高三数学(文)黄金考点总动员：考点06 基本初等函数(指数函数、对数函数、幂函数、二次函数)(含解析)

2019届高三数学33个黄金考点总动员
考点6 基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数、二次函数）
【考点剖析】
1.最新考试说明：
1.理解指数幂的概念，理解指数函数的单调性，会解决与指数函数性质相关的问题.
2.理解对数的概念及其运算性质，会用换底公式将一般对数转化为自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．
3.理解对数函数的概念，能解决与对数函数性质相关的问题.
4.结合函数y ＝x ，y ＝x 2
，y ＝x 3
，y ＝x ，1
y=x
的图象，了解它们的变化情况． 2.命题方向预测：
1.指数函数的概念、图象与性质是近几年高考的热点．
2.通过具体问题考查指数函数的图象与性质，或利用指数函数的图象与性质解决一些实际问题是重点，也是难点，同时考查分类讨论思想和数形结合思想．
3.高考考查的热点是对数式的运算和对数函数的图象、性质的综合应用，同时考查分类讨论、数形结合、函数与方程思想．
4.关于幂函数常以5种幂函数为载体，考查幂函数的概念、图象与性质，多以小题形式出现，属容易题．
5.二次函数的图象及性质是近几年高考的热点；用三个“二次”间的联系解决问题是重点，也是难点．
6.题型以选择题和填空题为主，若与其他知识点交汇，则以解答题的形式出现. 3.课本结论总结： 指数与指数函数 1．分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a m n
=a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数
指数幂的意义是a
m n
-=
(a >0，m ，n ∈N *
，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分
数指数幂没有意义．
(2)有理指数幂的运算性质：a r a s
＝a
r ＋s
，(a r )s ＝a rs ，(ab )r ＝a r b r
，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q .
2．指数函数的图象与性质
对数与对数函数 1．对数的概念
如果a x
＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中__a __叫做对数的底数，__N __叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则
如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a
M
N
＝log a M －log a N ； ③log a M n
＝n log a M (n ∈R )；④log am M n
＝n
m
log a M . (2)对数的性质
①a log a N ＝__N __；②log a a N
＝__N __(a >0且a ≠1)． (3)对数的重要公式 ①换底公式：log b N ＝
a a log N
log b
(a ，b 均大于零且不等于1)； ②log a b ＝
1
b log a
，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 3．对数函数的图象与性质
二次函数与幂函数
1．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
(2)二次函数的图象和性质
2.幂函数
(1)定义：形如y ＝x α
(α∈R )的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)幂函数的图象比较
(3)幂函数的性质比较
4.名师二级结论：
（1）根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式能够相互转化，通常利用分数指数幂实行根式的化简运算．
（2）指数函数的单调性是由底数a 的大小决定的，所以解题时通常对底数a 按：0＜a ＜1和
a ＞1实行分类讨论．
（3）换元时注意换元后“新元”的范围．
（4）对数源于指数，指数式和对数式能够互化，对数的性质和运算法则都能够通过对数式与指数式的互化实行证明．
（5）解决与对数相关的问题时，(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围． （6）对数值的大小比较方法
化同底后利用函数的单调性、作差或作商法、利用中间量(0或1)、化同真数后利用图象比较． （7）函数y ＝f (x )对称轴的判断方法
1、对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图象关于x ＝
x 1＋x 2
2
对称．
2、对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立的充要条件是函数
y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称(a 为常数)．
5.课本经典习题：
(1)新课标A 版第 70 页，B 组第 2 题
指数函数x
b y a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
的图象如图所示，求二次函数2y ax bx =+的顶点的横坐标的取值范围．错
误！未找到引用源。

【解析】由图可知指数函数x
b y a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
是减函数，所以01b a <<．
而二次函数2
y ax bx =+的顶点的横坐标为122b b
a a
-=-⋅， 所以1022b a -
<-<，即二次函数2y ax bx =+的顶点的横坐标的取值范围是102⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，． 【经典理由】有效把指数函数和二次函数相结合 (2)新课标A 版第 60 页，B 组第 4 题
设31212,,x x y a y a +-==其中0, 1.a a >≠且确定x 为何值时，有：
12;(1)y y = 12(2).y y >
【解析】（1）3x +1=-2x 时，得x =-
1
5
; (2)1a >时，x y a =单调递增，因为12y y >，得3x +1>-2x 得x >-1
5
, 01a <<，x y a =单调递减，因为12y y >，得3x +1<-2x 解得x <-15
． 【经典理由】根据a 的取值实行分类讨论 (3)新课标A 版第 72 页，例8 比较下列各组数中两个数的大小： （1）log 2 3 . 4 与 log 2 8 . 5； （2）log 0 . 3 1 . 8 与 log 0 . 3 2 . 7； （3）log a 5 . 1 与 log a 5 . 9 (0a >且1a ≠)．
【解析】（1）∵ y = log 2 x 在 ( 0 , + ∞) 上是增函数且 3 . 4＜8 . 5， ∴ log 2 3 . 4 ＜ log 2 8 . 5 ；
（2）∵ y = log 0 . 3 x 在 ( 0 , + ∞)上是减函数且 1 . 8＜2 . 7， ∴log 0 . 3 1 . 8＞log 0 . 3 2 . 7；
（3）解：当1a >时，∵ y = log a x 在( 0 , + ∞) 上是增函数且5 . 1＜5 . 9， ∴ log a 5 . 1<log a 5 . 9，
当0＜a ＜1时，∵ y = log a x 在 ( 0 , + ∞) 上是减函数且5 . 1＜5 . 9， ∴ log a 5 . 1＞log a 5 . 9 ．
【经典理由】以对数函数为载体，考查对数运算和对数函数的图象与性质的应用 (4)新课标A 版第 822 页，A 组第10题
已知幂函数()y f x =的图象过点22
（，，试求出此函数的解析式，并作出图像，判断奇偶性、单调性．
【分析】根据幂函数的概念设()n
f x x =，将点的坐标代入即可求得n 值，从而求得函数解析式．要判断函数的奇偶性我们能够根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，判断函数图象在（0，+∞）的单调性，进而画出函数的图象．
【解析】设()n f x x =,因为幂函数()y f x =的图象过点2（,
1
22
n n ∴∴=-， 这个函数解析式为 1
2
y x -=．
定义域为（0，+∞），它不关于原点对称， 所以，y =f （x ）是非奇非偶函数．
当x ＞0时，f （x ）是单调减函数，函数的图象如图．
【经典理由】本题通过待定系数法求幂函数解析式、解指数方程的解法、奇（偶）函数性、幂函数图象考查学生对幂函数相关知识的掌握水准和对知识的综合应用水平 6.考点交汇展示：
(1)基本初等函数与集合交汇
例1【2019年普通高等学校招生全国统一考试（长郡中学高三入学考试）】已知集合
{|A x y ==，{|1}B x a x a =≤≤+，
若A B A =，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,3][2,)-∞-+∞ B ．[1,2]- C ．[2,1]- D ．[2,)+∞ 【答案】C
例2【湖南省长沙市长郡中学2019届高三摸底考试】已知集合2
{|230}A x x x =--≤，
{|ln(2)}B x y x ==-，则A B =（ ）
A ．(1,3)
B ．(1,3]
C ．[1,2)-
D ．(1,2)- 【答案】C
【解析】由题意{|13}A x x =-≤≤，{|20}{|2}B x x x x =->=<，所以
{|12}A B x x =-≤<．故选C ．
(2)基本初等函数与基本不等式交汇
例1【2019高考新课标3理数】已知43
2a =，25
4b =，13
25c =，则（ ） （A ）b a c << （B ）a b c << （C ）b c a << （D ）c a b << 【答案】A
【解析】因为4223
3
5
244a b ==>=，1223
3
3
2554c a ==>=，所以b a c <<，故选A ． 例2【山西省长治二中、临汾一中、康杰中学、晋城一中2019届高三第一次联考】已知函数
()()
x x x x x f ++++=1ln sin 22，若不等式()()3393-⋅+-x x x m f f < 0对任意R ∈x 均成
立，则m 的取值范围为（ ）
A. ()132,-∞-
B. ()132,+-∞-
C. ()132,132-+-
D. ()
∞++-，132 【答案】A
【考点分类】
热点1 指数函数、对数函数
1.设a ，b 都是不等于1的正数，则“333a b
>>”是“log 3log 3a b <”的 （ ）
（A ）充要条件 （B ）充分不必要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】
若333a b
>>，则1a b >>，从而有log 3log 3a b <，故为充分条件. 若log 3log 3a b <不一
定有1a b >>，比如.1
,33
a b =
=，从而333a b >>不成立.故选B. 2. 函数()()
212
log 4f x x =-的单调递增区间为( )
A ．(0，＋∞)
B ．(－∞，0)
C ．(2，＋∞)
D ．(－∞，－2) 【答案】Ｄ
3.已知13
2
a -
=，2
1211
log ,log 33
b c ==，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>
【答案】C
【解析】1
3
2
122
11
02
21,log 0,log log 31,33a b c -<=<==<==>所以c a b >>，故选C . 【方法规律】
1.求解与指数函数相关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这个性质分析判断，最终将问题归纳为内层函数相关的问题加以解决．
2.对数式的化简与求值的常用思路(1)先利用幂的运算把底数或真数实行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并．
(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.
3．比较对数值大小时若底数相同，构造相对应的对数函数，利用单调性求解；若底数不同，能够找中间量，也能够用换底公式化成同底的对数再比较．
4．利用对数函数的性质，求与对数函数相关的复合函数的值域和单调性问题，必须弄清三方面的问题，一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的． 【解题技巧】
1.图像题要注意根据图像的单调性和特殊点判断
2.指数形式的几个数字比大小要注意构造相对应的指数函数和幂函数
3．判断指数函数图象上底数大小的问题，能够先通过令x ＝1得到底数的值再实行比较． 4．指数函数y ＝a x
(a>0，a ≠1)的性质和a 的取值相关，一定要分清a>1与0<a<1. 5．对和复合函数相关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成． 【易错点睛】
1.求解复合函数的单调性要注意“同增异减”的应用
2.涉及到对数函数的运算是要首先考虑其定义域
3.恒成立问题一般与函数最值相关，要与方程有解区别开来．
4.复合函数的问题，一定要注意函数的定义域．
5.对可化为a 2x
＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x
＋c ≥0 (≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围.
6.在运算性质log a M α
＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M ＞0的条件下应为log a M α
＝αlog a |M |(α∈N ＋，且α为偶数)．
7.解决与对数函数相关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值
例1设a ＞0且a ≠1，函数f (x )＝a lg(x 2
－2x ＋3)
有最大值，则不等式log a (x 2
－5x ＋7)>0的解集为
________．
【答案】{x |2＜x ＜3}
【解析】∵函数y ＝lg(x 2
－2x ＋3)有最小值，f (x )＝a lg(x 2
－2x ＋3)
有最大值，∴0＜a ＜1.
∴由log a (x 2
－5x ＋7)>0，得0＜x 2
－5x ＋7＜1， 解得2＜x ＜3.
∴不等式log a (x 2
－5x ＋7)>0的解集为{x |2＜x ＜3}．
【易错点】指数函数和对数函数中注意讨论底数a 的大小，复合函数的单调性往往也和a 的取值相关
热点2 幂函数、二次函数
1.已知函数()()2
2,2,
2,2,
x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是( )
（A ）7,4⎛⎫+∞
⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）7,24⎛⎫
⎪⎝⎭
【答案】D
【解析】由()()2
2,2,2,2,
x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0
(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩， 所以22
2,0
()(2)42,0222(2),2
x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪
=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩，
即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪
=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩
()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--,所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程 ()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象
的4个公共点，由图象可知
7
2
b <<.
2.已知函数2
()1f x x mx =+-，若对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <，则实数m 的取值范围为 . 【答案】(2
-
3.若2
13
2)(x x x f -=，则满足0)(<x f 的x 取值范围是 . 【答案】(0,1)
【解析】根据幂函数的性质，因为12
23
<，所以当01
x
<<时
21
32
x x
<，当1
x>时，
21
32
x x
>，
所以()0
f x<的解集为(0,1).
【方法规律】
1.二次函数在闭区间上的最值与抛物线的开口方向、对称轴位置、闭区间三个要素相关；
2.常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解，在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得最值.二次函数、二次方程、二次不等式之间能够相互转化．一般规律(1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．(2)在研究一元二次不等式的相关问题时，一般需借助于二次函数的图象、性质求解．
3.幂函数y＝xα的图象与性质因为α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查
(1)α的正负：α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．
(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸；0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸．
4．二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律：
(1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从：
①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．
(2)在研究一元二次不等式的相关问题时，一般需借助于二次函数的图象、性质求解．
5．幂函数y＝xα(α∈R)图象的特征
α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．
【解题技巧】
1.做二次函数类型题是注意数形结合的应用，画出函数的草图能协助我们理清思路
2.二次函数中如果含有参数，往往要实行分类讨论
3.对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a ≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况．
4.幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.
【易错点睛】
1.注意幂函数与指数函数的联系与区别
2.幂函数的增减与α的关系
3.对于函数y ＝ax 2
＋bx ＋c ，要认为它是二次函数，就必须满足a ≠0，当题目条件中未说明a ≠0时，就要讨论a ＝0和a ≠0两种情况．
例 如图是函数m n
y x =(m 、n ∈N *
，m 、n 互质)的图象，则下列判断准确的是________．
①m 、n 是奇数，且
m
n
＜1 ②m 是偶数，n 是奇数且
m
n ＞1 ③m 是偶数，n 是奇数且
m
n ＜1 ④m 是奇数，n 是偶数且
m
n
＞1
解析：将分数指数式化为根式由定义域为R ，值域为上是偶函数,其图象关于y 轴对称,因为2
2
(2)8,081f e e =-<-<,所以排除,A B 选项；当[]0,2x ∈时,4x
y x e '=-有一
零点,设为0x ,当0(0,)x x ∈时,()f x 为减函数,当0(,2)x x ∈时,()f x 为增函数．故选D.
5.已知函数⎩⎨⎧≥-<+--=)
0)(1()
0(2)(2x x f x a x x x f ,且函数x x f y -=)(恰有3个不同的零点,则实
数a 的取值范围是（ ）
A. ),0(+∞
B. )0,1[-
C. ),1[+∞-
D. ),2[+∞- 【答案】C
【解析】222(1)1y x x a x a =--+=-+++，其顶点为(1,1)A a -+，点(0,1)C a +在函数图象上，而点(0,)B a 不在函数图象上.结合图形可知，当1a ≥-，函数x x f y -=)(恰有3个不同的零点.
–4–5
已知函数是定义在实数集为周期的偶函数，当
时，
.
若直线的图像在内恰有两个不同的公共点，则实数的值是
或
或或
7.设函数32
()log x f x a x
+=-在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3(1,log 2)-- B ．3(0,log 2) C ．3(log 2,1) D ．3(1,log 4)
【答案】C
【解析】∵单调函数32
()log x f x a x
+=-在区间（1，2）内有零点， ∴f （1）•f （2）＜0
又a a f a a f -=-+=-=-+=2log 2
2
2log )2(,1121log )1(333
则0)2(log )1(3<-⋅-a a 解得12lo g 3<<a ，故选C ．
8.函数()12
2log 1x
f x x =-的零点个数为（ ）
A.1
B.2
C. 3
D.4 【答案】B.
【解析】令()0f x =，则1
2
2l o g
10x
x -=，即1
2
1l o g
()
2x
x =，如图，分别作出12
()|log |g x x =与1()()2
x
h x =的图象，则可知有两个交点，即零点个数为两个
.
9. 【2019高考浙江理数】已知a >b >1.若log a b +log b a =52
，a b =b a
，则a = ，b = . 【答案】4，2.
10.设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0
,0
,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是______.
【答案】a ≤
【解析】由题意()()()2
2
f a f
a f a <⎧⎪⎨
+≤⎪⎩，或()()2
2
f a f a ≥⎧⎪⎨
-≤⎪⎩，解得()2f a ≥-，当202a a a <⎧⎨+≥-⎩或2
2a a ≥⎧⎨-≥-⎩
，解得2a ≤． 11.已知函数()()1,01
12log ≠>+--=a a x mx
m x f a 是奇函数，则函数()x f y =的定义域为
【答案】(1,1)- 【解析】
本题定义域不确定，不要用奇函数的必要条件(0)0f =来求参数m ，而就根据奇函数的定义有()()0f x f x +-=，即2121log log 011
a
a m mx m mx
x x ---++=+-+，化简得
22(1)4(1)m x m m -=-恒成立，所以1m =，则1()log 1a
x f x x -=+.由
101
x
x ->+，解得11x -<<.
12.已知32,(),x x a
f x x x a
⎧≤=⎨>⎩，若存有实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值
范围是 . 【答案】(,0)(1,)-∞⋃+∞.
13.已知函数x x f 2)(=，ax x x g +=2
)(（其中R a ∈）.对于不相等的实数21,x x ，设
2121)()(x x x f x f m --=
，2
121)
()(x x x g x g n --=.现有如下命题：
（1）对于任意不相等的实数21,x x ，都有0>m ；
（2）对于任意的a 及任意不相等的实数21,x x ，都有0>n ； （3）对于任意的a ，存有不相等的实数21,x x ，使得n m =； （4）对于任意的a ，存有不相等的实数21,x x ，使得n m -=. 其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）. 【答案】①④ 【解析】
设11221122(,()),(,()),(,()),(,())A x f x B x f x C x g x D x g x . 对（1），从2x y =的图象可看出，0AB m k =>恒成立，故准确. 对（2），直线CD 的斜率可为负，即0n <，故不准确.
对（3），由m=n 得1212()()()()f x f x g x g x -=-，即1122()()()()f x g x f x g x -=-. 令2()()()2x h x f x g x x ax =-=--，则()2ln 22x
h x x a '=--.
由()0h x '=得：2ln 22x x a =+，作出2ln 2,2x y y x a ==+的图象知，方程2ln 22x x a =+不一定有解，所以()h x 不一定有极值点，即对于任意的a ，不一定存有不相等的实数21,x x ，使得12()()h x h x =，即不一定存有不相等的实数21,x x ，使得n m =.故不准确. 对（4），由m=－n 得1221()()()()f x f x g x g x -=-，即1122()()()()f x g x f x g x +=+. 令2()()()2x h x f x g x x ax =+=++，则()2ln 22x h x x a '=++.
由()0h x '=得：2ln 22x
x a =--，作出2ln 2,2x y y x a ==--的图象知，方程
2ln 22x x a =--必一定有解，所以()h x 一定有极值点，即对于任意的a ，一定存有不相等的
实数21,x x ，使得12()()h x h x =，即一定存有不相等的实数21,x x ，使得m n =-.故准确. 所以（1）（4）
14.已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈，记(,)M a b 是|()|f x 在区间[1,1]-上的最大值. （1）证明：当||2a ≥时，(,)2M a b ≥；
（2）当a ，b 满足(,)2M a b ≤，求||||a b +的最大值. 【答案】（1）详见解析；（2）3.。