三角函数的基本概念

题型三
利用三角函数线解三角不等式
3 (1)不等式 sinx≥ 2 的解集为__________． 1 (2)不等式 cosx≥－2的解集为__________． (3) 函 数 f(x) ＝ 2sinx＋1 ＋ lg(2cosx － 2 ) 的 定 义 域 为 __________．
【解析】
3 (1)过点(0， 2 )作平行于 x 轴的
3．若sinα <0且tanα >0，则α是( A．第一象限角 C．第三角限角
答案 解析 C
)
B．第二象限角 D．第四象限角
由选择项知角α的终边不落在坐标轴上，由sinα<0知α
为第三或第四象限角；由tanα>0知α为第三或第一象限角，故α为 第三象限角．
4．单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为( A．10π 9 C.10π
1 答案 3 解析 方法一：当角 α 的终边在第一象限时，取角 α 终边上 一点 P1(2 2，1)，其关于 y 轴的对称点(－2 2，1)在角 β 的终边 1 上，此时 sinβ＝3；当角 α 的终边在第二象限时，取角 α 终边上 一点 P2(－2 2，1)，其关于 y 轴的对称点(2 2，1)在角 β 的终边 1 1 上，此时 sinβ＝3.综合可得 sinβ＝3.
弧度制 (1)什么叫 1 度的角：把圆周分成 360 份，每一份所对的圆心 角叫 1°的角． (2)什么叫 1 弧度的角： 弧长等于半径的圆弧所对的圆心角叫 1 弧度的角． π 180 (3)1°＝180弧度；1 弧度＝ 度． π (4)若扇形的半径为 r，圆心角的弧度数为 α，则此扇形的弧 1 1 长 l＝|α|·r，面积 S＝2|α |r2＝2lr．
题型二
三角函数的定义
若角 θ 的终边与函数 y＝－2|x|的图像重合， 求 θ 的各三 角函数值．
【解析】 ∵角 θ 的终边与函数 y＝－2|x|的图像重合，
∴θ为第三、四象限的角． 若 θ 是第三象限的角，取终边上一点 P(－1，－2)， |OP|＝r＝ 5，则 θ 角的各三角函数值分别为 y －2 2 5 x －1 5 sinθ＝ r ＝ ＝－ 5 ，cosθ＝ r ＝ ＝－ 5 ， 5 5
【答案】 ①
θ 4 (2)若 sin2＝5，且 sinθ <0，则 θ 所在象限是( A．第一象限 C．第三象限 B．第二象限
)
D．第四象限 θ θ 【解析】 ∵sinθ<0，∴2sin2cos2<0.
θ 4 θ 又∵sin2＝5，∴cos2<0. π θ θ 3 故2在第二象限，且 2kπ＋ 2 <2<2kπ＋4π(k∈Z)． 3 ∴4kπ＋π<θ<4kπ＋2π，∴θ在第三象限． 【答案】 C
★状元笔记★ 在数学学习中，利用定义解题是一种良好的思维方式，因为 定义是一切基本问题的出发点，对数学定义的反复应用必将增强 对知识的理解与掌握，是学好数学的有效途径．
思考题 3
已知角 α 的终边经过点 P(x，－ 2)(x≠0)，且
3 1 cosα ＝ 6 x，则 sinα ＋ 的值为________． tanα
★状元笔记★ 判断角所在象限的方法 (1)判断 θ 在哪个象限， 只需把 θ 改写成 θ0＋k· 360°， k∈Z， 其中 θ0∈[0°，360°)即可． α (2)对2判断象限问题可采用等分象限法．
思考题 2 (1)如果 α 为第一象限角， 那么①sin2α ， ②cos2 α α α ；③sin2；④cos2中必定为正值的是________．
★状元笔记★ 迅速进行角度和弧度的互化，准确判断角所在的象限是学习 三角函数知识必备的基本功，若要确定一个绝对值较大的角所在 的象限，一般是先将角化成 2kπ＋α(0≤α＜2π)(k∈Z)的形式， 然后再根据 α 所在的象限予以判断，这里要特别注意是π的偶数 倍，而不是π的整数倍，若要求出在某一指定范围内的某种特殊 的角，通常可像本例一样化为解不等式去求出对应的 k 值．
α 角？②2是第几象限角？③2α是第几象限角？
【解析】 ①∵α是第三象限角，∴2kπ＋π＜α＜2kπ＋
3π π 2 ，k∈Z.∴－2kπ－ 2 ＜π－α＜－2kπ，k∈Z.∴π－α是第四 象限角．
π α 3π ②∵kπ＋ 2 <2<kπ＋ 4 ，k∈Z. α ∴2是第二或第四象限角． ③∵4kπ＋2π<2α<4kπ＋3π，k∈Z， ∴2α是第一或第二象限角或y轴非负半轴上的角． 【答案】 ①四 ②二或四 ③2α是第一或第二象限角或y 轴非负半轴上的角
y －2 tanθ＝x＝ ＝2. －1 若 θ 在第四象限，可取点 P(1，－2)， 2 5 5 易得 θ 的各三角函数值为 sinθ＝－ 5 ，cosθ＝ 5 ， tanθ＝－2. 2 5 5 【答案】 θ 是第三象限角时， sinθ ＝－ 5 ， cosθ ＝－ 5 ， 2 5 5 tanθ ＝2；θ 是第四象限角时，sinθ ＝－ 5 ，cosθ ＝ 5 ，tanθ ＝－2.
【解析】 ∵P(x，－ 2)(x≠0)，
∴点 P 到原点的距离 r＝ x2＋2. 3 x 3 又 cosα＝ 6 x，∴cosα＝ 2 ＝ 6 x. x ＋2 ∵x≠0，∴x＝± 10.∴r＝2 3. 当 x＝ 10时，P 点坐标为( 10，－ 2)，
－ 2 6 1 10 由三角函数的定义，有 sinα＝ ＝－ 6 ， ＝ ＝ tanα － 2 2 3 6 5＋ 6 1 6 － 5，∴sinα＋ ＝－ 6 － 5＝－ ； 6 tanα 6 5－ 6 1 当 x＝－ 10时，同理可求得 sinα＋ ＝ . 6 tanα 【讲评】 任意角的三角函数值与终边所在的位置有关，与 点在终边上的位置无关，故要首先判定 P 点所在的象限，确定 r， 最后根据定义求解． 【答案】 6 5－ 6 6 5＋ 6 或－ 6 6
三角函数线 如图所示，正弦线为MP；余弦线为OM；正切线为AT．
1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)． (1)小于 90°的角是锐角． π (2)若将分针拨快 10 分钟，则分针转过的角度是 3 . π (3)角 α＝kπ ＋ 3 (k∈Z)是第一象限角． π π (4)若 sinα ＝sin 7 ，则 α＝ 7 .
三角函数的基本概念
…2018 考纲下载… 1．了解任意角的概念． 2．了解弧度制的概念，能进行角度与弧度的互化． 3．借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定 义． 4． 理解三角函数线(正弦线、 余弦线、 正切线)的概念及意义． 请注意 本节内容高考一般不直接考查，但它是后续各节的基础，是 学习三角函数必须掌握的基本功．
(5)－300°角与 60°角的终边相同． (6)若 A＝{α|α＝2kπ ，k∈Z}，B＝{α|α＝4kπ ，k∈Z}，则 A＝B.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)×
2．(课本习题改编)与 2 019°终边相同的角是( A．39° C．－39°
答案 D
)
B．141° D．－141°
任意角的三角函数定义 (1)设 α 是一个任意角，α 的终边上任意一点(非顶点)P 的坐 y x y 标是(x,y),它与原点的距离为 r,则 sinα ＝ r ，cosα ＝ r ，tanα ＝x． (2)三角函数在各象限的符号是：
sinα Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ __＋__ __＋__ __－__ __－__ cosα __＋__ __－__ __－__ __＋__ tanα __＋__ __－__ __＋__ __－__
答案 D
)
B．9π 10 D. 9 π
5．(2018· 衡水中学月考)已知角 α 的终边过点(－1， 3)，则 tanα ＝________．
答案 － 3
6．(2017· 北京，文)在平面直角坐标系 xOy 中，角 α 与角 β 1 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称．若 sinα ＝3，则 sin β ＝________．
思考题 1 (1)在区间[－720°， 0°]内找出所有与 45°角 终边相同的角 β. k k (2)设集合 M＝{x|x＝2×180°＋45°， k∈Z}， N＝{x|x＝4× 180°＋45°，k∈Z}，那么两集合的关系是什么？
【解析】 (1)所有与角 α 有相同终边的角可表示为： β＝45°＋k×360°(k∈Z)， 则令－720°≤45°＋k×360°≤0°， 得－765°≤k×360°≤－45°， 765 45 解得－360≤k≤－360，从而 k＝－2 或 k＝－1， 代入得 β＝－675°或 β＝－315°.
(2)因为 M＝{x|x＝(2k＋1)×45°，k∈Z}表示的是终边落在 四个象限的平分线上的角的集合； 而集合 N＝{x|x＝(k＋1)×45°，k∈Z}表示终边落在坐标轴 或四个象限的平分线上的角的集合，从而 M 【答案】 (1)－675°或－315° (2)M N. N
已知角
α是第三象限角，试判断①π －α是第几象限
1 sinx≥－2， 2sinx＋1≥0， (3)由 得 2cosx－ 2＞0， cosx＞ 2. 2 在单位圆中分别画出不等式 ①② 的解集对应的 区域，其公共区域为不等式组的解集， ∴函数 f(x)的定义域为
【解析】 本题主要考查角度与弧度的互化及终边相同角的 表示方法． 35π π 350 (1)α1＝－350°＝－180π＝－ 18 ＝－2π＋18， 860 43 7 α2＝860°＝180π＝ 9 π＝4π＋9π. ∴α1 在第一象限，α2 在第二象限． 3 3 (2)∵5π＝5×180°＝108°，设 θ＝k· 360°＋β1(k∈Z)， 由－720°≤θ＜0° 1 3 直线，交单位圆于点 P1(2， 2 )，P2(－2， 2 )， 3 则以 OP1、OP2 为终边的角的正弦值为 2 ， 3 终边落在阴影部分的角的正弦值大于 2 ， π 2π 3 ∴sinx≥ 2 的解集为{x|2kπ＋ 3 ≤x≤2kπ＋ 3 ，k∈Z}．
1 (2)过点(－ 2 ，0)作垂直于x轴的直线与单 1 3 1 3 位圆交于点Q1(－2， 2 )，Q2(－2，－ 2 )， 则以OQ1、OQ2为终边的角的余弦值为－ 1 1 2，终边落在阴影部分的角的余弦值大于－2. 2π 2π 1 ∴cosx≥－ 2 的解集为{x|2kπ－ 3 ≤x≤2kπ＋ 3 ，k∈ Z}．
∴k＝－2 或 k＝－1， ∴在－720°～0°之间与 β1 有相同的终边的角是－612°和 －252°，同理 β2＝－420°，且在－720°～0°间与β2 有相同 终边的角是－60°. 【答案】 π (1)α1＝－2π ＋18 7 α2＝4π ＋9π
(2)β1＝108°，终边相同的角－612°，－252°； β 2＝－420°，终边相同的角－60°
方法二：令角 α 与角 β 均在区间(0，π)内，故角 α 与角 β 互 1 补，得 sinβ＝sinα＝3. 方法三：由已知可得，sinβ＝sin(2kπ＋π－α)＝sin(π－α) 1 ＝sinα＝3(k∈Z)．
授 人 以 渔
题型一
角的有关概念
3 7 设角 α1＝－350°，α 2＝860°，β 1＝5π ，β 2＝－3π . (1)将 α1，α 2 用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象 限； (2)将 β1，β 2 用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找 出与它们有相同终边的所有角．
课前自助餐
角的概念 (1)象限角： 角 α 的终边落在第几象限就称 α 为第几象限的角， 终边落在坐标轴上的角不属于任何象限． (2)终边相同的角：两角的终边重合． (3)与 α 终边相同的角的集合为{β|β＝k· 360°＋α，k∈Z}．
(4)各象限角的集合为Ⅰ象限：{α|k·360°<α <k·360°＋90 °，k∈Z}，Ⅱ象限：{α|k·360°＋90°<α <k·360°＋180°，k ∈Z}， Ⅲ象限： {α|k·360°＋180°<α <k· 360°＋270°， k∈Z}， Ⅳ象限：{α|k·360°－90°<α <k·360°，k∈Z}．