反比例函数中k的几何意义及应用.

反比例函数中k的几何意义及应用.
例析反比例函数中k 的几何意义及应用
陆智勇
(云南省广南县篆角初级中学邮编：663312 电话：135********) 反比例函数中k 的几何意义就是反比例函数图象上的任意一点的横坐标与纵坐标的乘积都等于比例系数K 的值，如图①所示.过P 作x 轴、y 轴的垂线PA 、PB ，垂足为A 、B ，连结OP,则有（１）AOBP S 矩形=PA ·PB=|y|·|x|=|xy|=|k|；（２）
K PA OA S S BOP AOP 2
1
21=?=
=??.能灵活运用这两个结论解有关反比例函数的问题，会给解题带来很多方便。

现
略举说明。

一、求交点坐标和面积
例1如图②，已知反比例函数与x
y 8
-=一次函数
2+-=x y 的图象交于Ａ、Ｂ两点。

（１）求Ａ，Ｂ两点的坐标；（２）求△ＡＯＢ的面积。

图②
+-=-=.
2,8)1(:x y x y 联立解??
=-=-==.4,
2;2,4y x y x 或解得).
2,4(),4,2(--∴B A ).
0,2(,2,0,2:
)2(M x y x y ==+-=时当解法一
二、比较面积的大小
例2如图⑤，在χχ
(1
=
y ＞0）的图像上有三
点A,B,C,经过三点分别向χ轴引垂线，交χ轴于111,,C B A 三点，连接OA ，OB ，OC ，记△,1OAA △,1OBB △,1OCC 的面积分别为,,,321S S S 则有 .
.
642=+=+=∴OAM OMB AOB S S S .
,D x BD C x AC 轴于轴于作⊥⊥,
2,4==BD AC ,2222
1
21=??=??=∴?BD OM S OMB .
4422
1
21=??=??=?AC OM S OMA ). 2,0(,2,0,2:
)2(N y x x y ==+-=时当解法二
图⑤
.2=∴ON .,D y BD C y AC 轴于轴于作⊥⊥,4,2==BD AC ,4422 1
21=??=??=∴?BD ON S ONB
.
22221
21=??=??=?AC ON S ONA .624=+=+=∴O NA O NB AO B S S S
A.S 1 = S 2 = S 3
B. S 1 < S 2 < S 3
C. S 3 < S 1 < S 2
D. S 1 > S 2 >S 3 解:由性质(1)得
三、确定解析式
例3如图⑥，反比例函数K x
K
y (=
﹤0) 的图象经过点A （,3-m ），过A 作AB ⊥χ轴于点
B ，.3=?AO B S （1）求K 和m 的值.
(2)若过A 点的直线y=a χ+b 与χ轴交于点C ，且∠ACO=30, 求直线的解析式.
解: (1)由性质(2)得
,2
1
K S AOB =
∴.213K =
.
,,21
||21,2
1||21,21||21321111
A S S S k S k S k S OOC BO
B AOA 故选即========.32=K ,
图像在二、四象限又 .
32-=∴K .
3
2χ
-
=∴y 解析式为得
代入，把（χ
3
2)3-
=-y m 图⑥
(2)①连接，2AC 则在Rt △AB 2C 中，
∵AB=2，∠A 2C O=30,
.32,422==∴BC AC
.322=-=∴BO BC OC ).0,32的坐标为（C ∴
得）代入，（和（把b a y A C +=-χ23)0,32
② 连接，1AC 则在Rt △AB 1C 中，
∵AB=2，∠A 1C O=30,
.32,411==∴BC AC
.3311=+=∴BO BC OC ).0,331-∴的坐标为（C
.13
3+-
=∴χy 解析式为
=+-=+.
23,03)1(:b a b a 解??
=-
=.
1,33
b a 解方程组得.
2=m
得）代入，（
和（把b a y A C +=--χ23)0,331
四、求函数值
例4两个反比例函数χ
χ
6
,3
==
y y 在第一象限内的图象如图⑦所示,
2005321...,P P P P ，
点在反比例函数χ
6
=y 的图象上，它们的横坐标分别是
,...,2005321χχχχ，纵坐标分别是1，3，5
，…,共2005个连续奇数, 2005321...,P P P P ，过点分别作y 轴的平行线，χ
3
=
y 与的图象的交点依次
),,(),,(),,(332222111y Q y Q y Q χχχ …, ),,(200520052005χχQ 则=2005y .
解: 2005321...,P P P P ，
点在反比例函数χ
6
=y 的图
象上，它们的纵坐标分别取1,3,5…,4009时相应的横坐标分别
=+-=+-.
23,033b a b a ??
==
.3,3
3
b a 解方程组得.
33
3+=
∴χy 解析式为图⑦
图⑧
为,4009
6
,...,
56,36,16),,(),,(),,(332222111y Q y Q y Q χχχ…, ),,(200520052005χχQ 函数的图象上，χ
3
=
y 且这些点的横坐标分别与点2005321...,P P P P ，
横坐标相同, 的点2005Q 横坐标是
.40096所以的点2005Q 纵坐标是=2005y χ
3
=.24009
4009
63= 五、确定K 的取值范围
例5如图⑧所示，已知一次函数8+-=χy 和反比例函数χ
K
y =(K ≠0)的图
象在第一象限内有两个不同的公共点A 、B.
(1)求实数K 的取值范围;
(2)若△AOB 的面积S=24,求K 的值.
.082=+-k χχ依据题意得
△=64-4K ＞0,∴K ＜16.
设两公共点的坐标为).y ,(),y ,(2211χχB A 又1χ＞0, 2χ＞0,∴1χ+2χ=8＞0, 1χ2χ=K ＞0. ∴实数K 的取值范围为0＜K ＜16.
(2)在y=-χ+8中，令χ=0，得y=8，∴OC=8.
(42
1
2112=?-?=
-=χχOC OC S S S COA COB AOB 2χ-1χ) =.2446444)(421221=-=-+K χχχχ
得消去联立解y K
y y ??
=+-=.,8)1(:χχ
∴.6464=-K ∴K=7.
六、确定自变量χ的取值范围
例6如图⑨是一次函数和b K y +=χ1和反比例函数χ
m
y =2的图象，观察图
象写出1y ＞2y 时，χ的取值范围 .
解:由图⑨得
y ＞2y ，
χ
m
y =
2的图象在一、三象限，
∴第三象限χ的取值范围为-2＜χ＜0.
第一象限χ的取值范围为χ＞3.
∴图象1y ＞2y 时，χ的取值范围为-2＜χ＜0或χ＞3. 七、求点的坐标
例7如图⑩所示，正方形OABC 、正方形ADEF 的顶点A 、D 、
C 在坐标轴上，点F 在AB 上，点B 、E 在函数χ
1
=y （χ＞0）的图象上，则点E 的坐标
是（）.
的增大而增大，随χ1y .2的增大而增小随χy M ＞0 图⑨
)21
5,215.(
-+A )25
3,253.(
-+B )2
1
5,215.(
+-C )2
53,253.(
+-D 解：连接OB ，则.1,12
1
21==∴?=?=?AOB AB OA AB OA S
连接OE ，则,12
1
21?=?=?O DE OD S DE 设则,a AD DE == ,01,1)12=-+=+a a a a 即（=
1a 解得.(2
1
5,2152舍去）--=-a .2
5
12151,215+=-+=+=-=
∴AD OA OD DE ∴点E 的坐标是).2
1
5,215(
-+
图⑩。