高中数学 第三章3.3.2简单的线性规划问题(一)课时练习 新人教A版必修5
高中数学第三章不等式3.3.2简单的线性规划问题练习新人教A版必修5
3.3.2简单的线性规划问题课后篇巩固探究A组1.已知某线性规划问题中的目标函数为z=3x-y,若将其看成直线方程,则z的几何意义是()A.该直线的截距B.该直线的纵截距C.该直线的纵截距的相反数D.该直线的横截距解析由z=3x-y,得y=3x-z,在该方程中-z表示直线的纵截距,因此z表示该直线的纵截距的相反数.答案C2.目标函数z=x-y在的线性约束条件下,取得最大值的可行解为()A.(0,1)B.(-1,-1)C.(1,0)D.解析可以验证这四个点均是可行解,当x=0,y=1时,z=-1;当x=-1,y=-1时,z=0;当x=1,y=0时,z=1;当x=,y=时,z=0.排除选项A,B,D,故选C.答案C3.若变量x,y满足约束条件目标函数为z=4x+2y,则有()A.z有最大值无最小值B.z有最小值无最大值C.z的最小值是8D.z的最大值是10解析由z=4x+2y,得y=-2x+.作出不等式组对应的平面区域,如图阴影部分所示.平移直线y=-2x,当直线y=-2x+经过点B(0,1)时,直线y=-2x+在y轴上的截距最小,此时z最小,且z min=2.当直线y=-2x+经过点C(2,1)时,直线y=-2x+在y轴上的截距最大,此时z最大,且z max=4×2+2×1=10.故选D.答案D4.若直线y=2x上存在点(x,y)满足约束条件则实数m的最大值为()A.-1B.1C. D.2解析满足约束条件的平面区域如图中的阴影部分所示,由得交点P(1,2).当直线x=m经过点P时,m取到最大值1.答案B5.已知实数x,y满足约束条件则z=2x+y的最小值为.解析因为z=2x+y,所以y=-2x+z.不等式组满足的平面区域如图阴影部分所示.平移直线2x+y=0,由图形可求得z=2x+y的最小值是-2.答案-26.已知变量x,y满足则z=x+y-2的最大值为.解析作出可行域,如图阴影部分所示.由图知,目标函数z=x+y-2在点A处取得最大值.易知A(1,2),故z max=1+2-2=1.答案17.铁矿石A和B的含铁率a、冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c 如下表:ab/万吨c/百万元A 50% 1 3B 70% 0.5 6某冶炼厂至少要生产1.9万吨的铁,若要求CO2的排放量不超过2万吨,则购买铁矿石的最少费用为百万元.解析设需购买铁矿石A x万吨,铁矿石B y万吨,购买费用为z,则根据题意得到的约束条件为目标函数为z=3x+6y.画出约束条件表示的可行域,如图阴影部分所示.当直线3x+6y=z经过点(1,2)时,z取最小值,且z最小值=3×1+6×2=15.答案158.导学号04994076已知S为平面上以A(3,-1),B(-1,1),C(1,3)为顶点的三角形区域(含三角形内部及边界).若点(x,y)在区域S上移动.(1)求z=3x-2y的最值;(2)求z=y-x的最大值,并指出其最优解.解(1)z=3x-2y可化为y=x-x+b,故求z的最大值、最小值,相当于求直线y=x+b在y轴上的截距b的最小值、最大值,即b取最大值,z取最小值;反之亦然.①如图①,平移直线y=x,当y=x+b经过点B时,b max=,此时z min=-2b=-5;当y=x+b经过点A时,b min=-,此时z max=-2b=11.故z=3x-2y的最大值为11,最小值为-5.(2)z=y-x可化为y=x+z,故求z的最大值,相当于求直线y=x+z在y轴上的截距z的最大值.如图②,平行移动直线y=x,当直线y=x+z与直线BC重合时,z max=2,此时线段BC上任一点的坐标都是最优解.②9.甜柚和脐橙是赣州地区的两大水果特产,一农民有山地20亩,根据往年经验,若种脐橙,则每年每亩平均产量为1 000千克;若种甜柚,则每年每亩平均产量为1 500千克.已知脐橙成本每年每亩4 000元,甜柚成本较高,每年每亩12 000元,且脐橙每千克卖6元,甜柚每千克卖10元.现该农民有120 000元,那么两种水果的种植面积分别为多少,才能获得最大收益? 解设该农民种x亩脐橙,y亩甜柚时,能获得利润z元.则(1 000×6-4 000)x+(1 500×10-12 000)y=2 000x+3 000y,其中x,y满足条件作出可行域,如图中阴影部分所示.当直线y=-x+经过点A(15,5),即种15亩脐橙,5亩甜柚时,每年收益最大,为45 000元.B组1.若变量x,y满足约束条件且z=5y-x的最大值为a,最小值为b,则a-b的值是()A.48B.30C.24D.16解析画出可行域,如图阴影部分所示.由图可知,当直线y=经过点A时,z有最大值;经过点B时,z有最小值.联立方程组解得即A(4,4).对x+y=8,令y=0,则x=8,即B(8,0),所以a=5×4-4=16,b=5×0-8=-8,则a-b=16-(-8)=24,故选C.答案C2.已知正数x,y满足则z=22x+y的最大值为()A.8B.16C.32D.64解析设t=2x+y,可求得当直线t=2x+y经过2x-y=0与x-3y+5=0的交点(1,2)时,t取最大值4,故z=22x+y的最大值为16.答案B3.已知x,y满足约束条件若z=x-3y+m的最小值为4,则m=()A.6B.8C.10D.12解析作出满足约束条件的可行域,如图中的阴影部分所示.由z=x-3y+m,得y=x-,则由图可知z=x-3y+m在点A(-2,2)处取得最小值,则有z=-2-3×2+m=4,所以m=12,故选D.答案D4.已知变量x,y满足约束条件则z=3|x|+y的取值范围为()A.[-1,5]B.[1,11]C.[5,11]D.[-7,11]解析画出可行域,由可行域可知,当x≥0时,z=3x+y的取值范围是[1,11];当x<0时,z=-3x+y的取值范围是(1,5].综上,z=3|x|+y的取值范围为[1,11].答案B5.若变量x,y满足约束条件则z=x+的取值范围为.解析由题意知不等式组所表示的平面区域为如图所示的阴影部分(△OAB及其内部),其中O(0,0),A(1,2),B(2,-1),因此当直线z=x+经过点A时,z取得最大值,即z max=1+=2;当直线z=x+经过点O时,z取得最小值,即z min=0.所以z=x+的取值范围为[0,2].答案[0,2]6.某公司生产甲、乙两种桶装产品,已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克;生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A,B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是元.解析设生产甲产品x桶,乙产品y桶,每天利润为z元,则z=300x+400y.作出可行域,如图中的阴影部分所示.作直线300x+400y=0,向右上平移,当直线经过点A时,z=300x+400y取最大值.由所以A(4,4),故z max=300×4+400×4=2 800.答案2 8007.已知z=2y-2x+4,其中x,y满足条件求z的最大值和最小值.解作出不等式组表示的平面区域,如图中的阴影部分所示.令2y-2x=t,则当直线2y-2x=t经过点A(0,2)时,z max=2×2-2×0+4=8;当直线2y-2x=t经过点B(1,1)时,z min=2×1-2×1+4=4.故z的最大值为8,最小值为4.8.导学号04994077某公司有60万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对甲项目的投资不小于对乙项目投资的,且对每个项目的投资不能低于5万元.对甲项目每投资1万元可获得0.4万元的利润,对乙项目每投资1万元可获得0.6万元的利润,该公司正确规划投资后,在这两个项目上一共可获得的最大利润是多少?解设投资甲项目x万元,投资乙项目y万元,可获得利润为z万元,则目标函数为z=0.4x+0.6y.作出满足题意的可行域如图阴影部分所示.由z=0.4x+0.6y,得y=-x+z.由得A(24,36).由图知,当直线y=-x+z经过点A时, z取得最大值,即z取得最大值.故z max=0.4×24+0.6×36=31.2(万元),即一共可获得的最大利润为31.2万元.。
高中数学 第三章 不等式 3.3.2 简单的线性规划问题素材 新人教A版必修5(2021年最新整理)
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3.3.2 简单线性规划问题备用习题1.某糖果厂生产A、B两种糖果,A种糖果每箱获利润40元，B种糖果每箱获利润50元，其生产过程分为混合、烹调、包装三道工序，下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间:（单位：分钟）混合烹调包装A153B241每种糖果的生产过程中,混合的设备至多能用12小时，烹调的设备至多只能用30小时，包装的设备只能用15小时，试求每种糖果各生产多少箱可获得最大利润？分析：找约束条件，建立目标函数.解:设生产A种糖果x箱，B种糖果y箱，可获得利润z元，则此问题的数学模式在约束条件⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+,0,9003,180045,7202yxyxyxyx下，求目标函数z=40x+50y的最大值，作出可行域，其边界O A:y=0，AB:3x+y-900=0，BC:5x+4y— 1 800=0，C D:x+2y-720=0，DO：x=0。
由z=40x+50y,得5054zxy+-=，它表示斜率为54-，截距为z［］50的平行直线系，50z越大，z越大,从而可知过C点时截距最大，z取得了最大值.解方程组⇒⎩⎨⎧=+=+1800457202yxyxC(120，300）。
∴z m a x=40×120+50×300=19 800,即生产A种糖果120箱，生产B种糖果300箱，可得最大利润19 800元.点评：由于生产A 种糖果120箱，生产B 种糖果300箱，就使得两种糖果共计使用的混合时间为120＋2×300＝720（分），烹调时间5×120＋4×300＝1 800(分），包装时间3×120＋300＝660（分）,这说明该计划已完全利用了混合设备与烹调设备的可用时间，但对包装设备却有240分钟的包装时间未加利用，这种“过剩”问题构成了该问题的“松弛"部分,有待于改进研究。
高中数学 第三章 3.3.2简单的线性规划问题(一)导学案新人教A版必修5(2)
3．3.2 简单的线性规划问题(一)课时目标1．了解线性规划的意义．2．会求一些简单的线性规划问题．名称 意义 约束条件 由变量x ，y 组成的不等式或方程 线性约束条件 由x ，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数 欲求最大值或最小值所涉及的变量x ，y 的函数解析式 线性目标函数 关于x ，y 的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x ，y ) 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题一、选择题1．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －y ＋1≥0，则x ＋y 的最大值为( )A ．9 B.157 C ．1 D.715答案 A解析 画出可行域如图：当直线y ＝－x ＋z 过点A 时，z 最大． 由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x －y ＋1＝0得A (4,5)，∴z max ＝4＋5＝9. 2．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，则x 2＋y 2的最大值为( )A.10 B ．8 C ．16 D ．10答案 D解析 画出不等式组对应的可行域如下图所示： 易得A (1,1)，|OA |＝2，B (2,2)， |OB |＝22，C (1,3)，|OC |＝10.∴(x 2＋y 2)max ＝|OC |2＝(10)2＝10.3．在坐标平面上有两个区域M 和N ，其中区域M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0y ≤x y ≤2－x，区域N ＝{(x ，y )|t ≤x ≤t ＋1,0≤t ≤1}，区域M 和N 公共部分的面积用函数f (t )表示，则f (t )的表达式为( )A ．－t 2＋t ＋12B ．－2t 2＋2tC ．1－12t 2 D.12(t －2)2答案 A 解析作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0y ≤xy ≤2－x所表示的平面区域．由t ≤x ≤t ＋1,0≤t ≤1，得f (t )＝S △OEF －S △AOD －S △BFC＝1－12t 2－12(1－t )2＝－t 2＋t ＋12.4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为( )A ．3，－11B ．－3，－11C ．11，－3D ．11,3 答案 A解析 作出可行域如图阴影部分所示，由图可知z ＝3x －4y 经过点A 时z 有最小值，经过点B 时z 有最大值．易求A (3,5)，B (5,3)．∴z 最大＝3×5－4×3＝3，z 最小＝3×3－4×5＝－11.5设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0y ≥x，所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，则|AB |的最小值为( )A.285 B ．4 C.125 D ．2 答案 B解析 如图所示．由约束条件作出可行域，得D (1,1)，E (1,2)，C (3,3)．要求|AB |min ，可通过求D 、E 、C 三点到直线3x －4y －9＝0距离最小值的2倍来求．经分析，D (1,1)到直线3x －4y －9＝0的距离d ＝|3×1－4×1－9|5＝2最小，∴|AB |min＝4.二、填空题6．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3.则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为________．答案 7解析 作出可行域如图所示．由图可知，z ＝2x ＋3y 经过点A (2,1)时，z 有最小值，z 的最小值为7.7．已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．(答案用区间表示)答案 (3,8)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧－1<x ＋y <4，2<x －y <3得平面区域如图阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x＋y＝－1，x－y＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x＝1，y＝－2.由⎩⎪⎨⎪⎧x＋y＝4，x－y＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x＝3，y＝1.∴2×3－3×1<z＝2x－3y<2×1－3×(－2)，即3<z<8，故z＝2x－3y的取值范围是(3,8)．8．已知实数x，y满足⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y－5≤0，x≥1，y≥0，x＋2y－3≥0，则yx的最大值为________．答案 2解析画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y－5≤0，x≥1，y≥0，x＋2y－3≥0对应的平面区域Ω，yx＝y－0x－0表示平面区域Ω上的点P(x，y)与原点的连线的斜率．A(1,2)，B(3,0)，∴0≤yx≤2.三、解答题9．线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋3y≥12x＋y≤103x＋y≥12下，求z＝2x－y的最大值和最小值．解如图作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥12x ＋y ≤103x ＋y ≥12下的可行域，包含边界：其中三条直线中x ＋3y ＝12与3x ＋y ＝12交于点A (3,3)，x ＋y ＝10与x ＋3y ＝12交于点B (9,1)， x ＋y ＝10与3x ＋y ＝12交于点C (1,9)，作一组与直线2x －y ＝0平行的直线l ：2x －y ＝z ，即y ＝2x －z ，然后平行移动直线l ，直线l 在y 轴上的截距为－z ，当l 经过点B 时，－z 取最小值，此时z 最大，即z max ＝2×9－1＝17；当l 经过点C 时，－z 取最大值，此时z 最小，即z min ＝2×1－9＝－7.∴z max ＝17，z min ＝－7.10．已知⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5≥03x －y －5≤0x －2y ＋5≥0，求x 2＋y 2的最小值和最大值．解 作出不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5≥03x －y －5≤0x －2y ＋5≥0的可行域如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5＝02x ＋y －5＝0，得A (1,3)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋5＝03x －y －5＝0，得B (3,4)， 由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －5＝02x ＋y －5＝0，得C (2,1)，设z ＝x 2＋y 2，则它表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形知，原点到点B 的距离最大，注意到OC ⊥AC ，∴原点到点C 的距离最小．故z max ＝|OB |2＝25，z min ＝|OC |2＝5. 能力提升11．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋x ＋y －1≤x ≤4，求x 2＋y 2－2的取值范围．解 作出可行域如图，由x 2＋y 2＝(x －0)2＋(y －0)2，可以看作区域内的点与原点的距离的平方，最小值为原点到直线x ＋y －6＝0的距离的平方，即|OP |2，最大值为|OA |2，其中A (4,10)，|OP |＝|0＋0－6|12＋12＝62＝32， |OA |＝42＋102＝116，∴(x 2＋y 2－2)min ＝(32)2－2＝18－2＝16， (x 2＋y 2－2)max ＝(116)2－2＝116－2＝114，∴16≤x 2＋y 2－2≤114.即x 2＋y 2－2的取值范围为16≤x 2＋y 2－2≤114. 12．已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0x －2y ＋4≥03x －y －3≤0，试求z ＝y ＋1x ＋1的最大值和最小值． 解 由于z ＝y ＋1x ＋1＝y －－x －－， 所以z 的几何意义是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率，因此y ＋1x ＋1的最值就是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率的最值，结合图可知，直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小，即 z max ＝k MB ＝3，此时x ＝0，y ＝2； z min ＝k MC ＝12，此时x ＝1，y ＝0.∴z 的最大值为3，最小值为12.1．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解．2．在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题．。
2020高中数学 第三章3.3.2 第1课时 简单的线性规划问题学案 新人教A版必修5
第1课时 简单的线性规划问题学习目标：1.了解线性规划的意义，以及约束条件、目标函数、可行解、可行域，最优解等基本概念(重点).2.理解目标函数的最大、小值与其对应直线的截距的关系(易混点)．[自 主 预 习·探 新 知]1．线性规划中的基本概念[提示] 不一定，可能只有一个，可能有多个，也可能有无数个． 2．线性目标函数的最值线性目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)对应的斜截式直线方程是y ＝－ab x ＋z b ，它表示斜率为－a b，在y 轴上的截距是z b的一条直线，当z 变化时，方程表示一组互相平行的直线．当b >0，截距最大时，z 取得最大值，截距最小时，z 取得最小值； 当b <0，截距最大时，z 取得最小值，截距最小时，z 取得最大值． 思考：若将目标函数z ＝x ＋y 看成直线方程时，z 具有怎样的几何意义？ [提示] 把目标函数整理可得y ＝－x ＋z ，z 为直线在y 轴上的截距．[基础自测]1．思考辨析(1)可行域是一个封闭的区域．( )(2)在线性约束条件下，最优解是唯一的．( )(3)最优解一定是可行解，但可行解不一定是最优解．( ) (4)线性规划问题一定存在最优解．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×提示：(1)错误．可行域是约束条件表示的平面区域，不一定是封闭的．(2)错误．在线性约束条件下，最优解可能有一个或多个，也可能有无数个，也可能无最优解，故该说法错误．(3)正确．满足线性约束条件的解称为可行解，但不一定是最优解，只有使目标函数取得最大值或最小值的可行解，才是最优解，所以最优解一定是可行解．(4)错误．线性规划问题不一定存在可行解，存在可行解也不一定存在最优解，故该说法是错误的．2．若⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1，则z ＝x －y 的最大值为________．1 根据题意作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示．令z ＝0，作直线l ：y －x ＝0.当直线l 向下平移时，所对应的z ＝x －y 的函数值随之增大，当直线l 经过可行域的顶点M 时，z ＝x －y 取得最大值．顶点M 是直线x ＋y ＝1与直线y ＝0的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝0，得顶点M 的坐标为(1,0)，代入z ＝x －y ，得z max ＝1.]3．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ≤3，x ＋y ＋k ≥0，且z ＝2x ＋4y 的最小值为－6，则常数k ＝________.【导学号：91432320】0 [当直线z ＝2x ＋4y 经过两直线x ＝3与x ＋y ＋k ＝0的交点(3，－3－k )时，z 最小，所以－6＝2×3＋4(－3－k )，解得k ＝0.]4．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，点O 为坐标原点，那么PO 的最小值等于________，最大值等于________．210 [如图所示，线性区域为图中阴影部分，PO 指线性区域内的点到原点的距离，所以最短为12＋12＝2，最长为12＋32＝10.][合 作 探 究·攻 重 难]求线性目标函数的最值问题(1)(2018·全国卷Ⅲ)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋3≥0，x －2y ＋4≥0，x －2≤0，则z ＝x ＋13y 的最大值是________．(2)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝x －2y 的最小值为________．(1)3 (2)－5 [(1)法一：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，画出直线y ＝－3x ，平移该直线，由图可知当平移后的直线经过直线x ＝2与直线x －2y ＋4＝0的交点(2,3)时，z ＝x ＋13y 取得最大值，即z max ＝2＋13×3＝3.法二：易知z ＝x ＋13y 在可行域的顶点处取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋3＝0，x －2y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，代入z ＝x ＋13y ，可得z ＝－53；由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋3＝0，x －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－7，代入z ＝x ＋13y ，可得z ＝－13；由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，代入z ＝x ＋13y ，可得z ＝3.比较可知，z 的最大值为3.(2)法一：(通性通法)作出可行域，如图中阴影部分所示，由z ＝x －2y 得y ＝12x －12z ，作直线y ＝12x 并平移， 观察可知，当直线经过点A (3,4)时，z min ＝3－2×4＝－5.法二：(光速解法)因为可行域为封闭区域，所以线性目标函数的最值只可能在边界点处取得，易求得边界点分别为(3,4)，(1,2)，(3,0)，依次代入目标函数可求得z min ＝－5.]1．(1)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≥8，1≤x ≤3，0≤y ≤2，则z ＝3x ＋2y 的最小值为( )A ．4 B.235 C ．6D.315(2)变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0，若z ＝2x －y 的最大值为2，则实数m 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2(1)B (2)C [(1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≥8，1≤x ≤3，0≤y ≤2，表示的平面区域为如图所示的阴影部分，作直线l 0：3x ＋2y＝0，平移直线l 0，当经过点A 时，z 取得最小值．此时⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，4x ＋5y ＝8，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，45，∴z min ＝3×1＋2×45＝235.(2)对于选项A ，当m ＝－2时，可行域如图(1)，直线y ＝2x －z 的截距可以无限小，z 不存在最大值，不符合题意，故A 不正确；对于选项B ，当m ＝－1时，mx －y ≤0等同于x ＋y ≥0，可行域如图(2)，直线y ＝2x －z 的截距可以无限小，z 不存在最大值，不符合题意，故B 不正确；对于选项C ，当m ＝1时可行域如图(3)，当直线y ＝2x －z 过点A (2,2)时截距最小，z 最大为2，满足题意，故C 正确；对于选项D ，当m ＝2时，可行域如图(4)，直线y ＝2x －z 与直线2x －y ＝0平行，截距最小值为0，z 最大为0，不符合题意，故D 不正确．故选C.]非线性目标函数的最优解问题[探究问题]1．目标函数z ＝x 2＋y 2和z ＝(x －a )2＋(y －b )2的几何意义是什么？提示：z ＝x 2＋y 2表示可行域内的点(x ，y )到坐标原点的距离的平方；z ＝(x －a )2＋(y －b )2表示可行域内的点(x ，y )到定点(a ，b )的距离的平方．2．目标函数z ＝y －b x －a (x ≠a )和z ＝ay ＋bcx ＋d(ac ≠0)表示的几何意义是什么？ 提示：z ＝y －b x －a (x ≠a )表示可行域内的点(x ，y )与定点(a ，b )的连线的斜率；z ＝ay ＋b cx ＋d ＝a c ·y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－d c ，表示可行域内的点(x ，y )与定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－d c ，－b a 的连线的斜率的a c倍．3．z ＝|ax ＋by ＋c |(a 2＋b 2≠0)的几何意义是什么？ 提示：z ＝|ax ＋by ＋c |＝a 2＋b 2·|ax ＋by ＋c |a 2＋b 2，表示可行域内的点(x ，y )到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离的a 2＋b 2倍．已知⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0x ＋y －4≥02x －y －5≤0，求：(1)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值； (2)z ＝2y ＋1x ＋1的范围.【导学号：91432323】思路探究：①把z ＝x 2＋y 2－10y ＋25化为z ＝x 2＋(y －5)2，其几何意义是什么？②把z ＝2y ＋1x ＋1化为z ＝2·y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x －－，其几何意义是什么？[解] 作出可行域如图，并求出顶点的坐标A (1,3)，B (3，1)，C (7,9)．(1)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到定点M (0,5)的距离的平方，过M 作直线AC 的垂线，易知垂足N 在线段AC 上，故z 的最小值是|MN |2＝92.(2)z ＝2y ＋1x ＋1＝2·y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x －－表示可行域内任一点(x ，y )与定点Q ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12连线的斜率的2倍，因为k QA ＝74，k QB ＝38，故z 的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，72.母题探究：1.本例中的条件不变求z ＝|x ＋2y －4|的最大值． [解]作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示． 法一：z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5×5，其几何意义为阴影区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0得点B 的坐标为(7,9)，显然点B 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大，此时z max ＝21.法二：由图可知，阴影区域(可行域)内的点都在直线x ＋2y －4＝0的上方，显然此时有x ＋2y －4>0，于是目标函数等价于z ＝x ＋2y －4，即转化为一般的线性规划问题．显然当直线经过点B 时，目标函数z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0得点B 的坐标为(7,9)，此时z max ＝21.2．本例题中的条件不变 (1)求z ＝x 2＋y 2的最小值．(2)求z ＝yx的范围．[解] (1)由z ＝x 2＋y 2的几何意义为区域内的点(x ，y )至(0,0)的距离的平方知，z 的最小值为(0,0)到直线x ＋y －4＝0的距离的平方．∴z min ＝⎝⎛⎭⎪⎫422＝8. (2)由z ＝y x 的几何意义为区域内的点(x ，y )与原点连线的斜率．因为A (1,3)，B (3,1)，k OA ＝3.k OB ＝13，∴z 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3.已知目标函数的最值求参数已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0，且目标函数z ＝a 2x ＋(a －2－a 2)y 取得最小值的最优解唯一，为(2,2)，则a 的取值范围是________．思路探究：本题中的目标函数中两个元的系数都含有参数，因此需要研究参数的几何意义和符号特征，注意到a －2－a 2的判别式非正，且a 2≥0，又最小值的最优解唯一，从而斜率范围可以确定．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－174，－1＋174 [线性约束条件所表示的区域如图中阴影部分所示．由于目标函数的y 的系数a －2－a 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122－74<0，x 的系数a 2≥0，故平行直线系z ＝a 2x ＋(a －2－a 2)y 的斜率非负，为a2a 2－a ＋2.由于是最小值问题且最优解唯一，为图中的点A (2,2)，从而只需a 2a 2－a ＋2<13，解得－1－174<a <－1＋174，此即所求的a 的取值范围．]2．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )【导学号：91432324】A ．2B ．－2 C.12D ．－12D [若k ≥0，z ＝y －x 没有最小值，不合题意；若k <0，画出可行域，如图中阴影部分所示，由图可知，直线z ＝y －x ，即y ＝x ＋z ，在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k，0处取得最小值，所以0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ＝－4，解得k ＝－12.][当 堂 达 标·固 双 基]1．若0≤x ≤1,0≤y ≤2，且2y －x ≥1，则z ＝2y －2x ＋4的最小值为________． 4 [画出可行域(图略)，易知z ＝2y －2x ＋4的最小值在点(1,1)处取到，z min ＝4.]2．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x －y ≤2，0≤y ≤3，则z ＝2x －y 的取值范围是________.【导学号：91432325】[－5,7] [可行域如图阴影部分所示， 线性目标函数为z ＝2x －y ，z max ＝2×5－3＝7，z min ＝2×(－1)－3＝－5.]3．给出平面区域如右图333，若使目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为________．图33335[取得最大值的最优解有无穷多个，说明将l 0：ax ＋y ＝0平移时，恰好和AC 所在的直线重合，即－a ＝k AC ＝2－2255－1＝－35，∴a ＝35.] 4．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0y ≥a0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．[5,7) [⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥00≤x ≤2表示的区域如图所示，则由不等式组表示的区域是三角形时a 的取值范围是5≤a <7.]5．已知变量x ，y 满足约束条件1≤x ＋y ≤4，－2≤x －y ≤2.若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,1)处取得最大值，求a 的取值范围.导学号：91432326】[解] 变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤4－2≤x －y ≤2，在坐标系中画出可行域，如图为四边形ABCD .其中A (3,1)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，B (1,3)，k AD ＝1，k AB ＝－1，目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)中的z 表示斜率为－a的直线系中的截距的大小，若仅在点(3,1)处取得最大值，则斜率应小于－1，即－a <－1，所以a 的取值范围为(1，＋∞)．。
2022年高中数学 第三章3.3.2简单的线性规划问题（一）课时练习 新人教A版必修5
3.3.2 简单的线性规划问题一
一、选择题
1．若实数，满足不等式组错误!则＋的最大值为
A．9 C．1
2．已知点8 ，为D上的动点，点A的坐标为错误!，1，则＝错误!·错误!的最大值为
A．3 B．4 C．3错误!D．4错误!二、填空题
6．已知实数，满足错误!则错误!的最大值为____．
7．已知－1<＋<4且2<－<3，则＝2－3的取值范围是________．答案用区间表示
三、解答题
8．画出不等式组错误!表示的平面区域，并回答下列问题：
1指出、的取值范围；
2平面区域内有多少个整点
，求2＋2的最小值和最大值．
四、探究与拓展
10．已知实数，满足错误!
1求2＋2－2的取值范围；
2求错误!的取值范围．
答案1．A
7．3,8
8．1∈错误!，∈[－3,8] 242个
9．2＋2的最大值为25，最小值为5
10．1[16,114]
2错误!∪[2，＋∞。
人教版高二数学必修5练习第三章3.3-3.3.2第1课时简单的线性规划问题 Word版含答案
第三章不等式
二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题
简单的线性规划问题
第课时简单的线性规划问题
级基础巩固
一、选择题．若变量，满足约束条件
且＝＋的最大值和最小值分别为和，则－＝( )
．．．．
解析：画出可行域，如图阴影部分所示．
由＝＋，得＝－＋.
由得
所以(－，－)．
由得
所以(，－)．
当直线＝－＋经过点时，＝×(－)－＝－＝，
当直线＝－＋经过点时，＝×－＝＝，故－＝.
答案：．设变量，满足约束条件则目标函数＝－的取值范围是( )
解析：作出可行域如图所示．
：－＝，在可行域内平移，可知在点处取最小值为－，在点处取
最大值为.
答案：．已知实数，满足条件
若目标函数＝－(≠)取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数的
值为 ( )
．．－．－
解析：作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，由图可知当直线＝－(≠)与直线－＋＝重合，即＝时，目标函数
＝－取最大值的最优解有无穷多个．
答案：．若实数，满足不等式组
目标函数＝－的最大值为，则实数的值是( )
．．．．
解析：作出满足条件的可行域(如图)，由目标函数＝－，得直线
＝－在点(，)处取得最大值，即＝－·＝－＝，得＝.
答案：。
2019年高中数学第三章3.3.2简单的线性规划问题优化练习新人教A版必修5
3.3.2 简单的线性规划问题[课时作业] [A 组 基础巩固]1．在△ABC 中，三顶点分别为A (2,4)，B (－1,2)，C (1,0)，点P (x ，y )在△ABC 内部及其边界上运动，则m ＝y －x 的取值范围为( ) A ．[1,3] B ．[－3,1] C ．[－1,3]D ．[－3，－1]解析：直线m ＝y －x 的斜率k 1＝1≥k AB ＝23，且k 1＝1＜k AC ＝4，∴直线经过点C (1,0)时m 最小，为－1，经过点B (－1,2)时m 最大，为3. 答案：C2．若变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1y －x ≤1x ≤1，则z ＝2x －y 的最小值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：由约束条件作出可行域如图所示，由图可知，目标函数在点A 处取得最小值．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1y －x ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝1，∴A (0,1)，所以z ＝2x －y 在点A 处取得最小值为2×0－1＝－1.答案：A3．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ≤3，x ＋y ＋k ≥0.且z ＝2x ＋4y 的最小值为－6，则常数k ＝( )A ．2B ．9C ．310D ．0解析：由题意知，当直线z ＝2x ＋4y 经过直线x ＝3与x ＋y ＋k ＝0的交点(3，－3－k )时，z最小，所以－6＝2×3＋4×(－3－k )，解得k ＝0. 答案：D4．已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≤0，x ≥2，x ＋y －8≤0，则x 2＋y 2的取值范围是( )A ． [13,40]B ．[13,40)C ．(13,40)D ．(13,40]解析：作出可行域如图阴影部分所示．x 2＋y 2可以看成点(0,0)与点(x ，y )距离的平方，结合图形可知，点(0,0)与可行域内的点A (2,3)连线的距离最小，即x 2＋y 2最小，最小值为13；点(0,0)与可行域内的点B (2,6)连线的距离最大，即x 2＋y 2最大，最大值为40. 所以x 2＋y 2的取值范围为[13,40]． 答案：A5．已知▱ABCD 的三个顶点为A (－1,2)，B (3,4)，C (4，－2)，点(x ，y )在▱ABCD 的内部，则z ＝2x －5y 的取值范围是( )A ．(－14,16)B ．(－14,20)C ．(－12,18)D ．(－12,20)解析：如图，由▱ABCD 的三个顶点A (－1,2)，B (3,4)，C (4，－2)可知D 点坐标为(0，－4)，由z ＝2x －5y 知 y ＝25x －z 5， ∴当直线y ＝25x －z5过点B (3,4)时，z min ＝－14.当直线y ＝25x －z5过点D (0，－4)时，z max ＝20.∵点(x ，y )在▱ABCD 的内部不包括边界， ∴z 的取值范围为(－14,20)． 答案：B6．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是________万元．解析：设生产甲产品x 吨、乙产品y 吨，则获得的利润为z ＝5x ＋3y . 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，可行域如图阴影所示．由图可知当x 、y 在A 点取值时，z 取得最大值， 此时x ＝3，y ＝4，z ＝5×3＋3×4＝27(万元)． 答案：277．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0x －2y ＋1≤02x －y ＋2≥0，则z ＝3x ＋y 的最大值为________．解析：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线l 0：3x ＋y ＝0，平移直线l 0，当直线l ：z ＝3x ＋y 过点A 时，z 取最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0x －2y ＋1＝0解得A (1,1)，∴z ＝3x ＋y 的最大值为4.答案：48．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ＋1≤0，2x －y －2≤0，则x 2＋y 2的最小值是________．解析：画出满足条件的可行域如图中阴影部分所示，根据x 2＋y 2表示可行域内一点到原点的距离，可知x 2＋y 2的最小值是|AO |2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －y ＋1＝0，得A (1,2)，所以|AO |2＝5.答案：59．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x y ≥－2x .x ≤3(1)求不等式组表示的平面区域的面积； (2)若目标函数为z ＝x －2y ，求z 的最小值． 解析：画出满足不等式组的可行域如图所示：(1)易求点A 、B 的坐标为：A (3,6)，B (3，－6)，所以三角形OAB 的面积为：S △OAB ＝12×12×3＝18.(2)目标函数化为：y ＝12x －12z ，作图知直线过A 时z 最小，可得A (3,6)，∴z min ＝－9.10．某工厂制造A 种仪器45台，B 种仪器55台，现需用薄钢板给每台仪器配一个外壳．已知钢板有甲、乙两种规格：甲种钢板每张面积2 m 2，每张可作A 种仪器外壳3个和B 种仪器外壳5个，乙种钢板每张面积3 m 2，每张可作A 种仪器外壳6个和B 种仪器外壳6个，问甲、乙两种钢板各用多少张才能用料最省？(“用料最省”是指所用钢板的总面积最小)解析：设用甲种钢板x 张，乙种钢板y 张，依题意⎩⎪⎨⎪⎧x ，y ∈N *3x ＋6y ≥45，5x ＋6y ≥55钢板总面积z ＝2x ＋3y . 作出可行域如图所示．由图可知当直线z ＝2x ＋3y 过点P 时，最小．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋6y ＝45，5x ＋6y ＝55，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝5.所以，甲、乙两种钢板各用5张．[B 组 能力提升]1．设O 为坐标原点，A (1,1)，若点B (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x －2y ＋1≥0，1≤x ≤2，1≤y ≤2，则OA →·OB →取得最小值时，点B 的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．无数个解析：如图，阴影部分为点B (x ，y )所在的区域． ∵OA →·OB →＝x ＋y ，令z ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋z .由图可知，当点B 在C 点或D 点时，z 取最小值，故点B 的个数为2. 答案：B2．已知a ，b 是正数，且满足2<a ＋2b <4.那么a 2＋b 2的取值范围是( ) A ．(45，165)B ．(45，16)C ．(1,16)D ．(165，4)解析：原不等式组等价为⎩⎪⎨⎪⎧2<a ＋2ba ＋2b <4，做出不等式组对应的平面区域如图阴影部分，a 2＋b 2表示区域内的动点P (a ，b )到原点距离的平方，由图象可知当P 在D 点时，a 2＋b 2最大，此时a 2＋b 2＝42＝16，原点到直线a ＋2b －2＝0的距离最小，即d ＝|－2|1＋22＝25，所以a 2＋b 2＝d 2＝45，即a 2＋b 2的取值范围是45<a 2＋b 2<16，选B.答案：B3．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，目标函数z ＝y －ax (a ∈R)．若取最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a 的取值范围是________．解析：如图所示，依题意直线x ＋y －4＝0与x －y ＋2＝0交于A (1,3)，此时取最大值，故a ＞1. 答案：(1，＋∞)4．给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．解析：画出平面区域D ，如图中阴影部分所示．作出z ＝x ＋y 的基本直线l 0：x ＋y ＝0.经平移可知目标函数z ＝x ＋y 在点A (0,1)处取得最小值，在线段BC 处取得最大值．而集合T 表示z ＝x ＋y 取得最大值或最小值时的整点坐标，在取最大值时线段BC 上共有5个整点，分别为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，故T 中的点共确定6条不同的直线． 答案：65．已知⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，求：2x －y －5≤0，(1)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值； (2)z ＝y ＋1x ＋1的范围． 解析：作出可行域如图，并求出顶点的坐标A (1,3)、B (3,1)、C (7,9)．(1)z ＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到定点M (0,5)的距离的平方，过M 作直线AC 的垂线，易知垂足N 在线段AC 上，故z 的最小值是|MN |2＝92.(2)z ＝y －－x －－表示可行域内任一点(x ，y )与定点Q (－1，－1)连线的斜率，因为k QA ＝2，k QB ＝12，故z 的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2. 6．已知－1＜x ＋y ＜3，且2＜x －y ＜4，求2x ＋3y 的范围．解析：在直角坐标系中作出直线x ＋y ＝3，x ＋y ＝－1，x －y ＝4，x －y ＝2，则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＋y ＜32＜x －y ＜4表示的平面区域是矩形ABCD 区域内的部分．设2x ＋3y ＝z ，变形为平行直线系l ： y ＝－23x ＋z 3.由图可知，当l 趋近于A 、C 两点时，截距z3趋近于最大值与最小值，即z 趋近于最大值与最小值． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2，x ＋y ＝3，求得点A (52，12)．所以z ＜2×52＋3×12＝132.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝4，x ＋y ＝－1，求得点C (32，－52)．所以z ＞2×32＋3×(－52)＝－92.所以－92＜2x ＋3y ＜132.。
高中数学 第三章 不等式 3.3.2 简单线性规划练习题(无答案)新人教A版必修5(2021年整理)
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3.3。
2 简单线性规划线性规划的有关概念：(1)线性规划：在线性约束条件下，求线性目标函数的最值（最大值或最小值）问题.（2)线性约束条件：由变量x，y的二元一次不等式（或方程）组成的不等式组.（3）线性目标函数：欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的二元一次解析式.(4）可行解:满足线性约束条件的解(x，y）.(5)可行域：所有可行解组成的集合.（6)最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解。
简单线性规划问题的解法：已知x与y满足约束条件错误!请你画出此不等式组表示的平面区域;并作直线l:x＋y＝0，平移直线l观察其在y轴上的截距，当直线l与可行域有共点时，其在y轴上的截距如何变化？何时取到最大值？设z＝x＋y，则z最大值是多少？方法总结：简单线性规划问题的图解法就是利用数形结合的思想根据线性目标函数的几何意义，求线性标函数在线性约束条件下的最优解，一般步骤如下：作图:画出约束条件（不等式组)所确定的平面区域；找初始直线：列目标函数，找初始直线l0；平移：将直线l0平行移动,以确定最优解所对应的点的位置；求值:解有关的方程组，求出最优点的坐标，再代入目标函数,求出目标函数的值．已知变量x、y满足条件错误!, 5。
人教版高中数学必修五课时作业23：3.3.2 简单的线性规划问题
3.3.2 简单的线性规划问题一、选择题1．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，则x 2＋y 2的最大值为( )A.10 B ．8 C ．16 D ．10 2．若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤40，x ＋2y ≤50，x ≥0，y ≥0，则z ＝3x ＋2y 的最大值是( )A ．90B ．80C ．70D ．403．在坐标平面上有两个区域M 和N ，其中区域M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0y ≤x y ≤2－x ，区域N ＝{(x ，y )|t ≤x ≤t ＋1,0≤t ≤1}，区域M 和N 公共部分的面积用函数f (t )表示，则f (t )的表达式为( ) A ．－t 2＋t ＋12B ．－2t 2＋2tC ．1－12t 2D.12(t －2)2 4．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，则yx －1的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．[1，＋∞) 二、填空题5．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋2y ≤2，x ≥－2.则z ＝x －3y 的最小值为________．6．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ≥－1，且u ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8，则u 的最小值为________．三、解答题7．已知1≤x ＋y ≤5，－1≤x －y ≤3，求2x －3y 的取值范围．8．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ≤20x －3y ≤2x ，y ∈N *，求z ＝7x ＋5y 的最大值．参考答案1．【答案】D【解析】画出不等式组对应的可行域如图所示：易得A ()1,1 ()()2,2,2,22,1,3,10.OA B OB C OC === 2．【答案】C【解析】作出可行域如图所示 .由于2x +y =40、x +2y =50的斜率分别为-2、-12，而3x +2y =0的斜率为-32，故线性目标函数的倾斜角大于2x +y =40的倾斜角而小于x +2y =50的倾斜角，由图知，3x +2y =z 经过点A (10,20)时，z 有最大值，z 的最大值为70. 3．【答案】A【解析】作出不等式组0,,2,y y x y x ≥⎧⎪≤⎨⎪≤-⎩所表示的平面区域．由t ≤x ≤t +1,0≤t ≤1，得 f (t )=S △OEF -S △AOD -S △BFC =2221111(1).222t t t t ---=-++4．【答案】B【解析】可行域如图阴影，1y x -的几何意义是区域内点与(1,0)连线的斜率，易求得1y x ->1或1y x -<-1. 5．【答案】－8【解析】作出可行域如图所示．可知当x -3y =z 经过点A (-2,2)时，z 有最小值，此时z 的最小值为-2-3×2=-8. 6．【答案】92【解析】点(x ，y )在图中阴影部分，由已知得(x －2)2＋(y －2)2＝(u )2， 则u min ＝|2＋2－1|1＋1＝32，u min ＝92.7．解：作出一元二次方程组5,13,x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩所表示的平面区域(如图)即可行域．考虑z ＝2x －3y ，把它变形为y ＝23x －13z ，得到斜率为23，且随z 变化的一组平行直线，－13z是直线在y 轴上的截距，当直线截距最大且满足约束条件时目标函数z ＝2x －3y 取得最小值；当直线截距最小且满足约束条件时目标函数z ＝2x －3y 取得最大值． 由图可知，当直线z ＝2x －3y 经过可行域上的点A 时，截距最大，即z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1x ＋y ＝5，得A 的坐标为(2,3)．所以z min ＝2x －3y ＝2×2－3×3＝－5.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3x ＋y ＝1，得B 的坐标为(2，－1)，所以z max ＝2x －3y ＝2×2－3×(－1)＝7.∴2x －3y 的取值范围是[－5,7]．8．解：满足线性约束条件的可行域如图中的四边形ADOE 内部及部分边界点．作平行于直线l 0：7x +5y =0的平行直线l ：7x +5y =z 即755zy x =-+当直线l 过点A 时，z 取最大值． 由方程组可以求出点A 的坐标224,55⎛⎫⎪⎝⎭，然而A 不是整点，点A 不可作为最优解，此时要找出可行域内与直线l 1距离最近的整点，∵A 点的横坐标为225，故可以先找出横坐标为1,2,3,4的整点来检验即可．当x ＝1时代入不等式组得⎩⎪⎨⎪⎧4＋3y ≤201－3y ≤2⇒－13≤y ≤163取y ＝5；当x ＝2时代入⎩⎪⎨⎪⎧8＋3y ≤202－3y ≤2⇒0≤y ≤4取y ＝4；当x ＝3时取y ＝2，当x ＝4时，取y ＝1，∴整点为(1,5)，(2,4)，(3,2)，(4,1)代入目标函数z ＝7x ＋5y 可知， 当x ＝2，y ＝4时z 最大，此时z max ＝34.。
数学人教A版必修5限时规范训练：3.3.2简单的线性规划问题(Word版含解析)
第三章 3.3 3.3.2【基础练习】1．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥2，y ≤x ，则x ＋2y 的最大值为( )A ．1B ．3C ．5D ．9【答案】D【解析】如图，画出可行域，z ＝x ＋2y 表示斜率为－12的一组平行线，当z ＝x ＋2y 过点C (3,3)时，目标函数取得最大值z max ＝3＋2×3＝9.故选D ．2．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( )A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6，＋∞)D ．[4，＋∞)【答案】D【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线z ＝x ＋2y 过点A (2,1)时，z 取最小值4，无最大值．故选D ．3．(2019年山东枣庄校级月考)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x >0，4x ＋3y ≤4，y ≥0，则ω＝y ＋1x的最小值是( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1【答案】D【解析】作出不等式组对应的平面区域如图．ω＝y ＋1x 的几何意义是区域内的点P (x ，y )与定点A (0，－1)所在直线的斜率，由图象可知当P 位于点D (1,0)时，直线AP 的斜率最小，此时ω＝y ＋1x 的最小值为0＋11＝1.故选D ．4．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )类 型 甲 乙 原料限额 A /吨 3 2 12 B /吨228A ．12万元 C ．17万元 D ．18万元【答案】B【解析】设每天生产甲、乙两种产品分别为x ，y 吨，利润为z 万元，则⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，2x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数为z ＝3x ＋4y .作出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分)即可行域．由z ＝3x ＋4y 得y ＝－34x ＋z 4，平移直线y ＝－34x ＋z 4，由图象可知当直线y ＝－34x ＋z4经过点A (0,4)时，直线y ＝－34x ＋z4的截距最大，此时z 最大，∴z max ＝3x ＋4y ＝16.即每天生产甲、乙两种产品分别为0吨，4吨，能够产生最大的利润，最大的利润是16万元．故选B ．5．如果实数a ，b 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －2≥0，b －a －1≤0，a ≤1，则a ＋2b2a ＋b的最大值是________． 【答案】75【解析】先根据约束条件⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －2≥0，b －a －1≤0，a ≤1画出可行域，如图，ba表示可行域内的点平P (a ，b )与原点(0,0)连线的斜率，当连线OP 过点B ⎝⎛⎭⎫12，32时，ba 取最大值，最大值为3；当连线OP 过点A (1,1)时，b a 取最小值，最小值为1，b a ∈[1,3]．又a ＋2b 2a ＋b＝1＋2b a 2＋b a ＝4＋2ba －32＋b a ＝2－32＋b a ，∴当b a ＝3，即a ＝12，b ＝32时，a ＋2b 2a ＋b的最大值为75.6．(2019年云南曲靖期末)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ＋2，x ＋y ≤6，x ≥1，则z ＝2|x －2|＋|y |的最小值是________．【答案】4【解析】画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ＋2，x ＋y ≤6，x ≥1表示的可行域如图阴影部分，其中A (2,4)，B (1,5)，C (1,3)，∴x ∈[1,2]，y ∈[3,5]．∴z ＝2|x －2|＋|y |＝－2x ＋y ＋4.当直线y ＝2x －4＋z 过点A (2,4)时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 有最小值，∴z min ＝－2×2＋4＋4＝4.7．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤x ，2x ＋y ＋k ≤0，若z ＝x ＋3y 的最大值为12，试求k 的值．【解析】由于k 的不同取值将影响不等式所表示的平面区域，故应对k 的取值进行讨论． ①若k ≥0，在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图)，由于z ＝x ＋3y ，所以y ＝－13x ＋13z ，因此当直线y ＝－13x ＋13z 经过区域中的点A (0，－k )时，z 取到最大值－3k ，令－3k ＝12，得k ＝－4，这与k ≥0相矛盾，舍去．②若k ＜0，在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图)．当直线y ＝－13x＋13z 经过区域中的点A ⎝⎛⎭⎫－k 3，－k 3时，z 取到最大值－4k 3，令－4k3＝12，得k ＝－9. 综上，所求k 的值为－9. 8．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，3x －y －5≤0，求：(1)z ＝2x ＋y 的最小值； (2)z ＝x 2＋y 2的范围； (3)z ＝y ＋xx的最大值．【解析】作出满足已知条件的可行域为△ABC 内(及边界)区域(如图)． 其中A (1,2)，B (2,1)，C (3,4)．(1)目标函数z ＝2x ＋y 表示直线l ：y ＝－2x ＋z ，z 表示该直线纵截距，当l 过点A (1,2)时纵截距有最小值，故z min ＝4.(2)目标函数z ＝x 2＋y 2表示区域内的点到坐标原点的距离的平方，又原点O 到AB 的距离d ＝|3|2＝322且垂足是D ⎝⎛⎭⎫32，32在线段AB 上，故OD 2≤z ≤OC 2，即z ∈⎣⎡⎦⎤92，25. (3)目标函数z ＝y ＋x x ＝1＋y x ，则yx 表示区域中的点与坐标原点连线的斜率，当直线过点A时，斜率最大，即⎝⎛⎭⎫y x max ＝2，即z max ＝3.【能力提升】9．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋4≤0，x ＋y －2≤0，y －2≥0表示的平面区域为D ．若指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图象经过区域D 上的点，则a 的取值范围是( )A ．[2，3]B ．[3，＋∞)C ．⎝⎛⎦⎤0，13 D ．⎣⎡⎭⎫13，1【答案】D【解析】由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋4≤0，x ＋y －2≤0，y －2≥0作出可行域如图，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，解得A (－1,3)，当函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图象经过区域D 上的点A 时，有a －1＝3，即a ＝13.由指数函数图象的特点可知，当a ∈⎣⎡⎭⎫13，1时，指数函数y ＝a x(a ＞0且a ≠1)的图象经过区域D 上的点．故选D ．10．设z ＝x ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，若z 的最大值为6，则z 的最小值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．0【答案】A【解析】作出不等式组对应的平面区域，由z ＝x ＋y ，得y ＝－x ＋z ，平移直线y ＝－x ＋z ，由图象可知当直线y ＝－x ＋z 经过点A 时，直线y ＝－x ＋z 的截距最大，此时z 最大为6，即x ＋y ＝6.经过点B 时，直线y ＝－x ＋z 的截距最小，此时z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝6，x －y ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，即A (3,3)，∵直线y ＝k 过点A ，∴k ＝3.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k ＝3，x ＋2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝3，即B (－6,3)．此时z 的最小值为z ＝－6＋3＝－3，故选A ．11．(2019年湖北武汉模拟)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝________.【答案】3【解析】根据约束条件画出可行域如图1中阴影部分所示，可知可行域为开口向上的V 字型，在顶点处z 有最小值，顶点为⎝⎛⎭⎫a －12，a ＋12，则a －12＋a ⎝⎛⎭⎫a ＋12＝7，解得a ＝3或a ＝－5.当a ＝－5时，如图2，虚线向上移动时z 减小，故z →－∞，没有最小值，故只有a ＝3满足题意．图1 图212．福州市某大型家电商场为了使每月销售空调和冰箱获得的总利润达到最大，对某月即将出售的空调和冰箱进行了相关调查，得出下表：资 金 空 调 冰 箱 月资金最多供应量进货成本/百元 30 20 300 工人工资/百元 5 10 110 每台利润/百元68场获得的总利润最大？总利润的最大值为多少元？【解析】设每月空调和冰箱的月供应量分别为x ，y 台，总利润为z 百元，则由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧ 30x ＋20y ≤300，5x ＋10y ≤110，x ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤30，x ＋2y ≤22，x ，y ∈N .目标函数是z ＝6x ＋8y ，即y ＝－34x ＋z8.平移直线y ＝－34x ，当直线过P 点时，z 取最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝30，x ＋2y ＝22，得P 点坐标为P (4,9)， 将(4,9)代入得z max ＝6×4＋8×9＝96(百元)，即空调和冰箱每月分别供应4台和9台可使商场获得的总利润最大，总利润最大值为9 600元．。
高中数学 第三章 3.3.2(一)简单的线性规划问题(一)课件 新人教A版必修5
值范围，就成了一个线性规划问题．
第四页，共20页。
研一研·问题(wèntí)探究、课堂更高效
探究点一 线性目标函数的最值问题
问题 1 直线 l1，l2，l3，l4 的图象如图所
示，α1，α2，α3，α4 依次是它们的倾
本
斜角．k1，k2，k3，k4 分别是 l1，l2，
讲 栏
l3，l4 的斜率.试按从小到大的顺序排
研一研·问题(wèntí)探究、课堂更高效
当直线 z＝2x－3y 经过可行域上的点 B 时，截距最小，即 z 最大．
解方程组xx－ ＋yy＝ ＝31 得 B 的坐标为(2，－1)．
本
讲 栏
∴zmax＝2x－3y＝2×2－3×(－1)＝7.
目 开
∴－5≤2x－3y≤7，即 2x－3y 的取值范围是[－5，－7]．
(1)试求 z＝xy＋＋11的最大值和最小值；
本
(2)试求 z＝x2＋y2 的最大值和最小值．
讲 栏 目
解 (1)由于 z＝yx＋＋11＝yx－－－－11，
开
关
所以 z 的几何意义是点(x，y)与点 M(－1，－1)连线的斜率，
因此yx＋ ＋11的最值就是点(x，y)与点 M(－1，－1)连线的斜率的
本 2．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，
讲
栏
还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线
目 开
性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，
关
确定最优解．
3．在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几
何意义，利用页，共20页。
本 小，当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时，目标
讲 栏
人教版高中数学必修五课时作业13：3.3.2 简单的线性规划问题
3．3.2 简单的线性规划问题一、选择题1．若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为( ) A ．－6 B ．－2 C ．0 D ．2 答案 A解析 画出可行域，如图所示，解得A (－2，2)，设z ＝2x －y ，把z ＝2x －y 变形为y ＝2x －z ， 则直线经过点A 时z 取得最小值； 所以z min ＝2×(－2)－2＝－6，故选A.2．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．3C ．4D ．5 答案 C解析 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．令z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，作直线2x ＋y ＝0并平移，当直线过点A 时，截距最大，即z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以A 点坐标为(1，2)，可得2x ＋y 的最大值为2×1＋2＝4.3．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥0，x －y ≥0，则z ＝y －1x的取值范围是( )A ．[－1，0]B ．(－∞，0]C ．[－1，＋∞)D ．[－1，1) 答案 D解析 作出可行域，如图所示，y －1x 的几何意义是点(x ，y )与点(0，1)连线l 的斜率，当直线l 过B (1，0)时k l 最小，最小为－1.又直线l 不能与直线x －y ＝0平行，∴k l ＜1.综上，k ∈[－1，1)． 4．若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a 的整点(x ，y )(整点是指横、纵坐标都是整数的点)恰有9个，则整数a 的值为( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．0 答案 C解析 不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，当a ＝0时，只有4个整点(1，1)，(0，0)，(1，0)，(2，0)．当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)5个整点．故选C. 5．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤4，x ＋by ＋c ≤0，目标函数z ＝2x ＋y 的最大值为7，最小值为1，则b ，c 的值分别为( ) A ．－1，4 B ．－1，－3 C ．－2，－1 D ．－1，－2 答案 D解析 由题意知，直线x ＋by ＋c ＝0经过直线2x ＋y ＝7与直线x ＋y ＝4的交点，且经过直线2x ＋y ＝1和直线x ＝1的交点，即经过点(3，1)和点(1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ＋c ＝0，1－b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝－2.6．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥5，x －y ＋5≥0，x ≤3，使z ＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为( ) A ．－3 B ．3 C ．－1 D ．1 答案 D解析 如图，作出可行域，作直线l ：x ＋ay ＝0，要使目标函数z ＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x ＋y ＝5重合，故a ＝1，选D. 二、填空题7．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，y ≤2，x ＋y ≥2，则z ＝x ＋2y 的取值范围是________．答案 [2，6]解析 如图，作出可行域， 作直线l ：x ＋2y ＝0，将l 向右上方平移，过点A (2，0)时，有最小值2，过点B (2，2)时，有最大值6，故z 的取值范围为[2，6]．8．已知－1≤x ＋y ≤4且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(答案用区间表示)． 答案 [3，8] 解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋y ≤4，2≤x －y ≤3表示的可行域，如图中阴影部分所示．在可行域内平移直线2x －3y ＝0，当直线经过x －y ＝2与x ＋y ＝4的交点A (3，1)时，目标函数有最小值z min ＝2×3－3×1＝3； 当直线经过x ＋y ＝－1与x －y ＝3的交点B (1，－2)时，目标函数有最大值z max ＝2×1＋3×2＝8.所以z ∈[3，8]．9．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x≤2，y ≤2，x ≤2y给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为________．答案 4解析 由线性约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝OM →·OA→＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)代入z ＝2x ＋y ，得z 的最大值为4.10．满足|x |＋|y |≤2的点(x ，y )中整点(横纵坐标都是整数)有________个． 答案 13解析 |x |＋|y |≤2可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2 （x ≥0，y ≥0），x －y ≤2 （x ≥0，y ＜0），－x ＋y ≤2 （x ＜0，y ≥0），－x －y ≤2 （x ＜0，y ＜0），作出可行域为如图正方形内部(包括边界)，容易得到整点个数为13个．11．某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．解析 设生产A 产品x 件，B 产品y 件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，y ≥0，x ∈N *，y ∈N*目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60，100)，(0，200)，(0，0)，(90，0)，在(60，100)处取得最大值，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．三、解答题12．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，目标函数z ＝2x －y ，求z 的最大值和最小值．解 z ＝2x －y 可化为y ＝2x －z ，z 的几何意义是直线在y 轴上的截距的相反数，故当z 取得最大值和最小值时，应是直线在y 轴上分别取得最小和最大截距的时候．作一组与l 0：2x －y ＝0平行的直线系l ，经上下平移，可得：当l 移动到l 1，即经过点A (5，2)时，z max ＝2×5－2＝8.当l 移动到l 2，即过点C (1，4.4)时， z min ＝2×1－4.4＝－2.4.13．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D上的点，求a 的取值范围．解 先画出可行域，如图所示，y ＝a x 必须过图中阴影部分或其边界．∵A (2，9)，∴9＝a 2，∴a ＝3.∵a ＞1，∴1＜a ≤3.∴a 的取值范围是(1，3]．14．某家具厂有方木料90 m 3，五合板600 m 2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m 3，五合板2 m 2，生产每个书橱需要方木料0.2 m 3，五合板1 m 2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元． (1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？ (3)怎样安排生产可使所得利润最大？ 解 由题意可画表格如下：(1)设只生产书桌x 张，可获得利润z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ≤90，2x ≤600，z ＝80x ，x ≥0⇒⎩⎨⎧x ≤900，x ≤300，x ≥0⇒0≤x ≤300.所以当x ＝300时，zmax ＝80×300＝24 000(元)，即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24 000元．(2)设只生产书橱y 个，可获得利润z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.2y ≤90，1·y ≤600，z ＝120y ，y ≥0⇒⎩⎨⎧y ≤450，y ≤600，y ≥0⇒0≤y ≤450.所以当y ＝450时，z max ＝120×450＝54 000(元)，即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54 000元． (3)设生产书桌x 张，书橱y 个，利润总额为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ＋0.2y ≤90，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤900，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0.z ＝80x ＋120y .在平面直角坐标系内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域(如图)．作直线l ：80x ＋120y ＝0，即直线l ：2x ＋3y ＝0.把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，此时z ＝80x ＋120y 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝900，2x ＋y ＝600，解得，点M 的坐标为(100，400)． 所以当x ＝100，y ＝400时，z max ＝80×100＋120×400＝56 000(元)．因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大．。
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3.3.2 简单的线性规划问题(一)
一、选择题
1．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，
x －y ＋1≥0，
则x ＋y 的最大值为
( ) A ．9
B.15
7
C ．1 D.
715 2．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≤4，y ≥x ，
x ≥1，
则x 2＋y 2
的最大值为
( )
A.10
B ．8
C ．16
D ．10
3.在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z=x+ay 取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值为
( )
A ．－3
B ．3
C ．－1
D ．1
4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，
x ＋y －8≤0，
则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小
值分别为
( )
A ．3，－11
B ．－3，－11
C ．11，－3
D ．11,3
5．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧
0≤x ≤2，
y ≤2，
x ≤2y
给定．若M (x ，y )
为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →
的最大值为
( ) A ．3
B ．4
C ．3 2
D ．4 2
二、填空题
6．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋2y －5≤0，x ≥1，
y ≥0，
x ＋2y －3≥0，
则y
x
的最大值为____．
7．已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．(答案用区间表示) 三、解答题
8．画出不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，
x ≤3
表示的平面区域，并回答下列问题：
(1)指出x 、y 的取值范围；
(2)平面区域内有多少个整点？ 9.已知⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ＋y －5≥03x －y －5≤0
x －2y ＋5≥0，求x 2
＋y 2
的最小值和最大值．
四、探究与拓展
10．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨
⎪
⎧
(x －y ＋6)(x ＋y －6)≥01≤x ≤4
.
(1)求x 2＋y 2
－2的取值范围； (2)求
y
x －3
的取值范围．
答案
1．A 2.D 3.A 4.A 5.B 6.2 7．(3,8)
8．(1)x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－52，3，y ∈[－3,8] (2)42个 9．x 2
＋y 2
的最大值为25，最小值为5 10．(1)[16,114]
(2)⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，－52∪[2，＋∞)。