相似三角形判定定理的证明

证明：在△ABC 的边 AB，AC（或它们的延长线） A′
上分别截取 AD = A'B'，AE = A'C' ，连接 DE.
∵
AB A'B'
AC A'C'
，AD = A'B'，AE = A'C'，
∴ AB AC 而 ∠ BAC =∠ DAE， AD AE
B′
C′
∴ △ABC ∽△ADE.∴ AB BC
定理二 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
已知：如图，在△ABC 和△A'B'C' 中，∠ A = ∠ A'，
AB AC A'B' A'C'
求证：△ABC ∽ △A'B'C'.
证明：在△ABC 的边 AB（或它的延长线）上截取 A′ AD = A'B'，过点 D 作 BC 的平行线，交 AC 于
AB CB
AC CB
B
F
C
∵ DE∥BC，DF∥AC， ∴ 四边形 DFCE 是平行四边形．∴ DE = CF.
A′
∴ AE DE AC CB
∴ AD AE DE AB AC BC
而 ∠ 1 = ∠ B，∠ DAE = ∠ BAC，∠ 2=∠ C， ∴ △ADE ∽ △ABC.
B′
C′
∵ ∠ A = ∠ A'，∠ ADE = ∠ B =∠ B'，AD = A'B'，
C
O
.B
D
小明是这样做的：先在AB外选一点C，然后测 出AC，BC的中点M，N，再测出MN的长，由此 他就知道了AB间的距离.你知道他是怎么算的 吗？
A.
M
.B
C
N
D
B
C(E)
“共角共边” 型
“蝴蝶”型
九年级数学(上) 第四章 图形的相似
相似三角形判定定理的证明
学习目标
1.了解三角形相似的判定定理的证 明过程． 2.灵活运用三角形相似的判定定理 解决实际问题．
定理一 两角分别相等的两个三角形相似.
已知：如图，在 △ABC 和△A'B'C' 中，∠ A = ∠ A'，∠ B
= ∠ B'. 求证：△ABC ∽△A'B'C'．
证明：在 △ABC A'B'，过点 D 作
的边 AB（或它的延长线）上截取 AD BC 的平行线，交 AC 于点 E，则
=
A
∠ 1 = ∠ B，∠ 2= ∠ C， AD AE AB AC
过点 D 作 AC 的平行线，交 BC 于点 F，
1 D
2E
则 AD CF ∴ AE CF
点 E，则∠ B = ∠ 1， ∠ C = ∠ 2，
∴ △ABC ∽ △ADE ∴ AB AC AD AE
∵
AB A'B'
AC A'C'
，AD
=
A'B'，
∴
AB AD
AC A'C'
∴
AC AE
AC A'C'
∴ AE =A'C'. 而 ∠ A=∠ A'，
B′
C′
A
1 D B
2E C
∴ △ADE ≌ △A'B'C'. △ABC ∽ △A'B'C'.
2 B
3C
（1）顶角相等的两个等腰三角形相似。( )
（2）有一个角为120 °的两个等腰三角形相似。( )
（3）有一个角为40°的两个等腰三角形相似。
(4)两个等腰三角形相似。( )
C
3. Rt △ ABC中，CD是
斜边AB的高，图中相似的 三角形有_____
A
12
34
DB
△ ABC ∽ △ACD ∽ △ CBD
解:在△ABC和△DEF中.
3.5cm F
AB 4 2. DE 2 BC 7 2. EF 3.5
AC 5 2. DF 2.5
AB BC AC . DE EF DF
∴△ ABC ∽ △ ADE.
(三条对应边成比例的两个 三角形相似.)
2、如图，下列各图中的三角形与
△ ABC相似的是 ( A)
回顾与复习
二、相似三角形的判定方法: 两角对应相等，两三角形相似. 三边对应成比例,两三角形相似. 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.
在上两节中，我们探索了三角形相似的条件，稍候我 们将了解证明过程．
三、相似三角形的常见类型
A DE
E
D
A
B
C
“A”型
B
C
“x”型
A
A
D E
B “共角”型C
CD AD
C AB OB
CD OC
B OA OB
OD BC
D BC OB
AD OD
AB O
C
D
2014.10
当堂训练
3.判断题： （1）有一个锐角相等的两个直角三角形相似. (√ ) （2）有一个角为110º的两个等腰三角形相似。√ （3）有一个角为35º的两个等腰三角形相似. ×
2014.10
A
AD DE
又
AB A'B'
BC B'C'
，AD = A'B'，
∴
AB AD
BC B'C'
∴
BC DE
BC B'C'
∴
DE
=
B'C'.
D B
∴ △ADE ≌ △A'B'C' . ∴ △ABC ∽△A'B'C' .
E C
1、下面两个三角形是
2.5cm
B
CE
7cm
∴ △ADE ≌△A'B'C'． ∴ △ABC ∽△A'B'C'.
下面两组图形中的两个三角形是否相似？为什么？ A
A
A1
D
30°
C
B C1
B1 E 100°
FB
C
①
②
1. 如图所示： ∠ 1= ∠ 2 = ∠ 3
A
图中相似三角形有_____ △ AED∽△ ADB∽△ ABC
E
1D
√ 2. 判断并说理
当堂训练
1、如图所示，∠1=∠2，则( B )
A △ADE∽ △ABC
A
B △ADE∽ △ACB
D 1E
C △DEA∽ △BCA B 2
C
D △EDA∽ △CBA
哪些线段成比例？
2014.10
当堂训练
2. 如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，那么 在下列比例式中，正确的是（ C ）
A AB OA
A
B C
2题图
A
B
C
D
例题讲解
已知：如图，在△ABC 中，D 是 AC 上一点，∠ CBD 的平 分线交 AC 于点E，且 AE = AB．求证：AE2 = AD ·AC．
课堂小结
相似三角形的判定方法: 两角对应相等，两三角形相似. 三边对应成比例,两三角形相似. 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.
学以致用
挑战自我
如图，正方形ABCD中，E为AB中点，BF＝ 1 BC，那么图中与△ADE相似的三角形有 4 ________.
定理 三 三边成比例的两个三角形相似.
已知：如图，在 △ABC 和△A'B'C' 中，
AB A'B'
BC B'C'
AC A'C'
求证：△ABC ∽ △A'B'C' .
回顾与反思
一、相似三角形的相关概念和性质
三个角对应_______ 三条边对应________的 两个三角形, 叫做相似三角形
相似三角形的三角_______ ，三边 ________ .
相似比等于______的两个三角形全等.
注意：
要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上. 反之,写在对应位置上的字母就是对应角的顶点！ 由于相似三角形与其位置无关,因此,能否弄清对应 是正确解答的前提和关键.
下课了!
4、小组讨论：A、B两点被池塘 隔开,如何测量A、B两点距离呢？ 有哪些方法？为什么?
A B
2014.10
如图：A、B两地被池塘隔开，现要测量出A,B 两地的距离，给你的工具只有皮尺，你能想 办法测量出来吗？
在空地上取一点O，分别连接AO、
BO，并延长,使A0＝DO，BO＝CO， A . 量出CD的长即为A,B两地的距离.
A
B
C
E
知识技能
1．如图，在等边三角形 ABC 中，D，E，F 分别是三边上的点， AE = BF = CD，那么△ABC 与△DEF 相似吗？请证明你的结 论．
知识技能
2．已知：如图， AD DE AE ． AC AB BC
求证：AB = AE.
问题解决
4．如图，在△ABC 中，AB = 8 cm，BC = 16 cm，动点 P 从 点 A 开始沿 AB 边运动，速度为 2 cm/s；动点 Q 从点 B 开始 沿 BC 边运动，速度为 4 cm/s．如果 P，Q 两动点同时运动， 那么何时△PBQ 与△ABC 相似？
达标测试：1、判断下列三角形是否相似
1、
D
A O
2、
B
D
C
A 4 E4 C
B
3、
D
2 2.5
E 3.5 F
A 5
4
B
7
C
2、在△ABC中，D是AC上一点， 要使△ ABD ∽ △ACB至少还需的 条件是____A__B__D__=___C 或ADB= ABC或AD:AB=AB:AC
A
D
C
B
3、如图， DAB =CAE，请补充一个条件 并证明，使△ ABC ∽ △ ADE. D