复数的乘法与除法
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20
4 z R z 4 b(1 2 )0 2 a b
b 0或a b 4
2 2
①
| z 2 | 2得 | a bi 2 | 2
(a 2) 将 b=0代入②得 a=4 或 a=0
∴ Z=4 或 Z=0 (舍)
将a
2
16
1 3 2 ( ) ( i) 2 2
2
1 3 3 2 i( i) 4 2 2
1 3 i, 2 2
17
3 2
1 3 1 3 ( i )( i) 2 2 2 2 1
小结：
, ( ) ,
2 2
1, ( ) 1.
2 2
(1 i) (2i) 4,
4 2
(1 i)
100
(2i)
50
2 .
50
15
1 3 1 3 2. 设 i, i 2 2 2 2
计算：
2
, ( ) ,
2
3
1 3 2 ( i) 2 2
2
1 3 3 2 i( i) 4 2 2 1 3 i, 2 2
b 4 代入②
2
2 2
(a 2) 4 a 4, 得 a 1
得
a 1, b 3
z 1 3i
综上： Z=4,1+ 3i ,1– 3i .
22
11
设z1=a+bi , z2=c+di (a,b,c,d ∈Ｒ) ，则 证明： | z1∙z2 |=|(ac-bd)+(bc+ad)i| = (ac-bd)2+(bc+ad)2 = a2c2+b2d2+b2c2+a2d2 = (a2+b2)(c2+d2)
= a2+b2 ∙ c2+d2 = | z1 | ∙ | z2 |
2 2
(2)( 1 i)
2
解 (1)(3 4i )(3 4i )
9 ( 1 6) 25
(2)(1 i) 1 2i i 1 2i 1 2i
2
2
4
共轭复数:
一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数 时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不为0的共 轭复数也叫共轭虚数. 思考:
若 z1 , z 2 是共轭复数,那么
(1)在复平面内,它们所对应的点有怎样的位置关系? (2)
z1 z2 是一个怎样的数?
5
二、复数除法的法则
复数的除法是乘法的逆运算，满足 (c+di)(x+yi)=(a+bi) (c+di≠0)的复数 x+yi , 叫做复数a+bi除以复数c+di的商， a+bi 记作 c+di .
12
(4 3i)(1 7i) 例4：已知z ，求 z 2 i
(4 3i)(1 7i) 解： z 2 i
| 4 3i || 1 7i | | 2 i |
5 8 10 6 . 3 3
13
i的乘方规律
i i, i 1, i i i i, i 1
.
2
例 1 计算 (1-2i)(3+4i)(-2+i)
解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)
=（11-2i)(-2+i)
=-20+15i .
对于任意复数z=a+bi ,有
（a+bi)(a-bi)=a2+b2
即
z ∙z=|z|2=|z|2 .
3
例 2 计算
(1)(3 4i)(3 4i)
3 ( 4i )
6
(a+bi)(c-di) a+bi = c+di (c+di)(c-di) = (ac+bd)+(bc-ad)i c2+d2
= ac+bd + bc-ad i (c+di ≠0) c2+d2 c2+d2 因为c+di ≠0 即 c2+d2 ≠0， a+bi 所以商 是唯一确定的复数. c+di
7
例3 计算: （1） （1+2i)(3-4i)
1+2i 解：（1+2i)(3-4i)= 3-4i
= (1+2i)(3+4i) (3-4i)(3+4i)
= -5+10i 25
1 2 =- + i . 5 5
8
(2)
解:
(3+2i) (2-3i)
3+2i (3+2i)(2+3i) = 2-3i (2-3i)(2+3i) = =i
3 3
18
例6计算
(1 3i ) 3 6 (1 i )
(1 3i ) 3 解： (1 i ) 6
1 3 3 2 ( i) 2 2 3 (2i )
3
8 1 i. 3 8i i
19
4 例7 求复数 z，使 z 为实数，且 | z 2 | 2. z 解：设 z a bi, (a, b R, a 2 b 2 0) 4 4 z a bi z a bi 4(a bi ) a bi 2 2 a b 4a 4b a 2 (b 2 )i 2 2 a b a b
1 2 3 2 4
从而对任意
n N ，
4n2
i
4 n 1
i, i
1, i
4 n 3
i, i 1.
4n
14
两个特殊复数的乘方
1. 计算 (1 i)
2
, (1 i) , (1 i) , (1 i) .
2 4 100
(1 i) 2i, (1 i) 2i,
复数的乘法与除法
1
一 、复数的乘法法则：
(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2 =(ac-bd)+(bc+ad)i
显然任意两个复数的积仍是一个复数. 对于任意z1,z2,z3 ∈ C,有
z1∙z2= z2∙z1 , z1∙z2 ∙z3= z1∙(z2 ∙z3) , z1∙(z2 +z3)= z1∙z2 +z1∙z3
(6-6)+(4+9)i
4+9
9
关于共轭复数的运算性质
z1 ， z2 ∈ C , z1∙z2= z1∙z2 , z1 z1 （ ） = z2 z2 ，(z2 ≠0) . 则
10
在乘除法运算中关于复数模的性质
已知 z1 ， z2 ∈C , 求证：
| z1 ∙ z2 |=| z1 | ∙ | z2 | ， z1 | z1 | = z2 | z2 | ，(z2 ≠0) .
4 z R z 4 b(1 2 )0 2 a b
b 0或a b 4
2 2
①
| z 2 | 2得 | a bi 2 | 2
(a 2) 将 b=0代入②得 a=4 或 a=0
∴ Z=4 或 Z=0 (舍)
将a
2
16
1 3 2 ( ) ( i) 2 2
2
1 3 3 2 i( i) 4 2 2
1 3 i, 2 2
17
3 2
1 3 1 3 ( i )( i) 2 2 2 2 1
小结：
, ( ) ,
2 2
1, ( ) 1.
2 2
(1 i) (2i) 4,
4 2
(1 i)
100
(2i)
50
2 .
50
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1 3 1 3 2. 设 i, i 2 2 2 2
计算：
2
, ( ) ,
2
3
1 3 2 ( i) 2 2
2
1 3 3 2 i( i) 4 2 2 1 3 i, 2 2
b 4 代入②
2
2 2
(a 2) 4 a 4, 得 a 1
得
a 1, b 3
z 1 3i
综上： Z=4,1+ 3i ,1– 3i .
22
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设z1=a+bi , z2=c+di (a,b,c,d ∈Ｒ) ，则 证明： | z1∙z2 |=|(ac-bd)+(bc+ad)i| = (ac-bd)2+(bc+ad)2 = a2c2+b2d2+b2c2+a2d2 = (a2+b2)(c2+d2)
= a2+b2 ∙ c2+d2 = | z1 | ∙ | z2 |
2 2
(2)( 1 i)
2
解 (1)(3 4i )(3 4i )
9 ( 1 6) 25
(2)(1 i) 1 2i i 1 2i 1 2i
2
2
4
共轭复数:
一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数 时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不为0的共 轭复数也叫共轭虚数. 思考:
若 z1 , z 2 是共轭复数,那么
(1)在复平面内,它们所对应的点有怎样的位置关系? (2)
z1 z2 是一个怎样的数?
5
二、复数除法的法则
复数的除法是乘法的逆运算，满足 (c+di)(x+yi)=(a+bi) (c+di≠0)的复数 x+yi , 叫做复数a+bi除以复数c+di的商， a+bi 记作 c+di .
12
(4 3i)(1 7i) 例4：已知z ，求 z 2 i
(4 3i)(1 7i) 解： z 2 i
| 4 3i || 1 7i | | 2 i |
5 8 10 6 . 3 3
13
i的乘方规律
i i, i 1, i i i i, i 1
.
2
例 1 计算 (1-2i)(3+4i)(-2+i)
解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)
=（11-2i)(-2+i)
=-20+15i .
对于任意复数z=a+bi ,有
（a+bi)(a-bi)=a2+b2
即
z ∙z=|z|2=|z|2 .
3
例 2 计算
(1)(3 4i)(3 4i)
3 ( 4i )
6
(a+bi)(c-di) a+bi = c+di (c+di)(c-di) = (ac+bd)+(bc-ad)i c2+d2
= ac+bd + bc-ad i (c+di ≠0) c2+d2 c2+d2 因为c+di ≠0 即 c2+d2 ≠0， a+bi 所以商 是唯一确定的复数. c+di
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例3 计算: （1） （1+2i)(3-4i)
1+2i 解：（1+2i)(3-4i)= 3-4i
= (1+2i)(3+4i) (3-4i)(3+4i)
= -5+10i 25
1 2 =- + i . 5 5
8
(2)
解:
(3+2i) (2-3i)
3+2i (3+2i)(2+3i) = 2-3i (2-3i)(2+3i) = =i
3 3
18
例6计算
(1 3i ) 3 6 (1 i )
(1 3i ) 3 解： (1 i ) 6
1 3 3 2 ( i) 2 2 3 (2i )
3
8 1 i. 3 8i i
19
4 例7 求复数 z，使 z 为实数，且 | z 2 | 2. z 解：设 z a bi, (a, b R, a 2 b 2 0) 4 4 z a bi z a bi 4(a bi ) a bi 2 2 a b 4a 4b a 2 (b 2 )i 2 2 a b a b
1 2 3 2 4
从而对任意
n N ，
4n2
i
4 n 1
i, i
1, i
4 n 3
i, i 1.
4n
14
两个特殊复数的乘方
1. 计算 (1 i)
2
, (1 i) , (1 i) , (1 i) .
2 4 100
(1 i) 2i, (1 i) 2i,
复数的乘法与除法
1
一 、复数的乘法法则：
(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2 =(ac-bd)+(bc+ad)i
显然任意两个复数的积仍是一个复数. 对于任意z1,z2,z3 ∈ C,有
z1∙z2= z2∙z1 , z1∙z2 ∙z3= z1∙(z2 ∙z3) , z1∙(z2 +z3)= z1∙z2 +z1∙z3
(6-6)+(4+9)i
4+9
9
关于共轭复数的运算性质
z1 ， z2 ∈ C , z1∙z2= z1∙z2 , z1 z1 （ ） = z2 z2 ，(z2 ≠0) . 则
10
在乘除法运算中关于复数模的性质
已知 z1 ， z2 ∈C , 求证：
| z1 ∙ z2 |=| z1 | ∙ | z2 | ， z1 | z1 | = z2 | z2 | ，(z2 ≠0) .