2019-2020学年四川省凉山州高一下学期期末考试数学(理)试题(解析版)

2019-2020学年四川省凉山州高一下学期期末考试数学（理）
试题
一、单选题
1．如果0a b <<，则下列不等式中成立的为（ ） A ．
1a b
< B ．1ab <- C ．
1a b
> D ．
11a b
< 【答案】C
【解析】利用特殊值排除错误选项，利用差比较法证明正确选项. 【详解】
令2,1a b =-=-，则21a
b
=>，所以A 错误， 令2,1a b =-=-，则11
21,ab a b
=>->，所以BD 选项错误.
由1a a b b b --=，其中0,0a b b -<<，所以10a a b
b b
--=
>，所以1a b >成立. 故选：C 【点睛】
本小题主要考查不等式的性质，考查差比较法，属于基础题.
2．已知2a xi j =+，3b i y j =+（i ，j 不共线），若//a b ，则xy 的值为（ ） A ．6 B ．
2
3
C ．6-
D ．23
-
【答案】A
【解析】由题得,a b λ=化简方程3,2x y λ
λ=⎧⎨=⎩
即得解. 【详解】 因为//a b ，
所以,2(3)a b xi j i y j λλ=∴+=+
所以3,62x xy y
λ
λ=⎧∴=⎨
=⎩. 故选：A 【点睛】
本题主要考查向量平行的表示，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
3．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3a =，3b =，30A =︒，则角B 等于（ ） A ．30° B ．30°或150°
C ．60°
D ．60°或120°
【答案】A
【解析】根据等腰三角形的性质求得B . 【详解】
由于3a b ==，等腰对等角，所以A B 30==︒. 故选：A 【点睛】
本小题主要考查等腰三角形的性质，属于基础题.
4．如图，ABC 中，已知2CD DB =，则AD =（ ）
A ．
12
33
AB AC + B ．
31
44
AB AC C ．
13
44
AB AC D ．
21
33
AB AC + 【答案】D
【解析】利用向量加法、减法和数乘运算确定正确选项. 【详解】
依题意()
1121
3333
AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+. 故选：D 【点睛】
本小题主要考查平面向量加法、减法和数乘运算，属于基础题. 5．不等式
2
1
x x --≥0的解集是( ) A ．［2, +∞） B ．(]
,1-∞∪(2, +∞） C ．(－∞,1) D ．(－∞,1)∪［2,+∞)
【答案】D 【解析】因为不等式2
1
x x --≥0等价于(2)(1)0{1x x x --≥≠，解得可知选(－∞,1)∪［2,+∞)，
选D
6．数列{}n a 满足：13a =，26a =，当2n ≥时，112n n n a a a -+=+，则5a 的值为（ ） A ．12 B ．12-
C ．15
D ．15-
【答案】C
【解析】由递推关系可知是等差数列即可. 【详解】
当2n ≥时，112n n n a a a -+=+，11213n n n n a a a a a a +-∴-=-=
=-=
数列{}n a 是首项为3，公差为3的等差数列，()5351315a =+-⨯= 故选:C 【点睛】
此题为基础题，考查等差数列的含义. 7．判断下列命题：
①两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同； ②若//a b ，则a 与b 的方向相同或相反； ③若//a b 且//b c ，则//a c ； ④若a b =，则2a b >． 其中正确的命题个数为（ ） A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
【答案】B
【解析】根据相等向量、共线向量、零向量等知识确定正确命题的个数. 【详解】
①，两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同，根据相等向量的知识可知①是正确的.
②，若//a b ，则可能b 为零向量，方向任意，所以②错误.
③，若//a b 且//b c ，则可能b 为零向量，此时,a c 不一定平行，所以③错误. ④，向量既有长度又有方向，所以向量不能比较大小，所以④错误. 故正确的命题有1个. 故选：B 【点睛】
本小题主要考查相等向量、共线向量、零向量等知识，属于基础题.
8．如图，底面为正方形的四棱锥P ABCD -中，四条侧棱相等，且PA AB =，E ，F 分别为棱PA 和PC 上的两点，3PE =，6PF =，F 处有只蚂蚁欲沿该正四棱锥的侧面爬行到E 处，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）
A ．35
B ．52
C ．37
D ．9
【答案】C
【解析】根据四棱锥P ABCD -的结构特征， 沿P A ，PC 剪开展成平面时EF 最短，然后在
PEF 中，利用余弦定理求解.
【详解】 如图所示：
因为底面为正方形的四棱锥P ABCD -中，四条侧棱相等，且PA AB =， 所以四棱锥P ABCD -是正四棱锥且所有的棱都相等， 当沿P A ，PC 剪开展成平面，EF 最短，
在PEF 中，3PE =，6PF =，120EPF ∠=︒， 由余弦定理得2222cos EF PE PF PE PF EPF =+-⋅⋅∠ 1936236632⎛⎫
=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭
， 解得 37EF =，
所以蚂蚁爬行的最短距离为故选：C 【点睛】
本题主要考查四棱锥的结构特征以及展开图的应用，还考查了空间想象和转化求解问题的能力，属于基础题.
9．已知正项等比数列{}n a ，向量()3,9a a =-，()9,3b a =，若a b ⊥，则
3537log log a a +，的值为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】D
【解析】根据a b ⊥，得到3927a a =，再根据数列{}n a 是正项等比数列，得到
395727a a a a ==，然后利用对数运算求解.
【详解】
已知向量()3,9a a =-，()9,3b a =， 因为a b ⊥， 所以3927a a =，
又因为数列{}n a 是正项等比数列， 所以395727a a a a ==，
所以35373573log log log log 273a a a a +===， 故选：D 【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积运算以及等等比数列的性质和对数运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
10．医院食堂用两种原料为手术后的病人配制营养食品，甲种原料每1千克含2单位蛋白质和1单位铁质，售价30元；乙种原料每1千克含1单位蛋白质和3单位铁质，售价20元．若病人每餐至少需要3单位蛋白质和4单位铁质，则所需最低费用为（ ） A ．30元 B ．45元
C ．50元
D ．60元
【答案】C
【解析】利用线性规划的知识，结合图象求得最低费用.
【详解】
设购买甲x 千克，购买乙y 千克，则
2334,0x y x y x y +≥⎧⎪
+≥⎨⎪≥⎩
，目标函数3020z x y =+. 画出可行域如下图所示，由图可知，平移基准直线30200x y +=到可行域边界点
()1,1A 时，目标函数z 取得最小值为30120150⨯+⨯=.
故选：
C
【点睛】
本小题主要考查线性规划求最值，属于基础题.
11．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是（ ）
A ．①②④
B ．②③
C ．①②
D ．②③④
【答案】A
【解析】对截面与正方体的侧面与底面的位置关系进行分类讨论，进而可得出截面形状. 【详解】 如下图所示：
当截面平行于正方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 时，截面形状为④； 当截面经过A 、B 、1C 、1D 时，截面形状为②；
当截面经过正方体1111ABCD A B C D -的体对角线时，截面形状可能为①；
对于截面③，截面需经过正方体1111ABCD A B C D -的四个顶点，只可能是A 、B 、1C 、
1D 或1A 、1B 、C 、D 四点，但四边形11ABC D 和四边形11A B CD 不是正方形，
所以，截面形状不可能为③. 故选：A. 【点睛】
本题考查正方体截面形状的判断，要对截面与正方体各面的位置关系进行分类讨论，考查空间想象能力，属于中等题.
12．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数t ，如果t 是偶数，就将它减半（即
2
t
）；如果t 是奇数，则将它乘3加1（即31t +），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.猜想的数列形式为：0a 为正整数，当*n N ∈时，当1n a -为偶数时1
2
n n a a -=
，当1n a -为奇数时131n n a a -=+，则数列{}n a 中必存在值为1的项.若51a =，则0a 的所有不同值的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．5 D ．8
【答案】B
【解析】利用51a =出发，按照规则，逆向逐项即可求解0a 的所有可能的取值. 【详解】
如果按照规则施行变换后51a =， 则变换中的4=2a ，
若变换中的4=2a ，则变换中的3=4a ， 若变换中的3=4a ，则变换中的2a 是1或8，
若变换中的2=8a ，则1=16a ，0=32a 或者0=5a ； 若变换中的2=1a ，则1=2a ，则04a =， 则0a 的所有可能的取值为4，5，32共3个， 故选：B. 【点睛】
本题主要考查了归纳推理的应用，其中解答中正确理解题意，利用变换规则，进行逆向逐项推理、验证是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，试题有一定的难度，属于中档试题.
二、填空题
13．在正项等比数列{}n a 中，3122a a a =+，则该数列的公比q =______． 【答案】2
【解析】将已知条件转化为1,a q ，由此求得q . 【详解】
由3122a a a =+得21112a q a a q =+，即2
20q q --=，解得2q
或1q =-（舍去）.
故答案为：2 【点睛】
本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，属于基础题. 14．已知0a >，0b >，21a b +=，则1a
a b
+的最小值为______. 【答案】4
【解析】把21a b +=代入12a b a
a b a b
+=++，再用基本不等式即可. 【详解】
0a >，0b >，21a b +=，1224a b a
a b a b ∴+=++≥+=，
当且仅当1
3
a b ==时取等. 故答案为：4 【点睛】
本题考查基本不等式求最值，主要考查“1”的妙用，属于基础题型.
15．已知M ，N 为平面区域0401x y x y y -≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
内的两个动点，向量()1,0a =，则MN a ⋅的
最大值是______. 【答案】2
【解析】据题意，由于M ，N 为平面区域0401x y x y y -≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
内的两个动点，则不等式组表
示的为三角形区域，根据向量的数量积，由于MN a MN
a ⋅≤（当且仅当MN 与a 共线同向时等号成立）从而求得最大值. 【详解】
由0401x y x y y -≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
作出可行域，如图
由条件0401x y x y y -≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
可得()()()1,1,2,2,3,1A B C
由图知，不等式组表示的为三角形区域，根据向量的数量积，
由于MN a MN a MN ⋅≤=（当且仅当MN 与a 共线同向时等号成立）， 即当MN 所在直线平行于=(1,0)a 所在直线且方向相同的时候得到大值，
MN 的最大长度为直线=0x y -与1y =的交点(1,1)与直线4=0x y +-和1y =的交
点(3,1)的距离.
22(31)(11)2-+-=， 故答案为：2 【点睛】
解决的关键是对于不等式区域的准确表示，同时能利用向量的数量积来表示得到目标函数，利用a b a b ⋅≤（当且仅当b 与a 共线同向时等号成立）得到结论．属于中档题.
三、双空题
16．某四面体的三视图如图所示，该四面体的体积为______，该四面体的外接球的表面积为______．
【答案】3 22π
【解析】将三视图还原为原图，由此计算出四面体的体积，利用补形的方法，求得四面体的外接球的表面积. 【详解】
由三视图可知，该几何体如下图所示几何体1A ABC -.其体积为11
323332
⨯
⨯⨯⨯=. 将几何体补形为长方体，几何体外接球的直径也即长方体的对角线，设外接球的直径为2R ，
则()2
222232322R =++=，即2422R =.所以外接球的表面积为2422R ππ=. 故答案为：3；22π
【点睛】
本小题主要考查三视图，考查几何体外接球表面积的求法，属于基础题.
四、解答题
17．已知1a =，2b =，()
a b a -⊥． （1）求a b ⋅；
（2）求a b -与b 的夹角． 【答案】（1）1a b ⋅=；（2）
56
π
． 【解析】（1）由()()
0a a b b a a -⇒-⋅=⊥，由此列方程，化简后求得a b ⋅的值. （2）先求得()
a b b -⋅、a b -，由此利用向量的夹角公式，计算出a b -与b 的夹角. 【详解】
（1）因()a b a -⊥，
则()0a b a -⋅=即()
2
0a b a -⋅=，又1a =，
所以1a b ⋅=
（2）设a b -与b 的夹角为θ．
由（1）题与2b =得()()
2
3a b b a b b
-⋅=⋅-=-，
()()()2
2
2
23a b a b a a b b -=
-=-⋅+=，
则()3
cos 2
a b b a b b
θ-⋅=
=--⋅，
[]0,θπ∈
所以56
πθ=
. 【点睛】
本小题主要考查向量垂直的表示，考查向量夹角的计算，属于中档题.
18．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，角A ，B ，C 成等差数列，
2a =．
（1）若1c =，求b ；
（2）若ABC c ． 【答案】（1）b =
（2）2．
【解析】（1）根据A ，B ，C 成等差数列，利用等差中项得到3
B π
=，再由2a =，1c =，
利用余弦定理求解.
（2）根据ABC 2a =，3
B π
=，由1
sin 2
ABC
S
ac B =
=解. 【详解】
（1）因为A ，B ，C 成等差数列，即2B A C =+， 又A B C π++=， 所以3
B π
=
又2a =，1c =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，
解得b =
（2）因为ABC
所以1
sin 2
ABC
S
ac B =
= 又2a =，3
B π
=，
解得2c =. 【点睛】
本题主要考查余弦定理和三角形面积公式的应用以及等差中项的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
19．n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知156a a +=，36S =. （1）求n a 及n S ； （2）设12n n b S =
，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：1
2
n n T n +<
+. 【答案】（1）n a n =，211
22
n S n n =
+；（2）证明见解析. 【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，将已知条件转化为1,a d 关系，利用公式即可求解；
（2）根据{}n b 通项公式有()1111
211
n n b S n n n n ===-++，用裂项相消法求出n T ，即可证明结论. 【详解】
（1）设{}n a 的公差为d ， 由15366a a S +=⎧⎨
=⎩即()11146336
a a d a d ⎧++=⎨+=⎩解得11
1a d =⎧⎨=⎩
所以()11n a a n d n =+-=
()21111
222
n n n S na d n
n -=+
=+ （2）证明：由（1）小题可知：()1111
211
n n b S n n n n ===-++ 则123n n T b b b b =+++⋅⋅⋅
111111
11223341n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
111n =-
+1
n
n =
+ 那么()()
111
021212n n n n T n n n n n ++--
=-=<+++++ 所以1
2
n n T n +<+ 【点睛】
本题考查等差数列的通项公式和前n 项公式基本量的计算，考查裂项相消法求数列和，属于中档题.
20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，若E ，F 分别为AB ，PC 的中点，求证：
（1）//EF 平面PAD ； （2）平面PDC ⊥平面PAD ．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）证明//EF 平面PAD 内的一条直线AM ，即可得答案； （2）证明CD ⊥平面PAD ，再利用面面垂直的判定理证明即可； 【详解】
（1）证明：设M 为PD 的中点，连接MA ，MF （如图）， 则MF 为PDC △的中位线， 所以//MF DC 且1
2
MF DC =
∵四边形ABCD 是正方形，E 为AB 的中点 ∴//AE DC 且1
2
AE DC =
故MF AE //且MF AE =， ∴四边形AEFM 为平行四边形 则//EF AM ，
又因EF ⊄平面PAD ，AM ⊂平面PAD 所以，//EF 平面PAD
（2）证明：∵侧面PAD ⊥平面ABCD ，侧面PCD 平面ABCD AD =
四边形ABCD 为正方形，所以CD AD ⊥ ∵CD ⊂平面ABCD ，∴CD ⊥平面PAD
又∵CD ⊂平面PDC ，所以平面PDC ⊥平面PAD ． 【点睛】
本题考查线面平行判定定理和面面垂直判定定理的运用，考查转化与化归思想，考查空间想象能力.
21．设数列{}n a 满足：()2
1
*123222
n n a a a a n n N -+++⋅⋅⋅+=∈
（1）证明{}n a 是等比数列； （2）设1
n n
n b a +=
，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）证明见解析；（2）2n
n S n =⋅.
【解析】(1)将n -1代入，两式作差得{}n a ，再证明即可； (2)利用错位相减法求和即可.
【详解】
（1）因为2
1
123222
n n a a a a n -+++⋅⋅⋅+= ①
所以2n ≥时，2
1
12312221n n a a a a n --+++⋅⋅⋅+=- ②
由①-②得：121n n a -=，即()1
1
22n n a n -=
≥ 又①中1n =，上述结论也满足.所以，()
*
1
12
n n a n N -=
∈ 2n ∴≥时
11
2
n n a a -=为常数，即数列{}n a 是等比数列； （2）由（1）可知：()1
12
n n b n -=+
则()0
1
2
1
22324212n n S n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅++⋅ ③
③2⨯得：()1
2
1
22232212n n n S n n -=⨯+⋅+⋅⋅⋅+⋅++⋅ ④
③-④得：(
)()121
2222
12
n n
n S n --=+++⋅⋅⋅+-+⋅
()2221212
n n n -=+-+⋅-()2n
n =-⋅
所以，2n
n S n =⋅. 【点睛】
本题考查了等比数列的证明和错位相减法求和，属于中档题.
22．锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c
2sin a B =． （1）求A ；
（2）若1b =，求c 的取值范围． 【答案】（1）3
A π
=
；（2）1,22⎛⎫
⎪⎝⎭
． 【解析】（1
2sin a B =
2sin sin B A B =求解.
（2）由ABC 是锐角三角形， 则222222
b a
c c a b ⎧<+⎨<+⎩
，然后由1b =，3A π
=，利用余弦定理得到221a c c =-+，代入上面不等式组求解. 【详解】
（1
2sin a B =，
2sin sin B A B =， 因sin 0B ≠
，得sin A =
，0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，
得3
A π
=
，
（2）（解法一）因1b =，3
A π
=
，
由余弦定理得：22222cos 1a b c bc A c c =+-=-+， 因为ABC 是锐角三角形，
所以，cos 0
cos 0B C >⎧⎨>⎩，即222222
b a
c c a b ⎧<+⎨<+⎩， 代入得222
121
2c c c c c ⎧<-+⎨<-+⎩
且0c >， 解得：
1
22
c <<， 即c 的取值范围为1,22⎛⎫
⎪⎝⎭
． （解法二）因为1b =，3
A π
=
，
由正弦定理：sin sin b c
B C =得sin sin 3sin sin B C c B B
π⎛
⎫+ ⎪⎝⎭=
=，
所以1
2
c =
+，
又因为02
2032B B πππ
⎧
<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩
，解得,62B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，
则tan 3B ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
，
所以122c <<，即c 的取值范围为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
．
【点睛】
本题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.。