人教版八年级数学上册第十二章 全等三角形 综合压轴题专题训练(含答案)

人教版八年级数学上册第十二章全等三角形综合压轴题专题训练
1、如图，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，点D为AB边上的一点，若DE=13，BD=12，求线段AB的长.
2、如图，点C在线段AB上，△DAC和△DBE都是等边三角形，求证：△DAB≌△DCE; DA∥EC.
3、如图，在△ABC中，AB＝CB，∠BAC＝∠BCA，∠ABC＝90°，F为AB延长线上
一点，点E在BC上，且AE＝CF．
（1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；（2）求证：AE⊥CF；（3）若∠CAE＝30°，求∠ACF度数．
4、如图，AC=AB，AE=AD，B、E、D三点共线，∠1=∠2，求证：EA平分∠CED.
5、如图，△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D为△ABC外一点，且AD⊥BD，BD交AC 于E，G为BC上一点，且∠BCG=∠ACD. 求证：CD=CG.
6、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，
B、C、E在同一条直线上，连结DC．
（1）请找出图②中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；
（2）证明：DC⊥BE．
7、如图1，CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=α，AD、BE相交于点M,连接CM.
求证：BE=AD;用含α的式子表示∠AMB的度数；当α=90°时，取AD、BE的中点分别为点P、Q，连接CP,CQ,PQ,如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明.
8、如图，∠C=90°，BC=AC，点D、E分别在BC和AC上，且BD=CE，M是AB的中点，连接CM，求证：（1）△CEM≌△BDM；（2）△MDE是等腰直角三角形．
9、已知，在△ABC中，AB＝AC，点P平面内一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使∠QAP＝∠BAC，连接BQ、CP，
⑴若点P在△ABC内部，求证BQ＝CP；
⑵若点P在△ABC外部，以上结论还成立吗？
10、如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，D为AC的中点，过点作CF⊥BD交BD的延长线于点F，过点作AE⊥AF于点．
（1）求证：△ABE≌△ACF；（2）过点作AH⊥BF于点H，求证：CF=EH．
11、在△ABC中,AB=AC,点D是直线BC上一点(不与B．C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．
(1)如图1,当点D在线段BC上,如果∠BAC=90∘，则∠BCE= 度；
(2)如图2，
①说明：△ABD≌△ACE．
②说明：CE+DC=BC．
③设∠BAC =α，∠BCE =β．当点D 在直线BC 上移动，则α，β之间有怎样的数量关系?请直接写出你的结论．
1
2、如图①，点
M
为
锐
角三角
形 A
B C
内任意一
点
，
连
接
A
（1）求证：△AMB ≌△ENB ； （2）若 A M+BM+CM 的值最小，则称点 M 为△ABC 的费尔马点．若点 M 为△ABC 的费尔马点，试求此时∠AMB 、∠BMC 、∠CMA 的度数。

（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法：如图②，分别以△ABC 的 AB 、AC 为一边向外作等边△ABE 和等边△ACF ，连接 CE 、BF ， 设交点为 M ，则点 M 即为△ABC 的费尔马点．试说明这种作法的依据．
13、探究等边三角形“手拉手”问题． （1）如图1，已如△ABC ，△ADE 均为等边三角形，点D 在线段BC 上，且不与点B 、点C
重合，连接CE ，试判断CE 与BA 的位置关系，并说明理由； （2）如图2，已知△ABC 、△ADE 均为等边三角形，连接CE 、BD ，若∠DEC ＝60°，试说明点
B ，点D ，点E 在同一直线上； （3）如图3，已知点E 在AB
C 外，并且与点B 位于线段AC 的异侧，连接BE 、CE ．若∠BEC ＝60°，猜测线段BE 、AE 、CE 三者之间的数量关系，并说明理由．
14、如图1，当点D在边BC上时，求证：△ABD≌△ACE;直接判断结论BC=DC+CE是否成立（不需要证明）；
如
图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写出BC、DC、CE之间存在的数量关系，并写出证明过程.
15、阅读情境：
在综合实践课上，同学们探究“全等的等腰直角三角形图形变化问题
如图1，△ABC≌△ADE，其中
∠B＝∠D＝90°，AB＝BC＝AD＝DE＝2，此时，点C与点E重合，
操作探究1
（1）小凡将图1中的两个全等的△ABC和△ADE按图2方式摆放，点B落在AE上，CB所在直线交DE所在直线于点M，连结AM，求证：BM＝DM．
操作探究2
（2）小彬将图1中的△ABC绕点A按逆时针方向旋转角度a（0°＜a＜90°），然后，分别延长BC，DE，它们相交于点F．
如图3，在操作中，小彬提出如下问题，请你解答：
①a＝30°时，求证：△CEF为等边三角形；
②当a＝时，AC∥FE．（直接回答即可）
操作探究3
（3）小颖将图1中的△ABC绕点A按顺时针方向旋转角度β（0°＜β＜90°），线段BC和DE相交于点F，在操作中，小颖提出如下问题，请你解答：
①如图4，当β＝60°时，直接写出线段CE的长为；
②如图5，当旋转到点F是边DE的中点时，直接写出线段CE的长为．
参考答案：
1、如图，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，点D为AB边上的一点，若DE=13，BD=12，求线段AB的长.
解答：∵△ACE≌△BCD
∴AE=BD,∠EAC=∠B=45°
∵BD=12
∴∠EAD=45°+45°=90°，AE=12
在Rt△EAD中，∠EAD=90°，DE=13，AE=12，由勾股定理得：AD=5
∴AB=BD+AD=12+5=17
2、如图，点C在线段AB上，△DAC和△DBE都是等边三角形，求证：△DAB≌△DCE; DA∥EC.
解析：（1）△DAC和△DBE都是等边三角形.
∴DA=DC,DB=DE,∠ADC=∠BDE=60°.
∴DA=DC,DB=DE,∠ADC=∠BDE=60°
∴∠ADC+∠CDB=∠BDE+∠CDB,（重点）
即∠ADB=∠CDE
在△DAB和△DCE中，
DA=DC
∠ADB=∠CDE
DB=DE
∴△DAB≌△DCE.
（2）∵△DAB≌△DCE
∴∠A=∠DCE=60°
∵∠ADC=60°
∴∠DCE=∠ADC
∴DA∥EC.
3、如图，在△ABC中，AB＝CB，∠BAC＝∠BCA，∠ABC＝90°，F为AB延长线上
一点，点E在BC上，且AE＝CF．
（1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；（2）求证：AE⊥CF；（3）若∠CAE＝30°，求∠ACF度数．
证明：（1）∵∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝∠CBF＝90°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）；
（2）如图，
∵Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF＝∠BAE，
∵∠BCF+∠F＝90°，
∴∠BAE+∠F＝90°，
∴∠AHF＝90°，
∴AF⊥CF；
（3）∵∠AHF＝90°，∠EAC＝30°，
∴∠ACF＝60°．
4、如图，AC=AB，AE=AD，B、E、D三点共线，∠1=∠2，求证：EA平分∠CED.
证明：
∵∠1=∠2
∴∠CAE=∠BAD
在△CAE和△BAD中，
AC AB
CAE BAD AE AD
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△CAE≌△BAD.
∴∠CEA=∠D
∵AE=AD
∴∠AED=∠D
∴∠CEA=∠AED
∴EA平分∠CED
5、如图，△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D为△ABC外一点，且AD⊥BD，BD交AC 于E，G为BC上一点，且∠BCG=∠ACD. 求证：CD=CG.
证明：
∵AD⊥BD
∴∠ADB=90°
∵∠ACB=90°，∠AED=∠BEC
∴∠CAD=∠DBH
∵∠BCG=∠DCA
∵在△ACD和△BGC中
∴△ACD≌△BGC（ASA）
∴CD=CG
6、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，
B、C、E在同一条直线上，连结DC．
（1）请找出图②中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；
（2）证明：DC⊥BE．
（1）△BAE≌△CAD，
理由如下：
∵∠BAC=∠DAE=90°
∴∠BAE=∠DAC
又∵AB=AC ∠B＝∠ADC＝45°
∴△BAE≌△CAD
（2）证明：
∵△BAE≌△CAD
∴∠BEA＝∠ADC
又∵∠ADE＝45°
∴∠BEA＋∠CDE＝45°
又∵∠DEA＝45°
∴∠CDE＋∠DEC＝90°
∴∠BCD＝90°
即DC⊥BE
7、如图1，CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=α，AD、BE相交于点M,连接CM.
求证：BE=AD;用含α的式子表示∠AMB的度数；当α=90°时，取AD、BE的中点分别为点P、Q，连接CP,CQ,PQ,如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明.
解析：（1）如图1，∵∠ACB=∠DCE=α
∴∠ACD=∠BCE
在△ACD和△BCE中
CA=CB
∠ACD=∠BCE
CD=CE
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴BE=AD
(2) 如图1，∵△ACD≌△BCE
∴∠CAD=∠CBE
∵△ABC中，∠BAC+∠ABC=180°-α
∴∠BAM+∠AMB=180°-α
∴△ABM中，∠AMB=180°-（180°-α）=α.
如图2，由（1）可得，BE=AD，
∵AD,B E的中点分别为点P、Q
∴AP=BQ
∵△ACQ≌△BCE
∴∠CAP=∠CBQ
在△ACP和△BCQ中，
CA=CB
∠CAP=∠CBQ
AP=BQ
∴△ACP≌△BCQ（SAS）
∴CP=CQ,且∠ACP=∠BCQ
又∵∠ACP+∠PCB=90°
∴∠BCQ+∠PCB=90°
∴∠PCQ=90°
∴△CPQ为等腰直角三角形.
8、如图，∠C=90°，BC=AC，点D、E分别在BC和AC上，且BD=CE，M是AB的中点，连接CM，求证：
（1）△CEM≌△BDM；（2）△MDE是等腰直角三角形．
证明：（1）∵∠ACB=90°，BC=AC
∴∠A=∠B=45°
∵M是AB的中点
∴CM⊥AB，∠ACM=∠BCM=45°，CM=BM=AM
∴∠DBM=∠ECM
∵在△CEM和△BDM中
∴△CEM≌△BDM（SAS）
（2）∵△CEM≌△BDM
∴EM=DM，∠EMC=∠DMB
∵∠DMC+∠DMB=90°
∴∠DMC+∠EMC=90°，即∠DME=90°
∴△MDE是等腰直角三角形
9、已知，在△ABC中，AB＝AC，点P平面内一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使∠QAP＝∠BAC，连接BQ、CP，
⑴若点P在△ABC内部，求证BQ＝CP；
⑵若点P在△ABC外部，以上结论还成立吗？
解析：（1）∵∠QAP＝∠BAC
∴∠QAP－∠B AP
＝∠BAC－∠BAP
即∠QAB＝∠PAC
另由旋转得AQ＝AP
在△AQB和△APC中
AQ＝AP
∠QAB＝∠PAC
AB＝AC
∴△AQB≌△APC
∴BQ＝CP
（2）∵∠QAP＝∠BAC
∴∠QAP＋∠BAP
＝∠BAC＋∠BAP
即∠QAB＝∠PAC
另由旋转得AQ＝AP
在△AQB和△APC中
AQ＝AP
∠QAB＝∠PAC
AB＝AC
∴△AQB≌△APC
∴BQ＝CP
10、如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，D为AC的中点，过点作CF⊥BD交BD的延长线于点F，过点作AE⊥AF于点．
（1）求证：△ABE≌△ACF；
（2）过点作AH⊥BF于点H，求证：CF=EH．
证明：（1）∵AE⊥AF，∠CAB=90°
∴∠EAF=∠CAB=90°
∴∠EAF﹣∠EAC=∠CAB﹣∠EAC即∠BAE=∠CAF ∵CF⊥BD
∴∠BFC=90°=∠CAB
∴∠BDA+∠ABD=90°，∠DCF+∠FDC=90°
∵∠ADB=∠FDC
∴∠ABD=∠DCF
在△ABE和△ACF中
∴△ABE≌△ACF（ASA）
（2）∵由（1）知△ABE≌△ACF
∴AE=AF
∵∠EAF=90°
∴∠AEF=∠AFE=45°
∵AH⊥BF
∴∠AHF=∠AHE=90°=∠CFH
∴∠EAH=180°﹣∠AHE﹣∠AEF=45°=∠AEF
∴AH=EH
∵D为AC中点
∴AD=CD
在△ADH和△CDF中
，
∴△ADH≌△CDF（AAS）
∴AH=CF，
∴EH=CF
11、在△ABC中,AB=AC,点D是直线BC上一点(不与B．C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．
(1)如图1,当点D在线段BC上,如果∠BAC=90∘，则∠BCE= 度；
(2)如图2，
①说明：△ABD ≌△ACE ．
②说明：CE+DC=BC ．
③设∠BAC =α，∠BCE =β．当点D 在直线BC 上移动，则α，β之间有怎样的数量关系?请直接写出你的结论．
解：（1）90°．
理由：∵∠BAC=∠DAE ，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC ．即∠BAD=∠CAE ．
在△ABD 与△ACE 中，
AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABD ≌△ACE （SAS ），
∴∠B=∠ACE ．
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB ，
∴∠BCE=∠B+∠ACB ，
又∵∠BAC=90°
∴∠BCE=90°；
故答案为：90．
（2）①∵∠BAC=∠DAE ，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC ．即∠BAD=∠CAE ．
在△ABD 与△ACE 中，
AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ABD ≌△ACE （SAS ）；
②∵∠BAC=∠DAE ，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC ．即∠BAD=∠CAE ．
在△ABD 与△ACE 中，
AB AC BAD AE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ABD ≌△ACE （SAS ），
∴∠B=∠ACE ．
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB ，
∴∠BCE=∠B+∠ACB ，
又∵∠BAC=90°
∴∠BCE=90°，
∴α+β=180°；
③相等或互补,理由：
（1）当点D 在射线BC 的反向延长线上时，α=β．
∵∠DAE=∠BAC ，
∴∠DAB=∠EAC ，
在△ADB 和△AEC 中，
AD AE DAB EAC AB AC =⎧⎪∠=⎨⎪=⎩
， ∴△ADB ≌△AEC （SAS ），
∴∠ABD=∠ACE ，
∵∠ABD=∠BAC+∠ACB ，∠ACE=∠BCE+∠ACB ，
∴∠BCE=∠B+∠ACB ，
又∵∠BAC=90°
∴∠BCE=90°，
∴α+β=180°．
（2）当点D 在线段BC 和BC 延长线上时，是α+β=180°，
在BC 的反向延长线上时，是α=β，
综上所述，α+β=180°或α=β．
1
2、如图①，点
M
为
锐
角三角
（1）求证：△AMB ≌△ENB ； （2）若 A M+BM+CM 的值最小，则称点 M 为△ABC 的费尔马点．若点 M 为△ABC 的费尔马点，试求此时∠AMB 、∠BMC 、∠CMA 的度数。

（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法：如图②，分别以△ABC 的 AB 、AC 为一边向外作等边△ABE 和等边△ACF ，连接 CE 、BF ， 设交点为 M ，则点 M 即为△ABC 的费尔马点．试说明这种作法的依据．
（1）证明：∵△ABE 为等边三角形，
∴AB=BE ，∠ABE=60°．
∠MBN=60°
∴∠ABM=∠EBN ．
在△AMB 与△ENB 中
∴
△A M B ≌
△
E
N B （
S
．
（2）连接
M N ．由（1）知，AM=EN ． ∵∠MBN=60°，BM=BN ，
∴△BMN 为等边三角形． ∴BM=MN ． ∴AM+BM+CM=EN+MN+CM ． ∴当 E 、N 、M 、C 四点共线时，AM+BM+CM 的值最小． 此
时，∠BMC=180°﹣∠NMB=120°；
13、探究等边三角形“手拉手”问题．
（1）如图1，已如△ABC ，△ADE 均为等边三角形，点D 在线段BC 上，且不与点B 、点C 重合，连接CE ，试判断CE 与BA 的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，已知△ABC 、△ADE 均为等边三角形，连接CE 、BD ，若∠DEC ＝60°，试说明点B ，点D ，点E 在同一直线上；
（3）如图3，已知点E 在ABC 外，并且与点B 位于线段AC 的异侧，连接BE 、CE ．若∠BEC
＝60°，猜测线段BE 、AE 、CE 三者之间的数量关系，并说明理由．
（1）解：结论：CE ∥AB ．
理由：如图1中，
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠B＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠B＝∠ACE＝60°，
∴∠BAC＝∠ACE＝60°，
∴AB∥CE．
（2）证明：如图2中，
由（1）可知，△ABD≌△ACE，
∴∠ADB＝∠AEC，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠AED＝∠ADE＝60°，
∵∠BEC＝60°，
∴∠AEC＝∠AED+∠BEC＝120°，
∴∠ADB＝∠AEC＝120°，
∴∠ADB+∠ADE＝120°+60°＝180°，
∴B，D，E共线．
（3）解：结论：BE＝AE+EC．
理由：在线段BE上取一点H，使得BH＝CE，设AC交BE于点O．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠BAC＝60°，
∵∠BEC＝60°，
∴∠BAO＝∠OEC＝60°，
∵∠AOB＝∠EOC，
∴∠ABH＝∠ACE，
∵BA＝CA，BH＝CE，
∴△ABH≌△ACE（SAS），
∴∠BAH＝∠CAE，AH＝AE，
∴∠HAE＝∠BAC＝60°，
∴△AEH是等边三角形，
∴AE＝EH，
∴BE＝BH+EH＝EC+AE，
即BE＝AE+EC．
已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与点B,点C重合）.以AD为边作等边三角形ADE,连接CE.
14、如图1，当点D在边BC上时，求证：△ABD≌△ACE;直接判断结论BC=DC+CE是否成立（不需要证明）；
如
图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写出BC、DC、CE之间存在的数量关系，并写出证明过程.
解析：
(1)∵△ABC和△ADE是等边三角形
∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC,AD=DE=AE ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC
∴∠BAD=∠EAC
在△ABD和△ACE中
AB=AC
∠B AD=∠EAC
AD=AE
∴△ABD≌△ACE(SAS)
∵△ABD≌△ACE
∴BD=CE
∵BC=BD+CD
∴BC=CE+CD
（2）∵△ABC和△ADE是等边三角形
∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC,AD=DE=AE ∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC
∴∠BAD=∠EAC
在△ABD和△ACE中
AB=AC
∠BAD=∠EAC
A D=AE
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴BD=CE
∵BD=BC+CD
∴CE=BC+CD
15、阅读情境：
在综合实践课上，同学们探究“全等的等腰直角三角形图形变化问题
如图1，△ABC≌△ADE，其中
∠B＝∠D＝90°，AB＝BC＝AD＝DE＝2，此时，点C与点E重合，
操作探究1
（1）小凡将图1中的两个全等的△ABC和△ADE按图2方式摆放，点B落在AE上，CB所在直线交DE所在直线于点M，连结AM，求证：BM＝DM．
操作探究2
（2）小彬将图1中的△ABC绕点A按逆时针方向旋转角度a（0°＜a＜90°），然后，分别延长BC，DE，它们相交于点F．
如图3，在操作中，小彬提出如下问题，请你解答：
①a＝30°时，求证：△CEF为等边三角形；
②当a＝45°时，AC∥FE．（直接回答即可）
操作探究3
（3）小颖将图1中的△ABC绕点A按顺时针方向旋转角度β（0°＜β＜90°），线段BC和DE相交于点F，在操作中，小颖提出如下问题，请你解答：
①如图4，当β＝60°时，直接写出线段CE的长为2；
②如图5，当旋转到点F是边DE的中点时，直接写出线段CE的长为．
【解析】（1）证明：如图2中，
∵∠ABM＝∠D＝90°，AM＝AM，AB＝AD，∴Rt△AMB≌Rt△AMD（HL），
∴BM＝DM．
（2）①证明：如图3中，
∵CA＝AE，∠CAE＝30°，
∴∠ACE＝∠AEC＝75°，
∵AB＝BC＝AD＝DE，∠B＝∠D＝90°
∴∠ACB＝∠AED＝45°，
∴∠BCE＝∠CDE＝120°，
∴∠FCE＝∠FEC＝60°，
∴△EFC是等边三角形．
②解：∵AC∥EF，
∴∠CAE＝∠AED＝45°，
∴当α＝45°时，AC∥EF．
故答案为45°．
（3）①解：如图4中，连接EC．
∵∠EAC＝β＝60°，AE＝AC，
∴△AEC是等边三角形，
∵AD＝DE＝2，∠ADE＝90°，
∴AE2，
∴EC＝AE＝2．
故答案为2．
②解：如图5中，连接AF，BD交于点O．
∵∠ABF＝∠ADF＝90°，AF＝AF，AB＝AD，
∴Rt△ABF≌Rt△ADF（HL），
∴BF＝DF，
∵DF＝EF＝1，
∴BF＝DF＝1，
∵BC＝2，
∴BF＝CF＝1，
∵BF＝CF＝DF＝EF，∠BFD＝∠CFE，
∴△BFD≌△CFE（SAS），
∴EC＝BD．
∵AB＝AD，FB＝FD，
∴AF垂直平分线段BD，
∴OB＝OD，
在Rt△ABF中，∵∠ABF＝90°，AB＝2，BF＝1，∴AF，
∵S△ABF•AB•BF•OB•AF，
∴OB，
∴BD＝2OB，
∴EC＝BD．
故答案为．。