高中数学必修二 期末模拟卷01(含答案)

期末模拟试卷1
一、单项选择题
1. 若复数(1)(z m m i m =+-∈)R 的虚部为1，则z 在复平面对应的点的坐标为(
)
A. (2,1)-
B. (2,1)
C. (2,1)-
D. ( 2.1)--
【答案】A 【解析】 【分析】
本题考察复数的概念，共轭复数和复数的几何意义，属于基础题. 根据虚部为1求出m ，再根据共轭复数定义写出答案. 【解答】 解：
(1)()z m m i m R =+-∈的虚部为1，
11m ∴-=得2m =，所以2z i =+，2z i =-，
故z 在复平面对应的点的坐标为(2,1)-， 故答案选.A
2. “幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，
常用区间[]0,10内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高，现随机抽取6位小区居号，他们的幸福感指数分别为5，6，7，8，9，5，则这组数据的第80百分位数是(
)
A. 7
B. 7.5
C. 8
D. 9
【答案】C 【解析】 【分析】
本题考查一组数据的百分数问题，属于基础题.
把该组数据从小到大排列，计算680%⨯，从而找出对应的第80百分位数； 【解答】
解：该组数据从小到大排列为：5，5，6，7，8，9，且680% 4.8⨯=， 故选：.C
3. 设α为平面，a ，b 为两条不同的直线，则下列叙述正确的是()
A. 若//a α，//b α，则//a b
B. 若a α⊥，//a b ，则b α⊥
C. 若a α⊥，b a ⊥，则//b α
D. 若//a α，b a ⊥，则b α⊥
【答案】B 【解析】 【分析】
本题考查命题的真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 利用空间线线、线面、面面间的关系对每一个选项逐一分析判断得解． 【解答】
解：若//a α，//b α，则a 与b 相交、平行或异面，故A 错误； 若a α⊥，//a b ，则由直线与平面垂直的判定定理知b α⊥，故B 正确； 若a α⊥，b a ⊥，则//b α或b α⊂，故C 错误；
若//a α，b a ⊥，则//b α，或b α⊂，或b 与α相交，故D 错误． 故选：.B
4. 在平行四边形ABCD 中，BE =
13BC ，DF =1
2
DC ，则EF = A. -23
B. -1
2
+23
C.
1
3
-
34
D. -13+
34
【答案】B 【解析】
【分析】
本题考查平面向量的加减运算，属于基础题.
利用向量的加法表示出EF ，再利用共线转化可得到答案. 【解答】
解：因为13BE BC =，1
2
DF DC =， 所以2112
.3223
EF EC CF BC CD AB AD =+=+=-+
故答案选.B
5. 已知圆锥的表面积为3π，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为()
A.
3
B. C.
23
π D. 2π
【答案】A 【解析】 【分析】
本题主要考查圆的面积、周长、圆锥的侧面积及体积等知识点，考查运算求解能力，属于基础题型.
设圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线为l ，根据其表面积为3π，得到2
3rl r +=，再
由它的侧面展开图是一个半圆，得到2r l ππ=，联立求得半径和高，利用体积公式求解. 【解答】
解：设圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线为l ， 因为其表面积为3π，
所以2
3rl r πππ+=，
即2
3rl r +=，
又因为它的侧面展开图是一个半圆， 所以2r l ππ=， 即2l r =，
所以1,2,r l h ====
所以此圆锥的体积为211.33V r h ππ=
== 故选：.A
6. 《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事，其中，田忌的上等马优于齐王的中等马，
劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马，若双方各自拥有上等马、中等马、下等马各1匹，且双方各自随机选1匹马进行1场比赛，则田忌的马获胜的概率为(
)
A.
5
6
B.
23
C.
13
D.
16
【答案】C 【解析】 【分析】
本题考查古典概型，是基础题.
本题先将所有的基本事件都列出来共9种，再将田忌的马获胜的事件选出共3种，最后计算概率即可. 【解答】
解：设田忌的上等马为1A ，中等马为：2A ，下等马为3A ， 齐王的上等马为1B ，中等马为：2B ，下等马为3B ， 双方各自随机选1匹马进行1场比赛产生的基本事件为：
11A B ，12A B ，13A B ，21A B ，22A B ，23A B ，31A B ，32A B ，33A B ，共9种；
其中田忌的马获胜的事件为：12A B ，13A B ，23A B ，共3种， 所以田忌的马获胜的概率为：31.93
P =
= 故选：.C
7. 雕塑成了大学环境不可分割的一部分，有些甚至能成为这
个大学的象征，在中国科学技术大学校园中就有一座郭沫若的雕像．雕像由像体AD 和底座CD 两部分组成．如图，在Rt ABC 中，70.5ABC ︒
∠=，在Rt DBC 中，
45DBC ︒∠=，且 2.3CD =米，求像体AD 的高度()(
最后结果精确到0.1米，参考数据：sin 70.50.943︒
≈，cos70.50.334︒
≈，
tan 70.5 2.824)︒≈
A. 4.0米
B. 4.2米
C. 4.3米
D. 4.4米
【答案】B 【解析】 【分析】
本题考查解三角形的实际应用中的高度问题的求解，属于基础题. 在Rt BCD 和Rt ABC 中，利用正切值可求得AC ，进而求得.AD 【解答】
解：在Rt BCD 中， 2.3(tan CD
BC DBC
=
=∠米)，
在Rt ABC 中，tan 2.3 2.824 6.5(AC BC ABC =∠≈⨯≈米)，
6.5 2.3 4.2(AD AC CD ∴=-=-=米).
故选：.B
8. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，原点O 为正八边形12345678PP P P P P P P 的中心，
18PP x ⊥轴，若坐标轴上的点(M 异于点)O 满足j 0(i OM OP OP ++=其中
1,8i j ，且i 、*)j N ∈，则满足以上条件的点M 的个数为()
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
【答案】D 【解析】 【分析】
本题考查符合条件的点的个数的求解，考查了平面向量加法法则的应用，属于中等题. 分点M 在x 、y 轴进行分类讨论，可得出点i P 、j P 关于坐标轴对称，由此可得出点M 的个数. 【解答】
解：分以下两种情况讨论：
①若点M 在x 轴上，则i P 、(
)*
j 1,8,,P i j i j N
∈关于x 轴对称，
由图可知，1P 与8P 、2P 与7P 、3P 与6P 、4P 与5P 关于x 轴对称， 此时，符合条件的点M 有4个；
②若点M 在y 轴上，则i P 、(
)*
j 1,8,,P i j i j N
∈关于y 轴对称，
由图可知，1P 与4P 、2P 与3P 、5P 与8P 、6P 与7P 关于y 轴对称， 此时，符合条件的点M 有4个.
综上所述，满足题中条件的点M 的个数为8. 故选：.D
二、多项选择题
9. 已知复数z 满足(1)2i z i -=，则下列关于复数z 的结论正确的是()
A. ||z =
B. 复数z 的共轭复数为1z i =--
C. 复平面内表示复数z 的点位于第二象限
D. 复数z 是方程2220x x ++=的一个根
【答案】ABCD 【解析】 【分析】
本题考查了复数的除法运算，考查了复数的模长公式，考查了复数的几何意义，属于基础题.
利用复数的除法运算求出1z i =-+，再根据复数的模长公式求出||z ，可知A 正确；根据共轭复数的概念求出z ，可知B 正确；根据复数的几何意义可知C 正确；将z 代入方程成立，可知D 正确. 【解答】
解：因为(1)2i z i -=，所以22(1)2211(1)(1)2
i i i i z i i i i +-+=
===-+--+，所以
||z ==A 正确；
所以1z i =--，故B 正确；
由1z i =-+知，复数z 对应的点为(1,1)-，它在第二象限，故C 正确；
因为2
(1)2(1)222220i i i i -++-++=--++=，所以D 正确. 故选：.ABCD
10. 某市教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他
们的身高都处在A ，B ，C ，D ，E 五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则下面叙述正确的是(
)
A. 样本中女生人数多于男生人数
B. 样本中B 层人数最多
C. 样本中E 层次男生人数为6人
D. 样本中D 层次男生人数多于女生人数
【答案】ABC 【解析】 【分析】
本题考查了统计图表，意在考查学生的计算能力和应用能力. 根据直方图和饼图依次判断每个选项的正误得到答案. 【解答】
解：样本中女生人数为：924159360++++=，男生数为1006040-=，A 正确； 样本中A 层人数为：94010%13+⨯=；样本中B 层人数为：244030%36+⨯=；
样本中C 层人数为：154025%25+⨯=；样本中D 层人数为：94020%17+⨯=； 样本中E 层人数为：34015%9+⨯=；故B 正确； 样本中E 层次男生人数为：4015%6⨯=，C 正确；
样本中D 层次男生人数为：4020%8⨯=，女生人数为9，D 错误. 故选：.ABC
11. 已知事件A ，B ，且()0.5P A =，()0.2P B =，则下列结论正确的是()
A. 如果B A ⊆，那么()
0.2P A B =，()0.5P AB = B. 如果A 与B 互斥，那么()0.7P A B ⋃=，()0P AB = C. 如果A 与B 相互独立，那么()0.7P A B ⋃=，()0P AB = D. 如果A 与B 相互独立，那么()0.4P AB =，()0.4P AB =
【答案】BD 【解析】 【分析】
本题考查在包含关系，互斥关系，相互独立的前提下的和事件与积事件的概率，是基础题.
A 选项在
B A ⊆前提下，计算出()0.5P A
B =，()0.2P AB =，即可判断；
B 选项在A 与B 互斥前提下，计算出()0.7P A B ⋃=，()0P AB =，即可判断；
C 、
D 选项在A 与B 相互独立前提下，计算出()0.7P A B ⋃=，()0.1P AB =，
()()()0.4P AB P A P B =⋅=，()()()0.4P AB P A P B =⋅=，即可判断.
【解答】
解：A 选项：如果B A ⊆，那么()0.5P A
B =，()0.2P AB =，故A 选项错误；
B 选项：如果A 与B 互斥，那么()0.7P A B ⋃=，()0P AB =，故B 选项正确；
C 选项：如果A 与B 相互独立，那么()0.7P A B ⋃=，()0.1P AB =，故C 选项错误；
D 选项：如果A 与B 相互独立，那么()()()
0.4P AB P A P B =⋅=，
()()()0.4P AB P A P B =⋅=，故D 选项正确.
故选：.BD
12. 如图，正方体ABCD A B C D -''''的棱长为1，则下
列四个命题正确的是(
)
A. 若点M ，N 分别是线段A A '，A D ''的中点，则
//MN BC '
B. 点C 到平面ABC D ''的距离为2
C. 直线BC 与平面ABC D ''所成的角等于
4
π
D. 三棱柱AA D BB C ''-''的外接球的表面积为3π
【答案】ACD 【解析】 【分析】
本题考查命题真假的判断，通过线线平行、点到面的距离、线面角，以及外接球的知识点来考查，解题时要注意空间思维能力的培养，是中档题. A 选项：通过平行的传递性得到结论；
B 选项：根据点
C 到平面ABC
D ''的距离为C
E ，进一步得到答案;
C 选项：根据直线BC 与平面ABC
D ''所成的角为CBC ∠'，进一步得出结论； D 选项：根据三棱柱AA D BB C ''-''的外接球的半径为正方体ABCD A B C D -''''体对角线的一半，进一步得到答案.
【解答】
解：A 选项：若点M ，N 分别是线段A A '，A D ''的中点，则//MN AD '又
//BC AD '' 所以//MN BC '，故A 正确；
B 选项：连接CB '交B
C '于点E ，由题易知点C 到平面ABC
D ''的距离为C
E ，正方体ABCD A B C D -''''的棱长为1，22
CE ∴=，故B 错误；
C 选项：易知直线BC 与平面ABC
D ''所成的角为CBC ∠'，
4CBC π
∴∠'=，故C 正确；
D 选项：易知三棱柱AA D BB C ''-''的外接球的半径为正方体ABCD A B C D -''''体对角线的一半，
3R ∴= ∴表面积为2234=4=32R πππ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，故D 正确.
故选：.ACD
三、填空题
13. 已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且cos cos sin b C c B a A +=，
则A =__________.
【答案】
2
π 【解析】 【分析】
本题主要考查正弦定理的应用．解题的关键是利用正弦定理把等式中的边转化为角的正弦，属于基础题．
根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得sin A 的值进而求得.A
【解答】
解：cos cos sin b C c B a A +=，
2sin cos sin cos sin()sin sin B C C B B C A A ∴+=+==，
sin 0A ≠，
sin 1A ∴=，
∴由于A 为三角形内角，可得.2A π
= 故答案为：.2
π
14. 已知数据1x ，2x ，3x ，…，n x 的平均数为10，方差为2，则数据121x -，221x -，
321x -，…，21n x -的平均数为__________，方差为__________.
【答案】19
8
【解析】
【分析】
本题考查了平均数与方差的计算，考查了运算求解能力，属于基础题.
由题意结合平均数公式和方差公式计算即可得解.
【解答】 解：由已知条件可得12310n x x x x n
+++
+=， ()()()()2222123101010102n x x x x n -+-+-++-=，
所以数据
121x -、221x -、321x -、、21n x -的平均数为
()()()()12321212121n x x x x x n -+-+-++-=
()12321210119n x x x x n
++++=-=⨯-=，
方差为 ()()()()2222
12322119211921192119n x x x x s n --+--+--++--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦=
()()()()2222
123220*********n x x x x n -+-+-++-=
22221234[(10)(10)(10)(10)]428n x x x x n
-+-+-++-==⨯=，
故答案为：19；8.
15. 已知||3a =，||2b =，(2)(3)18a b a b +⋅-=-，则a 与b 的夹角为__________.
【答案】
3
π 【解析】 【分析】
本题考查运用向量数量积的定义与运算求向量的夹角，是基础题.
先求29a =，24b =，6cos ,a b a b ⋅=，再根据()()
2318a b a b +⋅-=-化简整理得1cos ,2a b =，最后求a 与b 的夹角为.3
π 【解答】
解：||3a =，2b =，
22||9a a ∴==，22||4b b ==，
||||cos ,6cos ,a b a b a b a b ⋅=⋅⋅<>=<>，
(2)(3)18a b a b +⋅-=-，
22696cos ,6418a a b b a b ∴-⋅-=-<>-⨯=-，
整理得：1cos ,2
a b <>=， a ∴与b 的夹角为：.3
π 故答案为：3
π
16. 如图，在三棱锥V ABC -中，22AB =，VA VB =，1VC =，且AV BV ⊥，
AC BC ⊥，则二面角V AB C --的余弦值是__________.
【答案】34
【解析】
【分析】
本题考查二面角余弦值的计算，考查二面角的定义，考查计算能力，属于中等题. 取AB 的中点O ，连接VO 、OC ，证明出VO AB ⊥，OC AB ⊥，
可得出二面角V AB C --的平面角为VOC ∠，计算出VO 、OC ，利用余弦定理求得cos VOC ∠，由此可得出二面角V AB C --的余弦值.
【解答】
解：取AB 的中点O ，连接VO 、OC ，如下图所示：
VA VB =，O 为AB 的中点，则VO AB ⊥，且AV BV ⊥，22AB =122
VO AB ∴== 同理可得OC AB ⊥，且2OC =
，所以，二面角V AB C --的平面角为VOC ∠， 由余弦定理得2223cos 24
VO OC VC VOC VO OC +-∠==⋅， 因此，二面角V AB C --的余弦值为3
.4
故答案为：3
.4
四、解答题
17. 已知向量(2,1)a =，(3,1).b =-
(1)求向量a 与b 的夹角；
(2)若(3,)()c m m R =∈，且(2)a b c -⊥，求m 的值
【答案】解：()(1)2,1a =，()3,1b =-，
()23115a b ∴⋅=⨯+⨯-=，
由题得2||21a =+2||3(b =+=
设向量a 与b 的夹角为θ，则5cos 2||||5a b a b θ⋅===⨯， []0,θπ∈，所以4πθ=
， 即向量a 与b 的夹角为.4
π ()(2)2,1a =，()3,1b =-，()24,3a b ∴-=-，
()2a b c -⊥，()20a b c ∴-⋅=，
()3,c m =，()4330m ∴-⨯+=，解得 4.m =
【解析】本题考查了向量的夹角公式，向量的坐标运算和向量的垂直的条件，属于中档题．
(1)根据向量的坐标运算和向量的夹角公式即可求出.
(2)根据向量的坐标运算先求出()24,3a b -=-，再由垂直的条件得到
()4330m -⨯+=，解得即可．
18. 已知a 、b 、c 分别为ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，且a =1c =，2.3
A π=
(1)求b 及ABC 的面积S ；
(2)若D 为BC 边上一点，且，______，求ADB ∠的正弦值．
从①1AD =，②6CAD π∠=这两个条件中任选一个，补充在上面问题中，并作答． 【答案】解：(1)由余弦定理得222
2cos a b c bc A =+-， 整理得260b b +-=， 0b >，
2b ∴=，
1133sin 212222
S bc A ∴==⨯⨯⨯=； (2)选①，如下图所示：
在ABC 中，由正弦定理得2sin sin 3
AC BC B π=∠， 可得2sin
213sin 7
AC B BC π∠==， 在ABD 中，AD AB =，则ADB B ∠=∠，
21sin sin ADB B ∴∠=∠=
选②，在ABC 中，由正弦定理得2sin sin 3
AB BC C π
=∠， 可得2sin
213sin AB C BC π∠== 由于C ∠为锐角，则257cos 1sin 14
C C ∠=-∠=，
6ADB C π∠=∠+， sin sin ()6
ADB C π∴∠=∠+ 31sin cos 22
C C =∠+∠ 32115727+.2142147=
⨯⨯= 【解析】本题考查利用正、余弦定理解三角形以及三角形面积的计算，同时也考查了三角恒等变换，考查计算能力，属于中档题.
(1)利用余弦定理可得出关于b 的二次方程，可解出b 的值，进而可求得ABC 的面积S ；
(2)选①，在ABC 中，利用正弦定理可求得sin B ∠的值，再由AD AB =可得出ADB B ∠=∠，进而可求得ADB ∠的正弦值；
选②，利用正弦定理求得sin C ∠的值，由同角三角函数的基本关系可求得cos C ∠，再利用两角和的正弦公式可求得sin ADB ∠的值.
19. 在四面体A BCD -中，点E ，F ，M 分别是AB ，BC ，CD 的中点，且2BD AC ==，
1.EM =
(1)求证：//EF 平面ACD ；
(2)求异面直线AC 与BD 所成的角.
【答案】解：(1)由题意，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，所以//EF AC ， 因为EF ⊂/平面ACD ，AC ⊂平面ACD ，
所以//EF 平面ACD ；
(2)由(1)知//EF AC ，
因为点F ，M 分别是BC ，CD 的中点，可得//FM BD ，
所以EFM ∠即为异面直线AC 与BD 所成的角(或其补角).
在EFM 中，1EF FM EM ===，所以EFM 为等边三角形，
所以60EFM ︒
∠=， 即异面直线AC 与BD 所成的角为60.︒
【解析】本题主要考查了线面平行的判定与证明，以及异面直线所成角的求解.
(1)由点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，得到//EF AC ，结合线面平行的判定定理，即可求解；
(2)由(1)知//EF AC 和//FM BD ，得到EFM ∠即为异面直线AC 与BD 所成的角，在EFM 中，即可求解.
20.溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及
安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分．在竞赛中，甲、乙两个中学代表队狭路相逢，假设甲队
每人回答问题正确的概率均为2
3
，乙队每人回答问题正确的概率分别为
123
,,
234
，
且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响．
(1)分别求甲队总得分为3分与1分的概率；
(2)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率．
【答案】解：(1)记“甲队总得分为3分”为事件A，记“甲队总得分为1分”为事件B，
甲队得3分，即三人都回答正确，其概率为()2228 33327
P A=⨯⨯=，甲队得1分，即三人中只有1人回答正确，其余两人都答错，
其概率为()2222222222
(1)(1)(1)(1)(1)(1). 3333333339
P B=⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=
∴甲队总得分为3分与1分的概率分别为8
27
，
2
.
9
(2)记“甲队得分为2分”为事件C，记“乙队得分为1分”为事件D，事件C即甲队三人中有2人答对，其余1人答错，
则()2222222224
(1)(1)(1) 3333333339
P C=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯=，事件D即乙队3人中只有1人答对，其余2人答错，
则()1231231231
(1)(1)(1)(1)(1)(1) 2342342344
P D=⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=，由题意得事件C与事件D相互独立，
∴甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率：
()()()411.949
P CD P C P D ==⨯= 【解析】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
(1)记“甲队总得分为3分”为事件A ，记“甲队总得分为1分”为事件B ，甲队得3分，即三人都回答正确，甲队得1分，即三人中只有1人回答正确，其余两人都答错，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲队总得分为3分与1分的概率．
(2)记“甲队得分为2分”为事件C ，记“乙队得分为1分”为事件D ，事件C 即甲队三人中有2人答对，其余1人答错，事件D 即乙队3人中只有1人答对，其余2人答错，由题意得事件C 与事件D 相互独立，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率．
21. 如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，2PA AB BC ===，
点D 为线段AC 的中点，点E 为线段PC 上一点.
(1)求证：平面BDE ⊥平面.PAC
(2)当//PA 平面BDE 时，求三棱锥P BDE -的体积.
【答案】解：(1)证明：因为PA ⊥底面ABC ，且BD ⊂底面ABC ，
所以.PA BD ⊥
因为AB BC =，且点D 为线段AC 的中点，
所以.BD AC ⊥
又PA AC A =，
所以BD ⊥平面.PAC
又BD ⊂平面BDE ，
所以平面BDE ⊥平面.PAC
(2)解：因为//PA 平面BDE ，PA ⊂平面PAC ，平面PAC
平面BDE ED =，
所以//.ED PA
因为点D 为AC 的中点，所以点E 为PC 的中点.
法一： 由题意知点P 到平面BDE 的距离与点A 到平面BDE 的距离相等，
所以P BDE A BDE V V --=
1124
E ABD E ABC P ABC V V V ---=== 111222432
=⨯⨯⨯⨯⨯ 1.3
= 所以三棱锥P BDE -的体积为1
.3
法二：
因为//PA 平面BDE ，
由题意知点P 到平面BDE 的距离与点A 到平面BDE 的距离相等.
所以P BDE A BDE V V --=，
又AC =AD =BD =1DE =，
由(1)知，AD BD ⊥，又AD DE ⊥，且BD DE D ⋂=，所以AD ⊥平面BDE ， 所以13A BDE BDE V AD S -=⋅
111
1.323
=⨯= 所以三棱锥P BDE -的体积为1
.3
法三：
又AC =AD =BD =1DE =，
由(1)知：BD ⊥平面PDE ，
且111222
PDE S DE AD =⋅=⨯= 所以P BDE B PDE V V --=
13PDE BD S =⋅
11
.323
== 所以三棱锥P BDE -的体积为1
.3
【解析】本题考查面面垂直的证明，三棱锥的体积，是中档题.
(1)先证明PA BD ⊥，再证明BD AC ⊥，从而证明BD ⊥平面PAC ，最后证明平面BDE ⊥平面PAC ；
(2)先判断点E 为PC 的中点，再判断三棱锥P BDE -的体积等于三棱锥A BDE -的体积，最后求体积即可.
22.2020年开始，山东推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用“33
”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试(6选3)，每科满分100分，2020年初受疫情影响，全国各地推迟开学，开展线上教学．为了了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选科目进行线上检测，下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距20分成7组：
[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300],画出频率分布直方图如图所示．
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)由频率分布直方图；
()i求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数；
()ii估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(3)为了进一步了解选科情况，由频率分布直方图，在物理、化学、生物三科总分
成绩在[220,240)和[260,280)的两组中，用分层随机抽样的方法抽取7名学生，
再从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生来自不同组的概率．
【答案】解：(1)由(0.0020.00950.0110.01250.00750.0025)201a ++++++⨯=， 得0.005a =；
(2)()i 因为(0.0020.00950.011)200.450.5++⨯=<，
(0.0020.00950.0110.0125)200.70.5+++⨯=>，
所以中位数在[220,240),设中位数为x ，
所以(220)0.01250.05x -⨯=，解得224x =，
所以物理、化学、生物三科总分成绩的中位数为224；
()ii 这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数为
(0.0021700.00951900.0112100.01252300.0075250⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
0.0052700.0025290)20(0.34 1.805 2.31 2.875 1.875 1.350.725)+⨯+⨯⨯=++++++20⨯
11.2820225.6=⨯=
(3)物理、
化学、生物三科总分成绩在[220,240)和[260,280)的两组中的人数分别为：0.01252010025⨯⨯=人，0.0052010010⨯⨯=人，
根据分层随机抽样可知，
从成绩在[220,240)的组中应抽取25752510
⨯=+人，记为,,,,a b c d e ， 从成绩在[260,280)的组中应抽取2人，记为,f g ，
从这7名学生中随机抽取2名学生的所有基本事件为：
(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a c a d a e a f a g b c b d b e b f b g c d c e c f c g ，(,),(,),(,),(,),(,),(,)d e d f d g e f e g f g ，共有21种，
其中这2名学生来自不同组的共有10种，
根据古典概型的概率公式可得所求概率为10.21
【解析】本题考查了利用频率分布直方图求中位数、平均数，考查了分层抽样，考查了古典概型的概率公式，属于中档题.
(1)根据7组频率和为1列方程可解得结果；
(2)()i 根据前三组频率和为0.450.5<，
前四组频率和为0.70.5>可知中位数在第四组，设中位数为x ，根据(220)0.01250.05x -⨯=即可解得结果；
()ii 利用各组的频率乘以各组的中点值，再相加即可得解；
(3)根据分层抽样可得从成绩在[220,240)的组中应抽取5人，从成绩在[260,280)的组中应抽取2人，再用列举法以及古典概型的概率公式可得解.。