九年级数学上册《第二十二章 相似》单元测试卷及答案(沪科版)

九年级数学上册《第二十二章 相似》单元测试卷及答案(沪科版)
班级 姓名 学号
一、选择题
1．已知线段a 、b 、c 、d 是成比例线段，如果1a =，2b =与3c =，那么d 的值是（ ）
A ．8
B ．6
C ．4
D ．1
2．下列两个三角形不一定相似的是（ ）．
A ．有一个内角是50︒的两个直角三角形
B ．有一个内角是50︒的两个等腰三角形
C ．两条直角边的比都是23：的两个直角三角形
D ．腰与底的比都是23：的两个等腰三角形
3．如图DE BC ，EF
AB 则下列比例式中错误的是（ ）
A ．
DE AE
BC EC
= B ．
EF CE
AB CA
= C ．
CE CA
CF CB
= D ．
AD AE
AB AC
= 4．如图，△ABC 与△DEF 是位似图形，且位似中心为O ，OB ：OE ＝2：3，若△ABC 的面积为4，
则△DEF 的面积为（ ）
A ．2
B ．6
C ．8
D ．9
5．如图，点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，若AD ：BD =2：1，点G 在DE 上，DG ：GE =1：
2，连接BG 并延长交AC 于点F ，则AF ：EF 等于（ ）
A ．1：1
B ．4：3
C ．3：2
D ．2：3
6．如图，点P 在ABC 的边AC 上，要判断ABP ACB ∽，添加下列一个条件，错误的是
（ ）
A ．ABP C ∠=∠
B ．
AP BP
AB BC
= C ．
AP AB
AB AC
= D ．APB ABC ∠=∠
7．如图，ABC 中，点D 在BC 边上EF BC ，分别交AB ，AC ，AD 于点E ，F ，G ，图中相似
三角形共有（ ）．
A ．0对
B ．1对
C ．2对
D ．3对
8．如图，在Rt ABC 中90BAC ∠=︒，AB=1和22AC =D ，E 分别是边BC ，AC 上的动
点，则DA DE +的最小值为( )
A ．8
9
B ．
169
C ．
29
D ．
2
9
9．如图，在ABC 中9034ABC AB BC ∠=︒==，，，点D 在边AC 上，且BD 平分ABC 的周
长，则BD 的长是（ ）
A 5
B 6
C ．
5
5
D ．
36
4
10．如图，ABC 与DEF 位似，位似中心为点O .若ABC 的周长与DEF 的周长比为
4
9
，则AO DO ：的值为（ ）
A ．23：
B ．25：
C ．45：
D ．49：
二、填空题
11．若25x y =，则
2x y
x
+= . 12．如图，在ABC 中，点D ，E 分别为边AB ，AC 上的点，试添加一个条件： ，
使得ADE 与ABC 相似．（任意写出一个满足条件的即可）
13．如图，在一个面积为224cm 的等边三角形纸片中，取三边的中点，以虚线为折痕折叠纸片，图
中阴影部分的面积为 2cm .
14．如图，在平面直角坐标系中，已知A(1，0)，B(2，1)，D(3，0)，△ABC 与△DEF 位似，原点O
是位似中心，则E 点的坐标是 .
三、解答题
15．如图，正方形ABCD 的对角线交于点O ，BAC ∠的平分线交BD 于G ，交BC 于F ，求证：
1
2
OG CF =.
16．如图，在ABC 中84BC AC ==，，D 是BC 边上一点，2CD =求证ABC DAC ∽.
17．西安钟楼位于西安市中心，明城墙内东西南北四条大街的交汇处，为中国现存钟楼中形制最
大、保存最完整的一座．如图，小琪想要测出钟楼AB 的高度，于是在地面上的C 处放置了一面镜子，当他站在离镜子C 处1.2m 的E 处时，恰好从镜子里看到钟楼顶端A 在镜子中的像（即DCE ACB ∠=∠）
．已知B ，C ，E 在同一直线上，小琪的眼睛离地面的高度 1.5m DE = 28.8m BC =求钟楼AB 的高度．
四、综合题
18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数-5y x =+的图象与函数(0)k
y k x
=
<的图象相交于点A ，并与x 轴交于点C ，S △AOC =15．点D 是线段AC 上一点，CD ：AC=2：3．
（1）求k 的值； （2）求点D 的坐标；
（3）根据图象，直接写出当0x <时不等式
5k
x x
+>的x 的解集． 19．如图，函数2y x bx c =-++的图象经过点()0A m ，
，()0B n ，两点，m ，n 分别是方程2230x x --=的两个实数根，且m n <．
（1）求m ，n 的值以及函数的解析式；
（2）设抛物线2y x bx c =-++与x 轴的另一个交点为C ，抛物线的顶点为D ，连接AB ，BC ，BD ，CD ．求证：BCD OBA ∽；
（3）对于(1)中所求的函数2y x bx c =-++，当03x ≤≤时，求函数y 的最大值和最小值．
20．如图，Rt ABC 的直角顶点B 在x 轴正半轴上，斜边AC 在y 轴上．线段OA 、OB 的长是方程
27120x x -+=的两个根．
（OA OB <）
（1）求证：AOB BOC ∽ （2）求点C 坐标
（3）点M 在坐标轴上，平面内是否存在点N ，使以点A 、B 、M 、N 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合题意的点N 坐标；若不存在，请说明理由．
21．如图，在直角坐标系中，△ABC 各顶点的坐标分别为A(-1，1)，B(2，3)，C(0，3).
（1）以原点O 为位似中心，在x 轴上方作△ABC 的位似图形，A B C A B C ''''''，与△ABC 的相
似比为2：1，点A 、B 、C 的对应点分别为A B C '''、、；
（2）在(1)的条件下，写出点A '的坐标.
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意得：a b c d =：：
即123d =：： 解得6d =． 故答案为：B ．
【分析】 若线段a 、b 、c 、d 是成比例线段，可得a b c d =：：，据此解答即可.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：A 、有一个内角是50°的直角三角形一定相似，故A 不符合题意；
B 、有一个顶角是50°的等腰三角形与有一个底角是50°的等腰三角形不相似，故B 符合题意；
C 、两条直角边的比都是2：3的两个直角三角形一定相似，故C 不符合题意；
D 、腰与底的比都是2：3的两个等腰三角形一定相似，故D 不符合题意. 故答案为：B.
【分析】根据相似三角形的判定定理逐项进行判断，即可得出答案.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：∵DE BC EF
AB
∴△ADE ~△ABC ，△CEF ~△CAB ∴
EF CE CF AB CA CB == AD AE DE
AB AC BC
== 故答案为：A.
【分析】利用相似三角形的判定与性质计算求解即可。

4．【答案】D
【解析】【解答】解：∵△ABC 与△DEF 是位似图形， OB ：OE ＝2：3
∴S △ABC ：S △DEF =(2：3)2=4：9 ∵△ABC 的面积为4 ∴S △DEF =9 故答案为：D ．
【分析】根据位似图形的性质可得S △ABC ：S △DEF =(2：3)2=4：9，再结合△ABC 的面积为4，即可得到S △DEF =9。

5．【答案】C
【解析】【解答】解：
作DH//BF 交AC 于H
21DH BF AH HF AD DB ∴==，：：：
设HF=a ，则AH=2a
12FG DH FH EF DG EG ∴==，：：：
23EF a AF a ∴=∴=， 3232AF EF a a ∴==：：：
故答案为C
【分析】作平行线，利用相似三角形等比例关系即可求出答案。

6．【答案】B
【解析】【解答】解：A.当ABP C ∠=∠时，又
A A ∠=∠
ABP ACB ∴∽故此选项不符合题意；
B.
AP BP
AB BC =但不知夹角是否相等，不能证明ABP ACB ∽，故此选项符合题意； C.当AP AB
AB AC
=时，又A A ∠=∠ ABP ACB ∴∽故此选项不符合题意；
D.当APB ABC ∠=∠时，又A A ∠=∠
ABP ACB ∴∽故此选项不符合题意；
故答案为：B ．
【分析】利用相似三角形的判定方法逐项判断即可。

7．【答案】D
【解析】【解答】解：图中共有三对相似三角形，理由如下：
EF BC EF 分别交AB 、AD 和AC 于点E 、F 、G
AEG ABD ~∴，AGF ADC ~和AEF ABC ~．
故答案为：D ．
【分析】根据平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得答案。

8．【答案】B
【解析】【解答】解：作点A 关于线段BC 的对称点A′，连接AA′，交BC 于点F ，过点A′作
A′E△AC 于点E ，交BC 于点D
∴AD=A′D ，AF=A′F ，A′E 最短
∴AD+DE=A′D+DE=A′E ，此时AD+DE 的值最小，最小值就是A′E 的长； 在Rt△ABC 中()
2
222
122
3BC AB AC =+=+=
∴11
22
ABC
S
AB AC AF BC =
⋅=⋅ ∴1223AF ⨯= 解之：22
3
AF =
∴2
3
AA '=
； ∵△C+△FAC=90°，△A′+△FAC=90° ∴△A′=△C
∵△AEA′=△BAC=90° ∴△A′AE△△CBA
∴AA A E
BC AC
''=即42
3322
= 解之：169
A E '=
. ∴DA+DE 的最小值就是169
. 故答案为：B
【分析】作点A关于线段BC的对称点A′，连接AA′，交BC于点F，过点A′作A′E△AC于点E，交BC于点D，利用垂线段最短可知A′E的值最小，利用对称点的性质可知AD=A′D，AF=A′F，A′E 最短，同时可证得此时AD+DE的值最小，最小值就是A′E的长；利用勾股定理求出BC的长，利用同一个直角三角形的面积不变，可求出AF的长，即可得到A′A的长；再证明△A′AE△△CBA，利用相似三角形的对应边相等，可求出A′E的长.
9．【答案】C
【解析】【解答】解：∵△ABC=90°，AB=3，BC=4
∴22
AB BC
+
∴△ABC的周长为3+4+5=12.
∵BD平分△ABC的周长
∴AB+AD=BC+CD=6
∴AD=3，CD=2.
作DE△BC于点E
∴AB△DE
∴△CDE△△CAB
∴DE CD CE AB AC CB
==
∴
2
354 DE CE
==
∴DE=6
5
，CE=
8
5
∴BE=12 5
∴22
BE DE
+
5 5
.
故答案为：C.
【分析】由勾股定理可得AC=5，则△ABC的周长为3+4+5=12，根据BD平分△ABC的周长可得AB+AD=BC+CD=6，据此可得AD、CD的值，作DE△BC于点E，则AB△DE，根据平行于三角形
一边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似可得△CDE△△CAB ，利用相似三角形的性质可得DE 、CE ，然后求出BE ，再利用勾股定理计算即可.
10．【答案】D
【解析】【解答】解：∵△ABC 与△DEF 位似，位似中心为点O ，∴△ABC△△DEF ，AB ：DE=OA ：
DO ，△ABC 的周长与△DEF 的周长比为4
9
，∴AB ：DE=4：9，∴AO ：DO=4：9. 故选：D.
【分析】由位似的性质可得△ABC△△DEF ，AB ：DE=OA ：DO ，然后根据相似三角形的性质可求解.
11．【答案】4.5 【解析】【解答】解：
25
x y
= ∴
52y x = ∴2x y x +
2y x =+
522=+
9
4.52==. 故答案为：4.
5.
【分析】由
2x y x +2y
x =+，然后整体代入计算即可. 12．【答案】
AD AE
AB AC
= 【解析】【解答】解：根据题意，添加条件
AD AE
AB AC
= =A A ∠∠
∴ADE ~ABC
故答案为：
AD AE
AB AC
=．
【分析】利用相似三角形的判定方法求解即可。

13．【答案】9
【解析】【解答】解：如下图所示
∵D、E、F为△ABC三边中点∴DE//CB
∴△ADE△△ABC
∴S△ADE=1
4
S△ABC.
设S△ADE=a，则S△ABC=4a
∴阴影面积=1
2
（4a-a）=
3
2
a
∴阴影部分的面积是整个图形面积的3
3 2
48 a
a
∵S△ABC=24cm2
∴阴影面积=24×3
8
=9cm2
故答案为：9.
【分析】如图，由中位线定理可知S△ADE=1
4
S△ABC，设S△ADE=a，则S△ABC=4a，可计算出阴影部分的
面积是整个图形面积的3
8
，最后由S△ABC=24cm2即可计算出阴影部分的面积.
14．【答案】（6，3）
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】
15．【答案】证明：过O作OP CF交AF于点P
∵正方形ABCD 的对角线交于点O ，且OP CF
∴90ABC ∠=︒，AO CO =和45OBC POB BAC ∠=∠=∠=︒ ∵BD 是BAC ∠的平分线 ∴22.5BAF ∠=︒ ∴67.5BFA ∠=︒ ∵OP CF
∴67.5BFA OPF ∠=∠=︒ 在OGP 中
1804567.567.5OGP ∠=︒-︒-︒=︒
∴OGP OPF ∠=∠ ∴OP OG =
∵AO CO = OP CF
∴1AP AO
PF CO ==
∴AP PF =
∴12OP CF
= ∴12OG CF
=
【解析】【分析】过点O 作OP△CF ，交AF 于点P ，利用正方形的性质可证得△ABC=90°，
AO=CO ，△OBC=△POB=△BAC=45°，利用角平分线的定义可求出△BAF 及△BFA 的度数，利用平行线的性质可求出△OPF 的度数；再利用三角形的内角和定理求出△OGP 的度数，可证得
△OGP=△OPF ，利用等角对等边可得到OP=OG ；利用平行线分线段成比例定理，可证得PA=PF ，从而可证得结论
.
16．【答案】证明：∵84BC AC ==， 2CD =
∴
48224AC BC
CD AC ====. ∴
BC AC
AC CD
=. ∵C C ∠=∠ ∴ABC DAC ∽
【解析】【分析】根据已知条件可得
BC AC
AC CD
=，由图形可得△A=△A ，然后根据相似三角形的判定定理进行证明.
17．【答案】解：由题意得90ABC DEC ∠=∠=︒
又∵DCE ACB ∠=∠ ∴DCE ACB ∽ ∴
DE AB CE BC =，即1.51.228.8
AB
= ∴36m AB =
∴钟楼AB 的高度为36m ．
【解析】【分析】由题意得△ABC=△DEC=90°，由已知条件可知△DCE=△ACB ，利用两角对应相等的
两个三角形相似可得△DCE△△ACB ，然后根据相似三角形的性质进行计算.
18．【答案】（1）解：令y=0
则-x+5=0 ∴x=5
∴(50)C ，
5OC = 1
5152
AOC
A S
y =⨯⋅= ∴6A y =
把6A y =代入y=-x+5得，x=-1
∴(1
6)A -， ∵(1
6)A -，在函数(0)k
y x x
=<的图象上 ∴6k =-；
（2）解：作AE x ⊥轴于E ，作DF x ⊥轴于F ，则//AE DF
∵AE//DF
∴CD ：AC=CF ：CE=2：3 ∴CF=4 ∴EF=2，OF=1
把x=1代入y=-x+5得y=4
∴(1
4)D ，； （3）解：由图像得，当x ＜0时不等式
5k
x x
+>的x 的解集为10x -<< 【解析】【分析】（1）令y=0，求出x 的值，可得点C 的坐标，然后求出OC 的值，根据三角形的面
积公式可得y A ，代入一次函数解析式中求出x 的值，得到点A 的坐标，然后代入y=k
x
中就可求出k 的值；
（2）作AE△x 轴于点 E ，DF△x 轴于点F ，则AE△DF ，根据平行线分线段成比例的性质可得CD ：AC=CF ：CE=2：3，求出CE 的值，然后求出EF 、OF ，将x=OF 代入直线解析式中求出y 的值，据此可得点D 的坐标；
（3）根据图象，在第二象限找出反比例函数图象在一次函数图象上方部分所对应的x 的范围即可.
19．【答案】（1）解：
m ，n 分别是方程2230x x --=的两个实数根，且m n <
用因式分解法解方程：()()130x x +-=
11x ∴=- 23x =
1m ∴=- 3n =
()10A ∴-， ()03B ，
把()10A ∴-，，()03B ，代入得 10
3b c c --+=⎧⎨
=⎩
解得2
3b c =⎧⎨=⎩
∴函数解析式为223y x x =-++．
（2）证明：令2230y x x =-++=，即2230x x --= 解得11x =- 23x =
∴抛物线223y x x =-++与x 轴的交点为()10A -， ()30C ，
1OA ∴= 3OC =
∴对称轴为13
12
x -+=
= ()14D ，
223332BC ∴=+=22112BD =+=和224225DC =+=222CD DB CB =+
BCD ∴是直角三角形，且90DBC ∠=︒ AOB DBC ∴∠=∠
在Rt AOB 和Rt DBC 中
22
AO BD == 2
32OB BC ==
AO OB
BD BC
∴
= BCD ∴∽OBA ；
（3）解：抛物线223y x x =-++的对称轴为1x =，顶点为()1
4D ， 在03x ≤≤范围内 当1x =时4y =最大值 当3x =时0y =最小值．
【解析】【分析】（1）利用因式分解法求出x 的值，得到m 、n 的值，表示出点A 、B 的坐标，代入
y=-x 2+bx+c 中求出b 、c 的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）令y=0，求出x 的值，可得点A 、C 的坐标，求出OA 、OC 的值，进而得到对称轴以及点D 的坐标，利用两点间距离公式可得BC 、BD 、DC ，利用勾股定理逆定理知△BCD 为直角三角形，且△DBC=90°，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；
（3）抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为D （1，4），则当0≤x≤1时，y 随x 的增大而增大；当
1≤x≤3时，y 随x 的增大而减小，求出x=0、1、3对应的y 的值，进而可得最大值以及最小值.
20．【答案】（1）解：∵90AOB COB ABC ∠=∠=︒=∠
∴90OAB ABO ABO CBO ∠+∠=︒=∠+∠ ∴OAB CBO ∠=∠ ∴AOB BOC ∽．
（2）解：∵线段OA 、OB 的长是方程27120x x -+=的两个根．（OA OB <） ∴()()340x x --= 解得：13x = 24x = ∴3OA = 4OB = ∵AOB BOC ∽ ∴
AO OB
OB OC
= ∴216
3OB OC OA ==
∴1603C ⎛⎫- ⎪⎝
⎭
，
． （3）解：如图，当M 在x 轴上时，设()0M x ，
，由矩形AMNB 可得：90MAB ∠=︒
∴222AM AB MB += ∴()2
22223434x x +++=- 解得：94x =-
，即904M ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，
由平移可得：94034N ⎛⎫-
+- ⎪⎝⎭，，即734N ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，； 当M O ，重合时，此时矩形为AMBN
∴()43N ，
当M 在y 轴上时，设()0M y ，
同理可得：()2
22223443y y +++=-
解得：163y =-，即1603M ⎛
⎫- ⎪⎝⎭，
由平移可得：160433N ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭，
，即743N ⎛
⎫-- ⎪⎝⎭
，；
综上：7
34
N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，
或()43N ，或743N ⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭
，． 【解析】【分析】（1）由同角的余角相等可得△OAB=△CBO ，然后根据相似三角形的判定定理进行证
明；
（2）利用因式分解法可得方程的解，结合OA<OB可得OA、OB的值，然后根据相似三角形的对应边成比例求出OC的值，据此可得点C的坐标；
（3）当M在x轴上时，设M（x，0），由矩形的性质可得△MAB=90°，在Rt△ABM中，由勾股定理可得x的值，据此可得点M的坐标，结合平移的性质可得点N的坐标；当M、O重合时，此时矩形为AMBN，结合图形可得点N的坐标；当M在y轴上时，设M（0，y），同理进行解答. 21．【答案】（1）解：如图所示，△A'B'C'即为所求.
（2）解：点A 的坐标为(-2，2).
【解析】【分析】（1）利用位似图形的性质及位似比为2：1，以O为位似中心，分别作出点A，B，C的对应点A′，B′，C′，然后画出△A′B′C′即可.
（2）利用（1）中的图形，写出点A′的坐标.。