2019年春八年级数学下册第一部分新课内容第十八章平行四边形第25课时正方形(1)—性质(课时导学案

拓展提升
10.如图18-25-9,正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，O又
是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点E，OC1交BC于点F． （1）求证：△AOE≌△BOF；
（1）证明：在正方形ABCD和正方形A1B1C1O中，可知AO=BO， ∠AOB=90°，∠A1OC1=90°,∠OAB=∠OBC=45°, ∴∠AOE+∠EOB=90°, ∠BOF+∠EOB=90°. ∴∠AOE=∠BOF. 在△AOE和△BOF中， ∴△AOE≌△BOF（ASA）.
第一部分 新课内容
第十八章 平行四边形
第25课时 正方形（1）——性质
核心知识
1．正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角 的平行四边形叫做正方形． 2．正方形的性质：正方形既是矩形又是菱形，所以既有 矩形的性质，又有菱形的性质．
典型例题
知识点1：正方形的性质 【例1】 正方形具有而菱形不一定具有的性质是 A．四条边相等 B． 对角线互相垂直 C．对角线相等 D． 对角线互相平分
3.如图18-25-3，正方形ABCD的边长为1 cm，AC是对角线，AE 平分∠BAC，EF⊥AC于点F． （1）求证：BE=CF；
（1）证明： ∵四边形ABCD是正方形, ∴∠B=90°. 又∵EF⊥AC，∴∠AFE=90°. ∵AE平分∠BAC,∴BE=EF. 又易知△EFC为等腰直角三角形， ∴EF=FC.∴BE=CF.
变式训练
1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是 A． 对角线互相垂直 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．四个角都是直角
（ A）
2.填空： （1）正方形的周长为 cm，则它的边长为_________cm，对 角线长为________cm，面积为_____3_____cm2； （2）若正方形的面积为18，则它的边长为________，对角线 为_____6___，周长为_______．
（ C）
知识点2：正方形性质的简单运用 【例2】如图18-25-1，已知正方形ABCD，根据正方形的性质 填空： （1）若AB=3，则AC=__________，周长为_____1_2____，面积 为____9______； （2）若BD=4，则AB=________，周长为_________，面积为 ____8_____．
理由如下.在正方形ABCD中,可知AB=BC, ∵AE=BF,∴AB-AE=BC-BF,即BE=CF. 在△BEC与△CFD中,∵BC=CD,∠B=∠FCD=90°, ∴△BEC≌△CFD（SAS）.∴CE=DF,∠BEC=∠CFD. ∵∠BEC+∠BCE=90°,∴∠CFD+∠BCE=90°. ∴∠CGF=90°.∴CE⊥DF.
9．如图18-25-8，在正方形ABCD中，DE⊥AG于点E，BF∥DE， 求证：DE=BF+EF．
证明：在正方形ABCD中，可知AB=AD，∠BAD=90°, ∵DE⊥AG，∴∠DEF=90°． ∵BF∥DE，∴∠AFB=∠DEF=∠AED=90°. ∵∠EAD+∠BAF=90°，∠BAF+∠ABF=90°. ∴∠EAD=∠ABF． 在△ABF和△DAE中，∠ABF＝∠DAE，∠AFB＝∠DEA， AB＝DA，∴△ABF≌△DAE（AAS）.∴BF=AE,AF=DE. ∵AF-AE=EF.∴DE-BF=EF,即DE=BF+EF.
知识点3：正方形性质的综合运用 【例3】如图18-25-2，在正方形ABCD中，E为CD边上的一点， F为BC的延长线上一点，且CE=CF，（1）△BCE与△DCF全等吗？ 请说明理由；（2）若∠BEC=60°，求∠EFD的度数．
解：（1）全等．理由：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=CD，∠BCD=∠DCF=90°.又∵CE=CF， ∴△BCE≌△DCF（SASBaidu Nhomakorabea. （2）∵△BCE≌△DCF，∠BEC=60°， ∴∠DFC=∠BEC=60°.∵∠DCF=90°，CE=CF， ∴∠CFE=45°.∴∠EFD=∠DFC-∠CFE=15°．
第2关
6.如图18-25-5，正方形ABCD的面积为1，连接相邻两边中点
EF,以EF为边的正方形EFGH的周长为
（B ）
7. 如图18-25-6，以正方形ABCD的边AB为一边向外作等边三
角形ABE，则∠AED的度数为
（ A）
A．15°
B．20°
C．22.5°
D．25°
第3关 8.如图18-25-7，在正方形ABCD中，F,F分别是AB,BC上的点， 且AE=BF． 猜想CE与DF的数量关系和位置关系，并证明你的 猜想．解：CE=DF,且CE⊥DF.
（2）如果两个正方形的边长都为a，那么正方形A1B1C1O绕O 点转动，两个正方形重叠部分的面积等于多少？为什么？
（2）解：两个正方形重叠部分的面积等于 .
∵△AOE≌△BOF，
∴S四边形OEBF=S△EOB+S△OBF= S△EOB+S△AOE=S△AOB
= S正方形ABCD=
.
（2）求BE的长．
（2）解：∵AC为正方形ABCD的对角线，
∴AC=
（cm）.
易知△ABE≌△AFE,
∴AF=AB=1cm.
∴CF=AC-AF=（ －1）cm.
∵BE=CF，
∴BE=（ －1）cm.
巩固训练
第1关 4. 填空： （1）正方形的面积是8，则对角线长为___4______； （2）正方形的对角线长为42，则它的边长为__4___. 5. 如图18-25-4，在正方形ABCD中，点E为对角线AC上一点， 且AE=AB，则∠BEA的度数是__6_7_._5_____度．