高中数学 第四章 圆与方程单元质量测评(含解析)新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学试题

第四章 单元质量测评
对应学生用书P99 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．若方程x 2
＋y 2
－x ＋y ＋m ＝0表示圆，则实数m 的取值X 围是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 B ．(－∞，1)
C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞
D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12
答案 A
解析 由(－1)2＋12
－4m ＞0，解得m ＜12
．
2．已知圆C 1：x 2
＋y 2
＋4x －4y －3＝0，动点P 在圆C 2：x 2
＋y 2
－4x －12＝0上，则△PC 1C 2
面积的最大值为( )
A ．2 5
B ．4 5
C ．8 5
D ．20 答案 B
解析 圆C 1：x 2
＋y 2
＋4x －4y ＝3，即(x ＋2)2
＋(y －2)2
＝11，圆心为(－2，2)， C 2：x 2
＋y 2
－4x －12＝0，即(x －2)2
＋y 2
＝16，圆心为(2，0)，半径为4， ∴|C 1C 2|＝16＋4＝25， △PC 1C 2面积最大时，有PC 2⊥C 1C 2，
∴△PC 1C 2的面积的最大值为1
2
×25×4＝45，故选B ．
3．若圆x 2
＋y 2
－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过 ( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 答案 D
解析 圆x 2＋y 2
－2ax ＋3by ＝0的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，－32b ，则a ＜0，b ＞0．直线x ＋ay ＋b ＝0
等价于y ＝－1a x －b a ，因为k ＝－1a ＞0，－b
a
＞0，所以直线不经过第四象限．
4．已知A(1，2，3)，B(3，3，m)，C(0，－1，0)，D(2，－1，－1)，则( ) A ．|AB|>|CD| B ．|AB|<|CD| C ．|AB|≤|CD| D．|AB|≥|CD| 答案 D
解析 |AB|＝22
＋12
＋m －3
2
＝5＋m －3
2
，
|CD|＝22
＋02
＋－1
2
＝5．因为(m －3)2
≥0，所以|AB|≥|CD|．
5．从M(0，2，1)出发的光线，经平面xOy 反射后到达点N(2，0，2)，则光线所行走的路程为( )
A ．3
B ．4
C ．17
D ．3 2 答案 C
解析 点M(0，2，1)关于平面xOy 对称的点为M′(0，2，－1)，光线所行走的路程为 |M′N|＝
2－0
2
＋0－2
2
＋2＋1
2
＝17．
6．直线x ＋3y ＝0绕原点按顺时针方向旋转30°所得直线与圆(x －2)2
＋y 2
＝3的位置关系是( )
A ．直线与圆相切
B ．直线与圆相交但不过圆心
C ．直线与圆相离
D ．直线过圆心 答案 A
解析 直线x ＋3y ＝0的斜率为－
33
，倾斜角为150°，绕原点按顺时针方向旋转30°，所得直线的倾斜角为120°，斜率为－3，所以直线方程为3x ＋y ＝0．圆(x －2)2
＋y 2
＝3的圆心(2，0)到直线3x ＋y ＝0的距离d ＝
23
3＋1
＝3＝r ，所以直线与圆相切． 7．已知圆C ：x 2
＋y 2
＋mx －4＝0上存在两点关于直线x －y ＋3＝0对称，则实数m 的值为( )
A ．8
B ．－4
C ．6
D ．无法确定 答案 C
解析 ∵圆上存在关于直线x －y ＋3＝0对称的两点，∴x－y ＋3＝0过圆心⎝ ⎛⎭
⎪⎫－m 2，0，
即
－m
2
＋3＝0，解得m ＝6． 8．已知圆C 1：(x ＋1)2
＋(y －1)2
＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2
的方程为( )
A ．(x ＋2)2
＋(y －2)2
＝1 B ．(x －2)2
＋(y ＋2)2
＝1 C ．(x ＋2)2
＋(y ＋2)2
＝1 D ．(x －2)2
＋(y －2)2
＝1 答案 B
解析 设圆C 2的圆心为(a ，b)，则依题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧
a －12－
b ＋12－1＝0，b －1a ＋1＝－1，
解得⎩⎪⎨
⎪
⎧
a ＝2，
b ＝－2，
对称圆的半径长不变，所以圆C 2的半径
长为1，故圆C 2的方程为(x －2)2
＋(y ＋2)2
＝1，选B ．
9．以(a ，1)为圆心，且与两条直线2x －y ＋4＝0和2x －y －6＝0同时相切的圆的标准方程为( )
A ．(x －1)2
＋(y －1)2
＝5 B ．(x ＋1)2
＋(y ＋1)2
＝5 C ．(x －1)2
＋y 2
＝5 D ．x 2
＋(y －1)2
＝5 答案 A
解析 因为两条直线2x －y ＋4＝0和2x －y －6＝0的距离为d ＝|－6－4|
5＝25，所以所
求圆的半径为r ＝5，所以圆心(a ，1)到直线2x －y ＋4＝0的距离为|2a －1＋4|5＝|2a ＋3|
5＝
5，即a ＝1或a ＝－4，又因为圆心(a ，1)到直线2x －y －6＝0的距离也为5，所以a ＝1．所以所求的圆的标准方程为(x －1)2
＋(y －1)2
＝5，故选A ．
10．过直线y ＝2x 上一点P 作圆M ：(x －3)2＋(y －2)2
＝45的两条切线l 1，l 2，A ，B 为切
点，当直线l 1，l 2关于直线y ＝2x 对称时，则∠APB 等于( )
A ．30° B．45° C．60° D．90°
答案 C
解析 过圆M 的圆心(3，2)向直线y ＝2x 作垂线，设垂足为N ，易知当点P 与点N 重合时，l 1与l 2关于y ＝2x 对称，此时，|MP|＝|2×3－2|5＝45，又圆M 的半径长为2
5，故sin∠MPA
＝1
2
，则∠MPA＝30°，故∠APB＝60°． 11．已知圆C ：(x －3)2
＋(y －4)2
＝1和两点A(－m ，0)，B(m ，0)(m>0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB＝90°，则m 的最大值为( )
A ．7
B ．6
C ．5
D ．4 答案 B
解析 根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3，4)，半径r ＝1，且|AB|＝2m ．因为∠APB＝90°，连接OP ，易知|OP|＝1
2|AB|＝m ．要求m 的最大值，即求圆C 上的点
P 到原点O 的最大距离．因为|OC|＝32
＋42
＝5，所以|OP|max ＝|OC|＋r ＝6，即m 的最大值为6．
12．设点M(x 0，1)，若在圆O ：x 2
＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN＝45°，则x 0的取值X 围是( )
A ．[－1，1]
B ．⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12，12 C ．[－2，2] D ．⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－22，22 答案 A
解析 解法一：过M 作圆O 的两条切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ，若在圆O 上存在点N ，使∠OMN＝45°，则∠OMB≥∠OMN＝45°，所以∠AMB≥90°，所以－1≤x 0≤1，故选A ．
解法二：过O 作OP⊥MN 于P ，则|OP|＝|OM|sin45°≤1， ∴|OM|≤2， 即x 2
0＋1≤2，
∴x 2
0≤1，即－1≤x 0≤1，故选A ．
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若圆心在x 轴上，半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆O 的方程是________．
答案 (x ＋2)2
＋y 2
＝2
解析 设圆心坐标为(a ，0)(a ＜0)，则圆心到直线的距离等于半径，即r ＝|a ＋0|12
＋1
2
＝2，
解得a ＝－2．故圆的标准方程为(x ＋2)2
＋y 2
＝2．
14．动圆x 2
＋y 2
－(4m ＋2)x －2my ＋4m 2
＋4m ＋1＝0的圆心的轨迹方程是________________．
答案 x －2y －1＝0(x≠1)
解析 圆心坐标为(2m ＋1，m)，半径长r ＝|m|(m≠0)．令x ＝2m ＋1，y ＝m(m≠0)，可得x －2y －1＝0(x≠1)，即为圆心的轨迹方程．
15．若直线x ＋y ＋m ＝0上存在点P ，过点P 可作圆O ：x 2
＋y 2
＝1的两条切线PA ，PB ，切点为A ，B ，且∠APB＝60°，则实数m 的取值X 围为________．
答案 [－22，2 2 ]
解析 若∠APB＝60°，则|OP|＝2，直线x ＋y ＋m ＝0上存在点P ，过点P 可作圆O ：x
2
＋y 2
＝1的两条切线PA ，PB ，等价于直线x ＋y ＋m ＝0与圆x 2
＋y 2
＝4有公共点，由点到直线的距离公式可得|m|
2
≤2，解得m∈[－22，2 2 ]．
16．当且仅当a<r<b 时，圆x 2
＋y 2
＝r 2
(r>0)上有两点到直线3x ＋4y －15＝0的距离是2，则以(a ，b)为圆心，且和直线4x －3y ＋1＝0相切的圆的方程为______________．
答案 (x －1)2＋(y －5)2
＝4
解析 因为圆心(0，0)到直线3x ＋4y －15＝0的距离d ＝
|－15|32
＋4
2
＝3，结合图形可知，圆
x 2
＋y 2
＝r 2
(r>0)上有两点到直线3x ＋4y －15＝0的距离为2，等价于|r －3|<2，即1<r<5，所以a ＝1，b ＝5．又点(1，5)到直线4x －3y ＋1＝0的距离为
|4×1＋5×－3＋1|42＋－32
＝2，所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y －5)2
＝4． 三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(本小题满分10分)已知圆C ：x 2
＋y 2
－2y －4＝0，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0． (1)判断直线l 与圆C 的位置关系；
(2)若直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，且|AB|＝32，求直线l 的方程．
解 (1)将圆C 的方程化为标准方程为x 2
＋(y －1)2
＝5，所以圆C 的圆心为C(0，1)，半径r ＝5，圆心C(0，1)到直线l ：mx －y ＋1－m ＝0的距离d ＝|0－1＋1－m|m 2＋1＝|m|
m 2
＋1＜1＜5，因此直线l 与圆C 相交．
(2)设圆心C 到直线l 的距离为d ， 则d ＝
5
2
－⎝
⎛⎭
⎪⎫3222
＝22． 又d ＝|m|
m 2
＋1，则|m|m 2＋1＝2
2
，解得m ＝±1，所以所求直线方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0．
18．(本小题满分12分)在空间直角坐标系Oxyz 中．
(1)在z 轴上求一点P ，使得它到点A(4，5，6)与到点B(－7，3，11)的距离相等； (2)已知点M 到坐标原点的距离等于23，且它的横、纵、竖坐标相等，求该点的坐标． 解 (1)设点P 的坐标为(0，0，c)， 因为|PA|＝|PB|， 所以16＋25＋c －6
2
＝49＋9＋c －11
2
，
所以c ＝515，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，515．
(2)设点M 的坐标为(a ，a ，a)， 所以a 2
＋a 2
＋a 2
＝23， 所以a 2＝4，所以a ＝±2．
所以点M 的坐标为M(2，2，2)或M(－2，－2，－2)．
19．(本小题满分12分)已知圆C ：x 2
＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋3＝0关于直线x ＋y －1＝0对称，圆心在第二象限，半径为2．
(1)求圆C 的方程；
(2)已知不过原点的直线l 与圆C 相切，且在x 轴、y 轴上的截距相等，求直线l 的方程．
解 (1)由题意，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
－D 2－E
2
－1＝0，D 2
＋E 2
－4×3
2
＝2，
解得⎩⎪⎨
⎪
⎧
D ＝2，
E ＝－4
或⎩⎪⎨⎪⎧
D ＝－4，
E ＝2
(舍去)．
∴圆C 的方程为x 2
＋y 2
＋2x －4y ＋3＝0． (2)圆C ：(x ＋1)2
＋(y －2)2
＝2，
∵切线在两坐标轴上的截距相等且不为零， 设切线l ：x ＋y ＝m(m≠0)，
∴圆心C(－1，2)到切线的距离等于半径2， 即
|－1＋2－m|
2
＝2，∴m＝－1或m ＝3． ∴所求切线方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0．
20．(本小题满分12分)已知点P 1(－2，3)，P 2 (0，1)，圆C 是以P 1P 2的中点为圆心，1
2|P 1P 2|
为半径的圆．
(1)若圆C 的一条切线在x 轴和y 轴上截距相等，求此切线方程；
(2)若P(x ，y)是圆C 外一点，从P 向圆C 引切线PM ，M 为切点，O 为坐标原点，|PM|＝|PO|，求使|PM|最小的点P 的坐标．
解 (1)设圆心坐标为C(a ，b)，半径为r ，依题意得 a ＝－2＋02＝－1，b ＝3＋12＝2，r ＝12×4＋4＝2．
∴圆C 的方程为(x ＋1)2
＋(y －2)2
＝2．
①若截距均为0，即圆C 的切线过原点，则可设该切线为y ＝kx ，即kx －y ＝0，则有|－k －2|k 2
＋1＝2，解得k ＝2±6．
此时切线方程为(2＋6)x －y ＝0或(2－6)x －y ＝0． ②若截距不为0，可设切线为x ＋y ＝a 即x ＋y －a ＝0， 依题意得|－1＋2－a|
2＝2，解得a ＝－1或a ＝3．
此时切线方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0．
综上，所求切线方程为(2±6)x －y ＝0或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0． (2)∵|PM|＝|PO|，∴|PM|2
＝|PO|2
，
即(x ＋1)2＋(y －2)2－2＝x 2＋y 2
，整理得y ＝2x ＋34，
而|PM|＝|PO|＝x 2＋y 2＝1420x 2
＋12x ＋9，
当x ＝－122×20＝－3
10时，|PM|取得最小值．
此时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪
⎫－
310，35．
21．(本小题满分12分)已知圆C ：x 2
＋(y －2)2
＝5，直线l ：mx －y ＋1＝0． (1)求证：对任意的m∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同的交点； (2)若圆C 与直线l 相交于A ，B 两点，求弦AB 的中点M 的轨迹方程．
解 (1)证明：因为直线l ：mx －y ＋1＝0恒过定点N(0，1)，且点N(0，1)在圆C ：x 2
＋(y －2)2
＝5的内部，
所以直线l 与圆C 总有两个不同的交点． (2)由题知C(0，2)，设动点M(x ，y)， 当x ＝0时，M(0，1)；
当x≠0时，由垂径定理，知MN⊥MC， 所以y －2x ·y －1x
＝－1，
整理得x 2
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝14，又(0，1)满足此方程，
所以弦AB 的中点M 的轨迹方程是x 2
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝14
．
22．(本小题满分12分)有一种大型商品，A ，B 两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每千米的运费A 地是B 地的2倍，若A ，B 两地相距10千米，顾客选择A 地或B 地购买这种商品的标准是：运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民
应如何选择购买此商品？
解 以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，如图所示．设A(－5，0)，则B(5，0)．在坐标平面内任取一点P(x ，y)，设从A 地运货到P 地的运费为2a 元/千米，则从B 地运货到P 地的运费为a 元/千米．
若P 地居民选择在A 地购买此商品， 则2a
x ＋5
2
＋y 2
＜a
x －5
2
＋y 2
，
整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2532＋y 2＜⎝ ⎛⎭
⎪⎫2032
．
即点P 在圆C ：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2532＋y 2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫2032
的内部．
也就是说，圆C 内的居民应在A 地购买，圆C 外的居民应在B 地购买，圆C 上的居民可随意选择A ，B 两地之一购买．。