2023-2024学年山西省吕梁市汾阳市高二下学期第一次月考质量检测数学试题(含解析)

2023-2024学年山西省吕梁市汾阳市高二下册第一次月考数学试题
一、单选题
1．江夏一中高一年级共16个班，高二年级共15个班，从中选出一个班级担任学校星期一早晨升旗任务，共有的安排方法种数是A ．16B ．15C ．31
D ．240
【正确答案】C
直接利用分类加法原理计算，即可得答案.【详解】根据分类加法原理计算，161531N =+=.故选：C.
本题考查分类加法原理的应用，考查运算求解能力，属于基础题.2．4个班级学生从3个风景点中选择一处游览，不同的选择种数有A ．36种B ．24种C ．64种D ．81种
【正确答案】D
每个班级学生从3个风景点中选择一处游览，各有3种情况，利用分步乘法原理，即可得答案.【详解】每个班级学生从3个风景点中选择一处游览，各有3种情况，∴不同的选择种数有333381N =⨯⨯⨯=.故选：D.
本题考查分步乘法原理的应用，考查运算求解能力，属于基础题.
3．二项式2n
x x ⎛- ⎝
⎭的展开式中第7项是常数项，则n 的值是A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
【正确答案】B
【分析】利用二项展开式的通项公式，得第7项x 的指数，利用指数为零，求出n 的值．
【详解】二项式2n
x ⎛ ⎝
⎭的展开式中第7项为
()6
66666669
6+131=222n n n n n n n n T C x C x C x x x -----⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭
，由于第7项为常数项，则n ﹣9＝0，解得n ＝9
故选B．
本题考查二项展开式的通项公式的理解与应用，属于基础题．
4．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，至少有一名女医生，则不同的组队方案共有（）
A ．140种
B ．80种
C ．112种
D ．74种
【正确答案】D
先求出选3名医生的总数，再减去没有女医生的种数，即可得答案.【详解】先求出选3名医生的总数，再减去没有女医生的种数，
∴33
9574N C C =-=.
故选：D.
本题考查组合数的计算，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意从对立的角度考虑问题.5．从甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者中选派三人分别从事翻译、导游、礼仪三项不同工作，若其中乙和丙只能从事前两项工作，其余三人均能从事这三项工作，则不同的选派方案共有A ．36种B ．12种C ．18种D ．24种
【正确答案】A
利用分类加法原理，对所选的3人中分三种情况：乙和丙有2人；乙和丙有1人；都没有；再利用排列数和组合数公式计算，即可得答案.
【详解】利用分类加法原理，对所选的3人中分三种情况：
乙和丙有2人，对两个人进行排列，第三项工作再从乘下的3人中选1人，即2
231
A C ；
乙和丙有1人，则有2种情况，这个人可以从两项工作中任取一项有2种情况，则乘下的两项工作由3个人来排列，即2
322A ⋅⋅；
乙和丙都没有，三项工作就由其他3个人来进行排列，即3
3A ；
∴223
233312236N A C A A =+⋅⋅+=.
故选：A
本题考查排列数和组合数公式的应用，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意分类的标准.6．5(15)x -展开式中的第2项为（）
A ．25x -
B ．25x
C ．25
-D ．2
250x 【正确答案】A
【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确结论.【详解】5(15)x -展开式中的第2项为1
5C (5)25x x -=-⋅．故选；A
7．三名学生报名参加校园文化活动，活动共有三个项目，每人限报其中一项，则恰有两名学生报同一项目的报名方法种数有（）
A ．6种
B ．9种
C ．18种
D ．36种
【正确答案】C
【分析】根据题意首先从三名学生中选2名选报同一项目，再从三个项目中选2项项目，全排即可.
【详解】由题意可得222
33233218C C A ⋅⋅=⨯⨯=，
故选：C
8．已知n 为满足1
232727
27
27
27
C C C C S n =+++++ （3n ≥）能被9整除的正数n 的最小值，则1n
x x ⎛
⎫- ⎪
⎝
⎭的展开式中，系数最大的项为（）A ．第6项B ．第7项
C ．第11项
D ．第6项和第7项
【正确答案】B
利用二项式定理的展开式，可得S 能被9整除的正数n 的最小值是29n -=，11n =，
即11n =，111()x x
-的展开式中的通项公式：11112111111()(1)r r r r r r
r T C x C x x --+=-=-，只考虑r 为偶数的
情况，
【详解】12327
27272727
S n C C C C =++++⋯+()27
27
11n C =++-()9
911
n =-+-()
8178
999992
C C n =-+⋯++-3n ≥ ，S ∴能被9整除的正数n 的最小值是29n -=，11n ∴=．11n ∴=，
∴111()x x
-的展开式中的通项公式：11112111111()(1)r r r r r r r T C x C x x --+=-=-，
只考虑r 为偶数的情况，43511T C x =，61711T C x -=，85
911T C x -=，
可知：系数最大的项为第7项．
故选：B ．
本题考查二项式定理的应用、整除的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．
9．六名志愿者到北京、延庆、张家口三个赛区参加活动，若每个赛区两名志愿者，则安排方式共有（
）
A ．15种
B ．90种
C ．540种
D ．720种
【正确答案】B
【分析】利用乘法分步原理结合组合知识求解即可.
【详解】解：先从六名志愿者中选择两名志愿者到北京参加活动，有2
615C =种方法，再从剩下的4
名志愿者中选择2名志愿者到延庆参加活动，有246C =种方法，最后从剩下的2名志愿者中选择2
名志愿者到延庆参加活动，有2
21C =种方法.由乘法分步原理得共有1561=90⨯⨯种方法.
故选：B
10．54(1)(2)x x +-的展开式中2x 的系数为（）A ．24
B ．144
C ．-104
D ．-60
【正确答案】A
分三种情况讨论，5(1)x +出0x 项，4(2)x -出2x 项；5(1)x +出x 项，4(2)x -出x 项；5(1)x +出2x 项，
4(2)x -出0x 项，即可得答案.
【详解】分三种情况讨论：
5(1)x +出0x 项，4(2)x -出2x 项；5(1)x +出x 项，4(2)x -出x 项；5(1)x +出2x 项，4(2)x -出0x 项；
∴5422233242
344454((2)2(2)2)4C x C x C C x C x x ⋅-+⋅-+-=，
∴2x 的系数为：24.故选：A.
本题考查二项式定理求指定项的系数，考查函数与方程思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
11．安排A ，B ，C ，D ，E ，F ，共6名义工照顾甲，乙，丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工A 不安排照顾老人甲，义工B 不安排照顾老人乙，则安排方法共有A ．30种
B ．40种
C ．42种
D ．48种
【正确答案】C
利用间接法求解，首先计算出所有的安排方法，减掉A 照顾老人甲的情况和B 照顾老人乙的情况，再加回来多减一次的A 照顾老人甲的同时B 照顾老人乙的情况，从而得到结果.
【详解】6名义工照顾三位老人，每两位义工照顾一位老人共有：22
64C C 90=种安排方法
其中A 照顾老人甲的情况有：12
54C C 30=种
B 照顾老人乙的情况有：12
54C C 30=种
A 照顾老人甲，同时
B 照顾老人乙的情况有：1
1
43C C 12=种
∴符合题意的安排方法有：9030301242--+=种
本题正确选项：C
本题考查利用排列组合解决实际问题，对于限制条件较多的问题，通常采用间接法来进行求解.12．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD （边长为3个单位）的顶点A 处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为(1,2,,6)i i =⋅⋅⋅，则棋子就按逆时针方向行走i 个单位，一直循环下去.则某人抛掷三次次骰子后棋子恰好又回到点A 处的所有不同走法共有（
）
A ．21种
B ．24种
C ．25种
D ．27种
【正确答案】C
抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A 处表示三次骰子的点数之和是12，列举出在点数中三个数字能够使得和为12的1，5，6；2，4，6；3，3，6；5，5，2；4，4，4，共有4种组合，前四种组合又可以排列出3
3A 种结果，由此利用分类计数原理能得到结果．【详解】由题意知正方形ABCD （边长为3个单位）的周长是12，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A 处表示三次骰子的点数之和是12，
列举出在点数中三个数字能够使得和为12的有1，5，6；2，4，6；3，4，5；3，3，6；5，5，2；4，4，4；共有6种组合，
前三种组合1，5，6；2，4，6；3，4，5；又可以排列出3
36A =种结果，
3，3，6；5，5，2；有6种结果，4，4，4；有1种结果．根据分类计数原理知共有24125+=种结果，故选：C ．
排列与组合问题要区分开，若题目要求元素的顺序则是排列问题，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素．二、填空题
13．在同一个平面内有一组平行线共6条，另一组平行线共7条，这两组平行线相互不平行，则它们共能构成________个平行四边形.（用数字作答）【正确答案】315
【分析】从一组中任选两条直线与另一组中任选两条直线，就可以构成一个平行四边形,利用分步计数原理即得解.
【详解】从一组中任选两条直线与另一组中任选两条直线，就可以构成一个平行四边形：
因此共能构成：22
671521315C C =⨯=个平行四边形.
本题考查了排列组合问题的实际应用，考查了学生转化与划归，综合分析的能力，属于中档题.14．他在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动中华优秀传统文化创造性转化，“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年.“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望.如下图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，第10行中从左至右第5与第6个数的比值为________.
【正确答案】
5
6
第10行的数就是二项式10()a b +的展开式中各项的二项式系数，由此可得．
【详解】由题意第10行的数就是二项式10()a b +的展开式中各项的二项式系数，因此从左至右第5
与第6个数的比值为4105105
6
C C =．
故56
．本题考查数学文化，考查二项式系数与杨辉三角的关系．掌握二项式定理是解题关键．15．正八边形的对角线的条数____________.【正确答案】20
【分析】根据两点确定一条直线，所以从8个顶点中的任意两个即可,再去掉边长.
【详解】8个顶点中的任意两个的连线的条数，排除边数，故正八边形的对角线的条数是.2
8C 820
-=条.故20
16．已知()()()4
2
0122111x a a x a x -=+-+-()()3
4
3411a x a x +-+-，则3a =____.
【正确答案】32
对多项式进行变形得()444
4
4112122122x x x ⎛
⎫⎛⎫-=-
=+- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，再研究4
41
212x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭
展开式中的()31x -项，即可得答案.
【详解】对多项式进行变形得()44
4
4
4112122122x x x ⎛⎫⎛⎫
-=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
∴44142((,0,1,
,411))2r r r
r T C r x -+-=⋅= ，当3r =时，4343
342(321)2
a C -=⋅=.
故答案为.32
本题考查二项式定理求展开式指定项的系数，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.三、解答题
17．平面内有A 、B 、C 、D 共4个点．(1)以其中2个点为端点的有向线段共有多少条？(2)以其中2个点为端点的线段共有多少条？【正确答案】(1)12(2)6
【分析】（1）每2个点为端点的有向线段有2条，利用排列数公式可得结果；（2）每2个点为端点的线段只有1条，，利用组合数公式可得结果.
【详解】（1）解：每2个点为端点的有向线段有2条，故满足条件的有向线段条数为24A 4312=⨯=.
（2）解：每2个点为端点的线段只有1条，故满足条件线段条数为2443
C 62
⨯=
=.18．用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的整数，求满足下列条件的数各有多少个．(1)六位奇数；
(2)能被5整除的四位数.【正确答案】(1)288(2)108
【分析】先排个位，再排首位，最后排中间四位.
【详解】（1）先排个位，个位数字只能从1，3，5中选，有3种方法；再排首位，首位不能为0，故还有4个数字可选，有4种方法；最后排中间四位，没有其他附加条件，排列数为4!.
由分步乘法计数原理，知共有不同的排法种数为344!288⨯⨯=.
（2）能被5整除，个位只能是0或5，个位是0时，没有其他附加条件，其他三个数位的排法有35A 种；
个位是5时，首位排法有4种，再排十位与百位，有2
4A 种，所以个位是5的排法有2
44A 种.
由分类加法计数原理知共有4352
108A 4A +=种排法.
19．江夏一中将要举行校园歌手大赛，现有3男3女参加，需要安排他们的出场顺序．（结果用数字．．．．．作答．．
）（1）如果3个女生都不相邻，那么有多少种不同的出场顺序？
（2）如果女生甲在女生乙的前面（可以不相邻），那么有多少种不同的出场顺序？（3）如果3位男生都相邻，且女生甲不在第一个出场，那么有多少种不同的出场顺序？【正确答案】（1）144；（2）360；（3）108
（1）根据题意，用插空法分2步进行分析：①、先将3名男生排成一排，②、男生排好后有4个空位，在4个空位中任选3个，安排3名女生，由分步计数原理计算可得答案；
（2）根据题意，先不考虑甲乙的情况，将6人排成一排，又由女生甲在女生乙的前面和女生甲在女生乙的后面的排法是一样的，即可得答案；
（3）根据题意，分3步进行分析：①、先将3名男生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，②、将
除之外的两名女生和三名男生的整体全排列，③、分析女生甲的安排方法，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】（1）根据题意，分2步进行分析：①先将3名男生排成一排，有3
3A 种情况，
②男生排好后有4个空位，在4个空位中任选3个，安排3名女生，有3
4A 种情况，
则有33
34144A A ⨯=种不同的出场顺序；
（2）根据题意，将6人排成一排，有6
6A 种情况，
其中女生甲在女生乙的前面和女生甲在女生乙的后面的排法是一样的，
则女生甲在女生乙的前面的排法有66
22
360A A =种；
（3）根据题意，分3步进行分析：
①先将3名男生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有3
3A 种情况，②将除之外的两名女生和三名男生的整体全排列，有3
3A 种情况，③女生甲不在第一个出场，则女生甲的安排方法有1
3C 种，
则有313
333108A C A =种符合题意的安排方法．
本题考查排列、组合的应用，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意分步、分类计数原理的应用．
20．已知()7
7654320123456731x a x a x a x a x a x a x a x a -=+++++++.
（1）求4a 的值；
（2）求01234567a a a a a a a a +++++++的值；（3）求1357a a a a +++的值.
【正确答案】（1）945；（2）74；（3）8128
-（1）写出二项展开式的通项，令73r -=，即4r =代入通项公式，即可得答案；
（2）01234567||||||||||||||||a a a a a a a a +++++++即
7(31)x +展开式的各项系数和，令1x =，可得结论．
（3）令7()(31)f x x =-，再求出(1)f 和(1)f -，可得1357a a a a +++的值．
【详解】（1）∵717(3)
(1),0,,7
r r
r r T C x r -+==⋅- 令73r -=，即4r =，∴743
43945a C ==．
（2）01234567||||||||||||||||a a a a a a a a +++++++，即
7(31)x +展开式的各项系数和，在7(31)x +展开式中，令1x =，可得
77
01234567||||||||||||||||[311]4
a a a a a a a a +++++++=⨯+=．
（3）令7()(31)f x x =-，
则01234567(1)f a a a a a a a a =+++++++，
01234567(1)f a a a a a a a a -=-+-+-+-+，
77
13572()(1)(1)24a a a a f f ∴+++=+-=-，
6131357228128a a a a ∴+++=-=-．
本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题．
21．已知二项式()2n
x n
*⎛+∈ ⎝
N 的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5，按要求完
成以下问题：（1）求n 的值；
（2）求展开式中常数项；
（3）计算式子06152433425160
66666662222222C C C C C C C ++++++的值．
【正确答案】（1）6n =；（2）60；（3）63．
【分析】（1）由题意利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，可得12:2:5n n C C =，由此求得
n 的值．
（2）在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项．（3）令1x =代入计算可得．【详解】解：（1）二项式*(2()n
x n N
∈的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是12:2:5n n C C =，即()51n n n =-，解得6n =或0n =（舍去）．
（2）解：由（1）知6n =，∴6
22n x x
⎛⎛= ⎝
⎝，∴()3666216622r r r r r r r T C x C x
---+==，由3602
r -=，得4r =，∴展开式中常数项2646260C -=⋅．（3）解：令1x =得061524334251606666666622222223C C C C C C C ++++++=．
22．袋中有10个大小、材质都相同的小球，其中红球3个，白球7个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.求：
（Ⅰ）第一次摸到红球的概率；
（Ⅱ）在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率；
（Ⅲ）第二次摸到红球的概率.
【正确答案】（Ⅰ）310；（Ⅱ）29；（Ⅲ）310
.（Ⅰ）求出基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数，从而可得所求的概率．
（Ⅱ）第一次摸到红球后，还余下2个红球和7个白球，同（Ⅰ）可求概率．
（Ⅲ）根据（Ⅰ）（Ⅱ）利用全概率公式可求第二次摸到红球的概率．
【详解】设事件A ：第一次摸到红球；事件B ：第二次摸到红球，则事件A ：第一次摸到白球.
（Ⅰ）第一次从10个球中摸一个共10种不同的结果，其中是红球的结果共3种，所以3()10
P A =.（Ⅱ）第一次摸到红球的条件下，剩下的9个球中有2个红球，7个白球，第二次从这9个球中摸一个共9种不同的结果，其中是红球的结果共2种.所以2(|)9
P B A =.（Ⅲ）32733()()(|)()(|)10910910P B P A P B A P A P B A =+=
⨯+⨯=.所以第二次摸到红球的概率3()10
P B =.方法点睛：利用全概率公式计算随机事件B 的概率时，注意把随机事件B 分解为两个随机事件AB 和AB ，再利用条件概率公式计算两者的概率即可．。