 B?
电流元受到的磁场力
d f dqv B
F Idl B
真空中电场方程与磁场方程
Idl R Idl
？
5
安培力定律
dF
0
Id
l
(
I
dl
eR
)
4
R2
Idl R Idl
2）想像重力即为外加的磁感应强度，其方向是向下的。在重力作 用下，车轮的轴心欲与铅垂线重合。
3）进动产生时，观察到车轮所在的平面沿铅垂线呈逆时针旋转， 可见此时进动产生的磁矩是和重力（外加的磁感应强度）相反的方向， 即进动磁矩起到了减弱合成磁场的作用。
抗磁性。在正常情况下，原子中的合成磁矩为零。当外加磁场 时，电子除了自旋及轨道运动外，轨道还要围绕外加磁场发生 进动。电子进动产生的附加磁矩方向总是与外加磁场的方向相 反，导致合成磁场减弱。因此，称为抗磁性。
24
磁位微分方程
已知 B A
矢量磁位没有物理意义，仅是一个计算辅助量。
当电流分布未知时，必须求解恒定磁场方程式。
B 0J
• A 0
B A • A 2 A 0 J
2 A 0 J
矢量泊松方程。
25
矢量泊松方程
2 A 0 J
矢量A的每一标量应满足下列标量泊松方程
2 Ax 0 J x 2 Ay 0 J y 2 Az 0 J z
银、铜、铋、锌、铅及汞等为抗磁性媒质。
顺磁性。在正常情况下，原子中的合成磁矩并不为零，只是由 于热运动结果，宏观的合成磁矩为零。在外加磁场作用下，除 了引起电子进动以外，磁偶极子的磁矩方向朝着外加磁场方向 转动，导致合成磁场增强，这种磁性能称为顺磁性。如铝、锡、 镁、钨、铂及钯等。
33
电流模型 顺磁质
M
en
A(r)
0
4
V
|
r
Jr
dV |
0 4
S
|
r
JSr
dS |
J M
媒质磁化以后，穿过任一曲面S的磁化电流I ′为
I S J dS S ( M ) dS l M dl
磁化强度沿闭合回路的环量等于该闭合回路包围的总 磁化电流。
磁场强度 磁化媒质内部的磁场相当于传导电流 I 及磁化电流I′ 在真空中产生的合成磁场。
亚铁磁性。一种金属氧化物的磁化现象比铁磁介质 稍弱一些，但剩磁小，且电导率很低，这类介质称 为亚铁磁介质。例如铁氧体等。
磁化强度
为了衡量磁化程度，我们定义单位体积中磁矩的矢量和称 为磁化强度，以 M 表示，即
N
mi
M i1 V
式中 mi 为V 中第 i 个磁偶极子具有的磁矩。V 为物理无 限小体积，其尺寸远大于分子、原子的间距，而远小于媒 质及场的宏观不均匀性。
B
0 Ia2
2(a2 z2 )3/2
ez
如果观测点离圆环很远时
(a2 z 2 )3/ 2 z3
B
0 Ia2
2z3
ez
磁通连续性定理
B 0 I dl eR 0 JdV eR
4 l R2
4 V R2
B
0 4
V
J
eR R2
dV
0 4
V
J
eR R2
dV
A B B A- A B
第五章 恒定磁场
主要内容
毕奥-沙伐定律，磁化，场方程，感应定律， 电感，磁场能量，磁场力。
1，安培力定律、毕奥-沙伐定律 7，磁路
2，真空中的恒定磁场方程式
8，电磁感应定律
3，磁位
9，电感
4，媒质磁化
10，磁场能量
5，媒质中的恒定磁场方程式
11，磁场力
6，恒定磁场的边界条件
一切电磁现象皆起因于电荷及其运动。
J eR R2
eR R2
J
-
J
eR R2
磁通连续性定理
B 0 J eR dV
4 V
R2
J eR eR
R2
R2
J
-
J
eR R2
eR R2
1 R
eR R2
1 R
0
J x, y, z
J 0
B 0 恒定磁场为无散场
磁通连续性定理
B 0
V ( B)dV S B dS S B dS 0
l B d l 0 (I I )
I l M dl
B
l
0
M
dl
I
，令 B M H
0
H 称为磁场强度
煤质中的安培环路定律
l H dl I
微分形式
S ( H ) dS SJ dS
H J
(
B
M)
4 V ' R
B(r) A(r)
A(r) 矢量磁位，单位Wb/m
A(r) 0 J (r ')dV '
4 V ' R
A(r) 0 JS (r ')dS '
4 S ' R
A(r) 0 I dl '
4 l ' R
已知电流分布，利用上式可以先 求出任一点的矢量磁位，再计算 该点的磁感应强度 。
外加场Ba 合成场Ba+ Bs 媒 质 二次场Bs 磁 化
磁化结果使媒质中的合成磁场可能减弱或增 强，此与极化现象不同。
30
媒质的磁性能分为: 抗磁性 顺磁性 铁磁性 亚铁磁性
31
进动的实验现象
1）想像车轮是一个电流 环，电流沿车轮的轴心呈逆时 针旋转，此时的磁矩的方向是 以铅垂线（白线）为轴水平向 外。
z
dV'
S'
A
0m eR
4R 2
V' r - r'
r'
P
O
r y
x
dA
0 4
MdV
(r
r)
|
r
r
|3
A(r) 0 M (r r) dV 0 M ( 1 )dV
4 V | r r |3
4 V
| r r|
M
(r) ( |
r
1
r
) |
|
r
1
r
|
M (r)
dB 0 Id l eR 4 R2
电流元与其产生的场的磁感应 强度关系的定律。
历史上是作为实验定律引入的，因此按习惯称为定律。
7
例1：一根由z＝a至z＝b的有限长细导线，如图 所示。求在
xy平面上P点的磁感应强度。若a→-∞，b→∞，则P点的
磁感应强度为多少？
z b
解：由于电流元
Idl Idzez
4
V
'
J
(r
')
1 R
dV
'
由
J (r R
')
1 R
J (rHale Waihona Puke ') J (r
')
1 R
得 源点
B(r ) 0
4
V
'
J
(r R
')
1 R
J
(r
')dV
'
J (r ') 0
B(r ) 0
4
V
'
J
(r R
')
dV
'
22
B(r ) 0
4
V
'
J
(r R
')
dV
'
B(r ) 0 J (r ')dV '
媒质的磁化
28
媒质的磁化
电子围绕原子核旋转形成闭合的环形电流， 这种环形电流相当于一个磁偶极子。电子及原 子核本身自旋也相当于形成磁偶极子。
在外加磁场的作用下，这些带电粒子的运动 方向发生变化，甚至产生新的电流，导致各个磁 矩重新排列，宏观的合成磁矩不再为零，这种现 象称为磁化。
29
媒质磁化过程
定义： S B dS
称为穿过该曲面的磁通
安培环路定理
I
无限长导线产生的B：
B
0I 2r
e
L
B
B dl l
l
0 I 2 r
e
d
l
0I dl l 2 r
2
0 I 2 r
rd
0I
l B dl 0 I 安培环路定理
安培环路定理
l B dl 0I
积分为零，并不表明B一定为零。
R32 R22
R32 R22
B
0I 2r
R32 r 2 R32 R22
r>R3,
I 0 B 0
矢量磁位
B 0
A =0
A的表达式？
B A
A为矢量磁位
21
矢量磁位
B(r )
0
J (r ') eR dV'
4 V ' R 2
毕奥—萨伐定律
1 R
eR R2
B(r ) 0
L