高中数学核心知识点及基本思想方法总结1----集合与简易逻辑

高中数学核心知识点及基本思想方法总结
第一章 集合与简易逻辑
¤第一部分·集合与集合运算¤
◆内容概述◆
集合是现代数学的基本概念，专门研究集合的理论叫做集合论。

“疯人数学家”康托尔(Cantor,G.F.P,1845-1918年，德国人)是集合论的创始者。

目前集合论的基本思想已渗透到现代数学的所有领域。

集合的思想、集合的语言和集合的符号在高中数学的很多章节如函数、数列、方程和不等式、立体几何、解析几何等中都被广泛的使用。

要求理解集合、子集、补集、交集、并集的概念。

了解空集和全集的意义。

了解属于、包含、相等关系的意义。

掌握有关术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合。

◆知识点拨◆
※< 1 >※ 集合与元素。

一般地，某些指定的对象．．．．．
集在一起就成为一个集合（确定性）。

集合中每个对象叫做这个集合的元素。

【注意】①集合的确定性如何体现？（例如很高的山，一条快乐的鱼能成为一个集合么） ②元素与集合的关系。

（属于∈、不属于∉）
【例题】设集合},12|{},,2|{Z k k x x B Z k k x x A ∈+==∈==，若B b A a ∈∈,，试判断a+b 与A 、B 的关系。

〖分析〗两个集合中的k 不可以理解成是同一个变量，即解作：
Z k k b a k b B b k a A a ∈+=+∴+=∴∈=∴∈,14,12,,2,，
此法失去任意性。

〖解答〗.
,,.1)(2,
,12,,,2,21212211A b a B b a Z k k k k b a Z k k b B b Z k k a A a ∉+∈+∴∈+++=+∴∈+=∴∈∈=∴∈ ③集合中元素的三个特征。

（确定性、互异性、无序性） 【例题】已知}1,12,3{2+--=a a a A ，其中R a ∈。

（1）若A ∈-3，求实数a 的值；（2）当a 为何值时，集合A 的表示不正确？
〖解答〗.2,,
,11213123:,
,3,)2(;10,12333,13)1(222-=∴∈+=-+=--=--==-=--=-∴+≠-a R a A a a a a a a A a a a a a 的表示不正确时或或即表示不正确集合个元素有重复情况时当由集合中元素的互异性或解得或显然
④集合的表示方法有哪些？（列举法、描述法、图示法、区间法）
【思考】各表示方法的特点，比如描述法注意限制决定条件、条件决定元素、元素决定集合。

【例题1】用符号语言表示图中阴影部分的集合，
〖解答〗C B C B A B A C B A B A B B A C A U U ⋂⋂⋃⋃⋂--⋂))(3();()()2();())(1(或或。

【例题2】{}{}{}(){}{}()则，，已知集合,1|,1|,,11|12222≥=+==+==+==+==x x N x y y x M x y x R x y y Q x y P
A ．P=M
B ．Q=R
C ．R=M
D ．Q=N
〖解答〗D ．集合中的许多概念都是用“元素”来定义的，因此遇到集合问题时首先要弄清楚集合中的元素是什么，这是解题的关键。

⑤常用数集记住了吗？（⎪⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧*负整数自然数零正整数整数分数有理数—无限不循环小数—无理数实数非纯虚数纯虚数虚数复数N N Z Q R P C :::::::） ※< 2 >※ 集合与集合之间的关系。

（对于集合A 、B 、C 、U ）
①包含关系：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⊂Φ⊂⊂≠⊆=⇔⊆⊆⊆Φ⊆⊆∈⇒∈≠≠≠)(),(,,;,,非空另有或记且真子集：集合相等：另有记子集：A A B A B A B A B A B A A B B A A A A B A B x A x
②运算关系：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⋂-=∉∈==-∈∈=⋃∈∈=⋂=⋃Φ=⋂⇔=⊆∉∈=).
(},|{/}.,|{};,|{.,),}(,|{U B A A B x A x x B A B A B x A x x B A B x A x x B A U B A B A B A C U A A x U x x A C U U 且差集：或并集：且交集：另有注意前提是且补集：表示。

个集合的全部元素，用全集：含有所研究的各
③重要性质及结论：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+++==⋃⇔⊆⊆⇔=⋂⋂=⋃⋃=⋂⋃⊆⊆⋂⋃=⋃=⋃=Φ⋃=⋃⋂=⋂Φ=⋂Φ=Φ⋂=⋂⊆⇒⊆⊆.2;,);()()(),()()()(;)(;,,,;
,,,)(,10n n n n n U U U U U U
U U C C C n B B A B A B A A B A B C A C B A C B C A C B A C B A B A B A A B B A U A C A A A A A A A B B A A C A A A A A C A C B B A 其子集个数为个元素构成的有限集合
把集合变大交集把集合变小，并集
或传递性 【注意】ⅰ）注重数与形的结合是解集合问题的常用技巧，解题时要尽可能地借助数轴（多用于集合运算，含绝对值不等式求解，标根法等）、直角坐标系或文氏图（多用于集合关系的表示等）等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决。

【例题1】（08北京1）已知全集U=R ，集合}41|{},32|{>-<=≤≤-=x x x B x x A 或，那么集合)(B C A U ⋂等于（ D ）
A ．}42|{<≤-x x
B ．}43|{≥≤x x x 或
C ．}12|{-<≤-x x
D ．}31|{≤≤-x x
【例题2】（05全国Ⅰ理2）设I 为全集，
321,,S S S 是I 的三个非空子集且I S S S =⋃⋃321，则下面判断正确的是（ ）
A ．Φ=⋃⋂)(321S S S C I
B ．)(321S
C S C S I I ⋂⊆
C ．Φ=⋂⋂321S C S C S C I I I
D ．)(321S C S C S I I ⋃⊆
〖解答〗C.本题是抽象集合的关系问题，结合已知画出文氏图观察即可，也可以用特例法。

【例题3】已知集合}.0)3)((|{},086|{2
<--=<+-=a x a x x B x x x A 的取值范围。

求若的取值范围；求若的取值范围；求若a x x B A a B A a B A },43|{)3(,)2(,)1(<<=⋂Φ=⋂⊂≠ 〖解答〗。

且显然或也成立，综上或综上同理等号不同时取的大小不确定需讨论与集合30)3.(3
240,04
320,43202340)2(];2,34[4230)(23443230)1(3},42|{=>≤≥=<⇒⎩⎨⎧≥≤⇒<≥≤<⇒⎩⎨⎧≤≥⇒>∈Φ⇒⎩
⎨⎧≥≤⇒<≤≤⇒⎩⎨⎧≥≤∴⊂<<⇒><<=≠a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a B A a
x a a a a B x x A ☆方法技巧☆ 处理集合运算问题先确定集合是前提，同时要清楚集合中的元素是什么，对于含参数的集合要注意讨论，然后根据集合之间的关系借助于数轴列出符合题意的不等式组求解。

ⅱ）注意对空集的讨论，空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

【例题】集合{}
{},1|032|2A B ax x B x x x A ⊂===--=，若，则实数a 的值构成的集合为 。

〖解答〗}3
1,0,1{-。

注意对Φ≠Φ=B B ,情况的讨论，即对0,0≠=a a 进行讨论。

ⅲ）注重一些结论的应用。

【例题1】（06重庆理1）已知集合U={1，2，3，4，5，6，7},A={2,4,5,7},B={3,4,5},则集合)()(B C A C U U ⋃=（ ） A. {1,6} B. {4,5} C. {2,3,4,5,7} D. {1,2,3,6,7} 〖解答〗D.利用德摩根定律)()()(B A C B C A C U U U ⋂=⋃即可。

【例题2】若A 、B 、C 为三个集合，C B B A ⋂=⋃，则一定有（ ）
A ．C A ⊆
B ．A
C ⊆ C ．C A ≠
D ．Φ=A
〖解答〗A ．.,)()(C A C C B B A A ⊆∴⊆⋂=⋃⊆ 本题也可以由图示法求得。

【例题3】设集合A={1，2}，则满足A ∪B={1，2，3}的集合B 的个数是（ ）
A ．1
B ．3
C ．4
D ．8
〖解答〗C ．由已知只需求集合A 的子集个数即可，即422=个。

ⅳ）会用“补集思想”解决问题（排除法、间接法）。

【例题】已知函数()()122242
2+----=p p x p x x f ，在区间[]1,1-上至少存在一个实数c 使f(c)>0，求实数p 的取值范围。

〖解答〗设所求p 的范围为A ，
则[]()(){}
0122241122≤+----=-=p p x p x x f p A C I 上函数，在区间，
注意到函数()x f 的图象开口向上，∴()()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤++-=-≤+--==,01210932122p p f p p f p A C I ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-≤=233p p p 或，∴⎭
⎬⎫⎩⎨⎧<<-=233p p A 。

◆跟踪训练（一）◆
1. 下列各组对象中不能形成集合的是（ ）
A ．所有的无理数
B ．26个英文字母
C ．所有的正三角形
D ．文静的女孩
2. 已知集合A={a ，b ，c}中的三个元素，可成为△ABC 的边长，则△ABC 一定不是（ ）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．锐角三角形
D ．钝角三角形
3.（06福建理4）已知全集U=R ，且}086|{},2|1||{2
<+-=>-=x x x B x x A 则 B A C U ⋂)(等于（ ） A. )4,1[- B. )3,2( C. ]3,2( D. )4,1(-
4. 满足条件}4,3,2,1{}1{⊆⊆A 的集合的个数为（ ）
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
5.已知R B A x x x B a x x A =⋃>+-=<-=},056|{},4|||{2，则a 的取值范围是（ ）
A.a<1或a>5
B.a ≤1或a ≥5
C.1<a<5
D.1≤a ≤5
6.已知}02|{12=+-∈a x x x ，则集合}02|{2=--=ax x x A 中所有元素的和为 。

7.已知集合}02|{=+-+=x b ax x P 为无限集，则=+b a 。

8.含三个实数的集合既可表示为}1,,
{a b a ，也可表示为}0,,{2b a a +，求20082007b a +的值。

9.已知集合}121|{},0103|{2-≤≤+=≤--=m x m x B x x x A 若A B A =⋃，求实数
m 的取值范围。

10. 已知集合}121|{},54|{-≤<+=<≤=k x k x Q x x P ，求Φ≠⋂Q P 时实数k 的取值范围。

¤第二部分·简易逻辑¤
◆内容概述◆
逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科，是人们认识和研究问题不可缺少的工具。

对本部分的考查主要分两方面，一是直接考查命题真假的判定、复合命题的组成、四种命题及充要条件的判定，以客观题为主；二是体现其工具作用，从理解题意、分析解决问题、叙述问题、寻找等价问题等进行广义上的考查。

要求我们理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义。

理解四种命题及其相互关系。

掌握充要条件的意义。

◆知识点拨◆
※< 3 >※ 语句与命题。

可以判断真假．．．．
的语句叫做命题，一般为陈述句（也有反问句）。

【例题】下列语句为命题的是 ，①集合A={x|x=2n,n ∈Ζ}是奇数集;②2x=1;③x<3;④x 2+1≥0;⑤小于直角的角;⑥很高的山顶常常终年积雪;⑦垂直于同一条直线的两条直线
必平行吗？⑧求证：若x ∈R ，方程x 2-x+1=0无实根。

〖解答〗①是假命题；④是真命题。

②③为开语句（含有变量），在给出变量值之前无法判断；⑤⑥有不确定因素；⑦是疑问句不是命题；⑧是祈使句不是命题（例：把门关上）。

【注意】1．区分好逻辑联结词与日常用语。

常用的逻辑联结词有“或”(∪)具有选择性，即至少有一个成立；“且”(∩)具有兼有性，即同时成立；“非”(¬)具有否定性，即对原命题的否定。

2．命题按是否含有逻辑联结词可分为简单命题与复合命题（由简单命题和逻辑联结词构成的命题）。

对复合命题真值的判断可分为三步：①确定复合命题的构成形式；②判断各简单
q ：函数2|1|--=x y 的定义域是),3[]1,(+∞⋃--∞，则（ D ）
A.p 或q 为假
B.p 且q 为真
C.p 真q 假
D.p 假q 真
【例题2】如果命题p 或q 为真，p 且q 为假，则（ D ）
A.命题p 和命题q 都是假命题
B.命题p 和命题q 都是真命题
C.命题p 和命题非q 真值不同
D.命题p 和命题非q 真值相同
☆方法技巧☆ 由真值表中原命题与命题的否定之间的真值相反．．．．
的关系，我们能得到一种证明问题的重要方法，即反证法（从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立的证明方法），属于间接证法。

当直接证明比较困难，如结论中含有“至多”、“至少”、“唯一”等语句时或证明一些存在性问题时往往采用此法。

其证明命题的一般步骤如下：
⑴假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立（反设）；
⑵从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾（归谬）；
⑶由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确（判定）。

【例题3】证明：不论x,y 取任何非零实数，等式y
x y x +=+111总不成立。

〖证明〗假设存在非零实数00y x 使y x y x +=+111成立，带入整理有0002020=++y x y x ，即0,,04
3)2(0020200≠=++y x y y x ，出现矛盾，所以假设不成立，原命题成立。

【例题4】若b ax x x f ++=2)(，试证|f(0)|,|f(1)|,|f(-1)|中至少有一个大于等于2
1。

〖证明〗略。

，产生矛盾，方法二：原命题成立。

矛盾，所以假设错误，不等式组无解，即产生，假设 2|)1(||)1(||
)0(|2|)0(2)1()1(||211|22/12/32/12/1)3(2/112/1)2(2/112/1)1(2/12/12/1|)1(|2/1|)1(|2/1|)0(|<-++≤--+=-+-+++=⎩⎨⎧-<<-<<-⇒⎪⎩⎪⎨⎧<+-<-<++<-<<-⇒⎪⎩⎪⎨⎧<-<<f f f f f f b b a b a b b b a b a b f f f ※< 4 >※ 命题的四种形式及其相互关系。

命题由条件和结论两部分构成，即一般都可以写成若p 则q 的形式，附四种形式关系图：
【思考】①原命题为真，它的逆命题、否
命题不一定为真；
②互为逆否命题的两个命题同真假。

☆方法技巧☆ 当一个命题的真值难以
判断时，可以考虑其逆否命题的真值判断。

【例题1】设原命题是“已知a,b,c,d 是
实数，若a=b 且c=d ，则a+c=b+d ”写出它
的逆命题、否命题、逆否命题并判断真值。

〖解答〗逆命题：已知a,b,c,d 是实数，若a+c=b+d ，则a=b 且c=d 。

假（举反例即可） 否命题：已知a,b,c,d 是实数，若a ≠b 或c ≠d ，则a+c ≠b+d 。

假（与逆命题真值相同） 逆否命题：已知a,b,c,d 是实数，若a+c ≠b+d ，则a ≠b 或c ≠d 。

真（与原命题真值相同）
【例题2】在原命题“若a>b ，则a 2>b 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个
数为 3 个。

【思考】命题的四种形式中真（或假）命题的个数的特点（答：只能是偶数个）
【注意】①区分命题的否定(只否定结论)和否命题(条件和结论全否)。

*命题的否定只否定结论（若p 则¬q），强调语意的全面否定．．．．．．．
，其真值必然与原命题相反。

*否命题对条件和结论要完全否定（若¬p 则¬q），其真值与原命题无关。

附常见否定词表：
原词语
= > < 是 至多有一个 至少有一个 否定词语
≠ ≤ ≥ 不是 至少有2个 一个也没有 任意的
能 p 或q
p 且q 都是 对所有x 成立 对任给x 不成立 某个 不能 ¬p 且¬q ¬p 或¬q 不都是 存在某个x 不成立 存在某x 成立 【例题】若x,y ∈R 且x 2+y 2=0，则x,y 全为0。

写出其否定形式 。

〖解答〗若x,y ∈R 且x 2+y 2=0，则x,y 不全为0。

【例题】命题“四边相等的四边形是正方形”的否命题是 。

〖解答〗四边不相等的四边形不是正方形。

②确定命题为正确的要有严格的证明，确定命题为假只需举一个反例即可（证成立要严密，不成立举反例）。

※< 5 >※ 充分条件与必要条件。

☆方法技巧☆ 判断充分条件、必要条件及充要条件的方法主要有：
（1）定义法：若q p ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。

定义反映了条件和结论的因果关系，其情况（p 作条件，q 作结论时）有4种，即充分不必要条件（p q q p ≠>⇒,）；充要条件（q p ⇔）；必要不充分条件（q p p q ≠>⇒,）；既不充分也不必要条件（p q q p ≠>≠>.）。

表述时需要注意语序，一种是结论的什么条件是什么；另一种是条件是结论的什么条件。

【例题1】若p:-2<a<0,0<b<1，q:关于x 的方程x 2+ax+b=0有两个小于1的正根，则p 是q
的什么条件？
〖解答〗若a=-1,b=1/2,则△=a 2-4b<0, 关于x 的方程x 2+ax+b=0无实根，则q p ≠>。

若关于x 的方程x 2+ax+b=0有两个小于1的正根，不妨设为x 1,x 2,且0<x 1≤x 2<1,则0<x 1+x 2=-a<2,0<x 1x 2=b<1,则p q ⇒，可见p 是q 的必要不充分条件。

【例题2】命题p ：不等式1
1->-x x x x 的解集为{x|0<x<1}，命题q ：在ΔABC 中，“A>B”是“sinA>sinB”成立的必要非充分条件，则( A )
A. p 真q 假
B. p 且q 为真
C. p 或q 为假
D. p 假q 真
（2）图示法（传递法）：对于较复杂的、多个的或抽象的关系，常用⇔⇐⇒,,等符号进行传递。

【例题】若p 是r 的充分不必要条件，r 是q 的必要条件，r 又是s 的充要
条件，q 是s 的必要条件，则(1)s 是p 的什么条件；(2)r 是q 的什么条件？
〖解答〗如右图，s 是p 的必要不充分条件；r 是q 的充要条件。

（图示中各
语句构成“顺次封闭环”，则互为充要条件）
（3）集合法：若B A ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件(小集合能推出大集合，反之不可以，集合相等时互为充要条件)；
【例题1】已知p:|2x-3|<1,q:x(x-3)<0，则p 是q 的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 〖解答〗A.由已知p:1<x<2,q:0<x<3，则p q q p ≠>⇒,。

【例题2】已知p:x 2-8x-20>0,q:x 2-2x+1-a 2
>0若p 是q 的充分不必要条件，则正实数a 的取值范围是 。

〖分析〗从集合观点看，建立命题p,q 相应的集合。

})(|{:成立x p x A p =， })(|{:成立x q x B q =，那么有如下对应关系：
〖解答〗.300,10121B A ,},0,11|{)
0(11:};210|{,210:≤<⇒>⎩
⎨⎧≤+-≥-⊂≠>⇒>-<+>=>-<+>-<>=-<>≠a a a a p q q p a a x a x x B a a x a x q x x x A x x p 又利用数轴观察有。

，即由或令或或令或
（4）等价命题法：即利用等价关系""A B B A ⌝⌝⇒⇔⇒进行判断，对于条件或结论是不等
关系（或否定式）的命题，一般运用此法。

p 是q 的 充分条件 充分非必要 必要条件 必要不充分 充要条件 既不充分也不必要条件 集合A 、B B A ⊆ B A ≠⊂ A B ⊆ A B ≠⊂ B A = A B B A ⊄⊄且
【例题】已知05
41:,3|25:|2≥-+>-x x q x p ，则q p ⌝⌝是的 条件。

答：q p ⌝⌝是充分不必要条件。

可根据q p p q ≠>⇒,等价于p q q p ⌝⌝⌝⌝≠>⇒,。

◆跟踪训练（二）◆
1.（08湖南理2）“2|1|<-x 成立”是“0)3(<-x x 成立”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
2.命题“对任意的R x ∈，都有012>++x x 成立”的否定是（ ）
A ．对任意的R x ∈，都有012≤++x x 成立
B ．存在R x ∈，使012≤++x x 成立
C ．存在R x ∈，使012>++x x 成立
D ．不存在R x ∈，使012>++x x 成立
3.设p,q 是简单命题，则“p 且q 为假”是“p 或q 为假”的（ ）
A. 必要不充分条件
B. 充分不必要条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4.已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 成立的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
5.一元二次方程ax 2+2x+1=0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ）
A.a<0
B.a>0
C.a<-1
D.a>1
6.有下列四个命题：①“若0=+y x ，则y x ,互为相反数”的逆命题；②“若b a >，则22b a >”的逆否命题；③“若3-≤x ，则062>-+x x ”的否命题；④“若ab 是无理数，则b a ,是无理数”的逆命题。

其中真命题有 。

7.若非A 是B 的充分不必要条件，则A 是非B 的 条件。

8.某班主任计划带领同学们开展一次参观考察活动，地点从A 、B 、C 、D 、E5个地方选定，选择时要依据下列约束条件：⑴若去A 地，则也必须去B 地；⑵D 、E 两地至少去一地；⑶B 、C 两地只去一地；⑷C 、D 两地都去或都不去；⑸若去E 地，则A 、D 两地也必须去。

请问同学们的参观地点只可能是哪里？
9.已知10,10,10<<<<<<c b a 。

求证：a c c b b a )1(,)1(,)1(---中至少有一个不大于
41。

10.已知)0(012:,2|3
11:|22>≤-+-≤--m m x x q x p ，又知非p 是非q 的必要非充分条件，求实数m 的取值范围。