高考数学复习典型题型专题练习31 分组求和法与错位相减法

第31讲 数列的求和

第1课时 分组求和法与错位相减法

A 组 夯基精练

一、单项选择题(选对方法，事半功倍)

1. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，则S 17等于()

A. 9

B. 8

C. 17

D. 16

2. 已知数列{a n }中，a n ＋1＝(－1)n a n ＋1，则该数列的前2 024项和S 2 024等于()

A. 2 024

B. 1 012

C. －2 024

D. －1 012

3. 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋14＋…＋⎝ ⎛

⎭⎪⎫1＋12＋14＋…＋1210的值为()

A. 18＋129

B. 20＋1

210 C. 22＋1

211

D. 18＋1

210

4. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝n ＋cos n π

3－1，则S 16等于() A. 119 B. 2372 C. 2672

D. 2692

二、多项选择题(练—逐项认证，考—选确定的)

5. 在等差数列{a n }中，a 2＝4，a 4＋a 7＝15，通项为a n ，设b n ＝2a n －2＋n ，

则()

A. a n ＝n ＋2

B. a n ＝2n

C. b 1＋b 2＋…＋b 10＝2 102

D. b 1＋b 2＋…＋b 10＝2 101

6. 已知等差数列{a n }满足(a 1＋a 2)＋(a 2＋a 3)＋…＋(a n ＋a n ＋1)＝2n (n ＋1)(n ∈N

*

)，设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫a n 2n －1的前

n 项和S n ，则()

A. a n ＝2n ＋1

B. a n ＝2n －1

C. S n ＝6－4n ＋6

2n

D. S n ＝6－4n －6

2n

三、填空题(精准计算，整洁表达)

7. 已知{a n }是公差为1的等差数列，且a 1，a 2，a 4成等比数列，则数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

a n 2n 的

前n 项和S n ＝________.

8. 已知数列{a n }的通项为a n ＝(12n －4)×3n －1，则前n 项和T n ＝________. 9. 已知数列{a n }的通项为a n ＝－n ·2n ，S n 为其前n 项和，则使S n ＋n ·2n ＋1>62成立的正整数n 的最小值为________．

四、解答题(让规范成为一种习惯)

10. (2023·邢台期末)已知等差数列{a n }的首项为2，且a 1,2＋a 2,4＋a 7成等比数列，数列{b n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n －1.

(1) 求{a n }，{b n }的通项公式；

(2) 若c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n .

11. (2023·石家庄二模)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1,2a n ＋1＝S n ＋2(n ∈N *)．

(1) 求数列{a n }的通项公式；

(2) 设数列{b n }满足b n ＝a n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫

log 32a n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .

B 组 滚动小练

12. (2023·湖北起点考)已知α∈⎝ ⎛

⎭⎪⎫0，π2，且2sin2α＝cos 2α＋1，则sin α等于

()

A. 1

5 B. 55 C. 33

D. 255

13. (2023·扬州宝应期初)已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (－x ＋2)＝－f (x ＋2)，又f (x ＋1)为偶函数，若f (1)＝1，则f (2)＋f (7)等于()

A. 0

B. 1

C. 2

D. －1

14. (2023·南通9月期初)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . (1) 若C ＝2A ，a ＝2，b ＝3，求c ； (2) 若a 2＋1

5b 2＝c 2，求证：3tan A ＝2tan C .