高中数学 第二章 概率 2.2 超几何分布课件 北师大版选修2-3
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复习课件
高中数学 第二章 概率 2.2 超几何分布课件 北师大版选修2-3
第二章
概率
§2 超几何分布
01 预习篇
02课堂篇
03提高篇
04 巩固篇
课时作业
知识点 超几何分布 [填一填] 一般地，设有 N 件产品，其中有 M(M≤N)件次品，从中任 取 n(n≤N)件产品．用 X 表示取出的 n 件产品中次品的件数，那
故随机变量 ξ 的分布列为
ξ1 2
P
3 4
1 4
规律方法 解此类题的关键是在理解题意的基础上正确运用 排列、组合知识计算出基本事件的个数．在列好分布列后，可根 据分布列的性质检验结果是否正确．
在 10 件产品中，有 3 件一等品，4 件二等品，3 件三等品．从 这 10 件产品中任取 3 件．求取出的 3 件产品中一等品件数 X 的 分布列．
(2)乙答对试题数可能为 1,2,3.
所以乙所得分数 Y＝5,10,15. P(Y＝5)＝CC22C13018＝115， P(Y＝10)＝CC12C13028＝175， P(Y＝15)＝CC31380＝175. 所以乙所得分数 Y 的分布列为
Y＝ai 5 10 15
P(Y＝ai)
1 15
7 15
7 15
[解] (1)X 的可能取值为 0,1,2,3. P(X＝0)＝CC31340＝310，P(X＝1)＝CC24C13016＝130， P(X＝2)＝CC14C13026＝12，P(X＝3)＝CC31360＝16. 所以甲答对试题数 X 的分布列为
X＝k
0 1 23
P(X＝k)
1 3 11 30 10 2 6
服务的概率为221460＝190.
(3)随机变量 ξ 的所有可能取值为 1 和 2.
“ξ＝1”表示“只有 1 人参加 A 岗位服务”，其分配方案有
C15C24A33＝180(种)，故 P(ξ＝1)＝128400＝34.
“ξ＝2”表示“有 2 人参加 A 岗位服务”，其分配方案有
C25A33＝60(种)，故 P(ξ＝2)＝26400＝14.
[解] (1)P＝1－CC04C12026＝1－1455＝23， 即顾客中奖的概率为23. (2)X 的所有可能值为 0,10,20,50,60. P(X＝0)＝CC04C12026＝13， P(X＝10)＝CC13C12016＝25， P(X＝20)＝CC21230＝115，
P(X＝50)＝CC11C12016＝125， P(X＝60)＝CC11C12013＝115， 故 X 的分布列为：
1．如何判断随机变量 X 是否服从超几何分布？ 判断超几何分布时必须满足以下两条： (1)总数为 N 的物品只分为两类：M(M≤N)件为甲类(或次 品)，其余的 N－M 件为乙类(或正品)． (2)随机变量 X 表示从 N 件物品中任取 n(n≤N)件物品，其中 所含甲类物品的件数．
2．通过实例说明超几何分布及其推导过程
的，属古典概型，故取 M 个小球的方法共有 CMN 种，其中含有 m
个红球的取法有
C
m n
·C
M－m N－n
种
，
于
是
得
取
m
个红球的概率为
Cmn ·CCNMMN－－nm，令取到红球的个数 X＝m 即得超几何分布列．
3．方程思想和分类讨论思想在超几何分布中的应用 超几何分布是一种离散型随机变量的分布，其分布列的性质 自然也具有一般随机变量分布列的两条性质，自然也可用方程思 想求解分布列中的某些未知量，而在求解一些随机变量的概率 时，有时需要进行分类讨论．
0)≈0.144.
1．一批产品共 50 件，次品率为 4%，从中任取 10 件，则
抽到 1 件次品的概率约为( A )
A．0.327
B．0.032 6
C．0.326
D．0.032 7
解析：一批产品共 50 件，其中有 50×4%＝2 件次品，48 件正品，从中任取 10 件共有 C5100种选法，其中抽 1 件次品有 C948 C12种方法．所以抽到 1 件次品的概率是 p＝CC94851C00 21≈0.327.
解：以 50 箱为一批产品，从中随机抽取 5 箱，用 X 表示“5 箱中不合格品的箱数”，则 X 服从参数为 N＝50，M＝2，n＝5 的超几何分布．
这批产品被接收的条件是 5 箱中没有不合格品或只有 1 箱不 合格品，所以被接收的概率为 P(X≤1)，即 P(X≤1)＝P(X＝0)＋ P(X＝1)＝CC02C550548＋CC12C550448＝224435.
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休息一 看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对身体
袋中有 4 个红球，3 个黑球，从袋中随机取球，设取到一个 红球得 2 分，取到一个黑球得 1 分，从袋中任取 4 个球.
(1)求得分数 X 的分布列； (2)求得分大于 6 分的概率．
么 P(X＝k)＝
(其中 k 为非负整数)．
如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称 X 服从参数为 N，M，n 的 超几何分布 ．
[答一答] 如何正确理解超几何分布？
提示：(1)超几何分布是不放回的抽样； (2)超几何分布中各参数 k，n，M，N 的意义分别为：k 是取 出的次品件数，n 是取出的产品数，M 是产品中的次品数，N 是 产品总数．
X0
1
2
3
P
7 24
21 40
7 40
1 120
——规范解答系列—— [例 4] 甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的 10 道试题中，甲能答对其中的 6 道试题，乙能答对其中的 8 道 试题．规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 题进行测试，答对 一题得 5 分，答错一题得 0 分． 求：(1)甲答对试题数 X 的分布列； (2)乙所得分数 Y 的分布列．
3．已知某批产品共 100 件，其中二等品有 20 件．从中任意
抽取 2 件，ξ 表示取出的 2 件产品中二等品的件数，试填写下列
关于 ξ 的分布列：
ξ＝k
0
1
2
P(ξ＝k)
316 495
32
19
99
495
解析：ξ 的可能取值为 0,1,2，ξ 服从参数为 N＝100，M＝20， n＝2 的超几何分布，则 P(ξ＝0)＝CC02012C00820＝341965，P(ξ＝1)＝CC12021C00810 ＝3929，P(ξ＝2)＝CC22012C00800＝41995.
构造以下数学模型：一箱内有 N 个小球，其中有红球 n 个，
从箱中所有小球中任取 M 个(M≤N)，这 M 个小球中所含红球的
个数 X 是一个随机变量．事件{X＝m}的概率 P(X＝m)＝CmnCCNMMN－－nm (0≤m≤l，l 为 n 和 M 中较小的一个)．则随机变量 X 的分布列
即为超几何分布，推导如下：由于取到每个小球的概率都是相等
X 0 10 20
50
60
P
1 3
2 5
1 15
2 15
1 15
规律方法 本题以超几何分布为背景，主要考查了概率的计 算，离散型随机变量的分布列的求法及解决实际问题的能力．
生产方提供 50 箱的一批产品，其中有 2 箱不合格品，采购 方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取 5 箱产品进行检 测，若至多有 1 箱不合格品，便接收该批产品．问该批产品被接 收的概率是多少？
解：(1)X 的取值为 8,7,6,5. P(X＝8)＝CC4447＝315，P(X＝7)＝CC34C74 13＝1325， P(X＝6)＝CC24C74 23＝1385，P(X＝5)＝CC14C74 33＝345. ∴得分数 X 的分布列为
X8 7 6 5
P
1 35
12 35
18 35
4 35
(2)P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝1325＋315＝1335.
X＝2，表示取出的 5 件产品中有 2 件次品，3 件正品，所以 P(X＝2)＝CC23C15037＝152；
X＝3，表示取出的 5 件产品中有 3 件次品，2 件正品，所以 P(X＝3)＝CC33C15027＝112.
所以 X 的分布列为
X0 1 2 3
P
1 12
5 12
5 12
1 12
规律方法 解答本题的关键在于先分析随机变量是否满足超 几何分布，如果满足超几何分布的条件，则直接利用超几何分布 模型解决．如果不满足，则应借助相应概率公式求解．
即这批产品被接收的概率为224435(约为 0.991 84)．
[例 3] 甲、乙等 5 名大运会志愿者被随机分到 A，B，C， D 4 个不同的岗位服务，每个岗位至少需要 1 名志愿者．
(1)求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率； (2)求甲、乙两人不在同一岗位服务的概率； (3)设随机变量 ξ 为这 5 名志愿者中参加 A 岗位服务的人数， 求 ξ 的分布列． [思路探究] 事件相当于把 5 名大运会志愿者分配到 4 个不 同的岗位，针对不同的事件求出其包含的基本事件的个数，再根 据古典概型的概率公式求解即可．
在含有 5 件次品的 100 件产品中，任取 3 件，试求： (1)取到的次品数 X 的分布列； (2)至少取到 1 件次品的概率．
解：(1)由于从 100 件产品中任取 3 件的结果数为 C3100，从 100 件产品中任取 3 件，其中恰有 k 件次品的结果数为 Ck5C39－5 k， 那么从 100 件产品中任取 3 件，其中恰有 k 件次品的概率为 P(X ＝k)＝CCk5C310390－5 k，k＝0,1,2,3.
2．12 人的兴趣小组中有 5 人是“三好学生”，现从中任选 6 人参加竞赛，若随机变量 X 表示参加竞赛的“三好学生”的人 数，则CC35C16237为( C )
A．P(X＝6) B．P(X＝5) C．P(X＝3) D．P(X＝7)
解析：由题意可知随机变量 X 服从参数为 N＝12，M＝5，n ＝6 的超几何分布，由公式 P(X＝k)＝CkMCCnNnN－－kM易知CC35C61237表示的是 k＝X＝3 的取值概率．
所以随机变量 X 的分布列为
X
0
1
2
ห้องสมุดไป่ตู้
3
P
C05C395 C3100
C15C295 C3100
C25C195 C3100
C35C095 C3100
(2)根据随机变量 X 的分布列，可得至少取到 1 件次品的概
率 为 P(X≥1) ＝ P(X ＝ 1) ＋ P(X ＝ 2) ＋ P(X ＝ 3) ＝ 1 － P(X ＝
题型一 超几何分布的概率 [例 1] 在 10 件产品中有 3 件次品，7 件正品，现从中抽取 5 件，求抽得的次品件数 X 的分布列． [思路探究] 显然 X 服从超几何分布．
[解] X 的可能取值为 0,1,2,3. X＝0，表示取出的 5 件产品全是正品， 所以 P(X＝0)＝CC03C15057＝22512＝112； X＝1，表示取出的 5 件产品中有 1 件次品，4 件正品，所以 P(X＝1)＝CC13C15047＝152；
题型二 超几何分布的应用 [例 2] 在一次购物活动中，假设在 10 张券中有一等奖券 1 张，可获价值 50 元的奖品；有二等奖券 3 张，每张可获价值 10 元的奖品；其余 6 张没有奖，某顾客从此 10 张中任取 2 张，求： (1)该顾客中奖的概率； (2)该顾客获得的奖品总价值 X(元)的概率分布列． [思路探究] 解答本题可先利用对立事件求出顾客中奖的 概率，再分析 X 的所有可能取值，明确 X 取各个值的事件，利 用组合及公式 P＝mn 进行计算求解．
[解] 把 5 名大运会志愿者分配到 4 个不同的岗位，且每个 岗位至少需要 1 名志愿者，有 C25A44＝240 种安排方法，所以基本 事件的个数为 240.
(1)甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的分配方案有 A33＝6(种)． 由古典概型概率的计算公式可知，甲、乙两人同时参加 A 岗 位服务的概率为2640＝410. (2)甲、乙两人不在同一岗位服务的分配方案有 240－A44＝ 216(种)． 由古典概型概率的计算公式可知，甲、乙两人不在同一岗位
解：由题意知 X 的所有可能取值为 0,1,2,3，且 X 服从参数 为 N＝10，M＝3，n＝3 的超几何分布，
因此 P(X＝k)＝Ck3CC31370－k(k＝0,1,2,3)． 所以 P(X＝0)＝CC03C13037＝13250＝274；
P(X＝1)＝CC13C13027＝16230＝2410； P(X＝2)＝CC23C13017＝12210＝470； P(X＝3)＝CC33C13007＝1210. 故 X 的分布列为：
高中数学 第二章 概率 2.2 超几何分布课件 北师大版选修2-3
第二章
概率
§2 超几何分布
01 预习篇
02课堂篇
03提高篇
04 巩固篇
课时作业
知识点 超几何分布 [填一填] 一般地，设有 N 件产品，其中有 M(M≤N)件次品，从中任 取 n(n≤N)件产品．用 X 表示取出的 n 件产品中次品的件数，那
故随机变量 ξ 的分布列为
ξ1 2
P
3 4
1 4
规律方法 解此类题的关键是在理解题意的基础上正确运用 排列、组合知识计算出基本事件的个数．在列好分布列后，可根 据分布列的性质检验结果是否正确．
在 10 件产品中，有 3 件一等品，4 件二等品，3 件三等品．从 这 10 件产品中任取 3 件．求取出的 3 件产品中一等品件数 X 的 分布列．
(2)乙答对试题数可能为 1,2,3.
所以乙所得分数 Y＝5,10,15. P(Y＝5)＝CC22C13018＝115， P(Y＝10)＝CC12C13028＝175， P(Y＝15)＝CC31380＝175. 所以乙所得分数 Y 的分布列为
Y＝ai 5 10 15
P(Y＝ai)
1 15
7 15
7 15
[解] (1)X 的可能取值为 0,1,2,3. P(X＝0)＝CC31340＝310，P(X＝1)＝CC24C13016＝130， P(X＝2)＝CC14C13026＝12，P(X＝3)＝CC31360＝16. 所以甲答对试题数 X 的分布列为
X＝k
0 1 23
P(X＝k)
1 3 11 30 10 2 6
服务的概率为221460＝190.
(3)随机变量 ξ 的所有可能取值为 1 和 2.
“ξ＝1”表示“只有 1 人参加 A 岗位服务”，其分配方案有
C15C24A33＝180(种)，故 P(ξ＝1)＝128400＝34.
“ξ＝2”表示“有 2 人参加 A 岗位服务”，其分配方案有
C25A33＝60(种)，故 P(ξ＝2)＝26400＝14.
[解] (1)P＝1－CC04C12026＝1－1455＝23， 即顾客中奖的概率为23. (2)X 的所有可能值为 0,10,20,50,60. P(X＝0)＝CC04C12026＝13， P(X＝10)＝CC13C12016＝25， P(X＝20)＝CC21230＝115，
P(X＝50)＝CC11C12016＝125， P(X＝60)＝CC11C12013＝115， 故 X 的分布列为：
1．如何判断随机变量 X 是否服从超几何分布？ 判断超几何分布时必须满足以下两条： (1)总数为 N 的物品只分为两类：M(M≤N)件为甲类(或次 品)，其余的 N－M 件为乙类(或正品)． (2)随机变量 X 表示从 N 件物品中任取 n(n≤N)件物品，其中 所含甲类物品的件数．
2．通过实例说明超几何分布及其推导过程
的，属古典概型，故取 M 个小球的方法共有 CMN 种，其中含有 m
个红球的取法有
C
m n
·C
M－m N－n
种
，
于
是
得
取
m
个红球的概率为
Cmn ·CCNMMN－－nm，令取到红球的个数 X＝m 即得超几何分布列．
3．方程思想和分类讨论思想在超几何分布中的应用 超几何分布是一种离散型随机变量的分布，其分布列的性质 自然也具有一般随机变量分布列的两条性质，自然也可用方程思 想求解分布列中的某些未知量，而在求解一些随机变量的概率 时，有时需要进行分类讨论．
0)≈0.144.
1．一批产品共 50 件，次品率为 4%，从中任取 10 件，则
抽到 1 件次品的概率约为( A )
A．0.327
B．0.032 6
C．0.326
D．0.032 7
解析：一批产品共 50 件，其中有 50×4%＝2 件次品，48 件正品，从中任取 10 件共有 C5100种选法，其中抽 1 件次品有 C948 C12种方法．所以抽到 1 件次品的概率是 p＝CC94851C00 21≈0.327.
解：以 50 箱为一批产品，从中随机抽取 5 箱，用 X 表示“5 箱中不合格品的箱数”，则 X 服从参数为 N＝50，M＝2，n＝5 的超几何分布．
这批产品被接收的条件是 5 箱中没有不合格品或只有 1 箱不 合格品，所以被接收的概率为 P(X≤1)，即 P(X≤1)＝P(X＝0)＋ P(X＝1)＝CC02C550548＋CC12C550448＝224435.
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休息一 看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对身体
袋中有 4 个红球，3 个黑球，从袋中随机取球，设取到一个 红球得 2 分，取到一个黑球得 1 分，从袋中任取 4 个球.
(1)求得分数 X 的分布列； (2)求得分大于 6 分的概率．
么 P(X＝k)＝
(其中 k 为非负整数)．
如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称 X 服从参数为 N，M，n 的 超几何分布 ．
[答一答] 如何正确理解超几何分布？
提示：(1)超几何分布是不放回的抽样； (2)超几何分布中各参数 k，n，M，N 的意义分别为：k 是取 出的次品件数，n 是取出的产品数，M 是产品中的次品数，N 是 产品总数．
X0
1
2
3
P
7 24
21 40
7 40
1 120
——规范解答系列—— [例 4] 甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的 10 道试题中，甲能答对其中的 6 道试题，乙能答对其中的 8 道 试题．规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 题进行测试，答对 一题得 5 分，答错一题得 0 分． 求：(1)甲答对试题数 X 的分布列； (2)乙所得分数 Y 的分布列．
3．已知某批产品共 100 件，其中二等品有 20 件．从中任意
抽取 2 件，ξ 表示取出的 2 件产品中二等品的件数，试填写下列
关于 ξ 的分布列：
ξ＝k
0
1
2
P(ξ＝k)
316 495
32
19
99
495
解析：ξ 的可能取值为 0,1,2，ξ 服从参数为 N＝100，M＝20， n＝2 的超几何分布，则 P(ξ＝0)＝CC02012C00820＝341965，P(ξ＝1)＝CC12021C00810 ＝3929，P(ξ＝2)＝CC22012C00800＝41995.
构造以下数学模型：一箱内有 N 个小球，其中有红球 n 个，
从箱中所有小球中任取 M 个(M≤N)，这 M 个小球中所含红球的
个数 X 是一个随机变量．事件{X＝m}的概率 P(X＝m)＝CmnCCNMMN－－nm (0≤m≤l，l 为 n 和 M 中较小的一个)．则随机变量 X 的分布列
即为超几何分布，推导如下：由于取到每个小球的概率都是相等
X 0 10 20
50
60
P
1 3
2 5
1 15
2 15
1 15
规律方法 本题以超几何分布为背景，主要考查了概率的计 算，离散型随机变量的分布列的求法及解决实际问题的能力．
生产方提供 50 箱的一批产品，其中有 2 箱不合格品，采购 方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取 5 箱产品进行检 测，若至多有 1 箱不合格品，便接收该批产品．问该批产品被接 收的概率是多少？
解：(1)X 的取值为 8,7,6,5. P(X＝8)＝CC4447＝315，P(X＝7)＝CC34C74 13＝1325， P(X＝6)＝CC24C74 23＝1385，P(X＝5)＝CC14C74 33＝345. ∴得分数 X 的分布列为
X8 7 6 5
P
1 35
12 35
18 35
4 35
(2)P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝1325＋315＝1335.
X＝2，表示取出的 5 件产品中有 2 件次品，3 件正品，所以 P(X＝2)＝CC23C15037＝152；
X＝3，表示取出的 5 件产品中有 3 件次品，2 件正品，所以 P(X＝3)＝CC33C15027＝112.
所以 X 的分布列为
X0 1 2 3
P
1 12
5 12
5 12
1 12
规律方法 解答本题的关键在于先分析随机变量是否满足超 几何分布，如果满足超几何分布的条件，则直接利用超几何分布 模型解决．如果不满足，则应借助相应概率公式求解．
即这批产品被接收的概率为224435(约为 0.991 84)．
[例 3] 甲、乙等 5 名大运会志愿者被随机分到 A，B，C， D 4 个不同的岗位服务，每个岗位至少需要 1 名志愿者．
(1)求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率； (2)求甲、乙两人不在同一岗位服务的概率； (3)设随机变量 ξ 为这 5 名志愿者中参加 A 岗位服务的人数， 求 ξ 的分布列． [思路探究] 事件相当于把 5 名大运会志愿者分配到 4 个不 同的岗位，针对不同的事件求出其包含的基本事件的个数，再根 据古典概型的概率公式求解即可．
在含有 5 件次品的 100 件产品中，任取 3 件，试求： (1)取到的次品数 X 的分布列； (2)至少取到 1 件次品的概率．
解：(1)由于从 100 件产品中任取 3 件的结果数为 C3100，从 100 件产品中任取 3 件，其中恰有 k 件次品的结果数为 Ck5C39－5 k， 那么从 100 件产品中任取 3 件，其中恰有 k 件次品的概率为 P(X ＝k)＝CCk5C310390－5 k，k＝0,1,2,3.
2．12 人的兴趣小组中有 5 人是“三好学生”，现从中任选 6 人参加竞赛，若随机变量 X 表示参加竞赛的“三好学生”的人 数，则CC35C16237为( C )
A．P(X＝6) B．P(X＝5) C．P(X＝3) D．P(X＝7)
解析：由题意可知随机变量 X 服从参数为 N＝12，M＝5，n ＝6 的超几何分布，由公式 P(X＝k)＝CkMCCnNnN－－kM易知CC35C61237表示的是 k＝X＝3 的取值概率．
所以随机变量 X 的分布列为
X
0
1
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ห้องสมุดไป่ตู้
3
P
C05C395 C3100
C15C295 C3100
C25C195 C3100
C35C095 C3100
(2)根据随机变量 X 的分布列，可得至少取到 1 件次品的概
率 为 P(X≥1) ＝ P(X ＝ 1) ＋ P(X ＝ 2) ＋ P(X ＝ 3) ＝ 1 － P(X ＝
题型一 超几何分布的概率 [例 1] 在 10 件产品中有 3 件次品，7 件正品，现从中抽取 5 件，求抽得的次品件数 X 的分布列． [思路探究] 显然 X 服从超几何分布．
[解] X 的可能取值为 0,1,2,3. X＝0，表示取出的 5 件产品全是正品， 所以 P(X＝0)＝CC03C15057＝22512＝112； X＝1，表示取出的 5 件产品中有 1 件次品，4 件正品，所以 P(X＝1)＝CC13C15047＝152；
题型二 超几何分布的应用 [例 2] 在一次购物活动中，假设在 10 张券中有一等奖券 1 张，可获价值 50 元的奖品；有二等奖券 3 张，每张可获价值 10 元的奖品；其余 6 张没有奖，某顾客从此 10 张中任取 2 张，求： (1)该顾客中奖的概率； (2)该顾客获得的奖品总价值 X(元)的概率分布列． [思路探究] 解答本题可先利用对立事件求出顾客中奖的 概率，再分析 X 的所有可能取值，明确 X 取各个值的事件，利 用组合及公式 P＝mn 进行计算求解．
[解] 把 5 名大运会志愿者分配到 4 个不同的岗位，且每个 岗位至少需要 1 名志愿者，有 C25A44＝240 种安排方法，所以基本 事件的个数为 240.
(1)甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的分配方案有 A33＝6(种)． 由古典概型概率的计算公式可知，甲、乙两人同时参加 A 岗 位服务的概率为2640＝410. (2)甲、乙两人不在同一岗位服务的分配方案有 240－A44＝ 216(种)． 由古典概型概率的计算公式可知，甲、乙两人不在同一岗位
解：由题意知 X 的所有可能取值为 0,1,2,3，且 X 服从参数 为 N＝10，M＝3，n＝3 的超几何分布，
因此 P(X＝k)＝Ck3CC31370－k(k＝0,1,2,3)． 所以 P(X＝0)＝CC03C13037＝13250＝274；
P(X＝1)＝CC13C13027＝16230＝2410； P(X＝2)＝CC23C13017＝12210＝470； P(X＝3)＝CC33C13007＝1210. 故 X 的分布列为：