2021届《金版教程》高考数学(理科)大一轮总复习配套限时规范特训：选4-4-2 Word版含答案

04限时规范特训
A 级 基础达标
1．已知圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2cos θ，
y ＝2sin θ
(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正
半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为3ρcos α－4ρsin α－9＝0，则直线与圆的位置关系是( )
A ．相切
B ．相离
C ．直线过圆心
D ．相交但直线不过圆心
解析：圆的一般方程为x 2＋y 2＝4，直线的直角坐标方程为3x －4y －9＝0.圆心(0,0)到直线的距离d ＝|3×0－4×0－9|32＋(－4)2＝95<2，所以直线与圆相交．明显直线不过
原点(0,0)，故选D.
答案：D
2．[2022·台州质检]假如曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝a ＋2cos θ
y ＝a ＋2sin θ
(θ为参数)上有且仅有两个点
到原点的距离为2，那么实数a 的取值范围是( )
A ．(－22，0)
B ．(0,22)
C ．(－22，0)∪(0,22)
D ．(1,22)
解析：将曲线C 的参数方程⎩⎨
⎧
x ＝a ＋2cos θ，
y ＝a ＋2sin θ
(θ为参数)转化为一般方程，即(x －a )2＋(y －a )2＝4，由题意可知，问题可转化为以原点为圆心，以2为半径的圆与圆C 总相交，依据两圆相交的充要条件得0<2a 2<4，∴0<a 2<8，解得0<a <22或
－22<a <0.
答案：C
3．[2022·朝阳区模拟]在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝t ，
y ＝4＋t (t
为参数)．以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝42sin(θ＋π
4)，则直线l 和曲线C 的公共点有( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．很多个
解析：直线l ：⎩⎨
⎧
x ＝t ，
y ＝4＋t
(t 为参数)化成一般方程得x －y ＋4＝0.
曲线C ：ρ＝42sin(θ＋π
4)化为一般方程得(x －2)2＋(y －2)2＝8， ∴圆心C (2,2)到直线l 的距离d ＝|2－2＋4|
2
＝22＝r ，
∴直线l 与圆C 只有一个公共点，故选B. 答案：B
4．[2022·福建模拟]已知在平面直角坐标系xOy 中，点P (x ，y )是椭圆x 22＋y 2
3＝1上的一个动点，则S ＝x ＋y 的取值范围为( )
A ．[5，5]
B ．[－5，5]
C ．[－5，－5]
D ．[－5，5]
解析：因椭圆x 22＋y 2
3＝1的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝2cos φy ＝3sin φ
(φ为参数)，故可设动点P
的坐标为(2cos φ，3sin φ)，其中0≤φ<2π，因此S ＝x ＋y ＝2cos φ＋3sin φ＝5
(25cos φ＋35sin φ)＝5sin(φ＋γ)，其中tan γ＝63，所以S 的取值范围是[－5，5]，故选D.
答案：D
5．[2022·西安质检]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝cos αy ＝1＋sin α
(α为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，曲线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，则曲线C 1与曲线C 2的交点个数为________．
解析：由题意得，C 1：x 2＋(y －1)2＝1，C 2：x －y ＋1＝0，由于圆心(0,1)在直线x －y ＋1＝0上，故曲线C 1与曲线C 2有2个交点．
答案：2
6．[2022·咸阳模考]若直线l 的极坐标方程为ρcos(θ－π
4)＝32，圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝cos θy ＝sin θ
(θ为参数)上的点到直线l 的距离为d ，则d 的最大值为________．
解析：将直线的极坐标方程和圆的参数方程分别化为直角坐标方程和一般方程得x ＋y －6＝0，x 2
＋y 2
＝1，则圆心(0,0)到直线x ＋y －6＝0的距离h ＝6
2
＝32，
由圆的几何性质知圆C 上的点到直线l 的距离d 的最大值为32＋1.
答案：32＋1
7．已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝1＋
15
t y ＝a ＋2
5t
(t 为参数)，若直线l 与圆(x －1)2
＋y 2
＝1相交于P 、Q 两点且|PQ |＝45
5，则a 的值为________．
解析：由参数方程得直线的一般方程为2x －y ＋a －2＝0，|PQ |＝45
5，r ＝1，得圆心到直线距离d ＝
15＝|a |
5
，∴a ＝±1. 答案：±1
8．[2022·唐山调研]设直线的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝－4＋2
2t ，
y ＝2
2t
(t 为参数)，点P
在直线上，且与点M 0(－4,0)的距离为2，若该直线的参数方程改写成
⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝－4＋t ，y ＝t (t 为参数)，则在这个方程中点P 对应的t 值为________． 解析：由|PM 0|＝2知(22t )2＋(22t )2
＝2，解得t ＝±2，代入第一个参数方程，得点P 的坐标为(－3,1)或(－5，－1)，再把点P 的坐标代入其次个参数方程可得t ＝1或t ＝－1.
答案：1或－1
9．[2022·邵阳模拟]直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴
建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ
(θ为参数)和曲线C 2：
ρ＝1上，则|AB |的最小值为________．
解析：消掉参数θ，得到关于x 、y 的一般方程C 1：(x －3)2＋y 2＝1，表示以(3,0)为圆心，以1为半径的圆；C 2：x 2＋y 2＝1，表示的是以原点为圆心的单位圆，|AB |的最小值为3－1－1＝1.
答案：1
10．[2022·天津模拟]在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C 的参
数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ－π
4)＝2 2. (1)写出曲线C 的一般方程和直线l 的直角坐标方程； (2)求曲线C 上的点到直线l 的最大距离． 解：(1)由ρcos(θ－π
4)＝22，得ρ(cos θ＋sin θ)＝4， ∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.
由⎩⎨
⎧
x ＝3cos θ，y ＝sin θ
得C 的一般方程为x 23＋y 2
＝1.
(2)在曲线C ：x
2
3＋y 2＝1上任取一点P (3cos θ，sin θ)， 则点P 到直线l 的距离为
d ＝|3cos θ＋sin θ－4|2＝|2sin (θ＋π
3)－4|
2≤3 2.
∴曲线C 上的点到直线l 的最大距离为3 2.
11．[2022·镇江模拟]已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－2＋10cos θ，
y ＝10sin θ
(θ为参
数)，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋6sin θ.试推断曲线C 1，C 2是否相交，若相交，恳求出公共弦长，若不相交，请说明理由．
解：由⎩⎨
⎧
x ＝－2＋10cos θy ＝10sin θ
(θ为参数)得(x ＋2)2＋y 2＝10，
∴曲线C 1的一般方程为(x ＋2)2＋y 2＝10. ∵ρ＝2cos θ＋6sin θ， ∴ρ2＝2ρcos θ＋6ρsin θ，
∵ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， ∴x 2＋y 2＝2x ＋6y ， 即(x －1)2＋(y －3)2＝10，
∴曲线C 2的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10. ∵圆C 1的圆心为C 1(－2,0)，圆C 2的圆心为C 2(1,3)， ∴|C 1C 2|＝(－2－1)2＋(0－3)2＝32<210， ∴两圆相交．
设相交弦长为d ，∵两圆半径相等， ∴公共弦垂直平分线段C 1C 2， ∴(d 2)2＋(32
2)2＝(10)2， ∴d ＝22，∴公共弦长为22.
12．在直角坐标系xOy 中，已知点P (0，3)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝5cos φ
y ＝15sin φ
(φ为参数)．以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ＝3
2cos (θ－π6)
.
(1)推断点P 与直线l 的位置关系，说明理由；
(2)设直线l 与曲线C 的两个交点为A 、B ，求|P A |·|PB |的值． 解：(1)直线l ：2ρcos(θ－π
6)＝3，即3ρcos θ＋ρsin θ＝3， ∴直线l 的直角坐标方程为3x ＋y ＝3， ∴点P (0，3)在直线l 上．
(2)直线l 的参数方程为⎩⎨
⎧
x ＝－12t
y ＝
3＋32t
(t 为参数)，曲线C 的一般方程为x 25＋y 2
15
＝1.
将直线l 的参数方程代入曲线C 的一般方程， 得3(－12t )2＋(3＋3
2t )2＝15， ∴t 2＋2t －8＝0，Δ＝36>0， 设方程的两根为t 1，t 2，
则|P A |·|PB |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|＝|－8|＝8.
B 级 知能提升
1．[2022·南昌模拟]已知抛物线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝8t
2y ＝8t
(t 为参数)，圆C 2的
极坐标方程为ρ＝r (r >0)，若斜率为1的直线经过抛物线C 1的焦点，且与圆C 2相切，则r ＝________.
解析：抛物线的一般方程为y 2＝8x ，其焦点坐标是(2,0)，过该点且斜率为1的直线方程是y ＝x －2，即x －y －2＝0.圆ρ＝r 的圆心是坐标原点、半径为r ，直
线x －y －2＝0与该圆相切，则r ＝|0－0－2|
2
＝ 2.
答案： 2
2．已知在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与曲线
C ：⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ是参数)有两个不同的交点P 和Q ，则k 的取值范围为
________．
解析：曲线C 的参数方程：⎩⎨
⎧
x ＝2cos θ，
y ＝sin θ
(θ是参数)化为一般方程：x 22＋y
2
＝1，故曲线C 是一个椭圆．由题意，利用点斜式可得直线l 的方程为y ＝kx ＋2，将其代入椭圆的方程得x 22＋(kx ＋2)2
＝1，整理得(12＋k 2)x 2
＋22kx ＋1＝0，由于直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q ，所以Δ＝8k 2
－4×(12＋k 2
)＝4k 2－2>0，解得
k <－22或k >22.即k 的取值范围为(－∞，－22)∪(2
2，＋∞)．
答案：(－∞，－22)∪(2
2，＋∞)
3．在直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋t
y ＝1＋t (t 为参数)交曲线⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2cos θy ＝2sin θ
(θ为参数)于A ，B 两点．
(1)求线段AB 的长度及点M (－1,1)到A ，B 两点的距离之积； (2)若点P (x ，y )在曲线上，求x
2y －4
的取值范围．
解：(1)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝－1＋2
2t ′
y ＝1＋2
2t ′
(t ′为参数)，
代入曲线的直角坐标方程x 2
＋2y 2
＝4，得(－1＋22t ′)2
＋2(1＋22t ′)2＝4，化简得3t ′2
＋22t ′－2＝0，解得t ′1＝－2，t ′2＝2
3. 由参数t ′的几何意义，
得|AB |＝|t ′1－t ′2|＝|－2－23|＝423，|MA |·|MB |＝|t ′1t ′2|＝2
3.
(2)将⎩⎨
⎧
x ＝2cos θ
y ＝2sin θ
(θ为参数)代入x 2y －4中，得到2cos θ2sin θ－4＝cos θ
sin θ－2
，点(cos θ，
sin θ)和点(0,2)之间的斜率的倒数就是所求的值，由直线与圆的位置关系，得
cos θ
sin θ－2的取值范围为[－33，3
3]．。