高考数学复习---《周期性、单调性、奇偶性、对称性的灵活运用》真题练习(含答案)

高考数学复习---《周期性、单调性、奇偶性、对称性的灵活运
用》真题练习（含答案）
1．（2022·全国·统考高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，且
()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++−==，则22
1()k f k ==∑（ ）
A ．3−
B ．2−
C ．0
D ．1
【答案】A 【解析】[方法一]：赋值加性质
因为()()()()f x y f x y f x f y ++−=，令1,0x y ==可得，()()()2110f f f =，所以()02f =，
令0x =可得，()()()2f y f y f y +−=，即()()f y f y =−，所以函数()f x 为偶函数，令1y =得，()()()()()111f x f x f x f f x ++−==，即有()()()21f x f x f x ++=+，从而可知
()()21f x f x +=−−，()()14f x f x −=−−，故()()24f x f x +=−，即()()6f x f x =+，所以函数()f x 的一个周期为6．因为()()()210121f f f =−=−=−，
()()()321112f f f =−=−−=−，()()()4221f f f =−==−，()()()5111f f f =−==，()()602f f ==，所以
一个周期内的()()()1260f f f ++
+=．由于22除以6余4， 所以()()()()()221
123411213k f k f f f f ==+++=−−−=−∑．故选：A ．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由()()()()f x y f x y f x f y ++−=，联想到余弦函数和差化积公式
()()cos cos 2cos cos x y x y x y ++−=，可设()cos f x a x ω=，则由方法一中()()02,11f f ==知
2,cos 1a a ω==，解得1cos 2
ω=，取3πω=， 所以()2cos 3f x x π
=，则
()()()()2cos 2cos 4cos cos 333
333f x y f x y x y x y x y f x f y ππππππ⎛⎫⎛⎫++−=++−== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以
()2cos 3f x x π
=符合条件，因此()f x 的周期263T π
π
==，()()02,11f f ==，且
()()()()()21,32,41,51,62f f f f f =−=−=−==，所以
(1)(2)(3)(4)(5)(6)0f f f f f f +++++=，
由于22除以6余4，
所以()()()()()22
1123411213k f k f f f f ==+++=−−−=−∑．故选：A ．
【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；
2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且
()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +−=−−=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则()22
1k f k ==∑（ ）
A ．21−
B ．22−
C ．23−
D ．24−
【答案】D 【解析】因为()y g x =的图像关于直线2x =对称，
所以()()22g x g x −=+，
因为()(4)7g x f x −−=，所以(2)(2)7g x f x +−−=，即(2)7(2)g x f x +=+−，
因为()(2)5f x g x +−=，所以()(2)5f x g x ++=，
代入得[]()7(2)5f x f x ++−=，即()(2)2f x f x +−=−，
所以()()()()35212510f f f +++=−⨯=−，
()()()()46222510f f f +++=−⨯=−．
因为()(2)5f x g x +−=，所以(0)(2)5f g +=，即()01f =，所以()(2)203f f =−−=−． 因为()(4)7g x f x −−=，所以(4)()7g x f x +−=，又因为()(2)5f x g x +−=，
联立得，()()2412g x g x −++=，
所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称，因为函数()g x 的定义域为R ，
所以()36g =
因为()(2)5f x g x ++=，所以()()1531f g =−=−．
所以
()()()()()()()()221123521462213101024
()k f f f f f f f f f k =++++
+++++=−−−−=−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∑．
故选：D
3．（多选题）
（2022·全国·统考高考真题）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫− ⎪⎝⎭
，(2)g x +均为偶函数，则（ ） A ．(0)0f = B ．102g ⎛⎫−= ⎪⎝⎭
C ．(1)(4)f f −=
D ．(1)(2)g g −=
【答案】BC
【解析】[方法一]：对称性和周期性的关系研究 对于()f x ，因为322f x ⎛⎫− ⎪⎝⎭为偶函数，所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫−=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫−=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
①，所以()()3f x f x −=，所以()f x 关于32x =对称，则(1)(4)f f −=，故C 正确； 对于()g x ，因为(2)g x +为偶函数，(2)(2)g x g x +=−，(4)()g x g x −=，所以()g x 关于2x =对称，由①求导，和()()g x f x '=，得
333333222222f x f x f x f x g x g x ''⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''−=+⇔−−=+⇔−−=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，所以()()30g x g x −+=，所以()g x 关于3(,0)2对称，因为其定义域为R ，所以302g ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，结合()g x 关于2x =对称，从而周期34222T ⎛⎫=⨯−= ⎪⎝⎭
，所以13022g g ⎛⎫⎛⎫−== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g −==−，故B 正确，D 错误；
若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误．
故选：BC ．
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法．
由方法一知()g x 周期为2，关于2x =对称，故可设()()cos πg x x =，则()()1sin ππ
f x x c =
+，显然A ，D 错误，选BC ．
故选：BC ．
[方法三]： 因为322f x ⎛⎫− ⎪⎝⎭
，(2)g x +均为偶函数， 所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫−=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫−=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2)(2)g x g x +=−， 所以()()3f x f x −=，(4)()g x g x −=，则(1)(4)f f −=，故C 正确；
函数()f x ，()g x 的图象分别关于直线3,22
x x ==对称， 又()()g x f x '=，且函数()f x 可导， 所以()()30,32g g x g x ⎛⎫=−=− ⎪⎝⎭
， 所以()(4)()3g x g x g x −==−−，所以()(2)(1)g x g x g x +=−+=， 所以13022g g ⎛⎫⎛⎫−== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，()()()112g g g −==−，故B 正确，D 错误； 若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误．
故选：BC ．
【整体点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；
方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．
4．（2022·全国·统考高考真题）若()1ln 1f x a b x
+
+−=是奇函数，则=a _____，b =______． 【答案】 12−； ln 2． 【解析】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若0a =，则()f x 的定义域为{|1}x x ≠，不关于原点对称
0a ∴≠ 若奇函数的1()||1f x ln a b x =+
+−有意义，则1x ≠且101a x
+≠− 1x ∴≠且1
1x a ≠+， 函数()f x 为奇函数，定义域关于原点对称，
111a ∴+=−，解得12
a =−， 由(0)0f =得，1
02ln b +=，
2b ln ∴=， 故答案为：12
−；2ln ． [方法二]：函数的奇偶性求参
111()111a ax ax a f x ln a b ln b ln b x x x
−+−−=++=+=+−−− 1()1ax a f x ln b x
++−=++ 函数()f x 为奇函数
11()()2011ax a ax a f x f x ln ln b x x
−−++∴+−=++=−+ 222
2(1)201
a x a ln
b x −+∴+=− 22(1)1210112
a a a a +∴=⇒+=⇒=− 1222241,22
b ln b ln a b ln ln −==−⇒=∴=−= [方法三]：
因为函数()1ln 1f x a b x +
+−=为奇函数，所以其定义域关于原点对称． 由101a x
+≠−可得，()()110x a ax −+−≠，所以11a x a +==−，解得：12a =−，即函数的定义域为()()(),11,11,−∞−⋃−⋃+∞，再由()00f =可得，ln 2b =．即
()111ln ln 2ln 211x f x x x +=−++=−−，在定义域内满足()()f x f x −=−，符合题意． 故答案为：12
−；ln 2． 本课结束。