高三一轮复习_排列组合共32页
高考一轮总复习 数学 第10章 第2讲 排列与组合
5．[2016·永州模拟]两男两女共 4 个学生站成一排照相，两个女生必须相邻的站法有__1_2_____种．(用数 字作答)
解析 根据题意，分两步进行，先将 2 名女生排在一起看成一个元素，考虑其顺序有 A22种情况，再与 2 名男生全排列有 A33种情况，则不同的排列方法有 A33A22＝12 种．
第10章 计数原理、概率、随机变量及分布列
第2讲 排列与组合
1.理解排列、组合的概念. 2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式. 3.能解决简单的实际问题.
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点 1 排列与排列数
1．排列 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列 ，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个
①A 中 2 人，B 中 1 人，C 中 2 人，有 C24＝6 种分法； ②A 中 1 人，B 中 2 人，C 中 2 人，有 C24C12＝12 种分法； ③A 中 2 人，B 中 2 人，C 中 1 人，有 C24C12＝12 种分法， 即甲被分到 B 宿舍的分法有 30 种，同样甲被分到 C 宿舍的分法也有 30 种，所以甲不到 A 宿舍一共有 60 种分法．
板块二 典例探究·考向突破
点击观看 考点视频
考向 排列问题
例 1 [2015·四川高考]用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40000 大的偶数共有( )
A．144 个
B．120 个
C．96 个
D．72 个
[解析] 当五位数的万位为 4 时，个位可以是 0,2，此时满足条件的偶数共有 C12A43＝48(个)；当五位数 的万位为 5 时，个位可以是 0,2,4，此时满足条件的偶数共有 C13A43＝72(个)，所以比 40000 大的偶数共有 48 ＋72＝120(个)，选 B.
排列与组合讲义-高三数学一轮复习
排列与组合一、学习目标理解排列、组合的概念,能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.二、知识梳理1.排列与组合的概念（1）排列：从n 个不同元素中取出m (m ≤n ) 个元素，按照 排成一列.（2）组合：从n 个不同元素中取出m (m ≤n ) 个元素作为一组.2.排列数、组合数的定义、公式、性质（1）排列数(i ) 从n 个不同元素中取出m (m ≤n ) 个元素的所有 的个数.(ii)A n m =n (n −1)(n −2)…(n −m +1)= .(iii)A n n =n ！ ，0！=1 .（2）组合数(i ) 从n 个不同元素中取出m (m ≤n ) 个元素的所有 的个数.(ii)C n m =A nm A m m =n (n−1)(n−2)…(n−m+1)m ！= .(iii)C n m =C n n−m ，C n m +C n m−1=C n+1m ，C n n =1 ，C n 0=1 .三、典例探究例1 已知7位同学站成一排.（1） 甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？（2） 甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？（3）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？（4）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？变式：3男3女共6位同学站成一排，则3位女生中有且只有2位女生相邻的不同排法种数是( )A. 576B. 432C. 388D. 216例2小明在学校里学习了二十四节气歌后，打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗，他准备在冬季的6个节气：立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒与春季的6个节气：立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨中一共选出4个节气，搜集与之相关的古诗，如果冬季节气和春季节气各至少被选出1个，那么小明选取节气的不同情况的种数是( ) A. 345 B. 465 C. 1 620 D. 1 860变式：共有10级台阶，某人一步可跨一级台阶，也可跨两级台阶或三级台阶，则他恰好6步上完全部台阶的方法种数是( )A. 30B. 90C. 75D. 60方法感悟1.解排列、组合问题要遵循的两个原则（1）按元素（位置）的性质进行分类.（2）按事情发生的过程进行分步.2.两类含有附加条件的组合问题的解题方法（1）“含”或“不含”某些元素的组合题型：若“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；若“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取.（2）“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：“至少”与“至多”问题用直接法或间接法都可以求解，用直接法分类复杂时，可用间接法求解.四、课堂练习1．从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是()A．12B．24C．64D．812．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为()A．36B．120C．720D．2403.现有3名学生报名参加校园文化活动的3个项目，每人须报1项且只报1项，则恰有2名学生报同一项目的报名方法有( )A. 36种B. 18种C. 9种D. 6种4．某市从6名优秀教师中选派3名同时去3个灾区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，则不同的选派方案的种数为()A．48B．60C．96D．1685. 从4本不同的课外读物中，选3本送给3位同学，每人1本，则不同的送法种数是( )A. 12B. 24C. 64D. 816. 6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( )A. 120种B. 90种C. 60种D. 30种。
排列组合课件-高三数学一轮复习
源于探索外太空的渴望，航天事业在 21世纪获得了长足的发展.太空中的环境为某些科学实验提供了有利条件， 宇航员常常在太空旅行中进行科学实验.在某次太空旅行中，宇航员们负 责的科学实验要经过5道程序，其中A，B两道程序既不能放在最前，也 不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有
√ A.18种 B.36种 C.72种 D.108种
先排甲、乙，有 A24种排法，再排丙，有 A14种排法，其余 5 人有 A55种排 法，故不同的排法共有 A24A14A55＝5 760(种).
题型二 组合问题
从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的 有 A.如果4人全部为男生，那么有30种不同的选法 B.如果4人中男生、女生各有2人，那么有30种不同的选法
如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，在剩下的 8 人中再选 2 人即 可，有 C28＝28(种)，故 C 正确；
在 10 人中任选 4 人，有 C410＝210(种)，甲、乙都不在其中的选法有 C48 ＝70(种)， 故 男 生 中 的 甲 和 女 生 中 的 乙 至 少 要 有 1 人 在 内 的 选 法 有 210 － 70 ＝ 140(种)，故D正确.
第一步，先从 4 名学生中任取两人组成一组，与剩下 2 人分成三组， 有 C24＝6(种)不同的方法；第二步，将分成的三组安排到甲、乙、丙三 地，则有 A33＝6(种)不同的方法.故共有 6×6＝36(种)不同的安排方案.
题型一 排列问题
中国国家滑雪队将开展自由式滑雪项目中的空中技巧、雪上技巧、障碍
将9名大学生志愿者安排在星期五、星期六及星期日3天参加社区公益活 动，每天分别安排3人，每人参加一次，则不同的安排方案共有_1__6_8_0_ 种.(用数字作答)
《高三排列组合复习》课件
应用
计算在n个不同元素中取出m个 元素进行组合的不同方式的数目
。
示例
在5个不同元素中取出3个元素进 行组合的不同方式的数目为 $C_{5}^{3} = frac{5 times 4
times 3}{1 times 2 times 3} = 10$。
排列组合的逆序数计算
逆序数的定义
排列与组合的差异
排列考虑顺序，组合不考虑顺 序；
排列数的计算需要考虑取出的 元素顺序，而组合数的计算则 不需要考虑取出的元素顺序；
在实际应用中，排列和组合各 有其适用场景，需要根据具体 问题选择使用。
02
排列组合基本公式的应用
排列数公式的应用
排列数公式
$A_{n}^{m} = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$
06
复习总结与展望
本章重点回顾
排列组合的基本概念
排列组合的解题思路
排列和组合的定义、排列数和组合数 的计算公式等。
如何根据问题类型选择合适的解题方 法，如分步乘法计数原理、分类加法 计数原理等。
排列组合的常见问题类型
如分组、分配、排列、组合等问题。
学习心得体会
通过本次复习，我更加深入地理解了 排列组合的基本概念和计算方法，对 于常见问题类型也有了更清晰的认识 。
定序问题
总结词
解决定序问题需要使用定序法，根据题意确定元素的顺序。
详细描述
在排列组合问题中，有时需要特别注意元素的顺序。例如，有5个不同的书和4 个不同的笔，要求书和笔的顺序为“书-笔-书-笔-书”，则只要使用分组法，将元素分成若干组进行排列。
详细描述
求函数 y = x^2 - 4x + 4 在区间 [0,4] 的最值点
高三数学第一轮复习：排列、组合知识精讲
高三数学第一轮复习：排列、组合【本讲主要内容】排列、组合分类计数原理、分步计数原理、排列、排列数公式、组合、组合数公式【知识掌握】 【知识点精析】1. 两个原理 （1）分类计数原理 做一件事，完成它可以有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同方法，在第2类办法中有m 2种方法，……，在第n 类办法中有m n 种方法，那么完成这件事共有N=m m m n 12+++…种不同方法。
（2）分步计数原理做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同方法，做第2步有m 2种不同方法……做第n 步有m n 种不同方法，那么完成这件事共有N m m =⋅12……m n 种不同方法。
说明：两个原理的运用、理解须注意的几点：（1）必须搞清楚两个原理的条件和结论，分清它们的异同，分类完成用分类计数原理，即独立事件相加；分步完成用分步计数原理，即相连事件相乘。
（2）处理具体的应用题时，首先必须弄清是“分类”还是“分步”，其次要搞清楚“分类”或“分步”的具体标准是什么。
因此，在解题时必须认真审题，搞清楚题目的条件、结论。
（3）对于一些比较复杂的既要运用分类计数原理，又要运用分步计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题的分析更直观、清楚，积累解决实际问题的经验。
框图和树形图是解决这类问题的有效的直观形象工具。
（4）分类计数原理与分步计数原理是排列组合问题的最基本的原理，是推导排列数公式、组合数公式的理论依据，也是求解排列、组合问题的基本思想方法。
2. 排列（1）排列、排列数公式①排列：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。
其中，“一定的顺序”指每一次取出的元素与它所排的“位置”有关，两个排列相同，不但所有元素相同，而且排列顺序也要相同。
②排列数公式：从n 个不同元素中取出m （m n ≤）个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A n m 表示，其中A n n是全排列。
高考数学一轮复习全程复习构想数学(理)【统考版】第二节 排列与组合(课件)
定义
排列数 从n个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有 _不__同__排_列__的个数
组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个 元素的所有_不__同_组__合__的个数
公式
性质
n！
1
× √
×
√
(二)教材改编 2．[选修2－3·P27T7改编]学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演 出顺序，除第1个节目和最后1个节目已确定外，还有4个音乐节目，3 个舞蹈节目，2个曲艺节目，3个舞蹈节目要求不能相邻，2个曲艺节 目出场前后顺序已定，共有__7_5__60_0__种不同排法．
反思感悟 1．求解排列应用题的主要方法
选定一个适当的分类标准，将要完成的事件分成几个类型，
直接 法
分类法 分步法
分别计算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出 总数 选定一个适当的标准，将事件分成几个步骤来完成，分别计 算出各步骤的排列数，再由分步乘法计数原理得出总数
捆绑法
相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他 元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列(如本例(3))
接法求解．
【对点训练】
1．[2023·昆明市“三诊一模”质量检测]小华在学校里学习了二十四 节气歌，打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗，他准备在立 冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒6个冬季节气与立春、雨水、惊 蛰、春分、清明、谷雨6个春季节气中一共选出3个节气，若冬季节气 和春季节气各至少选出1个，则小华选取节气的不同方法种数是( )
【对点训练】 1．[2023·甘肃兰州实战模拟]某国际会议结束后，中、美、俄等21国 领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人 站在前排正中间位置，美、俄两国领导人也站在前排并与中国领导人 相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共 有( )
高考数学一轮总复习课件：排列与组合
其余 6 人有 A66种方法，故共有 5×A66＝3 600(种)．
方法二：排头与排尾为特殊位置．排头与排尾从非甲的 6 个 人中选 2 个排列，有 A26种方法，中间 5 个位置由余下 4 人和甲进 行全排列，有 A55种方法，共有 A26×A55＝3 600(种)．
(4)(捆绑法)将女生看成一个整体，与 3 名男生在一起进行全 排列，有 A44种方法，再将 4 名女生进行全排列，也有 A44种方法， 故共有 A44×A44＝576(种)．
再除以定序元素的全排列 正难则反，等价转化的方法
思考题 1 (1)(2019·上海春季高考题)某校组队参加辩 论赛，从 6 名学生中选出 4 人分别担任一、二、三、四辩，若其 中学生甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为 ___1_8_0___(结果用数值表示)．
【解析】 先安排甲，有 3 种情况，再从剩下的 5 名学生中选 3 人排列，有 A35种情况，
∴共有 3A35＝180 种方法．
(2)在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施 6 个程序，
其中程序 A 只能出现在第一或最后一步，程序 B 和 C 在实施时
必须相邻，则实验顺序的编排方法共有( C )
A．34 种
B．48 种
C．96 种
D．144 种
【解析】 程序 A 有 A12＝2(种)，将程序 B 和 C 看作一个整体 与除 A 外的元素排列，有 A22A44＝48(种)，所以由分步乘法计数原理， 实验顺序的编排方法共有 2×48＝96(种)．故选 C.
(5)分三步进行： 第一步：选 1 男 1 女分别担任两个职务为 C17C15种； 第二步：选 2 男 1 女补足 5 人有 C26C14种； 第三步：为这 3 人安排工作有 A33种． 由分步乘法计数原理共有 C17C15C26C14A33＝12 600 种选法． 【答案】 (1)120 (2)252 (3)672 (4)596 (5)12 600
高三第一轮复习——排列、组合、二项式定理
0 n
1 n
n
C 15 C C 161700
2 6 97 100 4 6
15
C 56
3 8
2.用排列数表示下列各式：
① ②
10 9 8 7 6
24 23 21 3 2 1
n ( n 1) ( n 2) ( n 3)
n
2 C C C C C C _____ .
1 11 3 11 5 11 7 11 9 11 11 11
10
3.（x-2)9的展开式中，第6项的二项式系数
是……………………………………（ C ）
A.4032 B.-4032 C.126 D.-126
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m n
P
m n
C
P
m m
m n m m m m 1 Cn Cn Cn C C ， 1 n n
全排列：n个不同元素全部取出的一个排列.全排列数公式：所 需要更完整的资源请到 新世纪 n 有全排列的个数，即：Pn 教育网 - n ( n 1) ( n 2) 2 1
两个原理的区别与联系：
名称 内容
加法原理
做一件事，完成它可以有n类办法， 第一类办法中有m1种不同的方法， 第二类办法中有m2种不同的方法…， 第n类办法中有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有 N=m1+m2+m3+…mn 种不同的方法
乘法原理
做一件事，完成它可以有n个步骤， 做第一步中有m1种不同的方法， 做第二步中有m2种不同的方法……， 做第n步中有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有 N=m1· m2· m3·…·mn 种不同的方法.
高三一轮复习_排列组合
7
4．(2010·北京)8 名学生和 2 位老师站成一排合影，2 位老
师不相邻的排法种数为( A )
A．A88A29
B．A88C29
C．A88A27
D．A88C27
解析 不相邻问题用插空法，先排学生有 A88种排法，老 师插空有 A29种方法，所以共有 A88A29种排法．
2021/7/17
8
5．某电视台连续播放 5 个广告，其中有 3 个不同的商业广告和 2 个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传 广告，且 2 个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方 式有( C ) A．120 种 B．48 种 C．36 种 D．18 种
2021/7/17
22
探究提高 排列、组合综合题目，一般是将符合要求的元素 取出(组合)或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排 列．其中分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的 差异及分类的标准．
2021/7/17
23
变式训练 3 (2010·湖北)现安排甲、乙、丙、丁、戊 5 名同 学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导 游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参 加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、 戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是( B ) A．152 B．126 C．90 D．54
2021/7/17
19
变式训练 2 某高三学生希望报名参加某 6 所高校中的 3 所学 校的自主招生考试，由于其中两所学校的考试时间相同，因 此该学生不能同时报考这两所学校．该学生不同的报考方法 种数是__1_6_____．(用数字作答)
解析 从 6 所高校中任选 3 所有 C36＝20(种)不同选法，其中 同时报考 2 所考试时间相同的选法数为 C14＝4(种)，故不同的 报名方法种数为：C36－C14＝20－4＝16(种)．
高三一轮复习 排列组合共34页文档
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
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27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
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30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
34
高三排列组合复习共33页共35页文档
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
பைடு நூலகம்
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
高三排列组合复习共33页
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
高三一轮复习排列与组合
排列与组合一、知识与方法：1、分类加法计数原理与分步乘法计数原理：分类相加指每一类中的每种方法就能完成这件事；分步相乘指一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的。
2、排列与组合：（1）排列、组合、排列数、组合数的概念；（2）排列与组合的区别：__________________________；（3）排列数与组合数联系：m mm n n n A C A ⨯=；要知道排列数计算公式的推导过程； （4）排列数公式m n A )!(!)1()1(m n n m n n n -=+--= ； 组合数公式!)!(!321)1()2)(1(m m n n m m n n n n C m n -=⨯⨯⨯⨯+---= 。
其中n m N m N n ≤∈∈+,,。
（5）规定=0n A ____ ；=0n C ____ ；n nA =______。
（6）排列数与组合数的性质：① m n n m n C C -=； ② !(1)!!n n n n ⋅=+-； ③ 11(1)!!(1)!n n n n =-++。
3、解排列、组合题的依据是：分类相加、分步相乘、有序排列、无序组合；基本规律有：（1）分类计数原理与分步计数原理使用方法有单独使用与联合使用两种。
（2）对于带限制条件的排列问题，通常从以下三种途径考虑：① 元素分析法：先考虑特殊元素要求，再考虑其他元素；② 位置分析法：先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置；③ 间接法：先算出不带限制条件的排列数，再减去不满足限制条件的排列数。
（3）解组合问题应注意：① 对结果恰当地分类，设计“分组方案”是解组合题的关键所在；② 是用“直接法”还是“间接法”求解，其原则是“正难则反”；4、解决排列、组合问题的常规方法或类型：（1）元素分析法、先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；（2）位置分析法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；（3）捆绑法：解决相邻问题的方法，把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”排列，要注意是否需要“松绑”，即特殊元素是否要全排列。