《概率论与数理统计》典型例题

《概率论与数理统计》典型例题

第一章 随机事件与概率

例1．已知事件,A B 满足，A B 与同时发生的概率与两事件同时不发生的概率相等，且()P A p =，则()P B = 。

分析：此问题是考察事件的关系与概率的性质。

解：由题设知，()(P AB P A B =∩)，则有

()()()1()1()()()P AB P A B P A B P A B P A P B P AB ===−=−−+∩∪∪

而，故可得。

()P A p =()P B =1p −注：此题具体考察学生对事件关系中对偶原理，以及概率加法公式的掌握情况，但首先要求学生应正确的表示出事件概率间的关系，这三点都是容易犯错的地方。

例2．从10个编号为1至10的球中任取1个，则取得的号码能被2或3整除的概率为 。

分析：这是古典概型的问题。另外，问题中的一个“或”字提示学生这应该是求两个事件至少发生一个的概率，即和事件的概率，所以应考虑使用加法公式。

解：设A ：

“号码能被2整除”，B ：“号码能被3整除”，则53(),()1010P A P B ==。只有号码6能同时被2和3整除，所以1()10P AB =，故所求概率为 5317()()()()10101010

P A B P A P B P AB =+−=+−=∪。 注：这是加法公式的一个应用。 本例可做多种推广，例如有60只球，又如能被2或3或5整除。 再如直述从10个数中任取一个，取得的数能被2或3整除的概率为多少等等。

例3．对于任意两事件，若，则 A B 和()0,()0P A P B >>不正确。

（A ）若AB φ=，则A 、B 一定不相容。

（B ）若AB φ=，则A 、B 一定独立。

（）若C AB φ≠，则A 、B 有可能独立。

（）若D AB φ=，则A 、B 一定不独立。

分析：此问题是考察事件关系中的相容性与事件的独立性的区别，从定义出

发。

解：由事件关系中相容性的定义知选项A 正确。

由事件的独立性的定义知，若()()()P AB P A P B =，则事件A 、B 相互独立。 选项B 的条件是AB φ=，故有()()P AB P 0φ==，但题设条件是，故,即()0,()0P A P B >>0()()()0P AB P A P B =≠>A 、B 一定不独立，从而选项正确，选项D B 不正确。

而选项条件为C AB φ≠，即()P AB 0≠，则有可能()()()P AB P A P B =，选项正确。

C 故应选B 。

注：事件的相容性与独立性有本质的区别，独立性要求事件发生的概率满足一定的关系，即由事件发生的概率的角度来描述事件之间的关系；而两事件不相容仅仅要求两事件不能同时发生，即由事件本身来描述事件之间的关系。记住这一点区别就能以不变应万变。

本例还可去掉条件“”改成如下表述

()0,()0P A P B >>对于任意两事件， A B 和是正确的。

（A ）若AB φ≠，则A 、B 一定独立。

（B ）若AB φ≠，则A 、B 有可能独立。

（）若C AB φ=，则A 、B 一定独立。

（）若D AB φ=，则A 、B 一定不独立。

答案仍选项B ，还是从相容与独立的定义出发即可解决。

例4．下列各命题中， 为真命题。

（A ）若，则()0P A =A 为不可能事件。

（B ）若A 与B 相互独立，则()1()P A P B =−。

（）若C A 与B 互不相容，则(P A B 1=∪。

（） 设为个事件，若对D 12,,,n A A A n ,,1,2,,i j i j n ∀≠= ，均有 ()()(i j i j P A A P A P A =)，则相互独立。

12,,,n A A A 分析：此问题仍旧考察各种概念的区别，由定义解决。

解：选项A 考察的是不可能事件，在随机试验中，一定不发生的事件叫不可能事件，记作φ。 显然()0P φ=。 但反过来，概率为0的事件不一定是不可能事件。 故选项A 不正确。 由例3给出的事件独立性定义易见，选项B 的结论未必成立。 对于选项，若C A 与B 互不相容，则AB φ=，从而

()()1()1()P A B P AB P AB P φ==−=−∪1=。

而选项考察的是多个事件相互独立与两两独立概念的区别，显然给出的描述是两两独立，并非相互独立。 若对任意的D 12,,,n A A A (1)k k n <≤及任意的，有

121k i i i n ≤<<<≤ 1212()()()k k i i i i i i P A A A P A P A P A ()= ，

则称相互独立。 显然，n 个事件相互独立一定两两独立，反之不真。从而选项正确。

12,,,n A A A C

例5． 设是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论肯定正确的是 A B 和。

（A ）A 与B 不相容。 （B ）A 与B 相容。

（C ）。 （）()()()P AB P A P B =⋅D ()(P A B P A )−=

分析：此问题仍旧考察相容性与独立性的区别，以及一个常用公式。 解：由题设知，，以及()0P A >()0P B >AB φ=，则知()()P AB P 0φ==，显然选项不正确。 当为任意两个概率不为零的互逆事件时，则C A B 和A 与B 不相容，但选项B 也有可能发生，故两结论都不一定正确。

而 A B A AB −=−，故有 ()()()()()P A B P A AB P A P AB P A −=−=−=，即选项正确。

D 注：公式A B A AB −=−是个常用公式，也是非常好用的公式。

例6．从6副不同的手套中任取4只，问其中恰有一副配对的概率是多少？ 分析：这是典型的古典概率问题。

解法一：先选1副，从其余5副中选2只不配对的。 从而

1226541221633

C C p C ==。 解法二：“全体” — “恰好2副” — “全不配对”。 从而

4244126641221633

C C C p C −−==。 解法三：先选1副，后选2只但不能配对。 从而

1216105412[]1633

C C C p C −==。 解法四：先选1副，从余下的10只中选1只，再从与其不配对的8只中选1只，后两次选法有重复。 从而