第九章第二节(卡方检验法)

第九章第二节 2

χ检验法

三 (单个)正态总体方差的假设检验 已知条件,总体),(~2

σμN X , n

x x x ,,,21⋅⋅⋅为来自于总体X 的样本,

∑=--=n

i i

x x n s 1

2

2

)(1

1

,2

2σ=Es .

1． 检验假设0H :2

2

σσ=,

分析：2

s 比较集中地反映了2

σ的信

息，

若2

02

σσ=,则2

s 与2

σ应接近,

因此20

2

σ

s 不能太大或太小. 如果2

2

σ

s

太大或太小,应拒绝0

H . 而又由第七章定理三知

()()22

2

1~1n s W n χσ

-=-,

于是我们选取统计量

()

22

01n s W σ-=

,作为检验函数.

在0H 为真的条件下

()()22

2

1~1n s W n χσ

-=- 。

因而检验步骤如下

(1) 提出检验假设0

H :2

2

σσ= ; (2)选取统计量

()

()2

22

01~1n s W n χσ-=

- ,

(3)给定水平α，查()12

-n χ表得

)1(),1(2

2

221---

n n α

αχχ，使得

2

12(1)12P W n ααχ-⎧⎫≤-=-⎨⎬⎩⎭,

2

2(1)2

P W n ααχ⎧⎫≤-=⎨⎬⎩⎭, 从而

2

12(1)2P W n ααχ-

⎧⎫>-=⎨⎬⎩⎭ ,

2

2(1)2

P W n ααχ⎧⎫<-=⎨⎬⎩⎭,

于是

22

122((1)(1))P W n W n ααχχα-

⎧⎫⎧⎫>-<-=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭ ，

从而22

122(1)(1)W n W n ααχχ-⎧⎫⎧⎫>-<-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭

是小概率事件, 于是拒绝域

⎪⎭

⎫⎢⎣⎡∞-⎥⎦⎤ ⎝⎛-=-

),1()1(,02

2

12

2

n n D α

α

χχ , (4)根据样本值n x x x ,,,21 ， 算得W 的值

()22

1n s w σ

-=

2

1

20

n

i i x x σ

-

=⎛⎫- ⎪⎝⎭=∑,

（5）若2

2

(1)w n αχ

<-，

或2

12

(1)w n α

χ

-

>-，

则拒绝假设0H ；

否则接受假设0H .

例6 某厂生产螺钉,生产一直比较稳定,长期以来,螺钉的直径服从方差为=2

σ0.0002(cm 2

)的正态分布.今从产品中随机抽取10只进行测量,得螺钉直径的数据(单位:cm)如下 1.21 1.21 1.18 1.17 1.20 1.17 1.19 1.18

问是否可以认为该厂生产的螺钉的直径的方差为0.0002(cm 2

)?(取)05.0=α

解:(1)检验假设 :0

H =2

σ0.0002, (2)统计量

2

220

(1)~(9)n s W χσ-=

,

(3)由样本值得19.1=-

x

()

∑=-

=--=n

i i

x x n s 1

2

2

00022.01

1,

故2

20

(1)10n s w σ

-=

=,

(4)查2

χ分布表,得

0.19)9()9(2

975

.02

2

1==-

χχα,

7.2)9()9(2

25

.02

2

==χχα;

现在22

12

2

(9) 2.71019.0(9)ααχ

χ-

=<<=， 因此接受假设:0

H =2

σ0.0002.

2. 检验假设

0H :2

02

σσ=;2

21:σσ>H , (事先由样本值算出2

2σ>s , 才这样提) 检验步骤如下 (1) 提出检验假设

0H :202σσ= ; 2

21:σσ>H , (2)选取统计量

()()22

2

1~1n s W n χσ

-=- ,

(3)给定水平α，查()12

-n χ表得临界值),1(21--n α

χ，使得 {}21(1)1P W n α

χα-≤-=-,

从而