【真题】2015-2016年山东省日照一中高三(上)期末数学试卷(理科)与答案
2016届山东省日照市一中高三上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
2016届山东省日照市一中高三上学期期末考试数学（理）试题一、选择题1．若集合{|02},{|||1}A y y B x x =≤<=>，则R ()A B = ð A ．{|01}x x ≤≤ B ．{|12}x x ≤< C ．{|10}x x -<≤ D ．{|12}x x << 【答案】A【解析】试题分析：因为{}{}|1|11B x x x x x =>=<->或,所以{}|11R B x x =-≤≤ð，所以(){}|01R A B x x =≤≤ ð，故选A ． 【考点】集合的运算．2．已知1ii 12ib a -=++（,R a b ∈），其中i 为虚数单位，则a b += A ．4- B ．4 C ．10- D ．10【答案】A【解析】试题分析：因为1(1)(12)12212(12)(12)55b i b i i b b i a i i i i ----+==-=+++-，所以125215ba b -⎧=⎪⎪⎨+⎪-=⎪⎩，解之得37a b =⎧⎨=-⎩，所以4a b +=-，故选A ． 【考点】1．复数的运算；2．复数相关的概念．3．数列{}n a 为等差数列，123,,a a a 为等比数列，51a =，则10a = A ．5 B ．1- C ．0 D ．1 【答案】D【解析】试题分析：设等差数列{}n a 的公差为d ，则2131,2a a d a a d =+=+，又123,,a a a 成等比数列，所以2213a a a =，即()2111(2)a d a a d +=+，解之得0d =，所以等差数列{}n a 为常数列，所以1051a a ==，故选D ．【考点】1．等差数列的定义及性质；2．等比数列的定义与性质．4．函数()si ()n f x A x ωϕ＝＋（000A ωϕπ>><<，，）的图象如图所示，则()4f π的值为A．0 C ．1 D【答案】D【解析】试题分析：由图可知，31132,41264A T πππ==-=，所以2T ππω==，2ω∴=，即()()2s i n 2f x x φ=+，由2s i n 2266f ππφ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得2,62k k Z ππφπ⨯+=+∈，又0φπ<<，所以6πφ=，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以()2sin 22cos 4466f ππππ⎛⎫=⨯+== ⎪⎝⎭D ． 【考点】1．正弦函数的图象与性质；2．诱导公式．5．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线:10l x ky -+=与圆22:4C x y +=相交于, A B 两点，OM OA OB =+．若点M 在圆C 上，则实数k =A ．2-B ．1-C ．0D ．1 【答案】C【解析】试题分析：设1122(,),(,)A x y B x y ，由22410x y x ky ⎧+=⎨-+=⎩得22(1)230k y ky +--=，所以12221ky y k +=+， 1212122211()21x x ky ky k y y k +=-+-=+-=-+，所以12122222(,),11k OM OA OB x x y y k k ⎛⎫=+=++=- ⎪++⎝⎭，即2222,11k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，又点M 在圆上， 所以222222411k k k -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，解之得0k =，故选C ．【考点】1．向量的运算；2．直线与圆的位置关系．6．如图是一个算法的流程图．若输入x 的值为2，则输出y 的值是A ．0B ．1-C ．2-D ．3- 【答案】C【解析】试题分析：模拟算法：输入2x =， 12102y =⨯-= 021y x -=-<不成立，20010112x y =⨯==⨯-=- 101y x -=--<不成立， 2(1)2x =⨯-=- 1(2)122y =⨯--=-， 2(2)01y x -=---=<成立， 输出2-，故选C ． 【考点】程序框图． 7．设2 0(4sin cos ),n x x dx π=+⎰则二项式1()n x x-的展开式中x 的系数为A ．4B ．10C ．5D ．6 【答案】B【解析】试题分析：22 0(4sin cos )(4cos sin )5n x x dx x x ππ=+=-+=⎰,所以511()()n x x x x-=-展开式的通项为5521551(1)rr r r r rr T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由52r -=得2r =，所以2235(1)10T C x x =-=，即展开式中x 的系数为10，故选B ．【考点】1．定积分运算；2．二项式定理．8．已知函数()()()()22sin 23410f x x x x R f y y f x x =+∈-++-+≤，且，则当1y ≥时，1yx +的取值范围是 A ．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．14,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】试题分析：因为()1cos 0f x x '=+≥，所以函数()sin f x x x =+在实数R 上为增函数，又()sin ()f x x x f x -=--=-，所以函数()sin f x x x =+为奇函数，所以()()()()2222234102341f y y f x x f y y f x x -++-+≤⇔-+≤--+()()22222223412341(2)(1)1f y y f x x y y x x x y ⇔-+≤-+-⇔-+≤-+-⇔-+-≤，由22(2)(1)11x y y ⎧-+-≤⎨≥⎩可知，该不等式组所表示的区域为以点C (2,1)为圆心，1为半径的上半个圆，1yx +表示的几何意义为点(,)P x y 与点(1,0)M -连线的斜率，作出半圆与点P 连线，数形结合可得1y x +的取值范围为13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选A ．【考点】1．导数与函数的单调性；2．函数的奇偶性；3．直线与圆的位置关系；4．数形结合．9．如图，菱形ABCD 的边长为2，60A ∠= ,M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点（含边界），则AM AN ⋅的最大值为A ．3 B．．6 D ．9 【答案】D【解析】试题分析：由向量的几何意义可知12AM AD AB =+，因为点N 为菱形ABCD 内任意一点，所以可设(01,01A N x A D y A B x y =+≤≤≤≤，则()2211154222AM AN AD AB xAD yAB xAD yAB x y AB AD x y⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+++⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又点(,)P x y 满足01,01x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，所以由线性规划知识可知，当1,1x y ==时，AM AN⋅ 取得最大值9，故选D ．【考点】1．向量的运算；2．线性规划．【名师点睛】本题主要考查平面向量的基本运算与线性规划，属中档题；高考对平面向量的线性运算及数量积的考查主要有以下几个方面：1．考查向量加法与减法的几何意义；2．求已知向量的和；3．与三角形联系求参数的值；与平行四边形联系，研究向量关系；5．以向量数量积为工具与函数、解析几何、线性规划等知识联系．10．已知1F ，2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点，若双曲线左支上存在一点P 与点2F 关于直线bxy a=对称，则该双曲线的离心率为 （ ） A．2．2 【答案】B【解析】试题分析：由双曲线的定义与性质可知12(,0),(,0)F c F c -，设2F 关于直线bx y a =的对称点为00(,)P x y ，则0000122y b x c ay b x ca⎧⨯=-⎪-⎪⎨+⎪=⋅⎪⎩，解之得22002a b x c ab y c ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即222,a b ab P cc ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又点P 在双曲线上，所以有22222221a b ab c c a b ⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=，化简整理得2222()(4)0b a b a +-=，所以2b a =，c ==，所以ce a==，故选B ． 【考点】双曲线的几何性质．【名师点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，属中档题．离心率是圆锥曲线的重要几何性质，求解椭圆或双曲线的离心率的关键是建立一个关于,,a b c 的方程（或不等式），通过这个方程（或不等式）和b 与,a c 的关系消掉b ，建立a 与c 之间的方程或不等式，通过这个方程求出ca即可，不一定具体求出,a c 的值．二、填空题11．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为x 4万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则=x ___ ____ 吨．【答案】20【解析】试题分析：设总费用为y 万元，则4001616004444160y xx xx=⨯+=⨯=，当且仅当16004x x=，即20x =时，y 有最小值，所以应填20．【考点】1．函数建模问题；2．基本不等式．【名师点睛】本题主要考查函数建模与基本不等式的综合应用，属容易题；解实际应用问题时应注意：1．设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；2．根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数最值；3．在求函数最值时，一定要在定义域（使实际问题有意义的自变量的取值范围）内求；4．有些实际问题中，要求最值的需要用几个变量表示，同时这几个变量满足某个关系式，这时问题就变成了一个条件最值，可用求条件最值的方法求最值．12．有6人入住宾馆中的6个房间，其中的房号301与302对门，303与304对门，305与306对门，若每人随机地拿了这6个房间中一把钥匙，则其中的甲、乙两人恰好对门的概率为 ． 【答案】15【解析】试题分析：甲乙两人恰好对门的概率1243246615C A A P A ==． 【考点】古典概型．13．已知x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤≥+-0306k y x x y x ，且y x z 42+=的最小值为6，则常数k = ． 【答案】3-【解析】试题分析：约束条件6030x y x x y k -+≥⎧⎪≤⎨⎪++≥⎩所表示的可行域为如下所示的三角形ABC ，当目标函数24z x y =+经过点可行域内的点(3,3)B k --时有最小值min 234(3)6z k =⨯+⨯--=，解得3k =．【考点】线性规划．14．已知直角梯形ABCD ，AB AD ⊥，CD AD ⊥，222AB AD CD ===，沿AC 折叠成三棱锥，当三棱锥体积最大时，三棱锥外接球的体积为 ． 【答案】43π 【解析】试题分析：当平面ACD ⊥平面ABC 时，折成的三棱锥体积最大，分别取,AC AB 的中点,E O ，连结,,OD OE DE 可得，2OE DE ==，所以1OD OA OB OC ====，即O 为该三棱锥的外接球球心，其半径1R =，所以外接球的体积43V π=．AC【考点】1．平面图形的折叠问题；2．球的切接问题．【名师点睛】本题主要考查平面图形的折叠问题与球的切接问题，属中档题；与球有关的组合体的解法通常有：1．球与旋转体的组合体通常通过作出它们的轴截面解题；2．球与多面体的组合体，通常通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题转化为平面问题． 15．下列命题： ①函数⎪⎭⎫⎝⎛-=2sin πx y 在[]π,0上是减函数； ②点A （1，1）、B （2，7）在直线03=-y x 两侧；③数列{}n a 为递减的等差数列，051=+a a ，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则当4=n 时，n S 取得最大值； ④定义运算12122112a a ab a b b b =-,则函数()13312x x x x x f +=的图象在点⎪⎭⎫⎝⎛31,1处的切线方程是.0536=--y x其中正确命题的序号是_________（把所有正确命题的序号都写上）． 【答案】②④【解析】试题分析：对于①，函数sin cos 2y x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭在区间[]0,π上是增函数，故①错；对于②，将,A B 坐标代入直线方程相乘得(311)(327)20⨯-⨯⨯-=-<，所以点,A B 在该直线的两侧，故②正确；对于③，在等差数列{}n a 中，由150a a +=可得30a =，所以23S S =均为最大值，即当2n =或3n =时，n S 有最大值，故③错；对于④，()23211()333f x x x x x x x x =+⨯-=+-，所以2()21f x x x '=+-，2(1)12112f '=+⨯-=，所以函数在点11,3⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为：12(1)3y x -=-即6350x y --=，故④正确，所以应填②④．【考点】1．正、余弦函数的图象与性质；2．线性规划；3．等差数列的性质；4．导数的几何意义．三、解答题16．已知函数3cos 32cos sin 2)(2-+=x x x x f ，R ∈x ． （Ⅰ）求函数(3)1y f x =-+的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）已知ABC ∆中的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若锐角A 满足()26A f π-=7a =，sin sin B C +=，求ABC ∆的面积．【答案】（Ⅰ）3T π=；单调递减区间是115[,]336336k k ππππ-+，Z ∈k ；（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）先利用二倍角公式将题中角升倍，转化为2x 的角，再利用两角和的正弦公式将函数解析化简为()2sin(2)3f x x π=+，即可求其周期及单调递减区间；（Ⅱ）由()26A f π-=代入函数解析式，可求得3A π=，由正弦定理可得sin sin sin b cB C A a++=即可求出13b c +=，再利用余弦定理可求得40bc =，vcb可求三角形面积．试题解析：（Ⅰ） 2()2sin cos 1)f x x x x =-sin 222sin(2)3x x x π=+=+(3)12sin(6)12sin(6)133y f x x x ππ∴=-+=-++=--+ (3)1y f x ∴=-+的最小正周期为263T ππ== 由262232k x k πππππ-≤-≤+得：115336336k x k ππππ-≤≤+，Z ∈k ，(3)1y f x ∴=-+的单调递减区间是115[,]336336k k ππππ-+，Z ∈k（Ⅱ）∵()26A f π-=2sin()33A ππ-+=，∴sin A = ∵02A π<<，∴3A π=．由正弦定理得：sin sin sin b cB C A a++=，7b c +=，∴13b c += 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得：22()22cos a b c bc bc A =+--，即491693bc =-，∴40bc =所以11sin 40222ABC S bc A ∆==⨯⨯=【考点】1．三角恒等变换；2．正弦函数的图象与性质；3．正弦定理与余弦定理． 17．某大型公益活动从一所名牌大学的四个学院中选出了18名学生作为志愿者，参加相关的活动事宜．学生来源人数如下表：（Ⅰ）若从这18名学生中随机选出两名，求两名学生来自同一学院的概率；（Ⅱ）现要从这18名学生中随机选出两名学生向观众宣讲此次公益活动的主题．设其中来自外语学院的人数为ξ，令21ηξ=+，求随机变量η的分布列及数学期望()E η． 【答案】（Ⅰ）2； （Ⅱ）η的分布列为 ()9E η=． 【解析】试题分析：（Ⅰ）从18名学生中任选2名学的基本事件共有218C 种，这两名学生来自同一学院的基本事件共有22224635C C C C +++种不同方法，由古典概型计算公式即可求其概率；（Ⅱ）来自外语学院的人数为ξ的可能人数为012，，，所以21ηξ=+的可能值为1,3,5，分别计算其对应的概率即可得到概率分布列及期望． 试题解析：（Ⅰ）设“两名学生来自同一学院”为事件A ，则222246352182()9C C C C P A C +++== 即两名学生来自同一学院的概率为29． （Ⅱ）ξ的可能取值是0,1,2，对应的η可能的取值为1，3，521421891(1)(0)153C P P C ηξ=====, 1141421856(3)(1)153C C P P C ηξ=====, 242182(5)(2)51C P P C ηξ=====,所以η的分布列为所以9156217()135153153519E η=⨯+⨯+⨯=． 【考点】1．古典概型；2．离散型随机变量的概率分布列与期望．18．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，1,60AD DC CB ABC ===∠=，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF =．（1）求证：BC ⊥平面ACFE ；（2）点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 所成二面角的平面角为(90)θθ≤ ，试求cos θ的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）12⎤⎥⎣⎦．【解析】试题分析：（1）由面面垂直的性质定理可知，要证BC ⊥平面ACFE ,只要证BC ⊥AC 即可，在梯形ABCD 中，可利用勾股定理的逆定理可证BC ⊥AC ；（2）由（1）可建立分别以直线,,CA CB CF 为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，令)30(≤≤=λλFM ，由向量公式计算得cos θ=，再由0λ≤≤cos θ的取值范围．试题解析：（1）证明：在梯形ABCD 中， ∵ //AB CD ,1AD DC CB ===， ∠ABC ＝60 ，∴ 2AB =∴ 360cos 2222=⋅⋅-+=o BC AB BC AB AC ∴ 222BC AC AB += ∴ BC ⊥AC∵ 平面ACFE ⊥平面ABCD ,平面ACFE ∩平面ABCD AC =, BC ⊂平面ABCD ∴ BC ⊥平面ACFE（2）由（1）可建立分别以直线,,CA CB CF 为轴轴轴，z y x ,，建立如图所示的空间直角坐标系，令)30(≤≤=λλFM ，则)0,0,3(),0,0,0(A C ，()()1,0,,0,1,0λM B∴ ()()1,1,,0,1,3-=-=λ 设1n ),,(z y x =为平面MAB 的一个法向量， 由1n 0=⋅ ，1n 0=⋅联立得⎩⎨⎧=+-=+-003z y x y x λ ，取1=x ，则1n ()λ-=3,3,1，∵2n ()0,0,1=是平面FCB 的一个法向量 ∴=θcos ||||||2121n n n n ⋅⋅=∵ 0λ≤≤∴ 当0λ=时，θcos 有最小值7，当λ=θcos 有最大值12．∴ 1cos 2θ⎤∈⎥⎣⎦【考点】1．线面、面面垂直的判定与性质；2．空间向量的应用．19．已知数列{}n a 中，11a =，11()2nn n a a +⋅=，记2n T 为{}n a 的前2n 项的和，221n n n b a a -=+，N n *∈．（Ⅰ）判断数列{}n b 是否为等比数列，并求出n b ； （Ⅱ）求2n T ．【答案】（Ⅰ）{}n b 是等比数列；32n n b =．（Ⅱ）2332nnT =-． 【解析】试题分析：（Ⅰ）由11()2n n n a a +⋅=可得1121()2n n n a a +++⋅=，两式相比可得212n n a a +=，计算112n n b b +=可得数列{}n b 是等比数列；由等比数列性质可求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知数列{}n a 的奇数项和偶数项分别成等比数列，所以利用分组求和法可求2n T ．试题解析：（Ⅰ） 11()2n n n a a +⋅=，1121()2n n n a a +++∴⋅=，212n n a a +∴=，即212n n a a +=221n n n b a a -=+ ， ∴22112221221221111222n n n n n n n n n n a a b a a b a a a a -+++--++===++所以{}n b 是公比为12的等比数列． 11a = ，1212a a ⋅=，212a ∴=11232b a a ⇒=+= 1313()222n n n b -∴=⨯=（Ⅱ）由（Ⅰ）可知212n n a a +=，所以135, , , a a a 是以11a =为首项，以12为公比的等比数列；246, , , a a a 是以212a =为首项，以12为公比的等比数列 ……10分21321242()()n n n T a a a a a a -∴=+++++++ 1111()[1()]322231121122n n n --=+=--- 【考点】1．等比数列的定义与性质；2．数列求和．【名师点睛】本题主要考查等比数列的定义与性质以及等比数列求和与分组求和，属中档题；等比数列基本量运算问题常见类型及解题策略有：1．化基本量求通项；2．化基本量求特定项；3．化基本量求公比；4．化基本量求和．20．已知动圆P 与圆221:(3)81F x y ++=相切，且与圆222:(3)1F x y -+=相内切，记圆心P 的轨迹为曲线C ；设Q 为曲线C 上的一个不在x 轴上的动点，O 为坐标原点，过点2F 作OQ 的平行线交曲线C 于,M N 两个不同的点． （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）试探究||MN 和2||OQ 的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数，若不能，请说明理由；（Ⅲ）记2QF M ∆的面积为1S ，2OF N ∆的面积为2S ，令12S S S =+，求S 的最大值．【答案】（Ⅰ）221167x y +=；（Ⅱ）||MN 和2||OQ 的比值为一个常数，这个常数为12；（Ⅲ）S取最大值【解析】试题分析：（Ⅰ）由两圆相切的知识列出等量关系式12||9||1PF RPF R =-⎧⎨=-⎩，两式相加可得12||||8PF PF +=，由此可曲线C 是椭圆，由椭圆的定义可求其轨迹方程；（Ⅱ）设出直线OQ 与MN 的方程，由221167x my x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩求出点Q 的坐标，所以由2231167x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：22(716)42490m y my ++-=,利用韦达定理写出点,M N 坐标与m 的关系，计算2MN OQ即可；（Ⅲ）//MN OQ ，∴2QF M ∆的面积2O F M =∆的面积，12OMN S S S S ∆∴=+=,求出点O 到直线:3MN x my =+的距离d =再求出弦长MN，即可求出S =t =，换元，利用基本不等式即可求三角形面积的最大值．试题解析：（Ⅰ）设圆心P 的坐标为(,)x y ，半径为R由于动圆P 与圆221:(3)81F x y ++=相切，且与圆222:(3)1F x y -+=相内切，所以动圆P 与圆221:(3)81F x y ++=只能内切 12||9||1PF R PF R =-⎧∴⎨=-⎩1212||||8||6PF PF F F ⇒+=>=∴圆心P 的轨迹为以12, F F 为焦点的椭圆，其中28, 26a c ==，2224, 3, 7a c b a c ∴===-=故圆心P 的轨迹C ：221167x y += （Ⅱ）设112233(,), (,), (,)M x y N x y Q x y ，直线:OQ x my =，则直线:3MN x my =+由221167x my x y=⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：22222112716112716m x m y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩， 2232232112716112716m x m y m ⎧=⎪⎪+∴⎨⎪=⎪+⎩ 2222233222112112112(1)||716716716m m OQ x y m m m +∴=+=+=+++由2231167x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：22(716)42490m y my ++-=1212224249,716716m y y y y m m ∴+=-=-++∴||MN ==21|y y =-=2256(1)716m m +=+∴2222256(1)||1716112(1)||2716m MN m m OQ m ++==++∴||MN 和2||OQ 的比值为一个常数，这个常数为12（Ⅲ）//MN OQ ，∴2QF M ∆的面积2OF M =∆的面积，12OMN S S S S ∆∴=+=O 到直线:3MN x my =+的距离d =2221156(1)||22716716m S MN d m m +∴=⋅=⨯=++t =，则221m t =-(1)t ≥2284848497(1)16797t t S t t t t===-+++97t t +≥= 97t t =，即t =亦即7m =±时取等号）∴当m =时，S取最大值【考点】1．圆与圆的位置关系；2．直线与椭圆的位置关系；3．椭圆的定义及几何性质．【名师点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系、椭圆的定义及几何性质、直线与椭圆的位置关系，属难题；圆锥曲线的最值问题是高考的热点与难点之一，圆锥曲线中最常见的最值问题及解题方法有：1．两类最值问题：①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；②求直线或圆锥曲线中几何元素存在最值时确定与之有关的一些问题．2．两种常见解法： ①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑用图形性质解决；②代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解．21．已知函数32()(R)f x x x x =-+∈，()g x 满足()(R,>0)ag x a x x'=∈，且()g e a =，e 为自然对数的底数．（Ⅰ）已知1()()xh x ef x -=，求()h x 在(1,(1))h 处的切线方程；（Ⅱ）若存在[1,]x e ∈，使得()g x ≥2(2)x a x -++成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）设函数(),1()(),1f x x F xg x x <⎧=⎨≥⎩，O 为坐标原点，若对于()y F x =在1x ≤-时的图象上的任一点P ，在曲线()y F x =(R)x ∈上总存在一点Q ，使得0OP OQ ⋅<，且PQ的中点在y 轴上，求a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）1y x =-+；（Ⅱ）221e e a e -≤-；（Ⅲ）(,0]-∞【解析】试题分析：（Ⅰ）求函数1()()x h x e f x -=的导数321()(42)x h x x x x e -'=-+，再求出(1),(1)h h '即可写出切线方程；（Ⅱ）变参分离可得22ln x x a x x-≤-，即2m a x 2()ln x x a x x-≤-，从而将问题转化为求函数22()ln x x t x x x -=-，[1,]x e ∈的最小值问题，求函数()t x 的导数，由导数研究函数的单调性，即可求出函数()t x 的最小值，从而可求出a 的范围；（Ⅲ）设(,())P t F t 为()y F x =在1x ≤-时的图象上的任意一点，则1t ≤-,所以可设Q 的坐标为(,())t F t --，由于0OP OQ ⋅<,即(1)ln()1a t t --<，当1t <-，变参分离得1(1)ln()a t t <--，令1()(1)ln()t t t ϕ=--(1)t <-，由导数研究函数()t ϕ的单调性即可．试题解析：（Ⅰ） 321()()x h x x x e -=-+，321()(42)x h x x x x e -'=-+(1)0h ∴=，(1)1h '=-∴()h x 在(1,(1))h 处的切线方程为：(1)y x =--，即1y x =-+（Ⅱ） ()(R,>0)ag x a x x'=∈，()ln g x a x c ∴=+ ()ln 0g e a e c a c a c ∴=+=+=⇒=，从而()ln g x a x =由()g x ≥2(2)x a x -++得：2(ln )2x x a x x -≤-．由于[1,]x e ∈时，ln 1x x ≤≤，且等号不能同时成立，所以ln x x <，ln 0x x ->．从而22ln x x a x x -≤-，为满足题意，必须2max 2()ln x xa x x -≤-． 设22()ln x x t x x x -=-，[1,]x e ∈，则2(1)(22ln )()(ln )x x x t x x x -+-'=-． [1,]x e ∈，10,ln 1,22ln 0x x x x ∴-≥≤+->，从而()0t x '≥，∴()t x 在[1,]e 上为增函数，所以2max2()()1e e t x t e e -==-，从而221e e a e -≤-．（Ⅲ）设(,())P t F t 为()y F x =在1x ≤-时的图象上的任意一点，则1t ≤-PQ 的中点在y 轴上，Q ∴的坐标为(,())t F t --，1t ≤-，1t ∴-≥，所以32(,)P t t t -+，(,ln())Q t a t --，22(1)ln()OP OQ t at t t ⋅=----．由于0OP OQ ⋅<，所以(1)ln()1a t t --<．当1t =-时，(1)ln()1a t t --<恒成立，∴R a ∈； 当1t <-时，1(1)ln()a t t <--，令1()(1)ln()t t t ϕ=--(1)t <-，则2(1)ln()()[(1)ln()]t t t t t t t ϕ-+-'=-- 1t <- ，10, ln()0t t t ∴-<-<，()0t ϕ'∴>，从而1()(1)ln()t t t ϕ=--在(,1)-∞-上为增函数，由于t →-∞时，1()0(1)ln()t t t ϕ=→--，()0t ϕ∴>，0a ∴≤综上可知，a 的取值范围是(,0]-∞．【考点】1．导数的几何意义；2．导数与函数的单调性；3．函数与不等式．【名师点睛】本题主要考查导数的几何意义、导数与函数的单调性、函数与不等式等知识，属难题；解决导数的几何意义有关的问题时，应重点注意以下几点：1．首先确定已知点是否为曲线的切点是解题的关键；2．基本初等函数的导数和导数的运算法则是正确解决问题的保证；3．熟练掌握直线的方程与斜率是正确解决此问题的前提．。
山东省各地2015届高三数学上学期期末考试试题分类汇编 数列 理
山东省各地2015高三上学期期末考试数学理试题分类汇编：数列一、选择题1、（泰安市2015届高三）正项等比数列{}n a 的公比为2，若21016a a =，则9a 的值是 A.8 B.16 C.32D.642、（淄博市六中2015届高三）设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，且27320a a +=，则52S S =（ ） A ．11 B ．5 C ．8- D ．11-二、填空题1、（济宁市2015届高三）已知数列{n a }的前n 项和为n S ，111,2(2)n n a a S n -==≥，则数列{n a }的通项公式n a ＝＿＿2、（青岛市2015届高三） 若数列{}n a 的通项公式为()()()()()()*122111...11n na n N f n a a a n =∈=---+，记,试通过计算()()()1,2,3f f f 的值，推测出()f n =_________.3、（滕州市第三中学2015届高三）在数列{}n a 中，已知24a =， 315a =，且数列{}n a n +是等比数列，则n a =4、（淄博市2015届高三）在等差数列{n a }中，15a ＝33，25a ＝66，则35a ＝＿＿＿＿三、解答题1、（德州市2015届高三）数列 {}n a 中 112a =，前n 项和 22(1),.n n S n a n n n N *=--∈． (I)证明数列 1n n S n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； (Ⅱ)设 21(21)n n b S n n =-，数列 {}n b 的前 n 项和为 n T ，试证明： 1n T <·2、（济宁市2015届高三）已知公比为q 的等比数列{n a }是递减数列，且满足123123131,927a a a a a a ++==学科网。
（I ）求数列{n a }的通项公式；（II ）求数列{(21)n -n a }的前n 项和n T3、（莱州市2015届高三）已知数列{}n a 中，12,a a a t ==（常数0t >），n S 是其前n 项和，且()12n n n a a S -=.（I ）试确定数列{}n a 是否为等差数列，若是，求出其通项公式；若不是，说明理由； （II ）令()*211212,223n n n n n n S S b n b b b n n N S S ++++=+<++⋅⋅⋅+<+∈证明：.4、（临沂市2015届高三）已知数列{}{}n n a b 和满足122nb nn a a a -⋅⋅⋅=，若{}n a 为等比数列，且1211,2a b b ==+.（I ）求n n a b 与； （II ）设()11n n nc n N a b *=-∈，求数列{}n c 的前n 项和n S .5、（青岛市2015届高三）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，数列{}n b 是等比数列，151,12b a =-恰为421S b 与的等比中项，圆()(222:22C x n y n -+=，直线:l x y n +=，对任意n N *∈，直线l 都与圆C 相切.（I ）求数列{}{}n n a b ，的通项公式； （II ）若1n =时，{}111111111,2...,111112n n n n nc n c c b b b b --=+≥=+++++时，的前n 项和为n T ，求证：对任意2n ≥，都有12n n T >+ 6、（泰安市2015届高三）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：()21262n n n S S S n n N*++++=-∈.（I ）若数列{}n a 是等差数列，求{}n a 的通项公式. （II ）若121a a ==，求50S .7、（潍坊市2015届高三）各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知点()()1,n n a a n N *+∈在函数3y x =的图象上，且326.S = （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）在1n n a a +与之间插入n 个数，使这2n +个数组成公差为n d 的等差数列，求数列1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ，并求使184055327n n n T -+≤⨯成立的最大正整数.n8、（淄博市六中2015届高三）已知等差数列}{n a ，其前n 项和为n S ，若5S =70，且2272,,a a a 成等比数列，（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n a 是递增数列，设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1的前n 项和为n T ，求证：8361<≤nT ．9、（桓台第二中学2015届高三）等差数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =；等比数列{}n b 中，11b =．若3314a S +=，2212b S =（1）求n a 与n b ；（2）设2()n n n c a b n N *=+∈，数列{}n c 的前n 项和为n T ．若对一切n N *∈不等式n T λ≥恒成立，求λ的最大值．10、（滕州市第二中学2015届高三）已知数列{}na 满足：121,2a a ==，且()2(2cos )13,n n a n a n N π*+=+-+∈。
山东省各地2015高三上学期期末考试数学理试题分类汇编：导数及其应用
山东省各地2015高三上学期期末考试数学理试题分类汇编导数及其应用一、选择题1、（青岛市2015届高三）已知函数()32123f x x ax bx c =+++有两个极值点1212,112x x x x -<<<<，且，则直线()130bx a y --+=的斜率的取值范围是 A. 22,53⎛⎫-⎪⎝⎭ B. 23,52⎛⎫-⎪⎝⎭ C. 21,52⎛⎫-⎪⎝⎭ D. 22,,53⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2、（泰安市2015届高三）定义在R 上的函数()f x 满足：()()()()()1,00,f x f x f f x f x ''>-=是的导函数，则不等式()1xxe f x e >-（其中e 为自然对数的底数）的解集为A. ()(),10,-∞-⋃+∞B. ()0,+∞C. ()(),01,-∞⋃+∞D. ()1,-+∞3、（桓台第二中学2015届高三）设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )，n ∈N ，则f 2 013(x )＝( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x 二、解答题1、（德州市2015届高三）已知函数 ()x f x e ax =+，其中e 为自然对数的底数，a 为常数． (I)若函数f(x)存在极小值，且极小值为0，求a 的值； (Ⅱ)若对任意 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式 ()2(1sin )xf x ax e x -≥-恒成立，求a 的取值范围．2、（济宁市2015届高三）设a R ∈，函数2()(21)ln f x ax a x x =-++。
（I ）当a ＝1时，求f （x ）的极值；（II ）设()1xg x e x =--，若对于任意 的12(0,),x x R ∈+∞∈，不等式12()()f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围。
(完整word)2015年高考山东理科数学试题及答案解析,推荐文档
2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学(理科)第I 卷(共50 分)(7)【2015年山东，理 7】在梯形 ABCD 中，ABC - , AD//BC , BC 2AD 2AB 2 .将梯形 ABCD(9)【2015年山东，理9】一条光线从点(2, 3)射出,经y 轴反射与圆(x3)2 (y 2)2 1相切，则反射光线所在的直线的斜率为 ( )/八5亠 33亠 254 4亠 3(A )一或一(B ) -或(C )—或一(D )—或3 5234 53 4(10)【2015年山东，理 10】设函数 f(x)3x 1,x 2 ,x 1 !,则满足 1. f(f(a))2f(a)的取值范围是()、选择题：本大题共 【2015年山东，理(A ) 1,3 (1) 10小题，每小题5分，在(C ) 2,3((D )) 2,4(2) 【2015年山东，理 2】若复数z 满足 —i ，其中i 是虚数单位，则1 i(3) (4) (5) (6) (A) 1 i (B) 1 i (C ) 1 i (D)【2015年山东，理 3】要得到函数y(A )向左平移个单位(B )12【2015年山东，理 3 2(A) 尹【2015年山东，理 (A) ( ,4)【2015年山东，理 (A) 34】5】6】已知菱形 (B)Sin (4X3)的图象，只sin 4x 的图像 向右平移 个单位(C )向左平移一个单位(D )向右平移12 3ABCD 的边长为 a , ABC 60°，则????????( 3 2 a 4 个单位3(C ) 不等式|x 1| |x 5| (B ) ( ,1)已知x,y 满足约束条件 (B) 22的解集是3 2a 4)(1,4))3 2(D ) -a (C ) 02若z ax y 的最大值为 (C ) -2(D ) (1,5) 4,则(D) -3(A )—4(B )(C ) 5333(8)【2015年山东，理8】已知某批零件的长度误差(单位: 毫米) 服从正态分布(D) 2N(0,32)，从中随机取一件, 服从正态分布N (2)，则P()68.26%, P( 2 2 ) 95.44%)(A) 4.56% (B) 13.59% (C ) 27.18% (D) 31.74%绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) 其长度误差落在区间3,6内的概率为( )(附：若随机变量第II卷(共100 分) :■、填空题：本大题共5小题，每小题5分(11)【2015年山东，理11】观察下列各式：照此规律，当n N*时，C 20n 1c 2n 1c ；n43；(14) __________________________________________________________________________________________【2015年山东，理14】已知函数f(x) a x b (a 0,a 1)的定义域和值域都是[1,0]，则a b _________________________2 2(15) 【2015年山东，理15】平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 G :笃 爲1(a 0,b 0)的渐近线与抛物线a bC2：x 2py(p 0)交于点O,A,B ，若 OAB 的垂心为G 的焦点，贝U G 的离心率为 _______________ .三、解答题：本大题共 6题，共75分.(16)【2015年山东，理16】(本小题满分12分)设f (x) sin xcosx cos (x ).4(I)求f(x)的单调区间；A(n)在锐角ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,若f( ) 0,a 1，求 ABC 面积.2(17) 【2015年山东，理17】(本小题满分12分)如图，在三棱台 DEF ABC 中，AB 2DE,G,H 分别为AC, BC 的中点.(I)求证：BD//平面FGH ;2 3 74 C•‘2 52 7 14 c CO4';1G1G1GO1O 3 O 50 7 L c c c c L(12) 【2015年山东，理 (13) 【2015年山东，理12】右 “ x [0, _],tan x413】执行右边的程序框图,m ”是真命题，则实数m 的最小值为 ________n 1C 2n 1(n)若CF 平面ABC, AB BC,CF DE, BAC 45o，求平面FGH 与平面ACFD所成角(锐角)的大小.(18) 【2015年山东，理18】(本小题满分12分)设数列｛a.｝的前n项和为S n，已知3n 3 .(I)求数列｛a n｝的通项公式；(H)若数列｛b n｝满足a n b n log3耳，求数列也｝的前n项和「.(19) 【2015年山东，理19】(本小题满分12分)若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为三位递增数”(如137, 359, 567等).在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数” 的三个数字之积不能被5 整除,参加者得0 分；若能被 5 整除,但不能被10 整除,得-1 分；若能被10 整除,得 1 分.(I)写出所有个位数字是5的三位递增数”；(H)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX .2 2(20) 【2015年山东，理20】(本小题满分13分)平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:笃厶1(a b 0)的a b离心率为_!，左、右焦点分别是F I,F2,以F l为圆心，以3为半径的圆与以F2为圆心，以1为半径的圆相2交，交点在椭圆C 上.(I)求椭圆C的方程；2 2(n)设椭圆E：二笃1, P为椭圆C上的任意一点，过点P的直线y kx m交椭圆E于A,B两点，4 a2 4b2射线PO交椭圆E于点Q •⑴求|OQ-I的值；(ii)求ABQ面积最大值.|OP|(21)【2015年山东，理21】(本题满分14分)设函数f(x) ln(x 1) a(x2x)，其中a R .(I)讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由；(H)若x 0，f(x) 0成立，求a的取值范围.2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学(理科)第I 卷(共50 分)【答案】Bx y 0(4)【2015年山东，理 4】已知菱形 ABC D 的边长为a ,ABC 60'，则？？??•？??？()3 2 (A ) ^a (B ) 3 2 a 43 2 (C ) — a43 2(D)〒【答案】D【解析】由菱形ABCD 的边长为a ,AB C 60o 可知 BAD 18C f 60o 120o ,uu uiur uur BD CD (AD uuu uu iuu u A uiu r AD uur 2 AB a acos12C °2 a -a 2，故选D . 2 (5)【2015年山东，理 5】不等式|x 1| |x 5| 2的解集是( )(A ) ( ,4) (B )( ,1)(C ) (1,4)(D ) (1,5) 【答案】A【解析】当x 1时，1x (5 x)4 2成立； 当1 x5 时，x 1 (5x) 2x 62，解得 x 4，则【解析】y sin4(x —)，只需将函数y sin4x 的图像向右平移一个单位，故选 B .12 121 x 4 ;当 x 5 时，x 1(x 5) 4 2不成立.综上x4，故选A .」、选择题：本大题共 (1)【2015年山东，， (A ) 1,3 【答案】C 【解析】A {x|x 2 4x (2)【2015年山东,(A ) 1 i 【答案】A 【解析】z (1 i)i(3)【2015年山东, (A )向左平移10小题，每小题5分，在4x 30} , B{x|2 x( (D)) 2,43 0} {x|1 x 3} , AI B (2,3)，故选 C .2】 i 2 i理3】 若复数z 满足zi ，其中 1 ii 是虚数单位，则 (B) 1(C )1 i(D)要得到函数i ,故选A .Sin(4x3)的图象，只需将函数sin 4x 的图像个单位(B )向右平移—个单位(C )向左平移—个单位(D )向右平移1212—个单位3x y 2若z ax y 的最大值为4,则a y 0即0 a 1时在x y 1时有最大值a 1 4,a 3，不满足0 a 1 ;当a时有最大值2a 4,a2，满足a 1,故选B .(7)【2015 年山东，理 7】在梯形 ABCD 中， ABC - , AD//BC , BC 2AD 2AB 2 2绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )(6)【2015年山东，理6】已知x,y 满足约束条件 (A ) 3 ( B ) 2【答案】B【解析】由z ax y 得y ax z ，借助图形可知：当(C ) -2(D) -3a 1，即 a1时在x y 0时有最大值0,不符合题y 1时有最大值a1 4,a 3，不满足 1 a 0；当 1 1,即a 1时在x 2,y 0将梯形ABCDa 1，即1 a 0时在x(12)【2015年山东，理12】若“ x [0,—],tanx m ”是真命题，贝U 实数m 的最小值为 _________4【答案】1【解析】“ x [0,-],ta nx m "是真命题，则 m tan 1，于是实数m 的最小值为1.2(A ) 3 (B) 43 (C )5【答案】C1 【解析】V 12 2 -12 1 5 ，故选 C .3 3(8)【2015年山东，理 8】已知某批零件的长度误差(单位: 毫米) 服从正态分布 其长度误差落在区间3,6内的概率为() (附： 若随机变量P()68.26%, P( 22 )95.44%)(A ) 4.56%(B ) 13.59%(C ) 27.18%(D) 21【解析】P(36) -(95.44% 68.26%) 13.59%，故选 D .(9)【2015年山东，理9】一条光线从点(2, 3)射出，经y 轴反射与圆(x 3)2 (y 2)2 1相切，则反射光线 所在的直线的斜率为( )(A )5十3一或 一 (B )2 54 (C )-或 4(D )-或-3 5234 53 4【答案】D【解析】( 2, 3)关于 y 轴对称点的坐标为 (2, 3), 设反射光线所在直线为 y 3 k(x 2),即 kx y 2k 3 0 ,则 d1 3k2 仝 3|1,|5k 5|k 2 1 , 解得k4或- 故选D ..k 2 13 4(10)【2015年山东, 理10】设函数f(x)3x x 1,x 1 1则满足 f(f(a)) 2心) 的取值范围是()2 ,x 1.(A ) [|,1] (B ) [0,1](C ) 12 ) ■3,)(D ) [1,) 【答案】C【解析】由f(f(a))2f(a)可知f (a) 1，则aa1或 a 1 ，解得a 2 故选C .2 13a 1 13第II 卷(共100 分):■、填空题：本大题共 5小题，每小题5分 (11)【2015年山东，理11】观察下列各式：2 3 7 4 0・ 5 52 7 4CC o4';1G1a1G o 1O 30 50 7 CCCC照此规律，当n N*时，C 2『 34 ；C 2n 1 C 2n 1—n 1L C 2n 1【解析】C 2n 1 C 2n 1 CL L1 02 (2C 2n 12[(C2n 1 Cj ；) (C2n 1 C 2n 2)C2n 1 丿1厂0 1 —2 亠n 1 (C 2n 1 C2n 1 C2n 1 LC2n 1 2(C 2n 1。
山东省日照市高三上学期期末数学试卷(理科)
山东省日照市高三上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·高台模拟) 若复数z满足（2+i）z=|1﹣2i|，则复数z所对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限2. （2分） (2016高二上·屯溪开学考) 已知| |=1，| |=6，•（﹣）=2，则向量与向量的夹角是（）A .B .C .D .3. （2分）(2017·丰台模拟) 血药浓度（Plasma Concentration）是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，不正确的个数是（）①首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用②每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒③每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用④首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒．A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个4. （2分）已知函数且，若的值域为R，则的取值范围是（）A .B .C .D .5. （2分） (2016高一下·九江期中) 执行如图所示的程序框图，若输入x的值为﹣5，则输出y的值是（）A . ﹣1B . 1C . 2D .6. （2分）在等比数列中,则（）A . -4B .C . -2D .7. （2分） (2018高二下·葫芦岛期中) 从6名学生中选4人分别从事A、B、C、D四项不同的工作，若甲、乙两人不能从事A工作，则不同的选派方案共有（）A . 280B . 240C . 180D . 969. （2分）已知函数,则的值域是（）A .B .C .D .10. （2分） (2016高三上·成都期中) 若f（x）=x2+2 f（x）dx，则 f（x）dx=（）A . ﹣1B . ﹣C .D . 111. （2分）已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正，若边MF1 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A .B .C .D .12. （2分） (2016高二下·南阳期末) 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（﹣3）=0，当x＞0时，有f（x）﹣xf′（x）＞0成立，则不等式f（x）＞0的解集是（）A . （﹣∞，﹣3）∪（0，3）B . （﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）C . （﹣3，0）∪（0，3）D . （﹣3，0）∪（3，+∞）二、填空题. (共4题；共4分)13. （1分）(2014·新课标II卷理) （x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a=________．14. （1分） (2016高一下·盐城期中) 在平面直角坐标系xOy中，若圆C的圆心在第一象限，圆C与x轴相交于A（1，0）、B（3，0）两点，且与直线x﹣y+1=0相切，则圆C的标准方程为________．15. （1分） (2018高三上·湖南月考) 是长、宽、高分别为12，3，4的长方体外接球表面上一动点，则到长方体各个面所在平面的距离的最大值是________．16. （1分）如图，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王向前走了1200m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，则电视塔CD的高度为________三、解答题。
山东省日照一中2015届高三上学期第一次阶段学习达标检测数学(理)试题Word版含答案
2012级高三第一次阶段复习质量达标检测数学（理科）试题（西校区高三数学组 审定人：西校区高三数学组）第I 卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合}2,1,0{=M ，},2|{M a a x x N ∈==，则集合M N ⋂= A ．}0{B ．}20{，C ．}2,1{D ． }1,0{2.以下说法错误的是A.命题“若2320x x -+=”,则x =1”的逆否命题为“若x ≠1,则2320x x -+≠”B.“x =1”是“2320x x -+=”的充分不必要条件 C.若p ∧q 为假命题,则p,q 均为假命题 D.若命题p:∃0x ∈R,20x +0x +1<0,则﹁p:∀x ∈R,21x x ++≥03.在下列函数中，图象关于原点对称的是A ．y =xsinxB ．y =2xx e e -+C ．y =xlnxD ．y =x x sin 3+4.已知,a b R Î，则“33log log a b >”是 “11()()22a b<”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知R是实数集，{}21,1R M x N y y M x ⎧⎫=<==⋂=⎨⎬⎩⎭，则N CA.()1,2B.[]0,2C.[]1,2D. ∅6.设3log ,2log ,32135.0===c b a ，则A.c b a <<B.c a b <<C.a b c <<D.b c a <<7.函数x e xy cos =的图像大致是A B CD8.已知函数)(x f y =的图象在点（1，(1)f ）处的切线方程是)1(2)1(,012f f y x '+=+-则的值是A ．21B ．1C ．23D ．29.已知定义在R 上的奇函数()f x ，满足(4)()f x f x -=，且在区间[0，2]上是增函数，则 (A) (10)(3)(40)f f f -<< (B) (40)(3)(10)f f f <<- (C) (3)(40)(10)f f f <<- (D) (10)(40)(3)f f f -<<10.定义一种新运算：，已知函数，若函数恰有两个零点，则的取值范围为A.(1,2]B.（1,2）．C. （0,2）D. （0,1）第II 卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知幂函数f （x ）的图象过点（2，则(9)f =_______________． 12.已知函数,0,()ln ,0,x e x f x x x ⎧<=⎨>⎩则1[()]f f e =_______________． 13.若函数3()63f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是_____________．14.已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,0)1(=f ,0)()(2>-'x x f x f x (0)x >,则不等式()0f x >的解集是_____________． 15.给出下列命题;①设[]x 表示不超过x 的最大整数，则22222[log 1][log 2][log 3][log 127][log 128]649+++++=；②定义在R 上的函数()f x ，函数(1)y f x =-与(1)y f x =-的图象关于y 轴对称；③函数1()21x f x x -=+的对称中心为11(,)22--； ④定义：若任意x A ∈，总有()a x A A -∈≠∅，就称集合A 为a 的“闭集”，已知{1,2,3,4,5,6}A ⊆ 且A 为6的“闭集”，则这样的集合A 共有7个。
2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(山东卷)(含答案全解析)
2015年普通高等学校招生全国统一考试山东理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页.满分150分.考试用时120分钟.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.注意事项:1.答题前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效.3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式:如果事件A,B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B).第Ⅰ卷(共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015山东,理1)已知集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2<x<4},则A∩B=()A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)答案:C解析:A={x|x2-4x+3<0}={x|1<x<3},B={x|2<x<4},结合数轴,知A∩B={x|2<x<3}.2.(2015山东,理2)若复数z满足z=i,其中i为虚数单位,则z=()A.1-iB.1+iC.-1-iD.-1+i答案:A解析:∵z1−i=i,∴z=i(1-i)=i-i2=1+i.∴z=1-i.3.(2015山东,理3)要得到函数y=sin4x−π的图象,只需将函数y=sin 4x的图象()A.向左平移π个单位B.向右平移π个单位C.向左平移π个单位D.向右平移π3个单位答案:B解析:∵y=sin4x−π3=sin4 x−π12,∴只需将函数y=sin 4x的图象向右平移π12个单位即可.4.(2015山东,理4)已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则BD·CD=()A.-32a2 B.-34a2 C.34a2 D.32a2答案:D解析:如图设BA=a,BC=b.则BD·CD=(BA+BC)·BA=(a+b)·a=a2+a·b=a2+a·a·cos 60°=a2+1a2=3a2.5.(2015山东,理5)不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是()A.(-∞,4)B.(-∞,1)C.(1,4)D.(1,5)答案:A解析:当x≤1时,不等式可化为(1-x)-(5-x)<2,即-4<2,满足题意;当1<x<5时,不等式可化为(x-1)-(5-x)<2,即2x-6<2,解得1<x<4; 当x≥5时,不等式可化为(x-1)-(x-5)<2,即4<2,不成立.故原不等式的解集为(-∞,4).6.(2015山东,理6)已知x,y满足约束条件x−y≥0,x+y≤2,y≥0.若z=ax+y的最大值为4,则a=()A.3B.2C.-2D.-3答案:B解析:由约束条件画出可行域,如图阴影部分所示.线性目标函数z=ax+y,即y=-ax+z.设直线l0:ax+y=0.当-a≥1,即a≤-1时,l0过O(0,0)时,z取得最大值,z max=0+0=0,不合题意;当0≤-a<1,即-1<a≤0时,l0过B(1,1)时,z取得最大值,z max=a+1=4,∴a=3(舍去);当-1<-a<0时,即0<a<1时,l0过B(1,1)时,z取得最大值,z max=2a+1=4,∴a=3(舍去);当-a≤-1,即a≥1时,l0过A(2,0)时,z取得最大值,z max=2a+0=4,∴a=2.综上,a=2符合题意.7.(2015山东,理7)在梯形ABCD中,∠ABC=π2,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.2π3B.4π3C.5π3D.2π答案:C解析:由题意可得旋转体为一个圆柱挖掉一个圆锥.V圆柱=π×12×2=2π,V圆锥=13×π×12×1=π3.∴V几何体=V圆柱-V圆锥=2π-π=5π.8.(2015山东,理8)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%.)A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%答案:B解析:由正态分布N(0,32)可知,ξ落在(3,6)内的概率为P(μ−2σ<ξ<μ+2σ)−P(μ−σ<ξ<μ+σ)=95.44%−68.26%2=13.59%.9.(2015山东,理9)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为()A.-53或-35B.-32或-23C.-5或-4D.-4或-3答案:D解析:如图,作出点P(-2,-3)关于y轴的对称点P0(2,-3).由题意知反射光线与圆相切,其反向延长线过点P0.故设反射光线为y=k(x-2)-3,即kx-y-2k-3=0.∴圆心到直线的距离d=1+k=1,解得k=-4或k=-3.10.(2015山东,理10)设函数f (x )= 3x −1,x <1,2x ,x ≥1.则满足f (f (a ))=2f (a )的a 的取值范围是( )A. 23,1 B.[0,1]C. 2,+∞ D.[1,+∞)答案:C解析:当a=2时,f (2)=4,f (f (2))=f (4)=24,显然f (f (2))=2f (2),故排除A,B .当a=2时,f 2 =3×2-1=1,f f 2 =f (1)=21=2. 显然f f 2 =2f 23 .故排除D . 综上,选C .第Ⅱ卷(共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分. 11.(2015山东,理11)观察下列各式: C 10=40; C 30+C 31=41; C 50+C 51+C 52=42; C 70+C 71+C 72+C 73=43; ……照此规律,当n ∈N *时,C 2n−10+C 2n−11+C 2n−12+…+C 2n−1n−1= . 答案:4n-1解析:观察各式有如下规律:等号左侧第n 个式子有n 项,且上标分别为0,1,2,…,n-1,第n 行每项的下标均为2n-1.等号右侧指数规律为0,1,2,…,n-1.所以第n 个式子为C 2n−10+C 2n−11+C 2n−12+…+C 2n−1n−1=4n-1. 12.(2015山东,理12)若“∀x ∈ 0,π4,tan x ≤m ”是真命题,则实数m 的最小值为 . 答案:1解析:由题意知m ≥(tan x )max .∵x ∈ 0,π,∴tan x ∈[0,1], ∴m ≥1.故m 的最小值为1.13.(2015山东,理13)执行下边的程序框图,输出的T 的值为 .答案:11解析:初始n=1,T=1.又 10x n d x=1n +1x n+1|01=1n +1, ∵n=1<3,∴T=1+1=3,n=1+1=2; ∵n=2<3,∴T=32+12+1=116,n=2+1=3; ∵n=3,不满足“n<3”,执行“否”,∴输出T=11.14.(2015山东,理14)已知函数f (x )=a x +b (a>0,a ≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b= . 答案:-3解析:f (x )=a x +b 是单调函数,当a>1时,f (x )是增函数,∴ a −1+b =−1,a 0+b =0,无解.当0<a<1时,f (x )是减函数,∴ a −1+b =0,a 0+b =−1,∴ a =12,b =−2. 综上,a+b=1+(-2)=-3.15.(2015山东,理15)平面直角坐标系xOy 中,双曲线C 1:x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线C 2:x 2=2py (p>0)交于点O ,A ,B.若△OAB 的垂心为C 2的焦点,则C 1的离心率为 .答案:3解析:双曲线的渐近线为y=±ba x.由y =ba x ,x 2=2py ,得A 2bp a ,2b 2p a 2.由 y =−b a x ,x 2=2py ,得B −2bp a ,2b 2p a2 .∵F 0,p为△OAB 的垂心,∴k AF ·k OB =-1.即2b 2p a 2−p 22bpa−0· −b a =-1,解得b 2a2=54,∴c 2a 2=94,即可得e=32.三、解答题:本大题共6小题,共75分.16.(本小题满分12分)(2015山东,理16)设f (x )=sin x cos x-cos 2 x +π4. (1)求f (x )的单调区间;(2)在锐角△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.若f A 2=0,a=1,求△ABC 面积的最大值.解:(1)由题意知f (x )=sin2x −1+cos 2x +π2 =sin2x −1−sin2x =sin 2x-1.由-π2+2k π≤2x ≤π2+2k π,k ∈Z ,可得-π4+k π≤x ≤π4+k π,k ∈Z ; 由π+2k π≤2x ≤3π+2k π,k ∈Z ,可得π+k π≤x ≤3π+k π,k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间是 −π+kπ,π+kπ (k ∈Z );单调递减区间是 π+kπ,3π+kπ (k ∈Z ).(2)由f A 2 =sin A-12=0,得sin A=12,由题意知A 为锐角,所以cos A= 32.由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A , 可得1+ 3bc=b 2+c 2≥2bc ,即bc ≤2+ 3,且当b=c 时等号成立. 因此12bc sin A ≤2+ 34. 所以△ABC 面积的最大值为2+ 3. 17.(本小题满分12分)(2015山东,理17)如图,在三棱台DEF-ABC 中,AB=2DE ,G ,H 分别为AC ,BC 的中点.(1)求证:BD ∥平面FGH ;(2)若CF ⊥平面ABC ,AB ⊥BC ,CF=DE ,∠BAC=45°,求平面FGH 与平面ACFD 所成的角(锐角)的大小.(1)证法一:连接DG,CD,设CD∩GF=O,连接OH.在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G为AC的中点,可得DF∥GC,DF=GC,所以四边形DFCG为平行四边形.则O为CD的中点,又H为BC的中点,所以OH∥BD,又OH⊂平面FGH,BD⊄平面FGH,所以BD∥平面FGH.证法二:在三棱台DEF-ABC中,由BC=2EF,H为BC的中点,可得BH∥EF,BH=EF,所以四边形BHFE为平行四边形.可得BE∥HF.在△ABC中,G为AC的中点,H为BC的中点,所以GH∥AB.又GH∩HF=H,所以平面FGH∥平面ABED.因为BD⊂平面ABED,所以BD∥平面FGH.(2)解法一:设AB=2,则CF=1.在三棱台DEF-ABC中,G为AC的中点,由DF=1AC=GC,可得四边形DGCF为平行四边形,因此DG∥FC.又FC⊥平面ABC,所以DG⊥平面ABC.在△ABC中,由AB⊥BC,∠BAC=45°,G是AC中点,所以AB=BC,GB⊥GC,因此GB,GC,GD两两垂直.以G为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz.所以G(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),D(0,0,1).可得H2,2,0,F(0,2,1),故GH=2,2,0,GF=(0,.设n=(x,y,z)是平面FGH的一个法向量,则由n·GH=0,n·GF=0,可得x+y=0,2y+z=0.可得平面FGH的一个法向量n=(1,-1,2).因为GB是平面ACFD的一个法向量,GB=(2,0,0),所以cos<GB,n>=GB·n|GB|·|n|=222=12.所以平面FGH与平面ACFD所成角(锐角)的大小为60°.解法二:作HM⊥AC于点M,作MN⊥GF于点N,连接NH.由FC⊥平面ABC,得HM⊥FC,又FC∩AC=C,所以HM⊥平面ACFD.因此GF⊥NH,所以∠MNH即为所求的角.在△BGC中,MH∥BG,MH=1BG=2,由△GNM ∽△GCF ,可得MN FC=GMGF,从而MN= 66.由HM ⊥平面ACFD ,MN ⊂平面ACFD ,得HM ⊥MN ,因此tan ∠MNH=HM = 3,所以∠MNH=60°.所以平面FGH 与平面ACFD 所成角(锐角)的大小为60°.18.(本小题满分12分)(2015山东,理18)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知2S n =3n +3. (1)求{a n }的通项公式;(2)若数列{b n }满足a n b n =log 3a n ,求{b n }的前n 项和T n . 解:(1)因为2S n =3n +3,所以2a 1=3+3,故a 1=3, 当n>1时,2S n-1=3n-1+3,此时2a n =2S n -2S n-1=3n -3n-1=2×3n-1,即a n =3n-1,所以a n = 3,n =1,3n−1,n >1.(2)因为a n b n =log 3a n ,所以b 1=13,当n>1时,b n =31-n log 33n-1=(n-1)·31-n . 所以T 1=b 1=1;当n>1时,T n =b 1+b 2+b 3+…+b n =13+(1×3-1+2×3-2+…+(n-1)×31-n ), 所以3T n =1+(1×30+2×3-1+…+(n-1)×32-n ),两式相减,得2T n =2+(30+3-1+3-2+…+32-n )-(n-1)×31-n =2+1−31−n 1−3−1-(n-1)×31-n =13−6n +3n, 所以T n =13−6n +3n.经检验,n=1时也适合. 综上可得T n =1312−6n +34×3n. 19.(本小题满分12分)(2015山东,理19)若n 是一个三位正整数,且n 的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n 为“三位递增数”(如137,359,567等).在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数,且只能抽取一次.得分规则如下:若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除,参加者得0分;若能被5整除,但不能被10整除,得-1分;若能被10整除,得1分.(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”;(2)若甲参加活动,求甲得分X 的分布列和数学期望EX.解:(1)个位数是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345;(2)由题意知,全部“三位递增数”的个数为C 93=84,随机变量X 的取值为:0,-1,1,因此P (X=0)=C 83C 93=23,P (X=-1)=C 42C 93=114,P (X=1)=1-114−23=1142. 所以X 的分布列为则EX=0×23+(-1)×114+1×1142=421. 20.(本小题满分13分)(2015山东,理20)平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :x 22+y 2b2=1(a>b>0)的离心率为3,左、右焦点分别是F 1,F 2.以F 1为圆心以3为半径的圆与以F 2为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的方程; (2)设椭圆E :x 24a 2+y 24b2=1,P为椭圆C 上任意一点.过点P 的直线y=kx+m 交椭圆E 于A ,B 两点,射线PO 交椭圆E于点Q.①求|OQ ||OP |的值;②求△ABQ 面积的最大值. 解:(1)由题意知2a=4,则a=2.又c =3,a 2-c 2=b 2,可得b=1,所以椭圆C 的方程为x 2+y 2=1.(2)由(1)知椭圆E 的方程为x 2+y 2=1. ①设P (x 0,y 0),|OQ |=λ,由题意知Q (-λx 0,-λy 0).因为x 02+y 02=1,又(−λx 0)2+(−λy 0)2=1, 即λ24 x 024+y 02 =1,所以λ=2,即|OQ ||OP |=2. ②设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),将y=kx+m 代入椭圆E 的方程, 可得(1+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-16=0, 由Δ>0,可得m 2<4+16k 2. ①则有x 1+x 2=-8km 1+4k2,x 1x 2=4m 2−161+4k2.所以|x 1-x 2|=4 16k 2+4−m 21+4k2.因为直线y=kx+m 与y 轴交点的坐标为(0,m ), 所以△OAB 的面积S=12|m||x 1-x 2|=2 16k 2+4−m 2|m |1+4k2=2 (16k 2+4−m 2)m 21+4k2=2 4−m 1+4k2m 1+4k2.设m 21+4k2=t.将y=kx+m 代入椭圆C 的方程,可得(1+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-4=0, 由Δ≥0,可得m 2≤1+4k 2. ②由①②可知0<t ≤1,因此S=2 (4−t )t =22+4t . 故S ≤2 ,当且仅当t=1,即m 2=1+4k 2时取得最大值2 3. 由①知,△ABQ 面积为3S ,所以△ABQ 面积的最大值为6 3.21.(本小题满分14分)(2015山东,理21)设函数f (x )=ln(x+1)+a (x 2-x ),其中a ∈R . (1)讨论函数f (x )极值点的个数,并说明理由; (2)若∀x>0,f (x )≥0成立,求a 的取值范围. 解:(1)由题意知函数f (x )的定义域为(-1,+∞),f'(x )=1+a (2x-1)=2ax 2+ax−a +1. 令g (x )=2ax 2+ax-a+1,x ∈(-1,+∞).当a=0时,g (x )=1,此时f'(x )>0,函数f (x )在(-1,+∞)单调递增,无极值点; 当a>0时,Δ=a 2-8a (1-a )=a (9a-8).①当0<a ≤8时,Δ≤0,g (x )≥0,f'(x )≥0,函数f (x )在(-1,+∞)单调递增,无极值点;②当a>89时,Δ>0,设方程2ax 2+ax-a+1=0的两根为x 1,x 2(x 1<x 2), 因为x 1+x 2=-1,所以x 1<-1,x 2>-1. 由g (-1)=1>0,可得-1<x 1<-1.所以当x ∈(-1,x 1)时,g (x )>0,f'(x )>0,函数f (x )单调递增, 当x ∈(x 1,x 2)时,g (x )<0,f'(x )<0,函数f (x )单调递减, 当x ∈(x 2,+∞)时,g (x )>0,f'(x )>0,函数f (x )单调递增. 因此函数有两个极值点. 当a<0时,Δ>0,由g (-1)=1>0,可得x 1<-1.当x ∈(-1,x 2)时,g (x )>0,f'(x )>0,函数f (x )单调递增; 当x ∈(x 2,+∞)时,g (x )<0,f'(x )<0,函数f (x )单调递减; 所以函数有一个极值点.综上所述,当a<0时,函数f (x )有一个极值点; 当0≤a ≤8时,函数f (x )无极值点; 当a>89时,函数f (x )有两个极值点. (2)由(1)知,①当0≤a ≤8时,函数f (x )在(0,+∞)上单调递增, 因为f (0)=0,所以x ∈(0,+∞)时,f (x )>0,符合题意;②当8<a ≤1时,由g (0)≥0,得x 2≤0,所以函数f (x )在(0,+∞)上单调递增.又f (0)=0,所以x ∈(0,+∞)时,f (x )>0,符合题意; ③当a>1时,由g (0)<0,可得x 2>0. 所以x ∈(0,x 2)时,函数f (x )单调递减;因为f (0)=0,所以x ∈(0,x 2)时,f (x )<0,不合题意; ④当a<0时,设h (x )=x-ln(x+1). 因为x ∈(0,+∞)时,h'(x )=1-1=x>0, 所以h (x )在(0,+∞)上单调递增. 因此当x ∈(0,+∞)时,h (x )>h (0)=0, 即ln(x+1)<x.可得f (x )<x+a (x 2-x )=ax 2+(1-a )x , 当x>1-1a时,ax 2+(1-a )x<0, 此时f (x )<0,不合题意.综上所述,a 的取值范围是[0,1].。
山东省各地2015高三上学期期末考试数学理试题分类汇编：立体几何
山东省各地2015高三上学期期末考试数学理试题分类汇编立体几何一、选择题 1、（济宁市2015届高三）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A B 、83 C 、 D 、432、（莱州市2015届高三）如右图放置的六条棱长都相等的三棱锥，则这个几何体的侧视图是A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.无两边相等的三角形3、（临沂市2015届高三）已知某几何体的三视图，则该几何体的体积是 A.12 B.24 C.36 D.484、（青岛市2015届高三）若圆台两底面周长的比是1：4，过高的中点作平行于底面的平面，则圆台被分成两部分的体积比是 A.1：16 B.39：129 C.13：129 D.3：275、（泰安市2015届高三）已知,m n 为不同的直线，,αβ为不同的平面，则下列说法正确的是 A. ,////m n m n αα⊂⇒B. ,m n m n αα⊂⊥⇒⊥C. ,////m n n m αβαβ⊂⊂⇒D. ,n n βααβ⊂⊥⇒⊥6、（滕州市第二中学2015届高三）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．403B ．803C ．40D ．807、（淄博市六中2015届高三）如图所示，长方体1AC 沿截面11AC MN 截得几何体111DMN D AC -，它的正视图、侧视图均为图（2）所示的直角梯形，则该几何体的体积为( ) A ．314 B ． 310 C ． 14 D ．10二、填空题 1、（德州市2015届高三）已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为120的 等腰三角形，则该三棱锥的四个表面中，面积的最大值为_______.2、（桓台第二中学2015届高三）半径为R 的球O 中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，圆柱的侧面积与球的表面积之比是_____3、（济宁市2015届高三）如图，在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，E 为CC 1的中点，那么异面直线OE 与AD 1所成角的余弦值等于＿＿＿＿4、（莱州市2015届高三）给出下列结论： ①函数()3ln f x x x=-在区间(),3e 上有且只有一个零点； ②已知l 是直线，αβ、是两个不同的平面.若,l l αβαβ⊥⊂⊥，则； ③已知,m n 表示两条不同直线，α表示平面.若,,//m m n n αα⊥⊥则； ④在ABC ∆中，已知20,28,40a b A ===，在求边c 的长时有两解.其中所有正确结论的序号是：＿＿＿＿＿ 5、（泰安市2015届高三）棱长为4的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是 ▲ .6、（潍坊市2015届高三）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为__________.三、解答题 1、（德州市2015届高三）如图，在四棱锥P - ABCD 中，PC 上底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，AB=2AD=2CD=2，PE-=2BE ．(I)求证：平面EAC ⊥平面PBC ；(Ⅱ)若二面角P-AC-E 的余弦值为PA 与平面EAC 所成角的正弦值．2、（桓台第二中学2015届高三）四棱锥P ABCD -中，侧面PDC 是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是60ADC ∠=的菱形，M为PB 的中点.(1)求PA 与底面ABCD 所成角的大小； (2)求证：PA ⊥平面CDM ；(3)求二面角D MC B --的余弦值. 3、（济宁市2015届高三）如图，四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD 。
2015年高考真题：理科数学(山东卷)试卷(含答案)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. （1） 已知集合A=2{|430},{|24}x x x B x x -+<=<<，则A B =I(A)(1,3) (B)(1，4) (C)(2，3) (D)(2，4)解析：2{|430}{|13},(2,3)A x x x x x A B =-+<=<<=I ,答案选(C)(2) 若复数z 满足1zi i=-，其中i 是虚数单位，则z = (A)1i - (B) 1i + (C) 1i -- (D) 1i -+解析：2(1)1,1z i i i i i z i =-=-+=+=-，答案选(A)（3）要得到函数sin(4)3y x π=-的图象，只需将函数sin 4y x =的图像(A)向左平移12π个单位 (B) 向右平移12π个单位 (C)向左平移3π个单位 (D) 向右平移3π个单位解析：sin 4()12y x π=-，只需将函数sin 4y x =的图像向右平移12π个单位答案选(B)(4)已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=o，则BD CD ⋅=u u u r u u u r(A)232a -(B) 234a - (C) 234a (D) 232a解析：由菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=o可知18060120BAD ∠=-=o o o，2223()()cos1202BD CD AD AB AB AB AD AB a a a a ⋅=-⋅-=-⋅+=-⋅+=o u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，答案选(D)（5）不等式|1||5|2x x ---<的解集是(A)(,4)-∞ (B) (,1)-∞ (C) (1,4) (D) (1,5)解析：当1x <时，1(5)42x x ---=-<成立；当15x ≤<时，1(5)262x x x ---=-<，解得4x <，则14x ≤<；当5x ≥时，1(5)42x x ---=<不成立.综上4x <，答案选(A)（6）已知,x y 满足约束条件0,2,0.x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩若z ax y =+的最大值为4，则a =(A)3 (B) 2 (C) 2- (D) 3-解析：由z ax y =+得y ax z =-+，借助图形可知：当1a -≥，即1a ≤-时在0x y ==时有最大值0，不符合题意；当01a ≤-<，即10a -<≤时在1x y ==时有最大值14,3a a +==，不满足10a -<≤；当10a -<-≤，即01a <≤时在1x y ==时有最大值14,3a a +==，不满足01a <≤；当1a -<-，即1a >时在2,0x y ==时有最大值24,2a a ==，满足1a >；答案选(B)7.在梯形ABCD 中，2ABC π∠=,//AD BC ,222BC AD AB ===.将梯形ABCD 绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(A)23π (B) 43π (C) 53π(D) 2π 解析：2215121133V πππ=⋅⋅-⋅⋅=，答案选(C)8.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布2(0,3)N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+=,(22)95.44%P μσξμσ-<<+=.）(A)4.56% (B) 13.59% (C) 27.18% (D) 31.74%解析：1(36)(95.44%68.26%)13.59%2P ξ<<=-=，答案选(B) （9）一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在的直线的斜率为(A)53-或35- (B) 32-或32- (C) 54-或45- (D) 43-或34- 解析：(2,3)--关于y 轴对称点的坐标为(2,3)-，设反射光线所在直线为3(2),y k x +=-即230kx y k ---=，则1,|55|d k ==+=解得43k =-或34-，答案选(D)（10）设函数31,1,()2, 1.xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩则满足()(())2f a f f a =的取值范围是 (A)2[,1]3(B) [0,1] (C) 2[,)3+∞ (D) [1,)+∞解析：由()(())2f a f f a =可知()1f a ≥，则121aa ≥⎧⎨≥⎩或1311a a <⎧⎨-≥⎩，解得23a ≥，答案选(C)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. （11）观察下列各式：0010113301225550123377774;4;4;4;C C C C C C C C C C =+=++=+++=L L照此规律，当*n ∈N 时，012121212121n n n n n C C C C -----++++=L .解析：14n -.具体证明过程可以是：0121012121212121212121211(2222)2n n n n n n n n n n C C C C C C C C ----------++++=++++L L 021122223121212121212121210121212112121212121211[()()()()]211()2422n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C C C C ----------------------=++++++++=+++++++=⋅=L L L （12）若“[0,],tan 4x x m π∀∈≤”是真命题，则实数m 的最小值为 .解析：“[0,],tan 4x x m π∀∈≤”是真命题，则tan14m π≥=，于是实数m 的最小值为1.（13）执行右边的程序框图，输出的T解析：11200111123T xdx x dx =++=++=⎰⎰（14）已知函数()xf x a b =+(0,a a >≠和值域都是[1,0]-，则a b += .解析：当1a >时101a b a b -⎧+=-⎨+=⎩，无解；当01a <<时1001a b a b -⎧+=⎨+=-⎩，解得2,b =-则13222a b +=-=-. (15)平面直角坐标系xOy 中，双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线22:2(0)C x py p =>交于点,,O A B ，若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为 . 解析：22122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线为by x a=±，则22222222(,),(,)pb pb pb pb A B a a a a -22:2(0)C x py p =>的焦点(0,)2p F ，则22222AF pb pa a k pb b a-==，即2222222593,,.442b c a b c e a a a a +===== 三、解答题：本大题共6小题，共75分.（16）（本小题满分12分）设2()sin cos cos ()4f x x x x π=-+（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,.a b c 若()0,1,2Af a ==求ABC ∆面积的最大值. 解：（Ⅰ）由111111()sin 2[1cos(2)]sin 2sin 2sin 22222222f x x x x x x π=-++=-+=- 由222,22k x k k Z ππππ-≤≤+∈得,44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，则()f x 的递增区间为[,],44k k k Z ππππ-+∈；由3222,22k x k k Z ππππ+≤≤+∈得3,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈，则()f x 的递增区间为3[,],44k k k Z ππππ++∈. （Ⅱ）在锐角ABC ∆中，11()sin 0,sin 222A f A A =-==,6A π=,而1,a =由余弦定理可得2212cos2(26b c bc bc bc π=+-≥-=-，当且仅当b c =时等号成立，即2bc ≤=+111sin sin 2264ABC S bc A bc bc π∆===≤，故ABC ∆面积的最大值为24+. （17）（本小题满分12分）如图，在三棱台DEF-2,,AB DE G H =分别为,AC BC 的中点.（Ⅰ）求证：//BD 平面FGH ；（Ⅱ）若CF ⊥平面ABC ,,,AB BC CF DE ⊥=∠求平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小. 解：（Ⅰ）证明：连接DG ，DC ，设DC 与GF 交于点T. 在三棱台DEF ABC -中，2,AB DE =则2AC DF =而G 是AC 的中点，DF//AC ，则//DF GC ,所以四边形DGCF是平行四边形,T是DC的中点，DG//FC. 又在BDC∆,H是BC的中点，则TH//DB，又BD⊄平面FGH，TH⊂平面FGH，故//BD（Ⅱ）由CF⊥平面ABC,可得DG⊥平面ABC而则GB AC⊥,于是,,GB GA GC两两垂直，以点G为坐标原点，,,GA GB GC所在的直线分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，设2AB=,则1,DE CF AC AG====((B C F H则平面ACFD的一个法向量为1(0,1,0)n=u r，设平面FGH的法向量为2222(,,)n x y z=u u r，则22n GHn GF⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u ru u r u u u r,即222222x yz-=⎨⎪+=⎩，取21x=，则221,y z==2n=u u r，121cos,2n n<>==u r u u r，故平面FGH与平面ACFD所成角（锐角）的大小为60o.（18）（本小题满分12分）设数列{}na的前n项和为nS，已知23 3.nnS=+（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）若数列{}nb满足3logn n na b a=，求数列{}nb的前n项和nT.解：（Ⅰ）由233nnS=+可得111(33)32a S==+=，11111(33)(33)3(2)22n n nn n na S S n---=-=+-+=≥而11133a-=≠，则13,1,3, 1.n nnan-=⎧=⎨>⎩（Ⅱ）由3logn n na b a=及13,1,3, 1.n nnan-=⎧=⎨>⎩可得311,1,log31, 1.3nnnnnabnan-⎧=⎪⎪==⎨-⎪>⎪⎩2311123133333n n n T --=+++++L . 2234111123213333333n n n n n T ---=++++++L 2231223121111111333333331111111()33333331121213133193922331313211823n n n n n n n nnn n T n n n n ---=+-++++--=-+++++----=+-=+--⋅-+=-⋅L L 113211243n n n T -+=-⋅19（本小题满分12分）若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”（如137,359,567等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得-1分；若能被10整除，得1分.（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX. 解：（Ⅰ）125,135,145,235,245,345； （Ⅱ）X 的所有取值为-1,0,1.32112844443339992111(0),(1),(1)31442C C C C C P X P X P X C C C ⋅+====-===== 甲得分X 的分布列为：0(1)13144221EX =⨯+⨯-+⨯=(20)(本小题满分13分)平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，左、右焦点分别是12,F F ,以1F 为圆心，以3为半径的圆与以2F 为圆心，以1为半径的圆相交，交点在椭圆C 上. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆2222:144x y E a b+=，P 为椭圆C 上的任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于A,B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q. （ⅰ）求||||OQ OP 的值；（ⅱ）求ABQ ∆面积最大值. 解析：（Ⅰ）由椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2可知c e a ==，而222a b c =+则2,a b c ==，左、右焦点分别是12(,0),,0)F F ,圆1F：22()9,x y +=圆2F：22()1,x y +=由两圆相交可得24<<，即12<<，交点，在椭圆C 上，则224134b b +=⋅， 整理得424510b b -+=，解得21,b =214b =（舍去） 故21,b =24,a =椭圆C 的方程为2214x y +=. （Ⅱ）（ⅰ）椭圆E 的方程为221164x y +=， 设点00(,)P x y ，满足220014x y +=，射线000:(0)y PO y x xx x =<， 代入221164x y +=可得点00(2,2)Q x y --，于是||2||OQ OP ==. （ⅱ）点00(2,2)Q x y --到直线AB 距离等于原点O 到直线AB 距离的3倍：d ==221164y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得224()16x kx m ++=，整理得222(14)84160k x kmx m +++-= 2222226416(41)(4)16(164)0k m k m k m ∆=-+-=+->||AB =211||||32214m S AB d k ∆==⋅⋅⋅=+ 22221646122(41)m k m k ++-≤⋅=+，当且仅当22||82m m k ==+等号成立. 而直线y kx m =+与椭圆C ：2214x y +=有交点P ，则 2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩有解，即222224()4,(14)8440x kx m k x kmx m ++=+++-=有解， 其判别式22222216416(14)(1)16(14)0k m k m k m ∆=-+-=+-≥，即2214k m +≥，则上述2282m k =+不成立，等号不成立，设(0,1]t =，则S ∆==在(0,1]为增函数，于是当2214k m +=时max S ∆==ABQ ∆面积最大值为12. （21）（本小题满分14分）设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-，其中a R ∈. （Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若0x ∀>，()0f x ≥成立，求a 的取值范围. 解：（Ⅰ）2()ln(1)()f x x a x x =++-，定义域为(1,)-+∞21(21)(1)121()(21)111a x x ax ax af x a x x x x -++++-'=+-==+++，设2()21g x ax ax a =++-， 当0a =时，1()1,()01g x f x x '==>+，函数()f x 在(1,)-+∞为增函数，无极值点. 当0a >时，228(1)98a a a a a ∆=--=-， 若809a <≤时0∆≤，()0,()0g x f x '≥≥，函数()f x 在(1,)-+∞为增函数，无极值点. 若89a >时0∆>，设()0g x =的两个不相等的实数根12,x x ，且12x x <， 且1212x x +=-，而(1)10g -=>，则12114x x -<<-<，所以当1(1,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈->>单调递增；当12(,),()0,()0,()x x x g x f x f x '∈<<单调递减； 当2(,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈+∞>>单调递增. 因此此时函数()f x 有两个极值点；当0a <时0∆>，但(1)10g -=>，121x x <-<， 所以当2(1,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈->>单调递増； 当2(,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈+∞<<单调递减. 所以函数只有一个极值点。
2015-2016年山东省大教育联盟高三上学期期末数学试卷(理科)和答案
坐标（x，y）（2，30）（4，40） （5，60） （6，50） （8，70） （1，y） （km）
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钻探深度 （km） 出油量（L）
2
4
5
6
8
10
40
70
110
90
160
205
（Ⅰ） 1～6 号旧井位置线性分布， 借助前 5 组数据求得回归直线方程为 y=6.5x+a， 求 a，并估计 y 的预报值； （Ⅱ）现准备勘探新井 7（1，25） ，若通过 1、3、5、7 号井计算出的 的值
18 ． （ 12 分 ） 已 知 各 项 均 为 正 数 的 数 列 {an} 的 前 n 项 和 为 Sn ， 且 满 足 ． （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）设 （其中 n，k∈N*） ， ，求数列{bn}的
前 n 项和 Tn（n≥3） ． 19． （12 分）中石化集团通过与安哥拉国家石油公司合作，获得了安哥拉深海油 田区块的开采权，集团在某些区块随机初步勘探了部分口井，取得了地质资 料．进入全面勘探时期后，集团按网络点来布置井位进行全面勘探．由于勘 探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧 井的地质资料，不必打这口新井．以节约勘探费用．若口井勘探初期数据资 料见如表： 井号 I 1 2 3 4 5 6
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记为 V1， 俯视图绕斜边所在直线旋转一周形成的几何体的体积记为 V2， 则 （ ）
=
A．
B．
C．12
D．
8． （5 分）若直线 l 被圆 C：x2+y2=2 所截的弦长不小于 2，下列方程表示的曲线 中与直线 l 一定有公共点的是（ A．y=x2 ） C．x2﹣y2=1 D． ，则输出的
日照一中2016届高三上学期期末考试理科综合化学试题 含答案
2015-2016学年高三上学期期末考试理科综合化学试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
可能用到的相对原子质量:N 14 O 16 S 32 Cl 35。
5 K 39 Fe 56 Cu 64 Ag 108 I 127一、选择题(本题共13个小题，每小题6分。
每小题只有一项符合题目要求。
）7．N A表示阿伏加德罗常数的值。
下列说法中正确的是① 常温下，0。
1molCl2与足量NaOH溶液反应，转移的电子数目为0.2N A② lmol羟基（一OH）与17gNH3所含电子数分别为9N A和10N A③将100 mL 0。
1 mol·L－1FeCl3溶液滴入沸水中可制得Fe(OH）3胶粒0。
01N A④ 在反应KIO3+6HI===KI+3I2+3H2O中,每生成3 mol I2转移的电子数为5N A⑤ 电解精炼铜时，当电路中转移N A个电子，阳极溶解32 g铜A．①④ B．②④ C．②⑤ D．③④8．V、W、X、Y均是元素周期表中短周期元素，在周期表中的相对位置关系如表所示：Y VX WV的最简单氢化物为甲，W的最简单氢化物为乙，甲、乙混合时有白烟生成。
下列说法正确的是A．原子半径：X＞W＞V＞YB．Y的最高价氧化物的电子式为C．X的最高价氧化物能与V、W最高价氧化物对应的水化物反应D．甲、乙混合时所生成的白烟为离子化合物，只含有离子键9．常温下，下列各组离子在指定的条件下一定能大量共存的是A．c(Fe3+）=0。
1mol·L－1的溶液中：K+、ClO－、SO42－、SCN－B．在pH=2的溶液中：NH4+、K+、ClO－、C1－C．水电离c(H+）=10－12mol·L－1的溶液中：Mg2+、Cu2+、SO42－、K+D．在c(H+)／c(OH－)=10－12的溶液中：K+、Na+、C1O－、NO3－10．硫酸钙是一种用途非常广泛的产品，可用于生产硫酸、漂白粉等一系列物质(见下图).下列说法正确的是A．CO、SO2、SO3均是酸性氧化物B．除去与水反应,图示转化反应均为氧化还原反应C．工业上利用Cl2和澄清石灰水反应来制取漂白粉D．用CO合成CH3OH进而合成HCHO的两步反应，原子利用率均为100％11．香精(Z）可用下列反应制取。
山东省日照市一中2016届高三上学期期末考试理综试卷.pdf
2015-2016学年高三上学期期末考试理科综合试题 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分可能用到的相对原子质量：N 14O 16 S 32 Cl 35.5 K 39 Fe 56 Cu 64 Ag 108 I 127 一、选择题(本题共个小题，每小题6分每小题只有一项符合题目要求) 1．下列有关物质或结构的叙述．正确的是（） A．细胞骨架是由分子构成的网架结构B．DNA分子的基本骨架决定蛋白质的空间结构 C．氨基酸是胰岛素等各种激素分子的基本单位D．溶酶体能将大分子物质水解，但不能将其彻底氧化分解 2．如图所示为在显微镜下观察到的某细胞内的某些结构，下列判断不正确的是( ) A．参与细胞内生物膜系统的构成结构有a、b、c、d、g B．在光学显微镜下可观察到的植物根尖细胞内的结构有b、c、d、f、g C．与基因表达有关的结构有a、b、f、g，但不一定都能发生A—T、G—C之间的互补配对 D．在a内能合成葡萄糖，在b内不能将葡萄糖分解 5．科学家们在研究成体干细胞的分裂时提出这样的假说：成体干细胞总是将含有相对古老的DNA链(永生化链的染色体分配给其中一个子代细胞，使其成为成体干细胞，同时将含有相对新的合成链的染色体分配给另一个子代细胞，这个细胞分化并最终衰老凋亡如下图所示。
下列根据该假说推测正确的是( ) ①发生了隔离 ②发生了基因突变 ③发生了自然选择 ④发生了基因型频率的改变 ⑤没有发生生物进化 A．①②③④ B．②③④C．②③⑤ D．④⑤ 7．NA表示阿伏加德罗常数的值。
下列说法中正确的是 ① 常温下，0.1molCl2与足量NaOH溶液反应，转移的电子数目为0.2NA ② lmol羟基（一OH)与17gNH3所含电子数分别为9NA和10NA ③将100 mL 0.1 mol·L－1FeCl3溶液滴入沸水中可制得Fe(OH)3胶粒0.01NA ④ 在反应KIO3+6HI===KI+3I2+3H2O中，每生成3 mol I2转移的电子数为5NA ⑤ 电解精炼铜时，当电路中转移NA个电子，阳极溶解32 g铜 A．①④ B．②④ C．②⑤ D．③④ 8．V、W、X、Y均是元素周期表中短周期元素，在周期表中的相对位置关系如表所示： YVXWV的最简单氢化物为甲，W的最简单氢化物为乙，甲、乙混合时有白烟生成。
日照市2015届高三第二次试题及答案数学试题(理)
2015年高三校际联合检测理科数学2015.05本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共5页．满分150分。
考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第I 卷(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.复数121iz i+=-（i 是虚数单位）的共轭复数z 表示的点在 A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知集合{}{}240,2M x x x N x x M N =-<=≤⋃=，则 A. ()24-，B. [)24-，C. ()02，D. (]02，3.采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号1，，…，1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8，抽到的50人中，编号落入区间[]1400，的人做问卷A ，编号落入区间[]401750，的人做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽到的人中，做问卷C 的人数为 A.12 B.13 C.14 D.154.函数()21x f x e -=（e 是自然对数的底数）的部分图象大致是5.下列说法不正确的是A.若“p 且q ”为假，则p ，q 至少有一个是假命题B.命题“2,10x R x x ∃∈--<”的否定是“2,10x R x x ∀∈--≥”C.“2πϕ=”是“()sin 2y x ϕ=+为偶函数”的充要条件D.当0α<时，幂函数()0,y x α=+∞在上单调递减 6.执行如图所示的程序框图，输出的T= A.29 B.44 C.52 D.62 7.将函数()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可以是 A. 12x π=- B. 12x π=C. 3x π=D. 23x π=8.变量,x y 满足线性约束条件320,2,1,x y y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥--⎩目标函数z kx y =-仅在点()0,2取得最小值，则k 的取值范围是 A. 3k <- B. 1k >C. 31k -<<D. 11k -<<9.函数y =则以下不可能成为该等比数列公比的是 A.34B.C.D.10.在()1,+∞上的函数()f x 满足：①()()2f x cf x =（c 为正常数）；②当24x ≤≤时，()()()213.f x x f x =--若图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上.则c=A.1或12B.122或 C.1或3D.1或2第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.如果双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与0y -=平行，则双曲线的离心率为_____.12.已知()51ax +的展开式中2x 的系数与454x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数相等，则a =_____.13.若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积是______.14.在平面直角坐标系xOy 中，设直线2y x =-+与圆()2220x y rr +=>交于A,B 两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足5344OC OA OB r =+=uuu r uu r uu u r，则______.15.函数()y f x =图象上不同两点()()1122,,,A x y B x y 处的切线的斜率分别是A B k k ，，规定(),A B k k A B ABϕ-=（AB 为线段AB 的长度）叫做曲线()y f x =在点A 与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数321y x x =-+图象上两点A 与B 的横坐标分别为1和2，则(),A B ϕ>②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数； ③设点A,B 是抛物线21y x =+上不同的两点，则(),2A B ϕ≤；④设曲线xy e =（e 是自然对数的底数）上不同两点()()112212,,,,1A x y B x y x x -=且，若(),1t A B ϕ⋅<恒成立，则实数t 的取值范围是(),1-∞. 其中真命题的序号为________.（将所有真命题的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16.（本小题满分12分） 在ABC ∆中，已知()111sin ,cos 2142A B ππ⎛⎫+=-=-⎪⎝⎭.（I ）求sinA 与角B 的值；（II ）若角A,B,C 的对边分别为,,5,a b c a b c =，且，求的值.17. （本小题满分12分）直三棱柱111ABC A B C -中，11AA AB AC ===，E ，F 分别是1,CC BC 的中点，11AE A B D ⊥，为棱11A B 上的点. （I ）证明：DF AE ⊥； （II ）已知存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为14，请说明点D 的位置.18. （本小题满分12分）甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球.（I ）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；（II ）若左右手依次各取两球，称同一手中 两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球（左右手依次各取两球为两次取球）的成功取法次数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望.19. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为()2,2,n n S S n n n N *=+∈且.（I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）设集合{}{}22,,2,nA x x n n NB x x a n N **==+∈==∈，等差数列{}nc 的任一项n c A B ∈⋂，其中1c 是A B ⋂中的最小数，10110115c <<，求数列{}n c 的通项公式.20. （本小题满分13分）已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为()0,1F ，过点F 作直线l 交抛物线C 于A,B 两点.椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，点F 是它的一个顶点，且其离心率2e =（I ）分别求抛物线C 和椭圆E 的方程；（II ）经过A,B 两点分别作抛物线C 的切线12,l l ，切线12l l 与相交于点M.证明AB MF ⊥； （III ）椭圆E 上是否存在一点M '，经过点M '作抛物线C 的两条切线M A M B ''''，（,A B ''为切点），使得直线A B ''过点F ？若存在，求出抛物线C 与切线M A M B ''''，所围成图形的面积；若不存在，试说明理由.21. （本小题满分14分） 已知函数()2ln f x x x x =-+.（I ）求函数()f x 的单调递减区间； （II ）若关于x 的不等式()2112a f x x ax ⎛⎫≤-+-⎪⎝⎭恒成立，求整数a 的最小值； （III ）若正实数12,x x 满足()()()2212121220f x f x x x x x ++++=，证明12x x +≥.2015年高三校际联合检测理科数学参考答案一．选择题 CBACC,ADCDD （1）【答案】C ，解：分母实数化乘以它的共扼复数1+i,()()()()12i 1i 12i 13i 13i 1i 1i 1i 222Z +++-+====-+--+,Z ∴的共扼复数为13i 22Z -=--，它表示的点为13,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭在第三象限.（2）【答案】B.解:(0,4),[2,2],[2,4)M N M N ==-∴=-.（3） 【答案】 A ，解:若采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，则需要分为50组，每组20人，若第一组抽到的号码为8，则以后每组抽取的号码分别为28，48，68，88，108，……，所以编号落入区间[1,400]的有20人，编号落入区间[401,750]的有18人，所以做问卷C 的有12人．（4）【答案】 C ，解:函数()f x 为偶函数，排除A,B ；210x e ->，排除D,选C. （5）【答案】 C 解：A ．若“p 且q ”为假，则p 、q 至少有一个是假命题，正确；B ．命题“x R ∃∈，210x x --<”的否定是“x R ∀∈，210x x --≥”，正确；C ．“2πϕ=”是“sin(2)y x ϕ=+为偶函数”的充分不必要条件，故C 错误；D ．0α<时，幂函数y x α=在(0,)+∞上单调递减，正确． 故选：C （6）【答案】 A ，解：执行程序框图，有S=3，n=1，T=2， 不满足条件T ＞2S ，S=6，n=2，T=8， 不满足条件T ＞2S ，S=9，n=3，T=17， 不满足条件T ＞2S ，S=12，n=4，T=29，满足条件T ＞2S ，退出循环，输出T 的值为29．故选：A ． （7）【答案】 D ，解：将函数()πsin 6f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍得函数()1πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,其对称轴方程为1ππ2ππ,2π()2623x k x k k +=+∴=+∈Z ， 故选D .（8）【答案】C ，解:作出不等式对应的平面区域，由z =kx -y 得y =kx -z ，要使目标函数z =kx -y 仅在点A （0，2）处 取得最小值，则阴影部分区域在直线y =kx -z 的 下方，∴目标函数的斜率k 满足-3＜k ＜1.（9）【答案】D ，解:函数等价为0,9)5(22≥=+-y y x ，表示为圆心在)0,5(半径为3的上半圆，圆上点到原点的最短距离为2，最大距离为8，若存在三点成等比数列，则最大的公比q 应有228q =，即2,42==q q ，最小的公比应满足282q =，所以21,412==q q ，所以公比的取值范围为221≤≤q ，所以选D. （10）【答案】 D ，解:先令12x ＃，那么224x ＃，c x f x f )2(=)(=])32(1[12－－x c ；再令48x＃，那么242x＃，)21(=)(x cf x f =21[1(3]2c x －－）；分别算出它们的极值点为(c123，)，(3,1),(6,)c ，三点共线解得12c c ==或．二、填空题（11） 2.e =（12）±（13）223.（14（15）②③.（11）答案 2.e =解:由题意知b a = 2.ce a==（12）答案±解：由二项式定理知: 5(1)ax +的展开式中2x 的系数为 325C a ，45()4x +的展开式中3x 的系数为1454C ，于是有321545C 4a C =，解得 212a =，所以可得a =，故答案为（13）答案223,解:由图知此几何体为边长为2的 正方体裁去一个三棱锥（如右图），所以此几何体的体积为1122222122323⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=.（14解:22225325539244164416OC OA OB OA OA OB OB ⎛⎫=+=+⋅⋅+ ⎪⎝⎭，即：222225159+cos 16816r r r AOB r =∠+，整理化简得：3cos 5AOB ∠=-，过点O 作AB的垂线交AB 于D ，则23cos 2cos 15AOB AOD ∠=∠-=-，得21cos 5AOD ∠=，又圆心到直线的距离为OD ==，所以222212cos 5OD AOD r r ∠===，所以210r =，r =（15）答案②③.解:①错：(1,1),(2,5),|||7,A B A B AB k k =-=(,)A B ϕ∴=<②对：如1y =； ③对；(,)2A B ϕ==≤；④错；1212(,)x x x x A B ϕ==1211,(,)A B ϕ==>因为1(,)t A B ϕ<恒成立，故1t ≤. （16）解：（Ⅰ）πsin()cos 2A A +=Q ，11cos 14A ∴=，又0πA <<Q，sin A ∴=. 1cos(π)cos 2B B -=-=-Q ，且0πB <<，π3B ∴= (6)分（Ⅱ）由正弦定理得sin sin a b A B =，sin 7sin a Bb A⋅∴==， 另由2222cos b a c ac B =+-得249255c c =+-，解得8c =或3c =-（舍去），7b ∴=，8c = (12)分1x（17）（Ⅰ）证明：11AE A B ⊥ ，11A B ∥AB , A B A E ∴⊥, 又1AB AA ⊥, 1A E A AA⋂=, AB ∴⊥面11A ACC ， 又AC ⊂面11A ACC ,A B A C ∴⊥,以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz -, 则()0,0,0A ,10,1,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭,11,,022F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,1(0,0,1)A ,1(1,0,1)B , 设(),,D x y z ，111AD AB λ= ,且[0,1]λ∈,即：()(),,11,0,0x y z λ-=,(),0,1D λ∴ ,11,,122DF λ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭, 10,1,2AE ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭,∴11022DF AE =-=, DF AE ∴⊥. ………6分（Ⅱ）设面DEF 的法向量为 (),,n x y z = ，则 00n FE n DF ⎧=⎨=⎩，111,,222FE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 11,,122DF λ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，111022211022x y z x y z λ⎧-++=⎪⎪∴⎨⎛⎫⎪-+-= ⎪⎪⎝⎭⎩， 即：()()3211221x z y z λλλ⎧=⎪-⎪⎨+⎪=⎪-⎩， 令()21z λ=-, ()()3,12,21n λλ∴=+- .由题可知面ABC 的法向量()0,0,1m = , ………9分EB C 1平面DEF 与平面ABC所成锐二面的余弦值为14. ()14cos ,14m n m n m n∴==, 14=, 12λ∴=或74λ=. 又[0,1]λ∈,∴74λ=舍去. ∴ 点D 为11A B 中点. ………12分（18）解：（Ⅰ）设事件A 为“两手所取的球不同色”， 则32993433321)(=⨯⨯+⨯+⨯-=A P . ………5分（Ⅱ）依题意，X 的可能取值为0,1,2．左手所取的两球颜色相同的概率为18529242322=++C C C C ， 右手所取的两球颜色相同的概率为4129232323=++C C C C ， ………7分 24134318134111851)0(=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-==X P ， 18741)1851()411(185)1(=⨯-+-⨯==X P ， 72541185)2(=⨯==X P ， ………10分 所以Ｘ的分布列为：36197252187124130)(=⨯+⨯+⨯=X E . ………………… ……12分 （19）解 （Ⅰ）∵2*2,(N )n S n n n =+∈．当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=+，当1n =时，113a S ==满足上式，所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =+. ………………… ……5分 （Ⅱ）∵*{|22,N }A x x n n ==+∈，*{|42,N }B x x n n ==+∈， ∴AB B =.又∵n c ∈A B ，其中1c 是A B 中的最小数，∴16c =，∵{}n c 的公差是4的倍数，∴*1046(N )c m m =+∈． 又∵10110115c <<，∴*11046115,N ,m m <+<⎧⎨∈⎩， 解得27m =，所以10114c =， 设等差数列的公差为d ， 则1011146121019c cd --===-，∴6(1)12126n c n n =+-=-，所以{}n c 的通项公式为126n c n =-. ………………… ……12分（20）解：（Ⅰ）由已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为(0,1)F 可得抛物线C 的方程为24x y =.设椭圆E 的方程为2222+1(0)x y a b a b=>>，半焦距为c .由已知可得：2221b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩,解得 2,1a b ==.所以椭圆E 的方程为：2214x y +=. ………………… ……4分 （Ⅱ）显然直线l 的斜率存在，否则直线l 与抛物线C 只有一个交点，不合题意， 故可设直线l 的方程为1,y kx =+ 112212(,),(,)()A x yB x y x x ≠， 由214y kx x y=+⎧⎨=⎩, 消去y 并整理得2440,x kx --= ∴124x x =- .∵抛物线C 的方程为214y x =，求导得12y x '=，∴过抛物线C 上A B 、两点的切线方程分别是1111()2y y x x x -=-，2221()2y y x x x -=-,即2111124y x x x =-，2221124y x x x =-，解得两条切线12,l l 的交点M 的坐标为1212(,)24x x x x +，即M 12(,1)2x x+-， 122121(,2)(,)2x x FM AB x x y y +⋅=-⋅--=22222121111()2()0244x x x x ---=,∴AB MF ⊥. ………………… ……9分 （Ⅲ）假设存在点M '满足题意，由（2）知点M '必在直线1y =-上，又直线1y =-与椭圆E 有唯一交点，故M '的坐标为(0,1)M '-，设过点M '且与抛物线C 相切的切线方程为：0001()2y y x x x -=-，其中点00(,)x y 为切点.令0,1x y ==-得，2000111(0)42x x x --=-， 解得02x =或02x =- ，故不妨取(2,1(21)A B ''-），，，即直线A B ''过点F . 综上所述，椭圆E 上存在一点(01)M '-，，经过点M '作抛物线C 的两条切线A M ''、B M ''（A '、B '为切点），能使直线A B ''过点F .此时，两切线的方程分别为1y x =--和1y x =-. 抛物线C 与切线M A ''、M B ''所围成图形的面积为223220011142[(1)]2()41223S x x dx x x x =--=-+=⎰. ………………… ……13分（21）解：（Ⅰ）2121()21(0)x x f x x x x x-++'=-+=> ，由()0f x '<，得2210x x -->， 又0x >，所以1x >．所以()f x 的单调减区间为(1,)+∞． ………………………………………… 4分 （Ⅱ）令221()()[(1)1]ln (1)122a g x f x x ax x ax a x =--+-=-+-+，所以21(1)1()(1)ax a x g x ax a x x-+-+'=-+-=．当0a ≤时，因为0x >，所以()0g x '>． 所以()g x 在(0,)+∞上是递增函数，又因为213(1)ln11(1)12022g a a a =-⨯+-+=-+>， 所以关于x 的不等式()f x ≤2(1)12ax ax -+-不能恒成立．……………………6分当0a >时，21()(1)(1)1()a x x ax a x a g x x x-+-+-+'==-， 令()0g x '=，得1x a=． 所以当1(0,)x a ∈时，()0g x '>；当1(,)x a∈+∞时，()0g x '<，因此函数()g x 在1(0,)x a ∈是增函数，在1(,)x a∈+∞是减函数．故函数()g x 的最大值为2111111()ln()(1)1ln 22g a a a a a a a a=-⨯+-⨯+=-． ……………………………………………………………………8分令1()ln 2h a a a=-， 因为1(1)02h =>，1(2)ln 204h =-<，又因为()h a 在(0,)a ∈+∞是减函数． 所以当2a ≥时，()0h a <．所以整数a 的最小值为2． …………………………………………………………10分 （Ⅲ）由22121212()()2()0f x f x x x x x ++++=，即2211122212ln ln 0x x x x x x x x ++++++=，从而212121212()()ln()x x x x x x x x +++=⋅-⋅ 令12t x x =⋅，则由()ln t t t ϕ=-得，1()t t tϕ-'=， 可知，()t ϕ在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增． 所以()(1)1t ϕϕ=≥，所以21212()()1x x x x +++≥，又120x x +>，因此12x x +≥ …………………………………………………………14分。
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2015-2016学年山东省日照一中高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）若集合A={y|0≤y＜2}，B={x||x|＞1}，则A∩（∁R B）=（）A．{x|0≤x≤1}B．{x|1≤x＜2}C．{x|﹣1＜x≤0}D．{x|1＜x＜2}2．（5分）已知=a+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣4B．4C．﹣10D．103．（5分）数列{a n}为等差数列，a1，a2，a3为等比数列，a5=1，则a10等于（）A．5B．﹣1C．0D．14．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示，则f（）的值为（）A．B．0C．1D．5．（5分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l：x﹣ky+1=0与圆C：x2+y2=4相交于A，B两点，=+．若点M在圆C上，则实数k=（）A．﹣2B．﹣1C．0D．16．（5分）如图是一个算法的流程图．若输入x的值为2，则输出y的值是（）A．0B．﹣1C．﹣2D．﹣37．（5分）设n=（4sinx+cosx）dx，则二项式（x﹣）n的展开式中x的系数为（）A．4B．10C．5D．68．（5分）已知函数f（x）=x+sinx（x∈R），且f（y2﹣2y+3）+f（x2﹣4x+1）≤0，则当y≥1时，的取值范围是（）A．B．C．D．9．（5分）如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为（）A．3B．C．6D．910．（5分）已知F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P与点F2关于直线y=对称，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11．（5分）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=吨．12．（5分）某团队有6人入住宾馆中的6个房间，其中的房号301与302对门，303与304对门，305与306对门，若每人随机地拿了这6个房间中的一把钥匙，则其中的甲、乙两人恰好对门的概率为．13．（5分）已知x，y满足约束条件，且z=2x+4y的最小值为6，则常数k=．14．（5分）已知直角梯形ABCD，AB⊥AD，CD⊥AD，AB=2AD=2CD=2，沿AC折叠成三棱锥，当三棱锥体积最大时，求此时三棱锥外接球的体积．15．（5分）①函数在[0，π]上是减函数；②点A（1，1）、B（2，7）在直线3x﹣y=0两侧；③数列{a n}为递减的等差数列，a1+a5=0，设数列{a n}的前n项和为S n，则当n=4时，S n取得最大值；④定义运算则函数的图象在点处的切线方程是6x﹣3y﹣5=0．其中正确命题的序号是（把所有正确命题的序号都写上）．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣，x∈R．（Ⅰ）求函数y=f（﹣3x）+1的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）已知△ABC中的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若锐角A满足f（﹣）=，且a=7，sinB+sinC=，求△ABC的面积．17．（12分）某大型公益活动从一所名牌大学的四个学院中选出了18名学生作为志愿者，参加相关的活动事宜．学生来源人数如下表：（Ⅰ）若从这18名学生中随机选出两名，求两名学生来自同一学院的概率；（Ⅱ）现要从这18名学生中随机选出两名学生向观众宣讲此次公益活动的主题．设其中来自外语学院的人数为ξ，令η=2ξ+1，求随机变量η的分布列及数学期望E（η）．18．（12分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；（Ⅱ）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值范围．19．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，a n•a n+1=（）n，记T2n为{a n}的前2n项的和，b n=a2n+a2n﹣1，n∈N*．（Ⅰ）判断数列{b n}是否为等比数列，并求出b n；（Ⅱ）求T2n．20．（13分）已知动圆P与圆F1：（x+3）2+y2=81相切，且与圆F2：（x﹣3）2+y2=1相内切，记圆心P的轨迹为曲线C；设Q为曲线C上的一个不在x轴上的动点，O为坐标原点，过点F2作OQ的平行线交曲线C于M，N两个不同的点．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）试探究|MN|和|OQ|2的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数；若不能，请说明理由；（Ⅲ）记△QF2M的面积为S1，△OF2N的面积为S2，令S=S1+S2，求S的最大值．21．（14分）已知函数f（x）=﹣x3+x2（x∈R），g（x）满足g′（x）=（a∈R，x ＞0），且g（e）=a，e为自然对数的底数．（Ⅰ）已知h（x）=e1﹣x f（x），求h（x）在（1，h（1））处的切线方程；（Ⅱ）若存在x∈[1，e]，使得g（x）≥﹣x2+（a+2）x成立，求a的取值范围；（Ⅲ）设函数F（x）=，O为坐标原点，若对于y=F（x）在x≤﹣1时的图象上的任一点P，在曲线y=F（x）（x∈R）上总存在一点Q，使得•＜0，且PQ的中点在y轴上，求a的取值范围．2015-2016学年山东省日照一中高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）若集合A={y|0≤y＜2}，B={x||x|＞1}，则A∩（∁R B）=（）A．{x|0≤x≤1}B．{x|1≤x＜2}C．{x|﹣1＜x≤0}D．{x|1＜x＜2}【解答】解：∵B={x||x|＞1}，∴∁R B={x||x|≤1}={x|﹣1≤x≤1}．再根据集合A={y|0≤y＜2}，A∩（∁R B）={x|0≤x≤1}，故选：A．2．（5分）已知=a+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣4B．4C．﹣10D．10【解答】解：∵===a+i，∴=a，=﹣1，解得：b=﹣7，a=3．∴a+b=﹣7+3=﹣4．故选：A．3．（5分）数列{a n}为等差数列，a1，a2，a3为等比数列，a5=1，则a10等于（）A．5B．﹣1C．0D．1【解答】解：根据题意，得，∴a1•a3=，整理，得=0；∴a1=a3，∴a1=a3=a2；∴数列{a n}是常数列，又a5=1，∴a10=1．故选：D．4．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示，则f（）的值为（）A．B．0C．1D．【解答】解：由图知，A=2，T=﹣=，∴T==π，解得ω=2，又×2+φ=2kπ+（k∈Z），∴φ=2kπ+（k∈Z），0＜φ＜π，∴φ=，∴f（x）=2sin（2x+），∴f（）=2sin=．故选：D．5．（5分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l：x﹣ky+1=0与圆C：x2+y2=4相交于A，B两点，=+．若点M在圆C上，则实数k=（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1【解答】解：设AB的中点为D，有=+=2，∴||=2||=R=2，∴||=1．由点到直线的距离公式得1=，解得k=0，故选：C．6．（5分）如图是一个算法的流程图．若输入x的值为2，则输出y的值是（）A．0B．﹣1C．﹣2D．﹣3【解答】解：执行一次循环，y=0，x=0；执行第二次循环，y=﹣1，x=﹣2；执行第三次循环，y=﹣2，满足条件，退出循环故选：C．7．（5分）设n=（4sinx+cosx）dx，则二项式（x﹣）n的展开式中x的系数为（）A．4B．10C．5D．6【解答】解：n=（4sinx+cosx）dx=（﹣4cosx+sinx）=5，则二项式（x﹣）n=（x﹣）5的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•x5﹣2r，令5﹣2r=1，求得r=2，∴展开式中x的系数为=10，故选：B．8．（5分）已知函数f（x）=x+sinx（x∈R），且f（y2﹣2y+3）+f（x2﹣4x+1）≤0，则当y≥1时，的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）=x+sinx（x∈R），∴f（﹣x）=﹣x﹣sinx=﹣（x+sinx）=﹣f（x），即f（x）=x+sinx（x∈R）是奇函数，∵f（y2﹣2y+3）+f（x2﹣4x+1）≤0，∴f（y2﹣2y+3）≤﹣f（x2﹣4x+1）=f[﹣（x2﹣4x+1）]，由f'（x）=1﹣cosx≥0，∴函数单调递增．∴（y2﹣2y+3）≤﹣（x2﹣4x+1），即（y2﹣2y+3）+（x2﹣4x+1）≤0，∴（y﹣1）2+（x﹣2）2≤1，∵y≥1，∴不等式对应的平面区域为圆心为（2，1），半径为1的圆的上半部分．的几何意义为动点P（x，y）到定点A（﹣1，0）的斜率的取值范围．设k=，（k＞0）则y=kx+k，即kx﹣y+k=0．当直线和圆相切是，圆心到直线的距离d=，即8k2﹣6k=0，解得k=．此时直线斜率最大．当直线kx﹣y+k=0．经过点B（3，1）时，直线斜率最小，此时3k﹣1+k=0，即4k=1，解得k=，∴，故选：A．9．（5分）如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为（）A．3B．C．6D．9【解答】解：：以点A位坐标原点建立如图所示的直角坐标系，由于菱形ABCD 的边长为2，∠A=60°，M为DC的中点，故点A（0，0），则B（2，0），C（3，），D（1，），M（2，）．设N（x，y），N为平行四边形内（包括边界）一动点，对应的平面区域即为平行四边形ABCD及其内部区域．因为=（2，），=（x，y），则=2x+y，结合图象可得当目标函数z=2x+y 过点C（3，）时，z=2x+y取得最大值为9，故选：D．10．（5分）已知F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P与点F2关于直线y=对称，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：过焦点F2且垂直渐近线的直线方程为：y﹣0=﹣（x﹣c），联立渐近线方程y=与y﹣0=﹣（x﹣c），解之可得x=，y=故对称中心的点坐标为（，），由中点坐标公式可得对称点的坐标为（﹣c，），将其代入双曲线的方程可得，结合a2+b2=c2，化简可得c2=5a2，故可得e==．故选：B．二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11．（5分）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=20吨．【解答】解：某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用之和为万元，≥=160，当且仅当即x=20吨时，等号成立即每次购买20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．故答案为：20．12．（5分）某团队有6人入住宾馆中的6个房间，其中的房号301与302对门，303与304对门，305与306对门，若每人随机地拿了这6个房间中的一把钥匙，则其中的甲、乙两人恰好对门的概率为．【解答】解：法一、6个人拿6把钥匙共有种不同的拿法，记甲、乙恰好对门为事件A，则事件A包括甲、乙拿了301与302，其余4人随意拿．共种；甲、乙拿了303与304，其余4人随意拿．共种；甲、乙拿了305与306，其余4人随意拿．共种；所以甲、乙两人恰好对门的拿法共有种．则甲、乙两人恰好对门的概率为p（A）=．故答案为．法二、仅思考甲乙2人那钥匙的情况，甲可以拿走6个房间中的任意一把钥匙，有6种拿法，乙则从剩余的5把钥匙中那走一把，共有6×5=30种不同的拿法，而甲乙对门的拿法仅有种，所以甲乙恰好对门的概率为．故答案为．13．（5分）已知x，y满足约束条件，且z=2x+4y的最小值为6，则常数k=﹣3．【解答】解：由约束条件作可行域如图，图中以k=0为例，可行域为△ABC及其内部区域，当k＜0，边界AC下移，当k＞0时，边界AC上移，均为△ABC及其内部区域．由z=2x+4y，得直线方程，由图可知，当直线过可行域内的点A时，z最小．联立，得A（3，﹣k﹣3）．∴z min=2×3+4（﹣k﹣3）=﹣4k﹣6=6，解得k=﹣3．故答案为：﹣3．14．（5分）已知直角梯形ABCD，AB⊥AD，CD⊥AD，AB=2AD=2CD=2，沿AC折叠成三棱锥，当三棱锥体积最大时，求此时三棱锥外接球的体积．【解答】解：已知直角梯形ABCD，AB⊥AD，CD⊥AD，AB=2AD=2CD=2，沿AC 折叠成三棱锥，如图：AB=2，AD=1，CD=1，∴AC=，BC=，∴BC⊥AC，取AC的中点E，AB的中点O，连结DE，OE，∵当三棱锥体积最大时，∴平面DCA⊥平面ACB，∴OB=OA=OC=OD，∴OB=1，就是外接球的半径为1，此时三棱锥外接球的体积：=．故答案为：．15．（5分）①函数在[0，π]上是减函数；②点A（1，1）、B（2，7）在直线3x﹣y=0两侧；③数列{a n}为递减的等差数列，a1+a5=0，设数列{a n}的前n项和为S n，则当n=4时，S n取得最大值；④定义运算则函数的图象在点处的切线方程是6x﹣3y﹣5=0．其中正确命题的序号是②④（把所有正确命题的序号都写上）．【解答】解：①，∵y=sin（x﹣）=﹣cosx，在[0，π]上是增函数，故①错误；②，将A（1，1）、B（2，7）的坐标分别代入3x﹣y得（3×1﹣1）•（3×2﹣7）=﹣2＜0，故点A（1，1）、B（2，7）在直线3x﹣y=0两侧，即②正确；③，∵数列{a n}为递减的等差数列，a1+a5=0，又a1+a5=2a3，∴2a3=0，故当n=2或3时S n取得最大值，故③错误；④，∵=a1b2﹣a2b1，∴f（x）==x3+x2﹣x，∴[f′（x）]|x=1=（x2+2x﹣1）|x=1=2，∴f（x）的图象在点（1，）处的切线方程为：y﹣=2（x﹣1），整理得：6x﹣3y﹣5=0，故④正确；综上所述，正确答案为②④．故答案为：②④．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣，x∈R．（Ⅰ）求函数y=f（﹣3x）+1的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）已知△ABC中的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若锐角A满足f（﹣）=，且a=7，sinB+sinC=，求△ABC的面积．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵=…（2分）∴，∴y=f（﹣3x）+1的最小正周期为…（3分）由得：，k∈Z，∴y=f（﹣3x）+1的单调递减区间是，k∈Z…（6分）（Ⅱ）∵，∴，∴…（7分）∵，∴．由正弦定理得：，即，∴b+c=13…（9分）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得：a2=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA，即49=169﹣3bc，∴bc=40…1（1分）∴…（12分）17．（12分）某大型公益活动从一所名牌大学的四个学院中选出了18名学生作为志愿者，参加相关的活动事宜．学生来源人数如下表：（Ⅰ）若从这18名学生中随机选出两名，求两名学生来自同一学院的概率；（Ⅱ）现要从这18名学生中随机选出两名学生向观众宣讲此次公益活动的主题．设其中来自外语学院的人数为ξ，令η=2ξ+1，求随机变量η的分布列及数学期望E（η）．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设“两名学生来自同一学院”为事件A，则即两名学生来自同一学院的概率为．…（4分）（Ⅱ）ξ的可能取值是0，1，2，对应的η可能的取值为1，3，5，，，，…（10分）所以η的分布列为η135P…（11分）所以．…（12分）18．（12分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；（Ⅱ）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值范围．【解答】解：（I）证明：在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，∴AB=2∴AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos60°=3∴AB2=AC2+BC2∴BC⊥AC∵平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD=AC，BC⊂平面ABCD∴BC⊥平面ACFE（II）由（I）可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示空间直角坐标系，令，则，B（0，1，0），M（λ，0，1）∴设为平面MAB的一个法向量，由得取x=1，则，∵是平面FCB的一个法向量∴∵∴当λ=0时，cosθ有最小值，当时，cosθ有最大值．∴．19．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，a n•a n+1=（）n，记T2n为{a n}的前2n项的和，b n=a2n+a2n﹣1，n∈N*．（Ⅰ）判断数列{b n}是否为等比数列，并求出b n；（Ⅱ）求T2n．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴，∴，即…（2分）∵b n=a2n+a2n﹣1，∴所以{b n}是公比为的等比数列．…（5分）∵a1=1，，∴∴…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，所以a1，a3，a5，…是以a1=1为首项，以为公比的等比数列；a2，a4，a6，…是以为首项，以为公比的等比数列…（10分）∴T2n=（a1+a3+…+a2n﹣1）+（a2+a4+…+a2n）=…（12分）20．（13分）已知动圆P与圆F1：（x+3）2+y2=81相切，且与圆F2：（x﹣3）2+y2=1相内切，记圆心P的轨迹为曲线C；设Q为曲线C上的一个不在x轴上的动点，O为坐标原点，过点F2作OQ的平行线交曲线C于M，N两个不同的点．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）试探究|MN|和|OQ|2的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数；若不能，请说明理由；（Ⅲ）记△QF2M的面积为S1，△OF2N的面积为S2，令S=S1+S2，求S的最大值．【解答】（本小题满分13分）解：（I）设圆心P的坐标为（x，y），半径为R由于动圆P与圆相切，且与圆相内切，所以动圆P与圆只能内切∴，∴|PF1|+|PF2|=8＞|F1F2|=6…（2分）∴圆心P的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆，其中2a=8，2c=6，∴a=4，c=3，b2=a2﹣c2=7故圆心P的轨迹C：．…（4分）（II）设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x3，y3），直线OQ：x=my，则直线MN：x=my+3由，得：，∴，∴…（6分）由，得：（7m2+16）y2+42my﹣49=0，∴，∴===…（8分）∴，∴|MN|和|OQ|2的比值为一个常数，这个常数为…（9分）（III）∵MN∥OQ，∴△QF2M的面积=△OF2M的面积，∴S=S1+S2=S△OMN∵O到直线MN：x=my+3的距离，∴…（11分）令，则m2=t2﹣1（t≥1），∵（当且仅当，即，亦即时取等号）∴当时，S取最大值…（13分）21．（14分）已知函数f（x）=﹣x3+x2（x∈R），g（x）满足g′（x）=（a∈R，x ＞0），且g（e）=a，e为自然对数的底数．（Ⅰ）已知h（x）=e1﹣x f（x），求h（x）在（1，h（1））处的切线方程；（Ⅱ）若存在x∈[1，e]，使得g（x）≥﹣x2+（a+2）x成立，求a的取值范围；（Ⅲ）设函数F（x）=，O为坐标原点，若对于y=F（x）在x≤﹣1时的图象上的任一点P，在曲线y=F（x）（x∈R）上总存在一点Q，使得•＜0，且PQ的中点在y轴上，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵h（x）=（﹣x3+x2）e1﹣x，h'（x）=（x3﹣4x2+2x）e1﹣x，∴h（1）=0，h'（1）=﹣1，∴h（x）在（1，h（1））处的切线方程为：y=﹣（x﹣1），即y=﹣x+1；（Ⅱ）∵，∴g（x）=alnx+c，∴g（e）=alne+c=a+c=a⇒c=0，从而g（x）=alnx，由g（x）≥﹣x2+（a+2）x，得：（x﹣lnx）a≤x2﹣2x．由于x∈[1，e]时，lnx≤1≤x，且等号不能同时成立，所以lnx＜x，x﹣lnx＞0．从而，为满足题意，必须．设，x∈[1，e]，则；∵x∈[1，e]，∴x﹣1≥0，lnx≤1，x+2﹣2lnx＞0，从而t'（x）≥0，∴t（x）在[1，e]上为增函数，所以，从而．（Ⅲ）设P（t，F（t））为y=F（x）在x≤﹣1时的图象上的任意一点，则t≤﹣1，∵PQ的中点在y轴上，∴Q的坐标为（﹣t，F（﹣t）），∵t≤﹣1，∴﹣t≥1，所以P（t，﹣t3+t2），Q（﹣t，aln（﹣t）），．由于，所以a （1﹣t ）ln （﹣t ）＜1．当t=﹣1时，a （1﹣t ）ln （﹣t ）＜1恒成立， ∴a ∈R ； 当t ＜﹣1时，，令（t ＜﹣1），则∵t ＜﹣1，∴t ﹣1＜0，tln （﹣t ）＜0， ∴φ'（t ）＞0， 从而在（﹣∞，﹣1）上为增函数，由于t→﹣∞时，，∴φ（t ）＞0，∴a ≤0综上可知，a 的取值范围是（﹣∞，0]．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p = (Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2bf a-xx x(q)0x则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。