2024届广东省深圳市高级中学数学高一下期末调研试题含解析

2024届广东省深圳市高级中学数学高一下期末调研试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在 ABC 中， 80,
100,45a b A ===︒，则此三角形解的情况是( ) A ．一解
B ．两解
C ．一解或两解
D ．无解
2．已知圆心为C （6，5），且过点B （3，6）的圆的方程为（ ） A ．22(6)(5)10x y -+-= B ．22(6)(5)10x y +++= C ．22(5)(6)10x y -+-= D ．22(5)(6)10x y +++=
3．51
(1)x x
++展开式中的常数项为（ ） A ．1
B ．21
C ．31
D ．51
4．若a b ，是函数()()2
00f x x px q p q =-+>>，的两个不同的零点，且2a b -，，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于（ ） A ．1
B ．5
C ．9
D ．4
5．同时具有性质：“① 最小正周期是π；② 图象关于直线3
x π
=对称；③ 在5[
,]6
π
π上是单调递增函数”的一个函数可以是（ ） A ．cos()2
6
x y π
=+
B ．5sin(2)6y x π=+
C ．cos(2)3
y x π
=-
D ．sin(2)6
y x π
=-
6．为了治疗某种疾病，研制了一种新药，为确定该药的疗效，生物实验室有6只小动物，其中有3只注射过该新药，若从这6只小动物中随机取出2只检测，则恰有1只注射过该新药的概率为( ) A ．
23
B ．
35
C ．
25
D ．
15
7．函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图象交于,M N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是
A ．函数()f x 的最小正周期是2π
B ．函数()f x 的图象关于点,034⎛⎫
π ⎪⎝⎭
成中心对称 C ．函数()f x 在2(,)36
ππ
-
-单调递增 D ．函数()f x 的图象向右平移512
π
后关于原点成中心对称
8．使函数()()()3sin 2cos 2f x x x θθ=+++是偶函数，且在04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上是减函数的
θ的一个值是( )
A ．
6
π B ．
3
π C ．23
π-
D ．56
π-
9．函数()2
2f x x x m =--的零点有两个，求实数m 的取值范围（ ） A ．10m -<<
B ．0m >或1m =-
C ．0m >或10m -≤<
D ．01m <<
10．执行如图所示的程序框图，则输出k 的值为（ ）
A ．7
B ．6
C ．5
D ．4
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．当1x ≤-时，1
()1
f x x x =+
+的最大值为__________. 12．如图，四棱锥P ABCD -中，所有棱长均为2，O 是底面正方形ABCD 中心，E 为PC 中点，则直线OE 与直线PD 所成角的余弦值为____________.
13．在空间直角坐标系xOy 中，点(1,2,4)--关于原点O 的对称点的坐标为__________．
14．已知(1,2)a =，(2,2)b =-，若()a b a λ+⊥，则λ=____ 15．在
中，角
所对的对边分别为
，若
，
，
，则
的面积等于_____
16．过点(2,4)A -作圆2
2
2690x y x y +--+=的切线l ，则切线l 的方程为_____． 三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知
33sin cos 022b A a B ππ⎛⎫⎛
⎫-++
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
，且2
sin 6sin sin A B C =⋅. （1）求A ；
（2）若()b c a R λλ+=∈，求λ的值. 18．已知向量3(sin ,),(cos ,1)4
a x
b x ==-. (1)当
时，求tan()4
x π
-
的值；
(2)设函数()2()f x a b b =+⋅，当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，求()f x 的值域. 19．设数列{}n a 的前n 项和为2
n S an bn =+，且121,3a a ==．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1
1
n n n b a a +=
，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
20．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是直线20x y -=与直线30x y +-=的交点. （1）求点P 的坐标；
（2）若直线l 过点P ，且与直线3210x y +-=垂直，求直线l 的方程. 21．已知数列{}n a 的前n 项和为n A ，对任意*n N ∈满足
n 11
12
n A A n n +-=+，且11a =，数列{}n b 满足*
2120()n n n b b b n N ++-+=∈，35b =，其前9项和为63.
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）令n n
n n n
b a
c a b =
+，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若存在正整数n ，有2n T n a ≥+，求实数a 的取值范围；
（3）将数列{}n a ,{}n b 的项按照“当n 为奇数时，n a 放在前面；当n 为偶数时，n b 放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新的数列：11223344,,,,,,,,a b b a a b b a …，求这个新数列的前n 项和n S .
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、B 【解题分析】
由题意知，80a =，100b =，45A ∠=︒，∴2
sin 100502802
b A =⨯
=<，如图：
∵sin b A a b <<，∴此三角形的解的情况有2种，故选B ． 2、A 【解题分析】
在知道圆心的情况下可设圆的标准方程为222
(6)(5)x y r -+-=,然后根据圆过点B
（3，6），代入方程可求出r 的值，得到圆的方程. 【题目详解】
因为||BC ==又因为圆心为C （6，5）,所以所求圆的方程为222(6)(5)x y r -+-=,
因为此圆过点B （3，6），
所以222
(36)(65)r -+-=,所以210r =，因而所求圆的方程为
22(6)(5)10x y -+-=.
考点：圆的标准方程. 3、D 【解题分析】 常数项有三种情况，1,
x x 都是0次，或者1,x x 都是1次，或者1
,x x
都是二次，故常数项为1122
54531C C C C 1203051++=++=
4、C 【解题分析】
试题分析：由韦达定理得a b p +=，a b q ⋅=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比数列时，2-必为等比中项，故4a b q ⋅==，4
=b a
．当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，422a a
=
-，解得1a =，4b =；当4a 是
等差中项时，8
2a a
=-，解得4a =，1b =，综上所述，5a b p +==，所以p q +9=． 考点：等差中项和等比中项． 5、D 【解题分析】
利用正弦函数、余弦函数的图象和性质，逐一检验，可得结论． 【题目详解】
A,对于y ＝cos （26
x π+），它的周期为21
2
π
=
4π，故不满足条件． B,对于y ＝sin （2x 56π+
），在区间56ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，上，2x 56π+∈[52π，176π]，故该函数在
区间56ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，上不是单调递增函数，故不满足条件． C,对于y ＝cos （2x 3π-），当x 3π=时，函数y 1
2
=，不是最值，故不满足②它的图象关于直线x 3
π
=
对称，故不满足条件．
D,对于y ＝sin （2x 6π-
），它的周期为
22π=π，当x 3
π
=时，函数y ＝1，是函数的最大值，满足它的图象关于直线x 3
π
=
对称；且在区间56ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
，上，2x 6π-∈[32π，116π]，故该函数在区间56ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，上是单调递增函数，满足条件． 故选：D ． 【题目点拨】
本题主要考查了正弦函数、余弦函数的图象和性质，属于中档题． 6、B 【解题分析】
将3只注射过新药和未注射过新药的小动物分别编号，列出所有的基本事件，并确定事件“恰有1只注射过该新药”所包含的基本事件的数目，然后利用古典概型的概率计算公式可该事件的概率． 【题目详解】
将3只注射过新药的小动物编号为A 、B 、C ，3只未注射新药的小动物编号为a 、b 、
c ，
记事件:M 恰有1只注射过该新药，
所有的基本事件有：(),A B 、(),A C 、(),A a 、(),A b 、(),A c 、(),B C 、(),B a 、(),B b 、
(),B c 、(),C a 、(),C b 、(),C c 、(),a b 、(),a c 、(),b c ，共15个，
其中事件M 所包含的基本事件个数为9个，由古典概型的概率公式得
()93155
P M =
=， 故选B ．
【题目点拨】
本题考查古典概型的概率公式，列举基本事件是解题的关键，一般在列举基本事件有枚举法和数状图法，列举时应注意不重不漏，考查计算能力，属于中等题． 7、B
【解题分析】
根据函数的图象，求得函数()sin 23f x A x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，再根据正弦型函数的性质，即可求解，得到答案． 【题目详解】
根据给定函数的图象，可得点C 的横坐标为
3π，所以1()2362
T πππ
=--=，解得T π=，
所以()f x 的最小正周期T π=， 不妨令0A >，0ϕπ<<，由周期T π=，所以
2ω=，
又06f π⎛⎫-
= ⎪⎝⎭，所以3πϕ=，所以()sin 23f x A x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
， 令2,3
x k k Z π
π+
=∈，解得,26k x k Z ππ
=
-∈，当3k =时，43
x π=，即函数()f x 的一个对称中心为4,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，即函数()f x 的图象关于点4,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
成中心对称．故选B ． 【题目点拨】
本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质，其中解答中根据函数的图象求得三角函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力，属于基础题． 8、B 【解题分析】
先根据辅助角公式化简，再根据奇偶性及在在04π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，上是减函数为减函数即可算出θ的范围。

【题目详解】 由题意得：
()()()
2cos 222sin 266f x x x x x ππθθθθ⎛⎫⎛
⎫=+++=
++=++ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭因为()f x 是偶函数，所以,62
3
k k k Z π
π
π
θπθπ+=
+⇒=
+∈，又因为在()f x 的减
区间为
322222
626232
k x k k x k π
π
ππθπθ
πθπππ+≤++
≤
+⇒+-≤≤+-，
k Z ∈,()f x 在04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上是减函数，所以当0k =时3
πθ=
满足,选B.
【题目点拨】
本题主要考查了三角函数的性质：奇偶性质、单调性以及辅助角公式。

sin y A wx =型为奇函数，cos y A wx =为偶函数。

其中辅助角公式为
()22sin cos sin tan b a b a b a αααϕϕ⎛
⎫+=++= ⎪⎝
⎭。

属于中等题。

9、B 【解题分析】
由题意可得，2
2y x x =-的图象（红色部分）和直线y m =有2个交点，数形结合求
得m 的范围． 【题目详解】
由题意可得2
2y x x =-的图象(红色部分)和直线y m =有2个交点，如图所示：
故有0m >或1m =-， 故选：B. 【题目点拨】
已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数
()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就
是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的图象的交点个数问题 . 10、C
【解题分析】
由流程图循环4次，输出k ，即可得出结果.． 【题目详解】
初始值9k =，1S =，是，
第一次循环：9
10S =，8k =，是， 第二次循环：4
5S =，7k =，是，
第三次循环：7
10S =，6k =，是，
第四次循环:S 3
5
=，5k =，否，输出5k =．
故选C ． 【题目点拨】
本题考查程序框图的循环，分析框图的作用，逐步执行即可，属于基础题．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、-3. 【解题分析】
将函数的表达式改写为：()11[(1)]111
f x x x x x =+=--+--++利用均值不等式得到答案. 【题目详解】
当1x ≤-时，()11[(1)]111
f x x x x x =+
=--+--++ 1
(1)21x x -+-
≥+ ()11
[(1)]1311
f x x x x x =+=--+--≤-++
故答案为-3 【题目点拨】
本题考查了均值不等式，利用一正二定三相等将函数变形是解题的关键. 12、
12
. 【解题分析】
以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线OE 与直线PD 所成角的余弦值． 【题目详解】
解：四棱锥P ABCD -中，所有棱长均为2，O 是底面正方形ABCD 中心，E 为PC 中点，
AC BD ∴⊥，PO ⊥平面ABCD ，
∴以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标
系，
则()0,0,0O
，()
2,0,0C -
，(2P ，2
2E ⎛
⎝⎭
， ()
0,2,0D -，
∴22OE ⎛=- ⎝⎭
， (0,2,2PD =--， 设直线OE 与直线PD 所成角为θ， 则||11
cos 2
||||14OE PD OE PD θ=
==⨯，
∴直线OE 与直线PD 所成角的余弦值为
12
． 故答案为：
12
． 【题目点拨】
本题主要考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，属于中档题． 13、(1,2,4)- 【解题分析】
空间直角坐标系xOy 中，关于原点对称，每个坐标变为原来的相反数. 【题目详解】
空间直角坐标系xOy 中，关于原点对称，每个坐标变为原来的相反数. 点(1,2,4)--关于原点O 的对称点的坐标为(1,2,4)- 故答案为：(1,2,4)-
本题考查了空间直角坐标系关于原点对称，属于简单题. 14、
52
【解题分析】
由(1,2)a =，(2,2)b =-，得a λb +的坐标，根据()a b a λ+⊥得()0a b a λ+⋅=，由向量数量积的坐标表示即可得结果. 【题目详解】
∵(1,2)a =，(2,2)b =-，∴()()()1,22,212,22a b +=+-=+-λλλλ 又∵()a b a λ+⊥，∴()0a b a λ+⋅=， 即()()12,221,20+-⋅=λλ， 所以()122220λλ++-=，解得5
2λ=，故答案为52
. 【题目点拨】
本题主要考查了向量的坐标运算，两向量垂直与数量积的关系，属于基础题. 15、或
【解题分析】
由余弦定理求出，再利用面积公式即可得到答案。

【题目详解】 由于在中，
，
，
，根据余弦定理可得：
，
即，解得：
或，经检验都满足题意；
所以当时，的面积
，当
时，
的面积
；
故
的面积等于或
【题目点拨】
本题考查余弦定理与面积公式在三角形中的应用，属于中档题。

16、4y =或34100x y +-= 【解题分析】
求出圆的圆心与半径分别为：(1,3)，1r =，分别设出直线斜率存在与不存在情况下的直线方程，利用点到直线的距离等于半径即可得到答案．
由圆的一般方程得到圆的圆心和半径分别为; (1,3)，1r =;
（1）当过点(2,4)A -的切线l 斜率不存在时，切线l 方程为：2x =-，此时圆心到直线l 的距离3d r =>，故不与圆相切，不满足题意；
（2）当过点(2,4)A -的切线l 的斜率k 存在时，设切线l 方程为：4(2)y k x -=+，即为240kx y k -++=；
由于直线l 与圆相切，所以圆心到切线l
的距离等于半径，即1d ==，
解得：0k =或3
4
-
，所以切线l 的方程为4y =或34100x y +-=； 综述所述：切线l 的方程4y =或34100x y +-= 【题目点拨】
本题考查过圆外一点求圆的切线方程，解题关键是设出切线方程，利用圆心到切线的距离等于半径得到关系式，属于中档题．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）3
A π
=
；（2
）λ=
. 【解题分析】
（1
）根据诱导公式、正弦定理、同角三角函数基本关系式，结合已知等式，化简
tan A =(0,)A π∈，可得A 的值；
（2）由已知根据余弦定理可得2223a a bc λ+=，利用正弦定理可得26a bc =，联立即可解得λ的值． 【题目详解】 （1
3sin cos 022A a B ππ⎛
⎫⎛⎫-
++= ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝
⎭
cos sin 0A a B ⇒+=，
cos sin sin 0
B A A B ⇒+=(0,)sin 0B B π∈∴≠，
tan (0,)3
A A A π
π∴=∈∴=
；
（2）22sin 6sin sin 6A B C a ac =⋅⇒=，
2222222cos )(3a b c bc B b c b bc bc c +⋅=++=--=-，而()b c a R λλ+=∈，
22()3a a bc λ=-，而26a ac =，所以有23022
2
λλλλ=
⇒=±>∴=
. 【题目点拨】
本题考查了诱导公式、正弦定理、同角三角函数基本关系式、余弦定理，考查了数学运算能力.
18、 (1)-7， (2)13
[,22
+ 【解题分析】
试题分析：(1)由向量共线得到等量关系，求出角的正切值，
33
//cos sin 0,tan 44a b x x x ∴+==-再利用两角差正切公式求解：
tan 1
tan()741tan x x x
π--==-+(2)先根据向量数量积，利用二倍角公式及配角公式得到
三角函数关系式3()2()2sin(2)42f x a b b x π=+⋅=++，再从角0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
出发研
究基本三角函数范围：
5
[0,],2sin(2)1244424x x x πππππ
∈≤+≤∴-≤+≤13()22f x ∴≤≤+试题解析：(1)
33
//cos sin 0,tan 44
a b x x x ∴+==-, 3分
tan 1
tan()741tan x x x
π--==-+6分
(2)3
()2()2sin(2)42
f x a b b x π=+⋅=++8分
5[0,],2sin(2)1244424
x x x πππππ∈≤+≤∴-≤+≤11分
13
()22f x ∴≤≤+()f x 的值域为13
[,22
+14分 考点：向量平行坐标表示，三角函数性质 19、（1）21n a n =-；（2）21
n n
T n =+ 【解题分析】
(1)由2
n S an bn =+，且12a 1,a 3==，
可得10a b ==，
当2n n n a S =-时， 22
111(1)211n S n n n S a -=--=-==，也适合，
21n a n =-；
(2)∵
123111111(21)(21)22121n n n n n b T b b b b a a n n n n +⎛⎫
=
==-∴=+++⋯+= ⎪-+-+⎝⎭
111111(1)2335212121n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+-+⋯+-= ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎣⎦
20、（1）(1,2)；（2）2340x y -+= 【解题分析】
（1）由两条直线组成方程组，求得交点坐标；
（2）设与直线3210x y +-=垂直的直线方程为230x y m -+=，代入点P 的坐标求得m 的值，可写出l 的方程． 【题目详解】
（1）由直线20x y -=与直线30x y +-=组成方程组，
得20
30
x y x y -=⎧⎨
+-=⎩，
解得12x y =⎧⎨=⎩
，
所以点P 的坐标为(1,2)；
（2）设与直线3210x y +-=垂直的直线l 的方程为230x y m -+=， 又直线l 过点(1,2)P ，所以260m -+=，解得4m =， 直线l 的方程为2340x y -+=． 【题目点拨】
本题考查直线方程的求法与应用问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.
21、（1）,2n n a n b n ==+；（2）43a ≤；（3）22*213
,242
63
{
,43,4
65
,414
n n n n k n n S n k k N n n n k +=+-==-∈++=- 【解题分析】
试题分析：（1）由已知得数列n A n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列，从而易得n A n ，也即得n A ，利用
1(2)n n n a A A n -=-≥求得(2)n a n ≥，再求得11a A =可得数列{}n a 通项，利用已知2120n n n b b b ++-+=可得{}n b 是等差数列，由等差数列的基本量法可求得n b ；（2）代入,n n a b 得n c ，变形后得1
1222n c n n ⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭
，从而易求得和n T ，于是有
1
123212n T n n n ⎛⎫-=-+ ⎪
++⎝⎭
，只要求得1112n n +++的最大值即可得2n T n -的最小值，从而得a 的范围，研究
11
12
n n +++的单调性可得；（3）根据新数列的构造方法，在求新数列的前n 项和n S 时，对n 分类：2n k =，41n k =-和41n k =+三类，可求解．
试题解析：（1）∵
1112n n A A n n +-=+，∴数列n A n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是首项为1，公差为12的等差数列， ∴
，即()()*
12
n n n A n N +=
∈，
∴()()()()*
111211
2
2
n n n n n n n a A A n n N +++++=-=
-=+∈，
又11a =，∴()
*
n a n n N =∈．
∵2120n n n b b b ++-+=，∴数列{}n b 是等差数列， 设{}n b 的前n 项和为n B ，∵()3799632
b b B +==且35b =，
∴79b =，∴{}n b 的公差为()
*7395
1,27373
n b b b n n N --===+∈-- （2）由（1）知2112222n n n n n b a n n c a b n n n n +⎛⎫=
+=+=+- ⎪++⎝⎭
， ∴12111
11221324
2n n T c c c n n n ⎛⎫
=++
+=+-+-+
+
- ⎪+⎝⎭
1111
122123221212n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=++--=+-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭
，
∴1
123212n T n n n ⎛⎫-=-+
⎪++⎝⎭
设1
13212n R n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭
，则()()1
114201313n n R R n n n n +⎛⎫-=-=> ⎪++++⎝⎭， ∴数列{}n R 为递增数列， ∴()1min 4
3
n R R ==
， ∵对任意正整数n ，都有2n T n a -≥恒成立，∴43
a ≤． （3）数列{}n a 的前n 项和()12
n n n A +=
，数列{}n b 的前n 项和()52
n n n B +=
，
①当(
)*
2n k k N
=∈时，()()21532
2
n
k k k k k k S
A B k k ++=+=
+
=+；
②当()*
41n k k N
=+∈时，
()()()221221222254812
2
n k k k k k k S A B k k ++++=+=
+=++，
特别地，当1n =时，11S =也符合上式； ③当(
)
*
41n k k N
=-∈时，()()2212212225442
2
n k k k k k k S A B k k --+=+=
+=+．
综上：22*213
,24263
{
,43,4
65
,414
n n n n k n n S n k k N n n n k +=+-==-∈++=- 考点：等差数列的通项公式，数列的单调性，数列的求和．。