黑龙江省哈尔滨市2015年中考数学2月模拟试题(含解析)

2015年黑龙江省哈尔滨中考数学模拟试卷（2月份）
一、选择题
1．如果水库的水位高于正常水位2m时，记作+2m，那么低于正常水位3m时，应记作（）
A．+3m B．﹣3m C．+D．﹣
2．钓鱼岛是中国的固有领土，位于中国东海，面积约4400000平方米，数据4400000用科学记数法表示为（）
A．44×105B．0.44×105C．4.4×106D．4.4×105
3．下列运算正确的是（）
A．2x2•x3=2x5B．（x﹣2）2=x2﹣4 C．x2+x3=x5D．（x3）4=x7
4．该试题已被管理员删除
5．某扇形的面积为12πcm2，圆心角为120°，则该扇形的半径是（）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
6．在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A是x轴正半轴上的一个定点，点B是反比例函数
y=（y＞0）的图象上一个动点，当△ABO的面积随点B的横坐标增大而减小时，则k的取值范围是（）
A．k＜3 B．k≤3 C．k＞3 D．k≥3
7．如图的几何体是由三个同样大小的立方体搭成的，则下列说法正确的是（）
A．主视图的面积最大 B．左视图的面积最大
C．俯视图的面积最大 D．三个视图的面积一样大
8．已知抛物线y=x2﹣2kx﹣1的对称轴在y轴右侧，则直线y=kx﹣3的图象经过的象限是（）A．第二、三、四象限 B．第一、二、三象限
C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限
9．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处．若AB=3，AD=4，则ED的长为（）
A．B．3 C．1 D．
10．在一条直线上依次有A、B、C三地，自行车爱好者甲、乙两人同时分别从A、B两地出发，沿直线匀速骑向C地．已知甲的速度为20km/h，设甲、乙两人行驶x（h）后，与A地的距离分别为y1、y2（km），y1、y2与x的函数关系如图所示．两人在出发时都配备了通话距离为3km的对讲机，便于两人在骑车过程中可以用对讲机通话．下列说法：
①甲比乙早到C地20分钟．
②甲在距离B地15km处追上乙．
③B、C两地的距离是35km．
④甲、乙两人在骑车过程中可以用对讲机通话的时间为小时．
正确的个数为（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
11．计算： = ．
12．函数y=中，自变量x的取值范围是．
13．分解因式：a4x2﹣a4y2= ．
14．不等式组的解集为．
15．如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB=8cm，CD=3cm，则⊙O的半径为．
16．分式方程的解为．
17．某种过季绿茶的价格两次大幅下降，原来每袋250元，现在每袋90元，则平均每次下调的百分率是．
18．△ABC中，AB=AC，BD为AC边上的中线，若BD等于△ABC的一边时，则tanC= ．
19．如图，在等边△ABC中，点D为AB边中点，点E在CB的延长线上，点F在AC的延长线上，DF 交BC于点G且∠EDF=120°．若CE=8，CF=2，则CG= ．
20．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为△ABC内一点，连接AD，BD，∠ABC=22.5°+
∠ABD；tan∠DAC=，AB=DB，AC=3，则BD= ．
三、解答题（其中21-22题7分，23--24题8分，25-27题10分，共计60分）
21．先化简，再求代数式的值，其中x=4sin45°﹣2cos60°．
22．如图，图1、图2分别是5×5的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，点A、点B、点C的端点在小正方形的顶点上，请在图1、图2中各画一个四边形ABCD，所画四边形ABCD的顶点都在小正方形的顶点上，分别满足以下要求：
（1）在图1的网格中，画一个对角相等四边形；
（2）在图2中网格中，画一个对角互补四边形．
23．某中学随机抽取了部分学生期末数学调研成绩作为样本进行分析，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）求样本中成绩类别为“中”的人数，并将条形统计图补充完整；
（2）该校九年级共有1000人参加了这次考试，估计该校九年级共有多少名学生的数学成绩达到优秀？
24．如图，某市郊景区内一条笔直的公路a经过A、B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C，经测量景点C位于景点A的北偏东30°方向，位于景点B的正北方向，且景点B位于景点A 的北偏东75°方向，景点B与景点A距离为4km．
（1）求景点A与景点C的距离；
（2）为方便游客到景点游玩，景区管委会准备由景点C向公路a修建一条距离最短的公路，不考虑其它因素，求出这条公路的长．（结果保留根号）
25．某超市用5 000元购进一批新品种的苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨11 000元资金购进该品种苹果，但这次的进货价比试销时每千克多了0.5元，购进苹果数量是试销时的2倍．（1）试销时该品种苹果的进货价是每千克多少元？
（2）如果超市将该品种苹果按每千克7元的定价出售，当大部分苹果售出后，余下的苹果定价为4元，超市在这两次苹果销售中的盈利不低于4 100元，那么余下的苹果最多多少千克？
26．已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC=90°，∠DCB＜90°，对角线AC平分∠DCB，延长DA，CB 相交于点E．
（1）如图1，EB=AD，求证：△ABE是等腰直角三角形；
（2）如图2，连接OE，过点E作直线EF，使得∠OEF=30°，当∠ACE≥30°时，判断直线EF与⊙O 的位置关系，并说明理由．
27．已知：抛物线y=﹣x2+bx+c的图象交y轴于C，交x轴交于A、B两点，抛物线经过点D（4，5），C、D两点关于抛物线的对称轴对称．
（1）求抛物线解析式；
（2）点E在抛物线y=﹣x2+bx+c上，EF⊥BC于点F，若点M（m，﹣m+2）是坐标平面内一点，且ME=MF，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点E在对称轴的左侧，点K在过点D且与y轴平行的直线上，连接EK、FK，当∠EKF=45°，求点K的坐标；是否存在点M满足ME=MK？若存在，请判断点M是否在（1）中的抛物线的对称轴上，若不存在，说明理由．
2015年黑龙江省哈尔滨四十七中中考数学模拟试卷（2月份）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．如果水库的水位高于正常水位2m时，记作+2m，那么低于正常水位3m时，应记作（）
A．+3m B．﹣3m C．+D．﹣
【考点】正数和负数．
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【解答】解：“正”和“负”相对，所以，水库的水位高于正常水位2m时，记作+2m，那么低于正常水位3m时，应记作﹣3m．
故选B．
【点评】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
2．钓鱼岛是中国的固有领土，位于中国东海，面积约4400000平方米，数据4400000用科学记数法表示为（）
A．44×105B．0.44×105C．4.4×106D．4.4×105
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将4400000用科学记数法表示为：4.4×106．
故选：C．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．下列运算正确的是（）
A．2x2•x3=2x5B．（x﹣2）2=x2﹣4 C．x2+x3=x5D．（x3）4=x7
【考点】单项式乘单项式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．
【分析】根据单项式乘法、完全平方公式、合并同类项法则、幂的乘方的运算方法，利用排除法求解．
【解答】解：A、2x2•x3=2x5，故本选项正确；
B、应为（x﹣2）2=x2﹣4x+4，故本选项错误；
C、x2与x3不是同类项，不能合并，故本选项错误；
D、应为（x3）4=x12，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查了合并同类项的法则，完全平方公式，幂的乘方的性质，单项式的乘法法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．
4．该试题已被管理员删除
5．某扇形的面积为12πcm2，圆心角为120°，则该扇形的半径是（）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【考点】扇形面积的计算．
【分析】设该扇形的半径是rcm，再根据扇形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：设该扇形的半径是rcm，则
12π=，
解得r=6．
故选D．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
6．在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A是x轴正半轴上的一个定点，点B是反比例函数
y=（y＞0）的图象上一个动点，当△ABO的面积随点B的横坐标增大而减小时，则k的取值范围是（）
A．k＜3 B．k≤3 C．k＞3 D．k≥3
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【分析】由点O是坐标原点，点A是x轴正半轴上的一个定点，且△ABO的面积随点B的横坐标增大而减小，得到图象在第一、四象限，根据y＞0，得到图象在第一象限，所以求得结果．
【解答】解：如图∵点O是坐标原点，点A是x轴正半轴上的一个定点，
∵△ABO的面积随点B的横坐标增大而减小，
∴图象在第一、四象限，
∵y＞0，
∴图象在第一象限，
∴k﹣3＞0，
∴k＞3，
故选C．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解比例系数的几何意义．
7．如图的几何体是由三个同样大小的立方体搭成的，则下列说法正确的是（）
A．主视图的面积最大 B．左视图的面积最大
C．俯视图的面积最大 D．三个视图的面积一样大
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】根据三视图的定义分别得出物体的三视图，进而求出即可．
【解答】解：如图所示：
，
故主视图的面积为3，左视图和俯视图的面积为2，
故主视图的面积最大．
故选：A．
【点评】此题主要考查了简单组合体的三视图，正确把握三视图的定义是解题关键．
8．已知抛物线y=x2﹣2kx﹣1的对称轴在y轴右侧，则直线y=kx﹣3的图象经过的象限是（）A．第二、三、四象限 B．第一、二、三象限
C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限
【考点】一次函数图象与系数的关系；二次函数图象与系数的关系．
【分析】根据对称轴在y轴右侧，可得有关k的不等式，解得k的取值范围后根据系数与图象的关系得到答案即可．
【解答】解：∵抛物线y=x2﹣2kx﹣1的对称轴在y轴右侧，
∴﹣2k＜0，
解得：k＞0，
∴直线y=kx﹣3的图象呈上升趋势且交y轴的负半轴，
∴y=kx﹣3的图象经过一、三、四象限，
故选C．
【点评】本题考查了一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质，解题的关键是利用抛物线的对称轴在y中的右侧得到k的取值范围，难度不大．
9．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处．若AB=3，AD=4，则ED的长为（）
A．B．3 C．1 D．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【专题】压轴题．
【分析】首先利用勾股定理计算出AC的长，再根据折叠可得△DEC≌△D′EC，设ED=x，则D′E=x，AD′=AC﹣CD′=2，AE=4﹣x，再根据勾股定理可得方程22+x2=（4﹣x）2，再解方程即可．
【解答】解：∵AB=3，AD=4，
∴DC=3，
∴AC==5，
根据折叠可得：△DEC≌△D′EC，
∴D′C=DC=3，DE=D′E，
设ED=x，则D′E=x，AD′=AC﹣CD′=2，AE=4﹣x，
在Rt△AED′中：（AD′）2+（ED′）2=AE2，
22+x2=（4﹣x）2，
解得：x=，
故选：A．
【点评】此题主要考查了图形的翻着变换，以及勾股定理的应用，关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
10．在一条直线上依次有A、B、C三地，自行车爱好者甲、乙两人同时分别从A、B两地出发，沿直线匀速骑向C地．已知甲的速度为20km/h，设甲、乙两人行驶x（h）后，与A地的距离分别为y1、y2（km），y1、y2与x的函数关系如图所示．两人在出发时都配备了通话距离为3km的对讲机，便于两人在骑车过程中可以用对讲机通话．下列说法：
①甲比乙早到C地20分钟．
②甲在距离B地15km处追上乙．
③B、C两地的距离是35km．
④甲、乙两人在骑车过程中可以用对讲机通话的时间为小时．
正确的个数为（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】一次函数的应用．
【分析】由图象可知，甲到C地用的时间为2小时，B地与A的距离为5千米，根据甲的速度求出y1=20x，然后求出x=1时的函数值，再设y2=kx+b，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；分乙在前和甲在前两种情况求出距离为3km的时间，然后相减即为可以用对讲机通话的时间．
【解答】解：由图象可知，甲到C地用的时间为2小时，B地与A的距离为5千米，
∴A、C两地的距离为：20×2=40千米，
∴B、C两地的距离是40﹣5=35km．故③正确；
∵甲的速度为20 km/h，
∴y1=20x，
当x=1时，y1=20=y2，
设y2=kx+b，
根据题意，得，
解得：，
∴y2=15x+5，
当y=40时，即40=15x+5，
解得：x=，
小时=2小时20分钟，即乙到达C的时间为2小时20分钟，
∵甲到达C的时间为2小时，
∴甲比乙早到C地20分钟，故①正确；
当x=1时，y=20，即甲乙两人相遇，
20﹣5=15千米，
∴甲在距离B地15km处追上乙，故②正确；
当y2﹣y1=3时，15x+5﹣20x=3，x=，
当y1﹣y2=3时，20x﹣（15x+5）=3，x=，
∴，故④正确；
正确的有4个，
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，先表示出甲的关系式是解题的关键，难点在于分两种情况求出相距3km的时间．
二、填空题
11．计算： = 9．
【考点】二次根式的乘除法．
【分析】直接利用二次根式除法运算法则化简求出即可．
【解答】解： =6×=9．
故答案为：9．
【点评】此题主要考查了二次根式乘除运算，正确应用二次根式的性质是解题关键．
12．函数y=中，自变量x的取值范围是x≠2 ．
【考点】函数自变量的取值范围；分式有意义的条件．
【专题】计算题．
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不为0．
【解答】解：要使分式有意义，即：x﹣2≠0，
解得：x≠2．
故答案为：x≠2．
【点评】本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．
13．分解因式：a4x2﹣a4y2= a4（x+y）（x﹣y）．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】先提取公因式a4，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．
【解答】解：a4x2﹣a4y2=a4（x2﹣y2）=a4（x+y）（x﹣y）．
故答案为：a4（x+y）（x﹣y）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．
14．不等式组的解集为﹣2＜x＜1 ．
【考点】解一元一次不等式组．
【分析】先求出每个不等式的解集，再找出不等式组的解集即可．
【解答】解：∵解不等式x+2＜3得：x＜1，
解不等式﹣2x＜4得：x＞﹣2
∴不等式组的解集是﹣2＜x＜1，
故答案为：﹣2＜x＜1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．
15．如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB=8cm，CD=3cm，则⊙O的半径为．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【分析】如图，作辅助线；由垂径定理得到AC=BC=4；设⊙O的半径为λ；在直角△OCE中，运用勾股定理列出关于λ的方程，求出λ即可解决问题．
【解答】解：如图，连接OB；
∵OD⊥AB，且AB=8，
∴AC=BC=4；
设⊙O的半径为λ，则OC=λ﹣3；
由勾股定理得：λ2=（λ﹣3）2+42，
解得：λ=．
故答案为．
【点评】该题主要考查了勾股定理、垂径定理等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，构造直角三角形；解题的关键是灵活运用勾股定理、垂径定理等知识点来分析、判断、解答．
16．分式方程的解为x=1 ．
【考点】解分式方程．
【专题】计算题．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x+1=3x，
解得：x=1，
经检验x=1是分式方程的解．
故答案为：x=1．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
17．某种过季绿茶的价格两次大幅下降，原来每袋250元，现在每袋90元，则平均每次下调的百分率是40% ．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】增长率问题．
【分析】问题求的是某种过季绿茶的价格两次大幅下降，平均每次的下降率；以原来每袋250元为基数，结果为每袋90元，降低后的价格=降低前的价格×（1﹣降低率），如果设平均每次降价的百分率是x，则第一次降低后的价格是250（1﹣x），那么第二次后的价格是250（1﹣x）2，即可列出方程求解．
【解答】解：设平均每次下调的百分率为x，依题意得
250（1﹣x）2=90，
（1﹣x）2=，
1﹣x=±，
x1=40%，x2=160%（舍去）．
答：平均每次下调的百分率为40%．
故答案为：40%．
【点评】本题考查了一元二次方程应用中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
18．△ABC中，AB=AC，BD为AC边上的中线，若BD等于△ABC的一边时，则tanC= 或．【考点】解直角三角形；等腰三角形的性质．
【专题】分类讨论．
【分析】设AD=DC=x，则AB=AC=2x，设BC=4y．作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，根据等腰三角形三线合一的性质得出BE=EC=BC=2y，由三角形中位线定理得出EF=FC=EC=y．在直角△CDF与直角△BDF 中，根据勾股定理求出DF2=CD2﹣FC2=x2﹣y2，BD2=DF2+BF2=x2﹣y2+（3y）2=x2+8y2．再分两种情况进行讨论：①如果BD等于腰长，根据BD=2x列出方程；②如果BD等于底边长，根据BD=4y列出方程．【解答】解：设AD=DC=x，则AB=AC=2x，设BC=4y．
作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，
∵AB=AC，
∴BE=EC=BC=2y，
∵AD=DC，DF∥AE，
∴EF=FC=EC=y．
在直角△CDF中，∵∠CFD=90°，
∴DF2=CD2﹣FC2=x2﹣y2，
在直角△BDF中，∵∠BFD=90°，
∴BD2=DF2+BF2=x2﹣y2+（3y）2=x2+8y2．
分两种情况：
①如果BD等于腰，即BD=2x，
则x2+8y2=4x2，
解得x2=y2，
DF2=x2﹣y2=y2，
在直角△CDF中，tanC===；
②BD等于底边，即BD=4y，
则x2+8y2=16y2，
解得x2=8y2，
DF2=x2﹣y2=7y2，
在直角△CDF中，tanC===．
故答案为或．
【点评】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，有一定难度．准确作出辅助线构造直角三角形，利用分类讨论、数形结合是解题的关键．
19．如图，在等边△ABC中，点D为AB边中点，点E在CB的延长线上，点F在AC的延长线上，DF 交BC于点G且∠EDF=120°．若CE=8，CF=2，则CG= 1 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【专题】计算题．
【分析】作DH∥BC交AC于H，如图，根据等边三角形的性质得AB=BC=AC，∠ABC=∠ACB=60°，由于点D为AB边中点，则BD=DH=CH，利用DH∥BC得到∠BDH=∠CHD=120°，而∠EDF=120°，则∠EDB=
∠HDF，于是可根据“ASA”证明△BDE≌△HDF得到BE=FH，则BE+BC=2+BC+BC=8，得到BC=8，所以DH=CH=2，然后证明△FCG∽△FHD，利用相似比可计算出CG．
【解答】解：作DH∥BC交AC于H，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠ABC=∠ACB=60°，
∵点D为AB边中点，
∴BD=DH=CH，
∵DH∥BC，
∴∠BDH=∠CHD=120°，
而∠EDF=120°，
∴∠EDB=∠HDF，
在△BDE和△HDF中
，
∴△BDE≌△HDF，
∴BE=FH，
∵BE+BC=CE=8，
∴CF+BC+BC=8，即2+BC=8，
∴BC=4，
∴DH=CH=2，
∵CG∥DH，
∴△FCG∽△FHD，
∴=，即=，
∴CG=1．
故答案为1．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的判定与性质．
20．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为△ABC内一点，连接AD，BD，∠ABC=22.5°+
∠ABD；tan∠DAC=，AB=DB，AC=3，则BD= ．
【考点】解直角三角形．
【分析】延长AC至点E，使AC=CE，连接BE、CD、DE，过点D作DF⊥AE于点F，设BD=x，得AB=BE=
x、∠ABC=∠EBC，由2∠ABC=45°+∠ABD及2∠ABC﹣∠ABD=∠DBE可得∠DBE=45°，再根据余弦定理可得DE=BE=x、∠DBE=∠DEB=45°、∠BDE=90°，由C、D、B、E四点共圆可得∠FCD=∠DCB=45°、
CF=DF，最后根据tan∠DAC=可求得DF=CF=1，从而得DE=DB=．
【解答】解：如图，延长AC至点E，使AC=CE，连接BE、CD、DE，
过点D作DF⊥AE于点F，设BD=x，
则AB=x，∵BC⊥AE，AC=CE，
∴AB=BE=x，∠ABC=∠EBC，
又∵∠ABC=22.5°+∠ABD，
∴2∠ABC=45°+∠ABD，
∵2∠ABC﹣∠ABD=∠DBE，
∴∠DBE=45°，
在△BDE中，由余弦定理知DE2=x2+（x）2﹣2x•xcos45°=x2，∴DE=x，
∴△BDE是等腰直角三角形，BD=DE=x，
∴∠DBE=∠DEB=45°，∠BDE=90°，
∵∠ECB=90°，
∴C、D、B、E四点共圆，
∴∠DCB=∠DEB=45°，
∴∠FCD=∠DCB=45°，△CDF是等腰直角三角形，
∴CF=FD，
又AF=3﹣FC=3﹣FD，tan∠DAC==，
∴=，
解得：FD=1，
∴EF=4，
在RT△DEF中，DE=，
∴BD=，
故答案为：．
【点评】本题考查了中垂线性质、勾股定理、余弦定理、圆周角定理及三角函数的应用，通过添加辅助线将待求线段的长转化为其他线段的长，并且将已知条件联系到一起是关键．
三、解答题（其中21-22题7分，23--24题8分，25-27题10分，共计60分）
21．先化简，再求代数式的值，其中x=4sin45°﹣2cos60°．
【考点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值．
【专题】计算题．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用特殊角的三角函数值求出x的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=÷=•=x+1，
当x=4sin45°﹣2cos60°=4×﹣2×=2﹣1时，原式=2．
【点评】此题考查了分式的化简求值，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．如图，图1、图2分别是5×5的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，点A、点B、点C的端点在小正方形的顶点上，请在图1、图2中各画一个四边形ABCD，所画四边形ABCD的顶点都在小正方形的顶点上，分别满足以下要求：
（1）在图1的网格中，画一个对角相等四边形；
（2）在图2中网格中，画一个对角互补四边形．
【考点】作图—应用与设计作图．
【分析】（1）结合网格利用勾股定理得出符合题意的图形即可；
（2）结合网格利用勾股定理得出符合题意的图形即可．
【解答】解：（1）如图所示：四边形ABCD即为所求；
（2）如图所示：四边形ABCD即为所求．
【点评】此题主要考查了应用设计与作图以及勾股定理，正确应用勾股定理是解题关键．
23．某中学随机抽取了部分学生期末数学调研成绩作为样本进行分析，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）求样本中成绩类别为“中”的人数，并将条形统计图补充完整；
（2）该校九年级共有1000人参加了这次考试，估计该校九年级共有多少名学生的数学成绩达到优秀？
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【分析】（1）根据成绩是良的有22人，所占的百分比是44%，即可求得调查的总人数，进而求得成绩是中的人数；
（2）利用总人数1000乘以对应的百分比即可．
【解答】解：（1）调查的总人数是：22÷44%=50（人），
则成绩是中的人数是：50﹣10﹣22﹣8=10（人）．
；
（2）该校九年级数学成绩达到优秀的人数是：1000×=200（人）．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；
24．如图，某市郊景区内一条笔直的公路a经过A、B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C，经测量景点C位于景点A的北偏东30°方向，位于景点B的正北方向，且景点B位于景点A 的北偏东75°方向，景点B与景点A距离为4km．
（1）求景点A与景点C的距离；
（2）为方便游客到景点游玩，景区管委会准备由景点C向公路a修建一条距离最短的公路，不考虑其它因素，求出这条公路的长．（结果保留根号）
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【分析】（1）过点B作BD⊥AC于点D，先解Rt△ADB，得出AD=BD=2km，再解Rt△CBD，得出CD=2 km，则AC=AD+CD；
（2）过点C作CE⊥AB于点E．解等腰直角△ACE，即可求出CE的长．
【解答】解：（1）如图，过点B作BD⊥AC于点D．
在Rt△ADB中，∵∠ADB=90°，∠BAD=75°﹣30°=45°，AB=4km，
∴AD=BD=AB=2km．
在Rt△CBD中，∵∠CDB=90°，∠BCD=30°，
∴CD=BD=2km，
∴AC=AD+CD=（2+2）km；
答：景点A与景点C的距离为（2+2）km；
（2）过点C作CE⊥AB于点E．
在Rt△ACE中，∵∠AEC=90°，∠CAE=45°，AC=（2+2）km，
∴CE=AC=（2+2）km．
答：这条公路长为（2+2）km．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
25．某超市用5 000元购进一批新品种的苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨11 000元资金购进该品种苹果，但这次的进货价比试销时每千克多了0.5元，购进苹果数量是试销时的2倍．（1）试销时该品种苹果的进货价是每千克多少元？
（2）如果超市将该品种苹果按每千克7元的定价出售，当大部分苹果售出后，余下的苹果定价为4元，超市在这两次苹果销售中的盈利不低于4 100元，那么余下的苹果最多多少千克？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
【分析】（1）设试销时该品种苹果的进货价是每千克x元，则实际进货价为（0.5+x）元，根据这次购进苹果数量是试销时的2倍，列方程求解；
（2）设余下的苹果为y千克，求出总购进的苹果数量，根据超市在这两次苹果销售中的盈利不低于4 100元，列不等式求解．
【解答】解：（1）设试销时该品种苹果的进货价是每千克x元，则实际进货价为（0.5+x）元，
由题意得，×2=，
解得：x=5，
经检验，x=5是原分式方程的解，且符合题意，
答：试销时该品种苹果的进货价是每千克5元；
（2）由（1）得，总共购进苹果：5000÷5×3=3000（kg），
设余下的苹果为y千克，
由题意得，7（3000﹣y）+4y﹣5000﹣11000≥4 100，
解得：y≤300．
答：余下的苹果最多为300千克．
【点评】本题考查了一元一次不等式和分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
26．已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC=90°，∠DCB＜90°，对角线AC平分∠DCB，延长DA，CB 相交于点E．
（1）如图1，EB=AD，求证：△ABE是等腰直角三角形；
（2）如图2，连接OE，过点E作直线EF，使得∠OEF=30°，当∠ACE≥30°时，判断直线EF与⊙O 的位置关系，并说明理由．
【考点】切线的判定；等腰直角三角形．
【专题】证明题；压轴题．
【分析】（1）由∠ACD=∠ABC得到=，则AD=AB，加上EB=AD，则AB=EB，再根据圆内接四边形的性质得∠EBA=∠ADC=90°，于是可判断△ABE是等腰直角三角形
（2）由于∠ACD=∠ABC，∠ACE≥30°，则60°≤∠DCE＜90°，根据三角形边角关系得AE≥AC，而
OE＞AE，所以OE＞AC，作OH⊥EF于H，如图，根据含30度的直角三角形三边的关系得OH=OE，所以OH＞OA，则根据直线与圆的位置关系可判断直线EF与⊙O相离．
【解答】（1）证明：∵对角线AC平分∠DCB，
∴∠ACD=∠ACB，
∴=，
∴AD=AB，
∵EB=AD，
∴AB=EB，
∵∠EBA=∠ADC=90°，
∴△ABE是等腰直角三角形
（2）解：直线EF与⊙O相离．理由如下：
∵∠DCB＜90°，∠ACD=∠ACB，
∵∠ACE≥30°，
∴60°≤∠DCE＜90°，
∴∠AEC≤30°，
∴AE≥AC，
∵OE＞AE，
∴OE＞AC，
作OH⊥EF于H，如图，
在Rt△OEH中，∵∠OEF=30°，
∴OH=OE，
∴OH＞OA，
∴直线EF与⊙O相离．
【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了等腰直角三角形的性质和直线与圆的位置关系．。