高中数学_二倍角的正弦余弦正切公式教学设计学情分析教材分析课后反思

“二倍角的正弦、余弦、正切”教学设计
设计理念：根据皮亚杰的认知发展理论，在个体从出生到成熟的发展过程中，智力发展可以分为具有不同的质的四个主要阶段：激活原有认知结构、构建新的认知结构、尝试新的认知结构、发展新的认知结构。

发展的各个阶段顺序是一致的，前一阶段总是达到后一阶段的前提。

阶段的发展不是间断性的跳跃，而是逐渐、持续的变化。

皮亚杰的认知发展阶段论为发展中学生智力发展水平的评估和诊断，提供了重要的理论依据。

教学内容：《普通高中课程标准实验教科书（数学）》必修4（人教A版），第三章、第一节、第132－135页。

“二倍角的正弦、余弦、正切”是在研究了两角和与差的三角函数的基础上研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式，它既是两角和的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又为以后求三角函数值、化简和证明提供了非常有用的理论工具，通过对二倍角公式的推导知道：二倍角公式的内涵是“揭示具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律”，通过推导还让学生了解高中数学中由“一般”到“特殊”的化归数学思想，因此这节课也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力都有重要意义。

教学目标：根据新课程标准的要求、本节教材的特点和学生对三角函数的认知特点，我们把本节课的教学目标确定为：
1、能从两角和的正弦、余弦、正切公式出发推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，理解它们的内在联系，从中体会数学的化归思想和数学规律的发现过程。

2、掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，通过对二倍角公式的正用、逆用、变形使用，提高三角变形的能力，以及应用转化、化归、换元等数学思想方法解决问题的能力。

3、通过一题多解、一题多变，激发学生的学习兴趣，培养学生的发散性思维、创新意识和数学情感，提高数学素养。

学情分析：我们的学生从认知角度上看，已经比较熟练的掌握了两角和与差的三角函数。

从学习情感方面看，大部分学生愿意主动学习。

从能力上看，学生主动学习能力、探究的能力较弱。

教材分析：对公式的引入改变了教材中直接填结果的做法，而是通过提出问题，设置情景对和角公式中的角、的关系特殊情形
时的简化，让学生探讨发现、推证得出二倍角公式，这样学生会感到自然，好接受，并可清晰知道和角的三角函数与二倍角公式的联系，
同时让学生学会怎样发现数学规律，并体会到化归（这里是将一般化归到特殊）这一基本数学思想在发现中所起的作用，对教材的例题则有所增减，处理方式也有适当改变。

教学重点、难点
重点：使学生在掌握了和角、差角公式后如何将和角公式化为二倍角公式，以及公式的两种变形和公式成立的条件；如何学会去发现数学规律，并体会化归、转化等基本数学思想在发现中所起的作用，能正确应用这些公式进行三角化简、求值、证明等。

难点：灵活应用二倍角公式及其变形，熟练解三角综合题。

教学过程
一、复习启发、设置情景、引出正题
1、（复习性提问）：请同学回顾两角和的公式
（学生回答，教师板书）
2、（探索性提问）当上述公式中角、具有特殊化关系时，公式变为什么形式？请一名学生到黑板上演示简化，其他同学在座位上做。

学生板书：
3、集体订正后，引导学生观察其结构，并指名回答观察结果
（学生回答：左边角均为，右边角均为，具有“二倍”关系）
4、引入正题
师：肯定学生观察结论准确，并加以说明公式中蕴含着“对称”、“和谐”之美
教师板书（放幻灯片）
二倍角公式简记为
即为我们今天要学习的二倍角公式
【设计意图：复习已学公式，对其特殊化。

让学生学会从“一般”到“特殊”的化归方法，从而达到“温故知新”的教学目的】
二、引导探究、深化认识
1、回忆推导过程，让学生明确二倍角公式是和角公式的特殊情形。

知道二者之间的联系
2、（探索性提问）对：
中的平方联想到，有无其他变式？
（学生探索、总结得出两种变式：）
3、（深化性提问）：有了这组二倍角公式，我们是否可以放心大胆的应用呢？
（学生：不能，要注意公式成立的条件）
引导学生联想和角公式的条件，利用类比的方法，探索出二倍角公式的条件
指出：尤其注意成立的条件
【设计意图：引导学生应用联想、类比的教学思想、得出公式成立的条件】
4、（探索性提问）在中，当左边的时，虽然右边的不存在，但左边的存在，能否用求？该怎样求？
引导学生：改用诱导公式：
【设计意图：引导学生对特殊情形，另辟蹊径，寻找求解依据，培养学生细致、灵活的探索习惯】
5、二倍角公式中的倍数关系是相对的，为深化对二倍角公式的理解，出示一组填空题（放幻灯片） 练习1：
__
tan 1tan__
24tan 31__cos 23cos )2(cos__sin__2sin )1(22-=
-==ααα）（
_______5.22tan 15.22tan 2)7(_____
75cos 21)6(_____
8
cos 8sin )5(______
4
cos
4
sin
)4(2
0022
2
=-=-=-=π
π
αα
2cos 1)(__)10(2()
1cos )9(__)(__2sin 18222α
αα-=
+=
±=±）（
【设计意图：通过填空，让学生灵活理解“二倍角”的含义，根据学生易混点，类比公式，展开训练，达到“跨越障碍、突破难点”之目的】
三、巩固公式，学习应用
出示例题，学生训练，做完后组内交流，订正答案，最后教师引导学生小结方法、技巧、要点、解题规范等。

————放幻灯片 例、 的值。

求已知αααπ
απα4tan ,4cos ,4sin ,2
4,1352sin <<=
讲评：此题目中对角α2有范围限制,做题中应注意什么?仅知道α2sin 值,欲求二倍角正弦、余弦、正切,先需要知道什么?… …在求值
时,要灵活应用
三种等价形式,并注意在求解过程中要尽量使用已
知的原始数据,减少错误的可能性。

【设计意图：由浅入深,巩固公式,培养学生规范、科学解题的能力,教给学生小结解题经验,做后反思】 练习2：
的值。

求已知4tan ,4cos ,4sin ,128,548cos
α
ααπαπα
<<-=
【设计意图：加深巩固二倍角公式和综合应用已学过的技巧证题】
四、提炼总结——放幻灯片
（1）在两角和的三角函数公式中，当
时，
就可得到二倍角的三角函数公式。

说明：后者是前者的
特例。

（2）
中角
没有条件限制，而中，只有时才成立。

（3）二倍角公式不仅限于是的二倍形式，其他如
是
的二
倍，
是
的二倍，
是
的二倍等等都适用，要熟悉这些多形式
的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活应用公式的关键。

有三种形式：。

要
依据条件灵活应用公式，另外逆用此公式时更要注重结构形式。

【设计意图：使学生对本节课所学知识的结构有一个清晰的认识，抓住重点、难点，关键进行课后复习巩固】
五、作业布置：
必做：教材
第135页：第2、3、4、5题
第138页：习题A组，第14、15题。

【设计意图：培养学生自觉学习的习惯，检查学习效果，及时反馈，插漏补缺】
选做：
有一块以O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AB落在半圆的直径上，另外两点D，C落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为r，则如何选择A、B的位
置，可使矩形ABCD的面积最大？
【设计意图：对学有余力的学生留出自我发展的空间，尝试能力，拓展创新】
设计思路：
1、本节公式比较多，首先要搞清楚各公式之间的内在联系，也就是要很好地理解上面的知识结构图，其次理解如何由和角公式推导倍角公式，然后明确倍角的含义，熟练地运用倍角公式进行求值、化简等三角运算及恒等变形。

2、在三角式的运算及恒等变形过程中，除了倍角公式外，也离不开前面所学的同角三角函数关系、诱导公式以及和角公式等，它们是一个有机整体。

在解题过程中要求学生先分析条件与求解目标之间的差异，选择恰当的公式进行转化沟通，然后明确解题思路，设计解题步骤，完善解答过程，培养逻辑思维能力。

3、我们通过一题多解，使我们学会数学思考与推理，训练发散性思维，培养创造新意识，提高数学素养。

4、以公式特殊情形化简为切入点以学生探索、推
导、应用
为主线以学生发展能力为目的
我们的学生从认知角度上看，已经比较熟练的掌握了两角和与差的三角函数。

从学习情感方面看，大部分学生愿意主动学习。

从能力上看，学生主动学习能力、探究的能力、较弱。

本节课，学案设置合理，注重发展学生的思维能力，题目设计充分考虑学生的易错点与思维难点，由易到难，循序渐进，体现了数学知识的产生过程，具有非常强的针对性，充分发挥了导学功能。

教师通过利用课件及动画展示，深入剖析教材，引导学生整体把握知识结构；教学过程设计合理流畅，环环相扣，紧凑严密。

教师采用学生自主学习与小组合作探究相结合的教学模式，有意识地从多方面，多角度积极引导、调动学生参与教学，注重培养学生自己发现问题，分析问题并解决问题的能力，教学评价形式多样而且及时，极大地提高了学生的课堂积极性。

当堂反馈检测设计合理有效，抓住了学生思维漏洞，针对性强，体现讲练结合。

师生配合和谐默契，凸显课堂高效率。

学生对知识有一个系统的认识，也体会了知识的产生过程（从特殊到一般）。

)(βα+S )
(βα-S 教材分析：对公式的引入改变了教材中直接填结果的做法，而是通过提出问题，设置情景对和角公式中的角、的关系特殊情形
时的简化，让学生探讨发现、推证得出二倍角公式，这样学生会感到自然，好接受，并可清晰知道和角的三角函数与二倍角公式的联系，同时让学生学会怎样发现数学规律，并体会到化归（这里是将一般化归到特殊）这一基本数学思想在发现中所起的作用，对教材的例题则有所增减，处理方式也有适当改变。

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切
【教学目标】
1.理解二倍角的正弦、余弦、正切公式推导过程，并能进行公式的初步应用；
2.体会换元与化归等基本数学思想在解决问题中的应用。

【教学重点】
1.掌握二倍角公式的推导，以及公式的正用、逆用、变形用；
2.体会换元与化归等基本数学思想在解决问题中的应用。

【教学难点】 公式的灵活应用。

【教学过程】
一、复习回顾：写出下列公式。

)(T βα-
你能说出这些公式是怎样推导的吗？试着用结构图表示一下。

)(β
α-C )(βα-S )(βα+C )(βα+
S )(βα+T
(____)2sin cos αα=______________)sin (cos 2=±αα(____)2sin sin αα=)(βα-C )(βα+T 22cos 2cos sin ααα
=-_____)
(____)sin (cos sin cos 2cos 22-⋅+=-=ααααα__)(_________sin ____)1(sin cos 2cos 222=--=-=αααα)(βα+C
二、二倍角公式的推导与应用。

1、推导:
2、为了更好地记忆与应用公式，请总结一下每个公式的特点以及注意事项：
，可以取任意实数吗？三个公式中的α)1(
（2）三个公式左边的角都是（ ），右边的角都是（ ）
（3）三个公式左边的次数为（ ），右边的最高次数为（ ）
（4）如何理解倍角公式中“倍”的意思？
3、写出下列公式的变形：
αααcos sin 22sin 1=）（
（2）
βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+)(βα+C β
αβαβαsin cos cos sin )sin(+=+)(βα+S βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+)(βα+T α
β=令α
β=令α
β=令
__)
(_________)cos 1(cos sin cos 2cos 2222=--=-=ααααα
（3）2tan 1tan 22tan ααα-=
02tan (______)(_____)2tan =-+αα
三、典型应用 .4tan 4cos ,4sin ,2
4,1352sin 的值，求例：已知αααπαπα<<=
思考：
吗？）你还能用别的方法求（αα4cos ,4sin 1
你会怎么做？），的值（不求）如果只求（,cos44sin 4tan 2ααα
（3）题型总结：解决此类题我们的步骤是什么？
【自我总结】
【课后作业】
教材，第135页：第2、3、4、5题；第138页：习题A组，第14、15题。

【课外拓展】
有一块以O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内
接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AB落在半圆的直径上，另外
两点D，C落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为r，则如何选择
A、B的位置，可使矩形ABCD的面积最大？
达标检测
一、认识倍角公式。

二、运用倍角公式求角的三角函数值。

的值。

，求已知4tan ,4cos ,4sin 128,548cos
αααπαπα<<-= 二倍角公式的教学反思
二倍角公式是两角和的正弦、余弦及正切公式的推广及特殊化。

进而，公式的推导相当简单，难点在于公式的运用，尤其是逆用及变形运用，对于学生的思维及能力是相当大的挑战。

毕竟，公式本身就是符号的集合，抽象是其主要特征。

当然也正因为其抽象性，才具有广泛的迁移性及应用。

从简到繁，由易到难，层层推进，设计练习系列，遵循学生认知规律，能够有效化解难点。

关键是找准学生认知起点，明晰学生思维特点及能力，在最近发展区上开展教学，在学习中充分体现学生的主体性及独立性，并且给予学生足够的时间及空间去
体验学习过程。

二倍角公式的运用中，其中余弦公式的变式最多，应用也最广泛，也极易出错。

教学中，教师可引导学生紧紧抓住问题的关键及实质：角的差异。

三角函数的变换形式多样，技巧性强，进而对学生有足够的难度。

作为教师，在教学过程中，可以就“变换的目标，变换的内容，变换的方法及变换的结果”设计单元教学，紧紧围绕上述问题设计习题。

一、课标要求
能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。

能用上述公式进行简单的恒等变换。

二、课标分析
三角恒等变换的教材设计，注重向量的工具性的应用。

在教学中，应突出公式之间的内在联系。

另外，还应注重公式的灵活运用：正用，逆用，变形用。

所以，教学中还应注重公式的基本训练。