第1课 三点共线 变式拓展+向量+命题探秘第二版一题一课

= a1 瓦；+ a200 反劣，且 A,B,C 三点共线（该直线不过原点 0)，则 S209 一（ )
A. 100
B. 101
C. 200
D. 201
方法 由 A,B,c 三点共线，可得 a1 + a200 = 1，所以 SS22。0。0 - 2 00 (a1广 a200) =100 乙
故选 A. 令 A1 = a1 ,A2 = a2017 ，求“1009 ，可编题 2. 题 2 （河北省衡水中学 2018 届高三上学期九模考试理科第 6 题）已知数列恤价为
1．图形的特征：OP,OA,OB 三向量共起点，A,P,B 三点共线，但其位置并没有上、下
（或左、右）之分；
2．公式的特征：向量瓦不，石百的系数之和等于 1（即为向量石声的系数）;
3 公式的变形若将条件变为 A0声 = A1 丽+A2 丽，即石声鸽丽＋督0百，则 A,
尸，刀三点共线，当且仅当份＋粉 1，即 A1 十 A2 = 几，其特征为左端向量的系数等于右端 两向量的系数之和；
由三点共线向量式定理，可知平面内一组基底〔皿，OB 及任一向量0尸 'OP 一 A1 OA+ A2 石百（儿 ,A2 任 R) ，则 A,P,B 三点共线，当且仅当 A +A2 = 1.
如将基底向量瓦；，石百的系数 A1 ,A2 用等差数列中的项置换，借助等差数列的对称 性，可编拟新题．
如令 A1 = a1 ,A2 = a200 ，求 S200 ，可编题 1. 题 1 (2006 年高考江西卷理科第 7 题）已知等差数列恤”｝的前 n 项和为 s,, ，若0归
注 本题也可以用排除法，由石右 =3乙右知，B,c,D 三点共线，故万苏 = A1 万百 + A2
万右，且 A1 +A2 = 1，由此排除 B,C 两个选项，又因为点 D 在线段 BC 的延长线上，故凡＜ 0,A2 >0，进一步排除选项 D，只有选项 A 满足条件．
飞编 题揭秘 ‘
视角 1 由三点共线向量式定理引出的数列问题
护 扮 ＋合 5j5.;= (2x1 2,2y1
）
课本第 100 页进一步提出探究问题：当PiP = APP2 时，点 p 的坐标是什么？ 通过探究，可得点尸坐标的向量式是
只吉
1 只不奋 几 只下补
0一尸一二书＝ 0尸1 十； ・：牛～1~0尸2.
以上课本问题，其实蕴藏着一个十分重要的定理——三点共线向量式定理．
一
3c
D
生吞 + 3
兰 3c
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0
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或者根据题设B- D
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下一、L双J '
图2
, 产题、课高考数学命题探松（ ：版）
课堂笔记
护 十石户誉) = (X1
，Yi 护2);
(2）当点尸是线段尸1 尸2 的一个三等分点（不妨取「声一音「可）时，则茄
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2 丁又干户
=：一（“生廿 1 3
当 一 J点’、尸、 ’在一‘点”、C～厂处～时'~，又~1= 又~2
一冬； 2'
当点 P 在点 A 处时’A1 = 1,A2 = 0; 当点 P 在点 B 处时，A1 = 0,A2 = 1; 当点尸在线段 Ac 上（除端点）时，0 <A2 ＜儿 <1；
当点 P 在线段 BC 上（除端点）时，0 <A1 <A2 ＜二 1;
1十几
I牛A0百
推论 2 若 P 在线段 AB 上，且 AP 一“,PB = b，则对平面内的任意一点 0，都有
茄飞气丽＋aa+b0百
推论 1参见普通高中课程标准实验教科书《数学 ・ 必修 4)（) 江苏教育出版社 2005 年 6 月第 2 版）中第 67 页例 4.
上述推论，请读者自行证明．
考题解答 ‘
等差数列，且满足瓦才 = a1 OB-1-a2017 瓦;，若入宜 =A 入艺(A E R) ，点 0为直线BC 外一点， 则“1009 一（ )
A. 3
方法 由AB = AAC(A E R）可知，A,B,C 三点共线，又〔「八 = a1 OB 十 a2017 cx ，于
尸 课堂笔记了
厂一是夏 -3果高考数学命题李军机（第二人反）‘.
生 是，a1 十 a2017=:1，所以“l 十“2017 - 2a1009 一 1，故“1009- 2 ，故选 D.
、课堂笔记
令 A1 一 a2 ,A2 = a2017 ，求 S2010 ，可编题 3.
题 3 (2018 年“江南十校”高三学生冲刺联考（二模）文科第 6 题）已知等差数列
恤衬的公差为 d，前 n 项和为 S, ,OA = a2 OB 十 a2017〔芜且AB = dBC，则 S2010 =( )
图4
乙
乙
BC+ 合丽，故选 A
令 A=2，即给定线段的一个三等分点，可编题 5.
价
题 5 (2008 年高考全国工卷理科第 3 题文科第 5 题）在△A丑c 中，丽 = C,万右－
吞．若点 D 满足BD 一 2 2 D-C ，则- AD==( )
2.. 1 八・ 了。十了‘
B 鲁c 一普吞
C
兰
生
吞
3
x
令 A1 = 1 一 A,A2 = A ，则 OP=:A1OA 十 A2 OB ，且 A1 十 A2 = 1.
向量等式①叫做直线的向量参数方程式，它在普通高中课程标准实验教科书《数学
必修 4.B 版》（人民教育出版社 2007 年 4 月第 2 版）第 97 页以例题的形式出现，其中，
实数人叫做参变数，简称参数．这一简单等式内涵深刻，我们可从如下几个方面进行理解：
） 2
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题 8 (2010 年高考全国 n 卷理科第 8 题，文科第 10 题）在△A刀c 中，点 D 在 AB
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上篇 数学课本题背景探秘｛
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第 1课 三点共线 变式拓展
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今典型考题 ‘
(2015 年高考全国工卷理科第 7 题）如图 1，设 D 为△A丑c 所在平面内一点，BC=3CD,
石三艺玉八一万～丈少一甲，，月=（＝了士
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因为八B 一 OB 一 OA=(a 十 2b）一（“十吞）= b, Ac=a 一 OA 一 (a 十 3b）一（a 十吞）＝一 2吞， 于是A右： :2A百，故 A,B'C 三点共线． 如果换个角度分析问题，从三个向量瓦；，石言,，c-u 之间的关系进行分析，探究后会发 现瓦；= a+b = 2(a+2b）一（。＋ 3b) = 2 石百一瓦芍 同 ~ ~~ 理 ~~,，(~ ,J-~ R = 令1 丁O；A宁十．舟1〔丁芜又，大〔I 只了大=‘2、丁O：B屯一吉 O只A寸.
观察上面的三个等式，可以看出每个等式右边两项的系数之和都等于 1.
背景 2 课本第 99 页例 8 给出了这样的结论： 如图 2 ，设点 P 是线段 PIP2 上的一点，P1 ,P2 的坐标分别是（Xi,
y1),(Xl 'Y2).
～、 ～ L一 ～ ~,，、．‘” 一 ，、 上，一上一．～二寸 ；不户、 ～工 ．:,.：设 ｝ BD
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2
可知
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｝ 畔5 的本质一致的问题还有题 6,题 7,题 8 ｝ 匙 6 （石家压市 2018 届高中毕业班教学质量检测（一 ）理 科第 5 题）在△ABC 中 ’
视角 2 由三角形边上的分点引出的向量问题
根JJ:J据J名＝,J推J争‘论、人
11’I在一 人△矛O、～A、B．．中蕊一’，P、、为．注直户线,.-Is
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1 只宁 一丁薄：而 OA
十 Il+AAOB ，对参数几赋值，编拟新题
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由推论 1可知，CD
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一
5
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4. 礼，A2 的含义：当 A ，尸，B 三点共线时，有川 +A2 = 1，则（A1 +A2) 石声 = A1 瓦才＋ A2 OB ，即 A1 PA 一 A2B尸，可见，依 A1 ,A2 的值可表示相关线段比；
5．点的位置：点尸的位置是随着 A1 ,A2 的变化而变化的．如图 3，设 AB 的中点为 C ，由 平面向量加法的平行四边形法则可知：
则（ )
1 庙十 拉
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图1
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李探本溯源‘
背景 1 普通高中课程标准实验教科书《数学 ・ 必修 4.A 版》（人民教育出版社 2007 年 2 月第 2 版）（以下简称课本）第 89 页例 6:
定理 已知平面内一组基底OJ ,OB 及任一向量OP,OP =A1OA 十 A2 OB (A1 ,A2 E
R) ，则 A,P,B 三点共线，当且仅当凡十 A2 一 1.
证明 A,尸，B 三点共线，当且仅当有唯一一个实数又，使
A尸一又 AB《功 OP 一 OA= 几 (OB 一 OA)(=乡 OP 一几 OB 十（1 一几）OA.
已知任意两个非零向量 a,b，试作瓦；一。十 b,石百一。十 2b,瓦亨 = a+3b，你能判断 A,B,C 三点之间的位置关系吗？为什么？
这道课本例题给出了利用向量知识判断三点共线的基本方法，欲判断 A,B,C 三点是 否共线，可以通过判断向量A古,A宜是否共线，即是否存在实数几，使A右 = 几元百成立．
吞
3 一
。
3
一
4 D. 一5
口
+
立
吞
5
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人
4 年藩之二
． 第 1课 三点共线 变式拓展
题 7 (2007 年高考全国 n 卷文科第 6 题）在△ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，
若A—D—
一
——卡 ——
2DB,CD
1 一补
＝卜 一．
一音0 CA 十久 CB ，则几一（
)
A普
兰 D．一 3
当点 P 在线段 AB 延长线上时，A1 <0,A2>1;
当点 P 在线段 BA 延长线上时，A2 <0,A1>1.
由定理，还可进一步得到以下推论．
父
厂 ＼尸
子‘二与 4
图图 33
． 第 1课 三点共线 变式拓展
推论 1 在△OAB 中，尸为直线 AB 上一点，且- AP 一久 PB ，那么石声一 +1A
A. 0
B. 1009
C. 2017
D. 2018
方法 由A宜 = dB艺可知，A,B,C 三点共线，故由瓦；一 a2 石百＋ a2017 瓦亨，可得 a2
+ a2017 = 1，一于／ 是~ S～2、。“ 1。 R= 2018(a1广 a2018）一 2018 ( a2广 a2017 ) =1009，故选 B
令 A= 1，即给定线段的中点，可编题 4.
题 4 (2006 年高考广东卷理科第 4 题）如图 4,D 是△八Bc 的边 AB 上的中点，则
向量CD:=( )
下大 1 下寸 八．一卫父之十；一吏玉气
乙
1 上
且一 Bc 一言 BA
C. B(二一 :1：一下卫玉卞气
艺
D.BC ＋合丽
方法 由推论 1, CD = 喜（(C--B＋+C瓦Aa-）) 一 1（(一B西Ca-十- BA一B-C) 一－