第六章静电场中的导体习题课给学生分析
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1 2 1 2 we E 或we 0 E 2 2
非均匀电场能量计算
W e V wdV
只要确定 we 就可计算电场能量 We。
§6.电场能量、能量密度 / 三、电场的能量密度
例、有若干个电容器，将它们串联或并联时， 如果其中有一个电容器的电容值增大，则： (1) 串联时，总电容随之减小． (2) 并联时，总电容随之增大．
1 1 we E 2或we 0 E 2 2 2
7、一孤立的带电导体球，其表面处场强的方向 表面，当 把另一带电体放在这个导体球附近时，该导体球表面处场强的 方向 表面
答：垂直于；仍垂直于
8、两半径相同的金属球，一为空心，一为实心，把两者各自 孤立时的电容值加以比较，则 （A）空心球电容值大。 （B）实心球电容值大。 （C）两球电容值相等。 （D）大小关系无法确定。
答案： （A）
2、一平行板电容器充电后与电源断开，当用绝缘手柄 将电容器两极板间距拉大，则两极板间的电势差U12、 场强大小E、电场能量W将发生如下变化： （A） U12减小，E减小、W 减小； （B） U12增大，E增大、W增大； （C） U12增大，E不变、W增大； （D） U12减小，E不变、W不变。
本章小结与习题课
二、电介质中的场强
1.介质中的场强
E E 0 E'
E E0
r
2.介质中的电势差 U ab E d l
b a
本章小结与习题课
三、电位移矢量D
单位：库仑/米2，C/m2
1.对各向同性、均匀电介质
D 0 r E E
2.对平行板电容器 D 0
q
电介质
高斯定理是普遍成立的B
例二：两相距很远的带电的金属球半径分别为
Ｒ和r，现用导线相连，求电荷面密度关系
解：
V1
两相距很远的带电的金属球可看成是两孤立导体
4 0 r
Q1
,V2
4 0 R
Q2
Q1 r V1 V2 Q2 R Q1 1 4r 2 r R2 R 2 Q2 2 R r r 4R 2
11、C1和C2两空气电容器并联以后接电源充电，在电源保持联 接的情况下，在C1 中插入一电介质板，如图所示，则 （A） C1极板上电荷增加，C2 极板上电荷减少。 （B） C1极板上电荷减少，C2 极板上电荷增加。 （C） C1极板上电荷增加，C2 极板上电荷不变。 C1 C2 （D） C1极板上电荷减少，C2 极板上电荷不变。
10、密立根油滴实验，是利用作用在油滴上的电场力和重力平衡而 测量电荷的，其电场由两块带电平行板产生。实验中，半径为r带 有两个电子电荷的油滴保持静止时，其所在电场的两块极板的电势 差为U12。当电势差增加到4 U12 时，半径为2r的油滴保持静止，则 该油滴所带的电荷为：
U 4 （A）2e。（B）4e。（C）8e。（D）16e。 F电 qE q 12 F重 r 3 d 3 4U 4 qE q 12 F重 ( 2r )3 8 F电 F电 d 3 4U U q 12 8 q 12 q 2q d d
q Q
O r b
a
解：（1）由静电感应，金属球壳内表面有感应电荷-q， 外表面上带电荷q+Q (2)无论球壳内表面上的感应电荷-q是如何分布的，因 为任一电荷元离O点距离都是a，所以由这些电荷在O 点产生的电势为：
4 0 a 4 0 a （3）球心O点处的总电势为球壳内外表面上的电荷及 点电荷q在O点电势的代数和
3.介质中的高斯定理
S D d S q 0
D通量 只和自由电荷联系在一起。
本章小结与习题课
四、电容器电容 q 1.电容器电容 C U ab 介质中： C r C0
2.电容器串联 1 1 1 1 C C1 C 2 Cn 3.电容器并联
C C1 C2 Cn
- -
-
13、真空中均匀带电的球面和球体，如果两者的半径和总电荷 都相等，则带电球面的电场能量W1与带电球体的电场能量W2 相比 W1 W2（填<、=、>）
答：<
14、如图所示，一半径为a的，带有正电荷Q的导体 球，球外有一内半径为b外半径为c的不带电的同心 导体球壳，设无穷远处电势为零，试求内球和球壳 的电势。 解：球壳内表面将出现负的感应电荷-Q，外表面将 出现正的感应电荷Q，据电势叠加原理：导体球电势 U1球壳电势U2为：
（A）N上有负电荷入地
（B） N上有正电荷入地
（C）N上的电荷不动 （D）N上所有电荷都入地 答：B
+
-
+ + +
习题一、在一点电荷产生的电场中，一块电介质如图 放置，以点电荷所在处为球心作一球形闭合面，则对 此球形闭合面：
（A）高斯定理成立，且可以用它求出闭合面上各 点的场强。
（B）高斯定理成立，但不可以用 它求出闭合面上各点的场强。 （C）由于电介质不对称分布， 高斯定理不成立 （D）即使电介质对称分布，高 斯定理也不成立
A1 (a) A1 (b) A2 A2
答：(1) 在图(a)中，A1左端和A2右端电势相等 。(2) 正确．
1、有两个大小不相同的金属球，大球直径是小球的二 倍，大球带电小球不带电，两者相距很远。用细长导 线将两者相连，在忽略导线的影响下，大球小球的带 电之比为：
（A）2；（B）1；（C）1/2；（D）0
答：B；C
12、如图所示，一带负电荷的金属球，外面同心地罩一不带 电的金属球壳，则在球壳中一点P处的场强大小与电势（设无 穷远处电势为零）分别为：
( A )E 0 ,U 0. ( B )E 0 ,U 0 ( C )E 0 ,U 0. ( D )E 0 ,U 0
答：B
Q C 4 0 R V
答：C
9、如果某带电体其电荷分布的体密度增大为原来的两倍，则其 电场的能量变为原来的 （A）2倍。 （B）1/2倍。 0 dV dV （C）4倍。 E 2 2 V V 4 r 2 4 0 r （D）1/4倍。 0
答：C
1 w 0 E 2 E 2 2
（A）R/r；（B） R2/r2 ；（C）r2/R2；（D）r/R
V大
4 0 R
Q1
,V小
4 0 r
Q2
Q1
Q1 R 4R 2 R V大 V小 2 Q2 r 4r r
R r r R
Q2
R
r
4、如图所示，一内半径为a，外半径为b的金属球壳， 带有电荷Q，在球壳空腔内距离球心r处有一点电荷q， 设无限远处为电势零点，试求 ： （1）球壳内外表面上的电荷 （2）球心O处，由球壳内表面上电荷产生的电势 （3）球心O处的总电势
1 2 3 4 0 2 0 2 0 2 0 2 0 EP 1 2 3 4 0 2 0 2 0 2 0 2 0 (1) (2) 1 4 ( 2) (1) 2 3
E Pa
b
Qa
Qb
2
Q2
1
r
Q1
R
• 习题三：两块互相平行的的大金属板，面积为Ｓ，间 距为d，用电源使两板分别维持在电势Ｖ和电势Ｏ， 现将第三块相同面积而厚度可忽略的金属板插在两板 正中间，已知该板上原带有电荷q,求该板的电势． • 解：据高斯定理可知电荷分布如图所示
2 d V qd 电势 0 2 2 4 0 S
上述说法是否正确, 如有错误请改正．
答：(1) 串联时，总电容随之增大． (2) 正确 例、一平行板电容器充电后切断电源，若使二极板间距 离增加，则二极板间场强 _________________，电容____________________． (填 增大或减小或不变)
答：不变 ；减小
例、同一种材料的导体A1、A2紧靠一起， 放在外电场 中(图a)．将A1、A2分开后撤去电场(图b)．下列说法 是否正确? 如有错误请改正． (1) 在图(a)中，A1左端的电势比A2右端的电势低． (2) 在图(b)中，A1的电势比A2的电势低．
q q 0 E dS
s
0
q
S
q q
16、一平行板电容器充电后切断电源，若使二极板 间距增加，则二极板间场强 ，电 容 。（填增大或减小或不变）
答：不变；减小
17、一带正电荷的物体M，靠近一原不带电的金属导 体N，N的左端感生出负电荷，右端感生出正电荷。若 将N的左端接地，如图所示，则
答案： （C）
解1： 两相距很远的带电的金属球可看成是两孤立导体
V大 4 0 R Q1 ,V小 4 0 r Q2
Q1 R V大 V小 2 Q2 r
Q1
Q2
R
r
3、半径分别为R和r的两个金属球，两者相距很远。 用一根细长导线将两球连接在一起并使它们带电。在 忽略导线的影响下，两球表面的电荷面密度之比σR/σr 为：
6.静电平衡时，导体表面的场强大小为
E 0
7. 空腔内无电荷：空腔内表面无电荷全部 电荷分布于外表面,空腔内场强 E = 0。空 腔导体具有静电屏蔽的作用。 8. 空腔原带有电荷 Q：将 q 电荷放入空腔 内，内表面带有 -q 电荷,外表面带有 Q + q 电荷。接地可屏蔽内部电场变化对外 部电场的影响。
第6章习题课
一、静电场中的导体 1.静电平衡条件： 导体内部场强为0。 2.静电平衡时导体为等势体，导体表面为 等势面。
3.静电平衡时导体内无净电荷，所有电荷 分布于导体表面。
4.孤立导体电荷面密度与导体表面的曲率 有关，曲率越大，面密度越大． 5.静电平衡时，场强方向与导体表面垂直。
本章小结与习题课
U 0 U q U q U q Q q Qq 4 0 r 4 0 a 4 0b q q
q O a
U q
dq
q
r b
1 1 1 Q ( ) 4 0 r a b 4 0b
-q Q+q
5、有两块“无限大”带电导体平板平行放置。试 证明：静电平衡时（10分） （1）相向两面的电荷面密度总是大小相等、符号 相反的； （2）相背两面的电荷面密度总是大小相等、符号 相同的； 解：
U1 U2 Q 40 a Q 40 c
当然也可先求电[ ]Q 40b 40 c 40 abc
Q
a
b c
15、在一任意形状的空腔导体内放一任意形状的带 电体，总电荷为q，如图所示，试证明，在静电平衡 时，整个空腔内表面上的感生电荷总是等于-q。 解：设球壳内表面上感应电荷为q’。在导体内部作一 包围内表面的高斯面S，由于静电平衡时，导体内部 场强处处为零，按高斯定理：
1 2
1 2 3
Pa
4
Pb
x
或如图作高斯柱面，据高斯定理直接：
E dS
q (
0
2
3 )S
0
0
Qa
Qb
2 3
1 2 3
Pa
S
4
Pb
S
x
6、一平行板电容器，两板相距d，对它充电后断开，然后把两 板间距增大到2d，如果电容器内电场边缘效应忽略不计，则 （A）电容器的电容增大一倍 （B）电容器所带的电量增大一倍 （C）电容器两极间的电场强度增大一倍 （D）储存在电容器中的电场能量增大一倍 答：D
1 d 2 d V 0 2 0 2 1S 2 S q 0V q 1 d 2S V q 2 0 d 2S
3
1 1 2 2
V
本章小结与习题课
.电容的计算方法 （1）假设电容器的两个极板A、B分别 带 +q 和-q 电荷。
（2）求两极板间的电场 E 分布，并由 B U AB E dl 计算两极板间的电势差
A
q （3）由定义式 C ，计算电容C。 U A U B
五、电场的能量密度
单位体积内的静电场能量。
非均匀电场能量计算
W e V wdV
只要确定 we 就可计算电场能量 We。
§6.电场能量、能量密度 / 三、电场的能量密度
例、有若干个电容器，将它们串联或并联时， 如果其中有一个电容器的电容值增大，则： (1) 串联时，总电容随之减小． (2) 并联时，总电容随之增大．
1 1 we E 2或we 0 E 2 2 2
7、一孤立的带电导体球，其表面处场强的方向 表面，当 把另一带电体放在这个导体球附近时，该导体球表面处场强的 方向 表面
答：垂直于；仍垂直于
8、两半径相同的金属球，一为空心，一为实心，把两者各自 孤立时的电容值加以比较，则 （A）空心球电容值大。 （B）实心球电容值大。 （C）两球电容值相等。 （D）大小关系无法确定。
答案： （A）
2、一平行板电容器充电后与电源断开，当用绝缘手柄 将电容器两极板间距拉大，则两极板间的电势差U12、 场强大小E、电场能量W将发生如下变化： （A） U12减小，E减小、W 减小； （B） U12增大，E增大、W增大； （C） U12增大，E不变、W增大； （D） U12减小，E不变、W不变。
本章小结与习题课
二、电介质中的场强
1.介质中的场强
E E 0 E'
E E0
r
2.介质中的电势差 U ab E d l
b a
本章小结与习题课
三、电位移矢量D
单位：库仑/米2，C/m2
1.对各向同性、均匀电介质
D 0 r E E
2.对平行板电容器 D 0
q
电介质
高斯定理是普遍成立的B
例二：两相距很远的带电的金属球半径分别为
Ｒ和r，现用导线相连，求电荷面密度关系
解：
V1
两相距很远的带电的金属球可看成是两孤立导体
4 0 r
Q1
,V2
4 0 R
Q2
Q1 r V1 V2 Q2 R Q1 1 4r 2 r R2 R 2 Q2 2 R r r 4R 2
11、C1和C2两空气电容器并联以后接电源充电，在电源保持联 接的情况下，在C1 中插入一电介质板，如图所示，则 （A） C1极板上电荷增加，C2 极板上电荷减少。 （B） C1极板上电荷减少，C2 极板上电荷增加。 （C） C1极板上电荷增加，C2 极板上电荷不变。 C1 C2 （D） C1极板上电荷减少，C2 极板上电荷不变。
10、密立根油滴实验，是利用作用在油滴上的电场力和重力平衡而 测量电荷的，其电场由两块带电平行板产生。实验中，半径为r带 有两个电子电荷的油滴保持静止时，其所在电场的两块极板的电势 差为U12。当电势差增加到4 U12 时，半径为2r的油滴保持静止，则 该油滴所带的电荷为：
U 4 （A）2e。（B）4e。（C）8e。（D）16e。 F电 qE q 12 F重 r 3 d 3 4U 4 qE q 12 F重 ( 2r )3 8 F电 F电 d 3 4U U q 12 8 q 12 q 2q d d
q Q
O r b
a
解：（1）由静电感应，金属球壳内表面有感应电荷-q， 外表面上带电荷q+Q (2)无论球壳内表面上的感应电荷-q是如何分布的，因 为任一电荷元离O点距离都是a，所以由这些电荷在O 点产生的电势为：
4 0 a 4 0 a （3）球心O点处的总电势为球壳内外表面上的电荷及 点电荷q在O点电势的代数和
3.介质中的高斯定理
S D d S q 0
D通量 只和自由电荷联系在一起。
本章小结与习题课
四、电容器电容 q 1.电容器电容 C U ab 介质中： C r C0
2.电容器串联 1 1 1 1 C C1 C 2 Cn 3.电容器并联
C C1 C2 Cn
- -
-
13、真空中均匀带电的球面和球体，如果两者的半径和总电荷 都相等，则带电球面的电场能量W1与带电球体的电场能量W2 相比 W1 W2（填<、=、>）
答：<
14、如图所示，一半径为a的，带有正电荷Q的导体 球，球外有一内半径为b外半径为c的不带电的同心 导体球壳，设无穷远处电势为零，试求内球和球壳 的电势。 解：球壳内表面将出现负的感应电荷-Q，外表面将 出现正的感应电荷Q，据电势叠加原理：导体球电势 U1球壳电势U2为：
（A）N上有负电荷入地
（B） N上有正电荷入地
（C）N上的电荷不动 （D）N上所有电荷都入地 答：B
+
-
+ + +
习题一、在一点电荷产生的电场中，一块电介质如图 放置，以点电荷所在处为球心作一球形闭合面，则对 此球形闭合面：
（A）高斯定理成立，且可以用它求出闭合面上各 点的场强。
（B）高斯定理成立，但不可以用 它求出闭合面上各点的场强。 （C）由于电介质不对称分布， 高斯定理不成立 （D）即使电介质对称分布，高 斯定理也不成立
A1 (a) A1 (b) A2 A2
答：(1) 在图(a)中，A1左端和A2右端电势相等 。(2) 正确．
1、有两个大小不相同的金属球，大球直径是小球的二 倍，大球带电小球不带电，两者相距很远。用细长导 线将两者相连，在忽略导线的影响下，大球小球的带 电之比为：
（A）2；（B）1；（C）1/2；（D）0
答：B；C
12、如图所示，一带负电荷的金属球，外面同心地罩一不带 电的金属球壳，则在球壳中一点P处的场强大小与电势（设无 穷远处电势为零）分别为：
( A )E 0 ,U 0. ( B )E 0 ,U 0 ( C )E 0 ,U 0. ( D )E 0 ,U 0
答：B
Q C 4 0 R V
答：C
9、如果某带电体其电荷分布的体密度增大为原来的两倍，则其 电场的能量变为原来的 （A）2倍。 （B）1/2倍。 0 dV dV （C）4倍。 E 2 2 V V 4 r 2 4 0 r （D）1/4倍。 0
答：C
1 w 0 E 2 E 2 2
（A）R/r；（B） R2/r2 ；（C）r2/R2；（D）r/R
V大
4 0 R
Q1
,V小
4 0 r
Q2
Q1
Q1 R 4R 2 R V大 V小 2 Q2 r 4r r
R r r R
Q2
R
r
4、如图所示，一内半径为a，外半径为b的金属球壳， 带有电荷Q，在球壳空腔内距离球心r处有一点电荷q， 设无限远处为电势零点，试求 ： （1）球壳内外表面上的电荷 （2）球心O处，由球壳内表面上电荷产生的电势 （3）球心O处的总电势
1 2 3 4 0 2 0 2 0 2 0 2 0 EP 1 2 3 4 0 2 0 2 0 2 0 2 0 (1) (2) 1 4 ( 2) (1) 2 3
E Pa
b
Qa
Qb
2
Q2
1
r
Q1
R
• 习题三：两块互相平行的的大金属板，面积为Ｓ，间 距为d，用电源使两板分别维持在电势Ｖ和电势Ｏ， 现将第三块相同面积而厚度可忽略的金属板插在两板 正中间，已知该板上原带有电荷q,求该板的电势． • 解：据高斯定理可知电荷分布如图所示
2 d V qd 电势 0 2 2 4 0 S
上述说法是否正确, 如有错误请改正．
答：(1) 串联时，总电容随之增大． (2) 正确 例、一平行板电容器充电后切断电源，若使二极板间距 离增加，则二极板间场强 _________________，电容____________________． (填 增大或减小或不变)
答：不变 ；减小
例、同一种材料的导体A1、A2紧靠一起， 放在外电场 中(图a)．将A1、A2分开后撤去电场(图b)．下列说法 是否正确? 如有错误请改正． (1) 在图(a)中，A1左端的电势比A2右端的电势低． (2) 在图(b)中，A1的电势比A2的电势低．
q q 0 E dS
s
0
q
S
q q
16、一平行板电容器充电后切断电源，若使二极板 间距增加，则二极板间场强 ，电 容 。（填增大或减小或不变）
答：不变；减小
17、一带正电荷的物体M，靠近一原不带电的金属导 体N，N的左端感生出负电荷，右端感生出正电荷。若 将N的左端接地，如图所示，则
答案： （C）
解1： 两相距很远的带电的金属球可看成是两孤立导体
V大 4 0 R Q1 ,V小 4 0 r Q2
Q1 R V大 V小 2 Q2 r
Q1
Q2
R
r
3、半径分别为R和r的两个金属球，两者相距很远。 用一根细长导线将两球连接在一起并使它们带电。在 忽略导线的影响下，两球表面的电荷面密度之比σR/σr 为：
6.静电平衡时，导体表面的场强大小为
E 0
7. 空腔内无电荷：空腔内表面无电荷全部 电荷分布于外表面,空腔内场强 E = 0。空 腔导体具有静电屏蔽的作用。 8. 空腔原带有电荷 Q：将 q 电荷放入空腔 内，内表面带有 -q 电荷,外表面带有 Q + q 电荷。接地可屏蔽内部电场变化对外 部电场的影响。
第6章习题课
一、静电场中的导体 1.静电平衡条件： 导体内部场强为0。 2.静电平衡时导体为等势体，导体表面为 等势面。
3.静电平衡时导体内无净电荷，所有电荷 分布于导体表面。
4.孤立导体电荷面密度与导体表面的曲率 有关，曲率越大，面密度越大． 5.静电平衡时，场强方向与导体表面垂直。
本章小结与习题课
U 0 U q U q U q Q q Qq 4 0 r 4 0 a 4 0b q q
q O a
U q
dq
q
r b
1 1 1 Q ( ) 4 0 r a b 4 0b
-q Q+q
5、有两块“无限大”带电导体平板平行放置。试 证明：静电平衡时（10分） （1）相向两面的电荷面密度总是大小相等、符号 相反的； （2）相背两面的电荷面密度总是大小相等、符号 相同的； 解：
U1 U2 Q 40 a Q 40 c
当然也可先求电[ ]Q 40b 40 c 40 abc
Q
a
b c
15、在一任意形状的空腔导体内放一任意形状的带 电体，总电荷为q，如图所示，试证明，在静电平衡 时，整个空腔内表面上的感生电荷总是等于-q。 解：设球壳内表面上感应电荷为q’。在导体内部作一 包围内表面的高斯面S，由于静电平衡时，导体内部 场强处处为零，按高斯定理：
1 2
1 2 3
Pa
4
Pb
x
或如图作高斯柱面，据高斯定理直接：
E dS
q (
0
2
3 )S
0
0
Qa
Qb
2 3
1 2 3
Pa
S
4
Pb
S
x
6、一平行板电容器，两板相距d，对它充电后断开，然后把两 板间距增大到2d，如果电容器内电场边缘效应忽略不计，则 （A）电容器的电容增大一倍 （B）电容器所带的电量增大一倍 （C）电容器两极间的电场强度增大一倍 （D）储存在电容器中的电场能量增大一倍 答：D
1 d 2 d V 0 2 0 2 1S 2 S q 0V q 1 d 2S V q 2 0 d 2S
3
1 1 2 2
V
本章小结与习题课
.电容的计算方法 （1）假设电容器的两个极板A、B分别 带 +q 和-q 电荷。
（2）求两极板间的电场 E 分布，并由 B U AB E dl 计算两极板间的电势差
A
q （3）由定义式 C ，计算电容C。 U A U B
五、电场的能量密度
单位体积内的静电场能量。