江苏省徐州市高二数学上学期期末试卷 理(含解析)-人教版高二全册数学试题

2015-2016学年某某省某某市高二（上）期末数学试卷（理科）
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）
1．抛物线y2=12x的焦点坐标是．
2．命题“∃x∈R，x2≤0”的否定为．
3．底面边长为2，高为3的正三棱锥的体积为．
4．已知椭圆+=1的两个焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上一点，则△PF1F2的周长为．
5．已知正方体的体积为64，则与该正方体各面均相同的球的表面积为．
6．已知函数f（x）=xsinx，则f′（π）=．
7．双曲线﹣=1的焦点到渐近线的距离为．
8．“m＜”是“方程+=1表示在y轴上的椭圆”的条件．
（填写“充分不必要”、
“必要不充分”、“充要”“既不充分也不必要”之一）
9．若直线4x﹣3y=0与圆x2+y2﹣2x+ay+1=0相切，则实数a的值为．
10．若函数f（x）=e x﹣ax在（1，+∞）上单调增，则实数a的最大值为．
11．已知F为椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右焦点，A、B分别为椭圆C的左、上顶点，
若BF的垂直平分线恰好过点A，则椭圆C的离心率为．
12．若直线l与曲线y=x3相切于点P，且与直线y=3x+2平行，则点P的坐标为．
13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆（x﹣m﹣1）2+（y﹣2m）2=4上有且只有两个点到原点O的距离为3，则实数m的取值X围为．
14．已知函数f（x）=a（x﹣1）2﹣lnx，g（x）=，若对任意的x0∈（0，e]，总存在两个不同的x1，x2∈（0，e]，使得f（x1）=f（x2）=g（x0）．则实数a的取值X围为．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分.
15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：
（1）PA∥平面MDB；
（2）PD⊥BC．
16．已知直线l与圆C：x2+y2+2x﹣4y+a=0相交于A，B两点，弦AB的中点为M（0，1）．（1）若圆C的半径为，某某数a的值；
（2）若弦AB的长为4，某某数a的值；
（3）求直线l的方程及实数a的取值X围．
17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知A1C1⊥B1C1，CC1=2BC=2．
（1）当AC=2时，求异面直线BC1与AB1所成角的余弦值；
（2）若直线AB1与平面A1BC1所成角的正弦值为，求AC的长．
18．如图，ABCD是长方形硬纸片，AB=80cm，AD=50cm，在硬纸片的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸箱，设切去的小正方形的白边长为x（cm）．
（1）若要求纸箱的侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？
（2）若要求纸箱的容积V（cm3）最大，试问x应取何值？
19．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，连接椭圆C
的四个顶点所形成的四边形面积为4．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）如图，过椭圆C的下顶点A作两条互相垂直的直线，分别交椭圆C于点M，N，设直线AM的斜率为k，直线l：y=x分别与直线AM，AN交于点P，Q，记△AMN，△APQ的面积分别为S1，S2，是否存在直线l，使得=？若存在，求出所有直线l的方程；若不存在，说明理由．
20．已知函数f（x）=lnx﹣ax+1（a∈R）．
（1）当a=1时，求函数f（x）的极大值；
（2）若对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤2x成立，求a的取值X围；
（3）设h（x）=f（x）+ax，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，证明：
＞恒成立．
2015-2016学年某某省某某市高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）
1．抛物线y2=12x的焦点坐标是（3，0）．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】确定抛物线的焦点位置，进而可确定抛物线的焦点坐标．
【解答】解：抛物线y2=12x的焦点在x轴上，且p=6，
∴=3，
∴抛物线y2=12x的焦点坐标为（3，0）．
故答案为：（3，0）．
2．命题“∃x∈R，x2≤0”的否定为∀x∈R，x2＞0 ．
【考点】命题的否定．
【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x∈R，x2≤0”的否定为：∀x∈R，x2＞0．
故答案为：∀x∈R，x2＞0．
3．底面边长为2，高为3的正三棱锥的体积为．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】求出正三棱锥的底面面积，然后求解体积．
【解答】解：底面边长为2，高为3的正三棱锥的体积为： =．
故答案为：．
4．已知椭圆+=1的两个焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上一点，则△PF1F2的周长为
18 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由题意知a=5，b=3，c=4，从而可得|PF1|+|PF2|=2a=10，|F1F2|=2c=8．
【解答】解：由题意作图如右图，
∵椭圆的标准方程为+=1，
∴a=5，b=3，c=4，
∴|PF1|+|PF2|=2a=10，
|F1F2|=2c=8，
∴△PF1F2的周长为10+8=18；
故答案为：18．
5．已知正方体的体积为64，则与该正方体各面均相同的球的表面积为16π．
【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．
【分析】由已知求出正方体的棱长为4，所以正方体的内切球的半径为2，由球的表面积公式得到所求．
【解答】解：因为正方体的体积为64，所以棱长为4，
所以正方体的内切球的半径为2，所以该正方体的内切球的表面积为4π•22=16π．
故答案为：16π．
6．已知函数f（x）=xsinx，则f′（π）= ﹣π．
【考点】导数的运算．
【分析】直接求出函数的导数即可．
【解答】解：函数f（x）=xsinx，则f′（x）=sinx+xcosx，
f′（π）=sinπ+πcosπ=﹣π．
故答案为：﹣π．
7．双曲线﹣=1的焦点到渐近线的距离为 2 ．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求出双曲线的焦点坐标，渐近线方程，利用距离公式求解即可．
【解答】解：双曲线﹣=1的一个焦点（，0），一条渐近线方程为：y=，
双曲线﹣=1的焦点到渐近线的距离为： =2．
故答案为：2．
8．“m＜”是“方程+=1表示在y轴上的椭圆”的必要不充分条件．（填
写“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”“既不充分也不必要”之一）
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据椭圆的定义，求出m的X围，结合集合的包含关系判断充分必要性即可．【解答】解：若“方程+=1表示在y轴上的椭圆”，
则，解得：1＜m＜，
故“m＜”是“方程+=1表示在y轴上的椭圆”的必要不充分条件，
故答案为：必要不充分．
9．若直线4x﹣3y=0与圆x2+y2﹣2x+ay+1=0相切，则实数a的值为﹣1或4 ．
【考点】圆的切线方程．
【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标和圆的半径，然后根据直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于圆的半径，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．
【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣1）2+（y+）2=，
所以圆心坐标为（1，﹣），半径r=||，
由已知直线与圆相切，得到圆心到直线的距离d==r=||，
解得a=﹣1或4．
故答案为：﹣1或4．
10．若函数f（x）=e x﹣ax在（1，+∞）上单调增，则实数a的最大值为 e ．
【考点】变化的快慢与变化率．
【分析】根据导数和函数单调性的关系，再分离参数，求出最值即可．
【解答】解：f′（x）=e x﹣a
∵函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递增⇔函数f′（x）=e x﹣a≥0在区间（1，+∞）上恒成立，
∴a≤[e x]min在区间（1，+∞）上成立．
而e x＞e，
∴a≤e．
故答案为：e．
11．已知F为椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右焦点，A、B分别为椭圆C的左、上顶点，
若BF的垂直平分线恰好过点A，则椭圆C的离心率为．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】利用线段垂直平分线的性质可得线段BF的垂直平分线的方程，进而得出．
【解答】解：由已知可得：A（﹣a，0），B（0，b），F（c，0），
线段BF的中点M，k BF=，可得线段BF的垂直平分线的斜率为．
∴线段BF的垂直平分线的方程为：y﹣=，
∵BF的垂直平分线恰好过点A，
∴0﹣=，
化为：2e2+2e﹣1=0，
解得e=．
故答案为：．
12．若直线l与曲线y=x3相切于点P，且与直线y=3x+2平行，则点P的坐标为（1，1），（﹣1，﹣1）．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】利用直线平行斜率相等求出切线的斜率，再利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率求出切线斜率，列出方程解得即可．
【解答】解：设切点P（m，m3），
由y=x3的导数为y′=3x2，
可得切线的斜率为k=3m2，
由切线与直线y=3x+2平行，
可得3m2=3，解得m=±1，
可得P（1，1），（﹣1，﹣1）．
故答案为：（1，1），（﹣1，﹣1）．
13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆（x﹣m﹣1）2+（y﹣2m）2=4上有且只有两个点到原
点O的距离为3，则实数m的取值X围为（﹣，﹣）∪（0，2）．
【考点】圆的标准方程．
【分析】由已知得圆C：（x﹣m﹣1）2+（y﹣2m）2=4与圆O：x2+y2=9恰有两个交点，由此能求出实数m的取值X围．
【解答】解：圆（x﹣m﹣1）2+（y﹣2m）2=4上有且只有两个点到原点O的距离为3，
∴圆C：（x﹣m﹣1）2+（y﹣2m）2=4与圆O：x2+y2=9恰有两个交点，
圆C的圆心C（m+1，2m），半径r1=2，
圆O的圆心O（0，0），半径r2=3，
圆心距离|OC|==，
∴3﹣2＜＜3+2，
解得﹣＜m＜﹣或0＜m＜2．
∴实数m的取值X围为（﹣，﹣）∪（0，2）．
故答案为：（﹣，﹣）∪（0，2）．
14．已知函数f（x）=a（x﹣1）2﹣lnx，g（x）=，若对任意的x0∈（0，e]，总存在两个不同的x1，x2∈（0，e]，使得f（x1）=f（x2）=g（x0）．则实数a的取值X围为a≥．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数与方程的综合运用．
【分析】求导数，确定函数的单调性，即可求函数f（x）的值域；g（x）∈（0，e]，分类讨论，研究f（x）的单调性，即可求a的取值X围．
【解答】解：g′（x）=，令=0，解得x=1，
∵e x＞0，∴x∈（0，1）时，g′（x）＞0；x∈（1，e]时，g′（x）＜0，g（x）在（0，1]上单调递增，在（1，e]单调单调递减，根据极大值的定义知：g（x）极大值是g（1）=1，
又g（0）=0，g（e）=，所以g（x）的值域是（0，1]．
函数f（x）=a（x﹣1）2﹣lnx，x＞0，f′（x）=2ax﹣2a﹣=，
令h（x）=2ax2﹣2ax﹣1，h（x）恒过（0，﹣1），
当a=0时，f′（x）＜0，f（x）是减函数，不满足题意．
h（x）=0，可得2ax2﹣2ax﹣1=0，△=4a2+8a，△＞0解得a＜﹣2或a＞0．
当﹣2＜a＜0时，h（x）的对称轴为：x=，h（x）＜0恒成立，f′（x）＜0，f（x）是减函数，不满足题意．
当a＜﹣2时，x∈（0，），h（x）＜0恒成立，f′（x）＜0，f（x）是减函
数，
x∈，f′（x）＞0，f（x）是增函数，x∈，
f′（x）＜0，f（x）是减函数，
若对任意的x0∈（0，e]，总存在两个不同的x1，x2∈（0，e]，使得f（x1）=f（x2）=g（x0）．可知f（x）极大值≥1，f（x）极小值≤0．可得，
，
∵f（x）=a（x﹣1）2﹣lnx，，不等式不成立．当a＞0时，x∈（0，），h（x）＜0恒成立，f′（x）＜0，f（x）是减函数，x∈，f′（x）＞0，f（x）是增函数，因为x=1时，f（1）=0，只需f （e）≥1．
可得：a（e﹣1）2﹣1≥1，
解得a≥．
综上：实数a的取值X围为：a≥．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分.
15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：
（1）PA∥平面MDB；
（2）PD⊥BC．
【考点】直线与平面平行的判定．
【分析】（1）连接AC，交BD与点O，连接OM，先证明出MO∥PA，进而根据线面平行的判定定理证明出PA∥平面MDB．
（2）先证明出BC⊥平面PCD，进而根据线面垂直的性质证明出BC⊥PD．
【解答】证明：（1）连接AC，交BD与点O，连接OM，
∵M为PC的中点，O为AC的中点，
∴MO∥PA，
∵MO⊂平面MDB，PA⊄平面MDB，
∴PA∥平面MDB．
（2）∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，BC⊂平面ABCD，BC⊥CD，
∴BC⊥平面PCD，
∵PD⊂平面PCD，
∴BC⊥PD．
16．已知直线l与圆C：x2+y2+2x﹣4y+a=0相交于A，B两点，弦AB的中点为M（0，1）．（1）若圆C的半径为，某某数a的值；
（2）若弦AB的长为4，某某数a的值；
（3）求直线l的方程及实数a的取值X围．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】（1）利用配方法得到圆的标准方程，根据圆C的半径为，某某数a的值；（2）求出直线l的方程，求出圆心到直线的距离，根据弦AB的长为4，某某数a的值；（3）点与圆的位置关系即可求出a的取值X围．
【解答】解：（1）圆的标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2=5﹣a，
则圆心C（﹣1，2），半径r=，
∵圆C的半径为，
∴=，
∴a=2；
（2）∵弦的中点为M（0，1）．
∴直线CM的斜率k=﹣1，
则直线l的斜率k=1，
则直线l的方程为y﹣1=x，即x﹣y+1=0．
圆心C到直线x﹣y+1=0的距离d==，
若弦AB的长为4，则2+4=5﹣a=6，
解得a=﹣1；
（3）由（2）可得直线l的方程为x﹣y+1=0．
∵弦AB的中点为M（0，1）．
∴点M在圆内部，即＜，
∴5﹣a＞2，即a＜3．
17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知A1C1⊥B1C1，CC1=2BC=2．
（1）当AC=2时，求异面直线BC1与AB1所成角的余弦值；
（2）若直线AB1与平面A1BC1所成角的正弦值为，求AC的长．
【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角．
【分析】（1）以C1为原点，C1A1为x轴，C1B1为y轴，C1C为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BC1与AB1所成角的余弦值．
（2）设AC=a，求出平面A1C1B的法向量，由直线AB1与平面A1BC1所成角的正弦值为，利
用向量法能求出AC．
【解答】解：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1C1⊥B1C1，CC1=2BC=2，
∴以C1为原点，C1A1为x轴，C1B1为y轴，C1C为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AC=2，∴B（0，2，2），C1（0，0，0），A（2，0，2），B1（0，2，0），
∴=（0，﹣2，﹣2），=（﹣2，2，0），
设异面直线BC1与AB1所成角为θ，
则cosθ=|cos＜，＞|===，
∴θ=60°，
∴异面直线BC1与AB1所成角的余弦值为60°．
（2）设AC=a，则A1（a，0，0），B（0，2，2），C1（0，0，0），B1（0，2，0），A（a，0，2），
=（a，0，0），=（0，2，2），=（﹣a，2，﹣2），
设平面A1C1B的法向量=（x，y，z），
则，取y=1，得=（0，1，﹣1），
∵直线AB1与平面A1BC1所成角的正弦值为，
∴==，
解得a=．
∴AC=．
18．如图，ABCD是长方形硬纸片，AB=80cm，AD=50cm，在硬纸片的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸箱，设切去的小正方形的白边长为x（cm）．
（1）若要求纸箱的侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？
（2）若要求纸箱的容积V（cm3）最大，试问x应取何值？
【考点】基本不等式在最值问题中的应用．
【分析】（1）求出纸箱的侧面积S，利用基本不等式，求最大值；
（2）求出纸箱的容积V，利用导数，求最大值．
【解答】解：（1）S=2x（50﹣2x+80﹣2x）=2x≤•=，
当且仅当4x=130﹣4x，即x=cm，纸箱的侧面积S（cm2）最大；
（2）V=x（50﹣2x）（80﹣2x）（0＜x＜12.5），
V′=（50﹣2x）（80﹣2x）﹣2x（80﹣2x）﹣2x（50﹣2x）=4（3x﹣100）（x﹣10），
∴0＜x＜10，V′＞0，10＜x＜12.5，V′＜0，
∴x=10cm时，V最大．
19．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，连接椭圆C
的四个顶点所形成的四边形面积为4．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）如图，过椭圆C的下顶点A作两条互相垂直的直线，分别交椭圆C于点M，N，设直线AM的斜率为k，直线l：y=x分别与直线AM，AN交于点P，Q，记△AMN，△APQ的面
积分别为S1，S2，是否存在直线l，使得=？若存在，求出所有直线l的方程；若不存在，说明理由．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．
【分析】（1）由椭圆的离心率公式及菱形的面积公式求得a和b的值，可求得椭圆的方程；（2）利用椭圆方程及直线AM，AN的方程求得x M、x N、x P及x Q的值根据三角形面积公式求得k的值，求得直线方程．
【解答】解：（1）由题意可知：e===，且2ab=4，且a2﹣b2=c2，
解得a=2，b=，
∴椭圆的标准方程：，
（2）由（1）可知，A（0，﹣），则直线AM的方程为y=kx﹣，
将直线方程代入椭圆方程得：消去并整理得：（3+4k2）x2﹣8kx=0，
解得x M=，
直线AN的方程y=﹣﹣，同理可得：x N=﹣，
解得x P=k，同理可得x Q=﹣，
∴==丨丨==，
即3k4﹣10k2+3=0，
解得k2=3或k2=，
所以=或﹣，
故存在直线l：y=x，y=﹣x，满足题意．
20．已知函数f（x）=lnx﹣ax+1（a∈R）．
（1）当a=1时，求函数f（x）的极大值；
（2）若对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤2x成立，求a的取值X围；
（3）设h（x）=f（x）+ax，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，证明：
＞恒成立．
【考点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．
【分析】（1）a=1时，f（x）=lnx﹣x+1，（x＞0），f′（x）=﹣1=，对x分类讨论即可得出函数f（x）的单调性极值．
（2）f（x）≤2x化为：a≥﹣2=g（x），利用导数研究函数g（x）的单调性极值最值即可得出．
（3）h（x）=f（x）+ax=lnx+1，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，
＞恒成立⇔＞ln．令=t＞1，上式等价于：＞lnt．令=m＞1，则上式等价于：u（m）=﹣2lnm＞0．利用导数研究函数u（m）的单调性即可得
出．
【解答】（1）解：a=1时，f（x）=lnx﹣x+1，（x＞0），f′（x）=﹣1=，
∴0＜x＜1时，函数f（x）单调递增；1＜x时，函数f（x）单调递减．
因此x=1时函数f（x）取得极大值，f（1）=0．
（2）解：f（x）≤2x化为：a≥﹣2=g（x），
g′（x）=，可知：x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；
x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．
∴x=1时函数g（x）取得极大值即最大值，g（1）=1﹣2=﹣1．
∴a≥﹣1，∴a的取值X围是[﹣1，+∞）．
（3）证明：h（x）=f（x）+ax=lnx+1，
对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，＞恒成立⇔＞ln．
令=t＞1，上式等价于：＞lnt．
令=m＞1，则上式等价于：u（m）=﹣2lnm＞0．
u′（m）=1+﹣==＞0，因此函数u（m）在m∈（1，+∞）上单
调递增，
∴u（m）＞u（1）=0，
∴＞恒成立．。