内蒙古包头市包钢四中2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理科)试卷

包钢四中2015-2016学年第一学期期中考试试卷
高二数学（理科）试卷
考试时间：120分钟满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分)
1. 若集合M={x|-2≤x<2},N={0,1,2},则M∩N等于()
A. {0}
B. {1}
D. {0,1}
C. {0,1,2}
2. 已知等差数列{a n}中，S10=120，那么a2+a9等于()
A. 12
B. 24
C. 36
D. 48
3.下列四个结论：
(1)两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行；
(2)两条直线没有公共点，则这两条直线平行；
(3)两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行；
(4)一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行．
其中正确的个数为()
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
4. 关于直线a,b,c以及平面α，β，给出下列命题：
①若a∥α，b∥α，则a∥b
②若a∥α，b⊥α，则a⊥b
③若a⊂α，b⊂α且c⊥a，c⊥b，则c⊥α
④若a⊥α，a∥β，则α⊥β
其中正确的命题是( )
A. ①②
B. ②③
C. ②④
D. ①④
5. 某三棱锥的三视图如图所示,则该三
棱锥的表面积是()
A. 错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C. 5
D. 错误！未找到引用源。

6. 空间四边形ABCD中，M，N分别是AB和CD的中点，AD=BC=6，MN=3错误！未找到引用源。

则AD和BC所成的角是( )
A. 120°
B. 90°
C. 60°
D. 30°
7. 已知O(0，0，0)，A(-4，6，-1)，B(4，3，2)，则下列各向量中是平面AOB的一个法向量的是()
A. (0，1，6)
B. (-1，2，-1)
C. (-15，4，36)
D. (15，4，-36)
8. 若平面α与β的法向量分别是
，则平面α与β的位置关系是( )
A. 平行
B. 垂直
C. 相交但不垂直
D. 平行或垂直
9. 如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥ 底面A 1B 1C 1，
底面三角形A 1B 1C 1是正三角形，E 是BC 中点，
则下列叙述正确的是( )
A. CC 1与B 1E 是异面直线
B. AC ⊥平面ABB 1A 1
C. AE ，B 1C 1为异面直线，且AE ⊥B 1C 1
D. A 1C 1∥平面AB 1E
10. 正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为( )
A. 75°
B. 60°
C. 45°
D. 30° 11.直线
x-y+1=0的倾斜角为( ) A. 150°
B. 120°
C. 60°
D. 30° 12. 在锐角ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b . 若2asinB =b ，则角A 等于( ) A. B. C.
D.
二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分)
13. 已知点A(2，3)，B(-3，-2)．若直线l 过点P(1，1)且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是____________．
14. 已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2-9n ，则其通项a n =____________．
15. 设四棱锥V －ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱长都是错误！未找到引用源。

，那么这个四棱锥的表面积是________．
16. 如图长方体中，AB=AD=2错误！未找到引用源。

，CC 1=错误！未找到引用源。

，
则二面角C 1-BD-C 的大小为____________．
三、解答题(本大题共6小题，17题10分，其他每题12分)
17. 等差数列{a n }的前n 项和记为S n ．已知a 10=30，a 20=50．
(1)求通项a n ； (2) 若S n =242，求n ．
18. 如图，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，
AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且
BF⊥平面ACE．
(1)求证：AE⊥平面BCE；
(2)求证：AE∥平面BFD；
19. 如图，边长为2 的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2 ，M为BC的
中点．
(1)证明：AM⊥PM；
(2)求异面直线PM与BD所成的角
20. 如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，P A⊥平面ABCD，P A=AD=2，AB=1，
E、F分别是AB，PC的中点．
求直线EF与平面ABCD所成角
21. 如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，
AB=AD=1，AA 1=2，点P为DD1的中点．
(1)求证：平面P AC⊥平面BDD1；
(2)求三棱锥D-P AC的体积．
22. 如图，在底面为直角梯形的四棱
锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，
PA⊥平面ABCD，P A=4，AD =2
，
AB
=
23，BC=6．
求二面角A-PC-D的余弦值．
A
期中考试理科数学答案
【答案】
一、客观题
1.D
2.B
3. A
4. C
5. A
6.B
7.D
8. B
9. C 10. C
11. C 12. A；
二、主观题
13. k≥2或k≤ 14. 2n-10
15. 12 16. 30°
17. 解：(Ⅰ)由a n=a 1+(n-1)d，a 10=30，a 20=50，得
方程组
解得a 1=12，d=2．所以a n=2n+10．
(Ⅱ)由得
方程
解得n=11或n=-22(舍去)．
18. 20. 解：(Ⅰ)证明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE，则AE⊥BC．又∵BF⊥平面ACE，则AE⊥BF
∴AE⊥平面BCE．
(Ⅱ)证明：依题意可知：G是AC中点，
∵BF⊥平面ACE，则CE⊥BF，而BC=BE，∴F是EC中点．
在△AEC中，FG∥AE，∴AE∥平面BFD．
19.(1)证明：取CD中点N，连接MN.
∵△PCD是等边三角形∴PN⊥CD
∵ 平面PCD⊥平面ABCD, 平面PCD∩平面ABCD=CD,PN⊂平面PCD
∴PN⊥平面ABCD ∵ AM⊂平面ABCD ∴PN⊥AM
又∵ 矩形ABCD中，BC=2CD=2，且M,N分别是BC,CD的中点
∴ AN=3，AM= , MN= ∴ AN2=AM2+ MN2
∴ AM⊥MN ∵PN∩MN=N ∴ AM⊥平面PMN ∴AM⊥PM
（2）∵ M,N分别是BC,CD的中点
∴ MN∥BD ∴∠PMN是异面直线PM与BD所成的角
由（1）知PN⊥MN，∵△PCD是边长为2的等边三角形
∴PN=∴ tan∠PMN==1 ∵异面直线所成的角的范围是（0°，90°]
∴∠PMN=45°，即异面直线PM与BD所成的角是45°
20. 解：(1)连接AC,BD交于点O，连接OF，∵ F是PC中点
∴ OF∥PA
∵PA⊥平面ABCD
∴OF⊥平面ABCD
∴ ∠FEO是直线EF与平面ABCD所成角
∵四边形ABCD是矩形，PA=AD=2，E、F分别是AB，PC的中点．
∴OE=OF=1
∴EFO是等腰直角三角形
∴∠FEO=45°
∴EF与平面ABCD所成角45°．
21. 解：(1)设AC∩BD=O，连接OP，
∵O，P分别为BD，D 1D中点，
∴BD 1∥OP…3′
∵OP ⊂平面PAC ，BD 1⊄平面PAC ，
∴BD 1∥平面PAC…5′
(2)∵D 1D⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，
∴D 1D⊥AC…7′
又AC⊥BD，D 1D∩BD=D，
∴AC⊥平面BDD 1…9′
∵AC ⊂平面PAC ，
∴平面PAC⊥平面BDD 1…10′
(2)∵PD⊥平面ADC ，
∴V D-PAC = …14′
22. 解：∵PA⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ．∴BD⊥PA．
又 ， ．∴∠ABD=30°，∠BAC=60°，∴∠AEB=90°，即BD⊥AC．
又PA∩AC=A．∴BD⊥平面PAC
过E 作EF⊥PC，垂足为F ，连接DF ．
∵DE⊥平面PAC ，EF 是DF 在平面PAC 上的射影，由三垂线定理知PC⊥DF，∴∠EFD 为二面角A-PC-D 的平面角．
又∠DAC=90°-∠BAC=30°，
∴DE=ADsinDAC=1，
，
又 ，∴ ，PC=8．
由R t△EFC∽Rt△PAC 得 ．
在Rt△EFD 中， ，∴ cos ∠EFD=31
933． ∴二面角A-PC-D 的余弦值为 31
933．。