人教版初中数学九年级数学上册第一单元《一元二次方程》检测(包含答案解析)

一、选择题
1．用配方法解方程x 2﹣6x ﹣3＝0，此方程可变形为（ ） A ．（x ﹣3）2＝3 B ．（x ﹣3）2＝6 C ．（x+3）2＝12
D ．（x ﹣3）2＝12
2．用配方法解下列方程时，配方错误的是（ ）
A ．x 2﹣2x ﹣99＝0化为（x ﹣1）2＝100
B ．x 2+8x+9＝0化为（x+4）2＝25
C ．2x 2﹣7x ﹣4＝0化为（x ﹣
74）2＝8116
D ．3x 2﹣4x ﹣2＝0化为（x ﹣23
）2＝10
9
3．已知一元二次方程2210x x --＝的两个根分别是1x ，2x ，则2
112x x x -+的值为
（ ）． A ．-1
B ．0
C ．2
D ．3
4．日历中含有丰富的数学知识，如在图1所示的日历中用阴影圈出9个数，这9个数的大小之间存在着某种规律.小慧在2020年某月的日历中也按图1所示方式圈出9个数（如图2），发现这9个数中最大的数与最小的数乘积是297，则这9个数中，中间的数e 是（ ） 日
一
二 三 四 五 六
图1
图2
A ．17
B ．18
C ．19
D ．20
5．下列关于一元二次方程23210x x ++=的根的情况判断正确的是（ ）
A ．有一个实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．没有实数根
D ．有两个不相等的实数根
6．《代数学》中记载，形如2833x x +=的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为2x 的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x 的矩形，得到大正方形的面积为331649+=，则该方程的正数解为743-=．”小聪按此方法解关于
x 的方程2100x x m ++=时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为50，则
该方程的正数解为（ ）．
A ．6
B ．3532
C ．532
D ．535
7．关于x 的方程()---=2
a 3x 4x 10有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．1a ≥-且3a ≠ B ．1a >-且3a ≠ C ．1a ≥-
D ．1a >- 8．关于x 的方程x 2﹣kx ﹣2＝0的根的情况是（ ）
A ．有两个相等的实数根
B ．没有实数根
C ．有两个不相等的实数根
D ．无法确定 9．若关于x 的方程（m ﹣1）x 2+mx ﹣1＝0是一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≠1 B ．m ＝1
C ．m ≥1
D ．m ≠0
10．已知a 、b 、m 、n 为互不相等的实数，且(a +m )( a +n )＝2，(b +m )( b +n )＝2，则ab ﹣mn
的值为（ ） A ．4 B ．1
C ．﹣2
D ．﹣1
11．已知方程2202030x x +-=的根分别为a 和b ，则代数式2a a 2020a b ++的值为
（ ） A ．0 B ．2020 C ．1
D ．-2020 12．一元二次方程x （x ﹣2）＝x ﹣2的解是（ ）
A ．x 1＝x 2＝0
B ．x 1＝x 2＝1
C ．x 1＝0，x 2＝2
D ．x 1＝1，x 2＝2
二、填空题
13．已知x a =是方程2350x x --=的根，则代数式234a a -++的值为________． 14．已知x ＝2是关于x 一元二次方程x 2+kx ﹣6＝0的一个根，则另一根是_____． 15．已知关于x 的方程2x m =有两个相等的实数根，则m =________．
16．当m =___________时，方程(2
1
350m
m x
mx --+=是一元二次方程．
17．若关于x 的一元二次方程()2
1210k x x -+-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是______．
18．已知a 、b 是方程2320190x x +-=的两根，则24a a b ++的值为________． 19．已知关于x 的方程28m 0x x ++=有一根为2-，则方程的另一根为______
20．如图，世纪广场有一块长方形绿地，AB ＝18m ，AD ＝15m ，在绿地中开辟三条宽为xm 的道路后，剩余绿地的面积为144m 2，则x ＝_____．
三、解答题
21．（1）x 2﹣8x+1＝0； （2）2（x ﹣2）2＝x 2﹣4． 22．解方程： （1）x 2+10x +9＝0； （2）x 23＝
14
． 23．5月10日，重庆正式启动“加快发展直播带货行动计划”，以推动直播带货和“网红经济”发展，已知云阳桃片糕每盒12元，仙女山红茶每盒50元，第一次直播期间，共卖出云阳桃片糕和仙女山红茶共计2000盒．
（1）若卖出桃片糕和红茶的总销售额不低于54400元，则至少卖出仙女山红茶多少盒？ （2）第一次直播结束，为了回馈顾客，在第二次直播期向，桃片糕每盒降价
10
%3
a ，红茶每盒降价4a %，桃片糕数量在（1）问最多的数量下增加6a %，红茶数量在（1）问最少的数量下增加4a %，最终第二次直播总销售额比第一次直播的最低销售额54400元少80a 元，求a 的值． 24．解下列方程： （1）2410x x --=； （2）(4)123x x x -=-． 25．（1）解方程2
9
0x （直接开平方法）
（2）若关于x 的一元二次方程()2
2
1534m x x m m +++-=的常数项为0，求m 的值． 26．解答下列各题．
（1）解方程：2
(1)90x --=．
（2）已知21x =，求225x x -+的值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D
解析：D
【分析】
先移项，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方，最后配方即可得新答案．
【详解】
由原方程移项得：x2﹣6x＝3，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方得：x2﹣6x+9＝12，
配方得；（x﹣3）2＝12．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查配方法的运用，配方法的一般步骤为：移项、二次项系数化为1、两边同时加上一次项系数一半的平方、配方完成；熟练掌握配方法的步骤并熟记完全平方公式是解题关键．
2．B
解析：B
【分析】
将常数项移到方程的右边，然后将二次项系数化为1，继而两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
【详解】
解：A、由x2﹣2x﹣99＝0得x2﹣2x=99，则x2﹣2x+1=100，即（x﹣1）2＝100，故本选项正确，不符合题意；
B、由x2+8x+9＝0得x2+8x=-9，则x2+8x+16=-9+16即（x+4）2＝7此选项错误，符合题意；
C、由2x2﹣7x﹣4＝0得2x2﹣7x=4，则x2﹣7
2
x＝2，∴x2﹣
7
2
x+
49
16
＝2+
49
16
，即
2
7
4
x
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
＝81
16
，故本选项正确，不符合题意；
D、由3x2﹣4x﹣2＝0，得3x2﹣4x=2，则x2﹣4
3
x＝
2
3
，∴故x2﹣
4
3
x+
4
9
＝
2
3
+
4
9
，即（x
﹣2
3
）2＝
10
9
，故本选项正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程−配方法，用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为a2x＋bx＋c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
3．D
解析：D 【分析】
分别根据一元二次方程的根的意义和一元二次方程根与系数的关系分别得到
21112210,2x x x x --=+=，变形代入求值即可得到答案．
【详解】
解：由题意得2
1112210,
2x x x x --=+=，即21121x x -=，
∴原式2
11122123x x x x =-++=+=． 故选：D ． 【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的解的根与系数的关系，灵活运用根与系数的关系是解答此题的关键．
4．C
解析：C 【分析】
根据日历的特点得到8i e =+，8a e =-，列出一元二次方程解出e 的值． 【详解】
解：根据日历的特点，同一列上下两个数相差7，前后两个数相差1， 则7h e =+，18i h e =+=+，7b e =-，18a b e =-=-， ∵最大的数与最小的数乘积是297，
∴()()88297ai e e =-+=，解得19e =±，取正数，19e =． 故选：C ． 【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程进行求解．
5．C
解析：C 【分析】
根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=-8＜0，进而可得出方程23210x x ++=没有实数根． 【详解】
解：∵△=22-4×1×3=-8＜0， ∴方程23210x x ++=没有实数根． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了根的判别式，牢记“当△＜0时，方程无实数根”是解题的关键．
6．D
解析：D
仿照题目中的做法可得空白部分小正方形的边长为
5
2
，先计算出大正方形的面积=阴影部分的面积+4个小正方形的面积，从而可得大正方形的边长，再用其减去两个空白正方形的边长即可． 【详解】
解：如图2，先构造一个面积为2x 的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积
为52x 的矩形，得到大正方形的面积为2
55045025752⎛⎫+⨯=+= ⎪⎝⎭
， ∴
5
252
⨯=．
故选：D ． 【点睛】
本题考查了一元二次方程的几何解法，读懂题意并数形结合是解题的关键．
7．B
解析：B 【分析】
方程有两个不相等的实数根，显然原方程应该是关于x 的一元二次方程，因此得到二次项系数不为0即当a-3≠0时，且判别式0∆>即可得到答案． 【详解】
∵关于x 的方程()32
a x 4x 10---=有两个不相等的实数根
∴a-3≠0，且2=(4)4(3)(1)440a a ∆--⨯-⨯-=+> 解得：1a ≥-且a≠3 故选B ． 【点睛】
本题主要考查方程的解，一元二次方程的根的判别式，根据判别式，列出关于参数a 的不等式，是解题的关键．
8．C
解析：C 【分析】
根据一元二次方程根的判别式可得△＝（﹣k ）2﹣4×1×（﹣2）＝k 2+8＞0，即可得到答案． 【详解】
解：△＝（﹣k ）2﹣4×1×（﹣2）＝k 2+8． ∵k 2≥0，
∴k 2+8＞0，即△＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根． 故选：C ．
本题考查一元二次方程根的判别式， 24b ac ∆=-，当0∆>时方程有两个不相等的实数根，当0∆=时方程有两个相等的实数根，当∆<0时方程没有实数根．
9．A
解析：A 【分析】
根据一元二次方程的定义可得m ﹣1≠0，再解即可． 【详解】
解：由题意得：m ﹣1≠0， 解得：m≠1， 故选：A ． 【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，注意掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
10．C
解析：C 【分析】
先把已知条件变形得到a 2+ (m +n ) a +mn ﹣2＝0，b 2+( m +n ) b +mn ﹣2＝0，则可把a 、b 看作方程x 2+( m +n ) x +mn ﹣2＝0的两实数根，利用根与系数的关系得到ab ＝mn ﹣2，从而得到ab ﹣mn 的值． 【详解】
解：∵(a +m )( a +n )＝2，(b +m )( b +n )＝2， ∴a 2+( m +n )a +mn ﹣2＝0，b 2+( m +n )b +mn ﹣2＝0， 而a 、b 、m 、n 为互不相等的实数，
∴可以把a 、b 看作方程x 2+（m +n ）x +mn ﹣2＝0的两个实数根， ∴ab ＝mn ﹣2， ∴ab ﹣mn ＝﹣2． 故选：C ． 【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系及整式的乘法，理解代数思想，把“a 、b 看作方程x 2+（m +n ）x +mn ﹣2＝0的两实数根”是解题关键．
11．A
解析：A 【分析】
将a 代入方程，可得2202030a a +-=，即220302a a =-，代入要求的式子，即可得到3+ab ，而a 、b 是方程的两个根，根据韦达定理，可求出ab 的值，即可求出答案． 【详解】
解：∵方程2202030x x +-=的根分别为a 和b
∴2202030a a +-=，即220302a a =- ∴2a a 2020a b ++=32020a -+ab+2020a=3+ab ∵ab=-3
∴2a a 2020a b ++=32020a -+ab+2020a=3+ab=3-3=0 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解以及韦达定理，熟练解代入方程以及观察式子特点，抵消部分式子是解决本题的关键．
12．D
解析：D 【分析】
方程x （x ﹣2）＝x ﹣2移项后，运用因式分解法可以求得方程的解，本题得以解决． 【详解】
解：x （x ﹣2）＝x ﹣2，
移项，得x （x ﹣2）﹣（x ﹣2）＝0， 提公因式，得（x ﹣2）（x ﹣1）＝0， ∴x ﹣2＝0或x ﹣1＝0， 解得x ＝2或x ＝1． 故选：D ． 【点睛】
本题考查解解一元二次方程﹣因式分解法，解题的关键是会利用提公因式法解方程．
二、填空题
13．-1【分析】利用x=a 是方程x2-3x-5=0的根得到a2-3a=5然后利用整体代入的方法计算代数式的值【详解】解：∵x=a 是方程x2-3x-5=0的根∴a2-3a-5=0∴a2-3a=5∴故答案为
解析：-1 【分析】
利用x=a 是方程x 2-3x-5=0的根得到a 2-3a=5，然后利用整体代入的方法计算代数式的值． 【详解】
解：∵x=a 是方程x 2-3x-5=0的根， ∴a 2-3a-5=0， ∴a 2-3a=5，
∴(
)
2
2
3434541a a a a -++=--+=-+=-． 故答案为-1． 【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
14．-3【分析】设方程的另一个根为x2根据两根之积列出关于x2的方程解之可得答案【详解】解：设方程的另一个根为x2则2x2＝﹣6解得x2＝﹣3故答案为：﹣3【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c
解析：-3． 【分析】
设方程的另一个根为x 2，根据两根之积列出关于x 2的方程，解之可得答案． 【详解】
解：设方程的另一个根为x 2， 则2x 2＝﹣6， 解得x 2＝﹣3， 故答案为：﹣3． 【点睛】
本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）根与系数的关系，若x 1，x 2为方程的两个根，则x 1，x 2与系数的关系式：12b
x x a +=-
，12c x x a
⋅=． 15．0【分析】先将方程化成一般式然后再运用根的判别式求解即可【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根∴关于的方程有两个相等的实数根∴△=02-4m=0解得m=0故答案为0【点睛】本题主要考查了一元二次
解析：0 【分析】
先将方程化成一般式，然后再运用根的判别式求解即可． 【详解】
解：∵关于x 的方程2x m =有两个相等的实数根， ∴关于x 的方程20x m -=有两个相等的实数根， ∴△=02-4m=0，解得m=0． 故答案为0． 【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解答本题的关键．
16．【分析】根据一元二次方程的定义解答【详解】∵是一元二次方程∴且解得故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程的概念只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程一般形式是（且）特别要注意
【分析】
根据一元二次方程的定义解答． 【详解】
∵(21
50m m x
mx -+-+=是一元二次方程，
∴
212m -=且0m +≠，
解得m =
，
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是20ax bx c ++=（且0a ≠）．特别要注意0a ≠的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
17．且【分析】根据题意结合一元二次方程的定义和根的判别式可得关于k 的不等式然后解不等式即可求解【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根∴∴的取值范围是且故答案为：且【点睛】本题考查了一元二次
解析：0k >且1k ≠ 【分析】
根据题意，结合一元二次方程的定义和根的判别式可得关于k 的不等式，然后解不等式即可求解． 【详解】
解：∵关于x 的一元二次方程()2
1210k x x -+-=有两个不相等的实数根，
∴2
1024(1)(1)0k k -≠⎧⎨
∆=--⨯->⎩，1
0k k ≠⎧⎨>⎩
， ∴k 的取值范围是0k >且1k ≠， 故答案为：0k >且1k ≠． 【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义、根的判别式、解一元一次不等式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是解答的关键．
18．2016【分析】将x=a 代入可得然后由根与系数之间的关系得到整理即可得到答案【详解】解：由题意可知【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数之间的关系熟练掌握基础知识是解题的关键
解析：2016 【分析】
将x=a 代入2320190x x +-=，可得2320190a a +-=，然后由根与系数之间的关系得到3a b +=-，整理即可得到答案． 【详解】
解：由题意可知，2320190a a +-=，3a b +=-，
232019a a ∴+=，
24a a b ∴++2
3()a a a b =+++20193=-2016=．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解以及根与系数之间的关系，熟练掌握基础知识是解题的关
键．
19．【分析】根据一元二次方程根与系数的关系直接求解即可【详解】因为已知关于的方程有一个根是-2由二次方程根与系数的关系可知：即有：解得：故答案为：【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系如果方程的 解析：6-
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系直接求解即可．
【详解】
因为已知关于x 的方程 280x x m ++=有一个根是-2，
由二次方程根与系数的关系可知：128x x +=-，即有：
228x -+=-
解得：26x =-．
故答案为：6-．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，如果方程2
0x px q ++=的两个根是 1x ，2x ，那么12x x p +=-， 12·
x x q =，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
20．【分析】由在绿地中开辟三条宽为xm 的道路后剩余绿地的面积为144m2即可得出关于x 的一元二次方程此题得解【详解】解：设道路的宽为xm 根据题意得：（18﹣2x ）（15﹣x ）＝144解得：或（舍去）答：
解析：3
【分析】
由在绿地中开辟三条宽为xm 的道路后，剩余绿地的面积为144m 2，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．
【详解】
解：设道路的宽为xm ，根据题意得：
（18﹣2x ）（15﹣x ）＝144，
解得：13x =或221x ＝（舍去），
答：道路的宽为3m ．
故答案为：3．
【点睛】
此题考查一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系，正确列方程是解题的关键.
三、解答题
21．（1）x 1＝x 2＝42）x 1＝2，x 2＝6．
【分析】
（1）先配方、然后运用直接开平方求解即可；
（2）先将等式右边因式分解，然后移项，最后用因式分解法求解即可．
【详解】
解：（1）x 2﹣8x+1＝0，
x 2﹣8x ＝﹣1，
x 2﹣8x+16＝﹣1+16，
（x ﹣4）2＝15，
∴x ﹣4＝
∴x
1＝x 2＝4
（2）∵2（x ﹣2）2＝x 2﹣4，
∴2（x ﹣2）2﹣（x+2）（x ﹣2）＝0，
则（x ﹣2）（x ﹣6）＝0，
∴x ﹣2＝0或x ﹣6＝0．
解得x 1＝2，x 2＝6．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的解法，掌握配方法、直接开平方法和因式分解法是解答本题的关键．
22．（1）121,9x x =-=-；（2）12x x =
= 【分析】
（1）运用因式分解法求解即可
（2）运用公式法求解即可．
【详解】
解：（1）∵x 2+10x +9＝0，
∴（x +1）（x +9）＝0，
则x +1＝0或x +9＝0，
解得x 1＝﹣1，x 2＝﹣9；
（2）x 2＝14
整理，得：x 2﹣14
＝0， ∵a ＝1，b c ＝﹣1
4
， ∴△
2﹣4×1×（﹣
14）＝4＞0，
则x ＝2b a
-±，
即x 1＝22，x 2＝22
-． 【点睛】
此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解答此题的关键． 23．（1）至少卖出仙女山红茶800盒；（2）a 的值为5．
【分析】
（1）设卖出仙女山红茶x 盒，则卖出桃片糕（2000-x ）盒，由题意得关于x 的不等式，求解即可；
（2）根据（1）的结果得出桃片糕最多卖出的盒数，根据题意得出关于x 的方程，解方程即可．
【详解】
解：（1）设卖出仙女山红茶x 盒，则卖出桃片糕（2000-x ）盒，由题意得：
50x+12（2000-x ）≥54400，
解得：x≥800，
∴x 的最小值是800，
∴至少卖出仙女山红茶800盒；
（2）∵（1）中最少卖出仙女山红茶800盒，
∴桃片糕最多卖出的盒数为：2000-800=1200（盒）．
由题意得：
12×（110%3
a -
）×1200×（1+6a%）+50（1-4a%）×800×（1+4a%）=54400-80a ， 解得：a 1=0（舍去），a 2=5．
∴a 的值为5．
【点睛】 本题考查了一元一次不等式和一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列式是解题的关键．
24．（1）12x =22x =2）x 4=或x 3=-
【分析】
（1）利用配方法解方程；
（2）利用因式分解法解方程.
【详解】
（1）2410x x --=
2445x x +=-
2(2)5x -=
则2x -=
解得12x =22x =
（2）解：(4)3(4)0x x x -+-=，
(4)(3)0x x -+=，
则40x -=或30x +=，
解得x 4=或x 3=-.
【点睛】
此题考查解一元二次方程：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，根据一元二次方程的特点选择恰当的解法是解题的关键.
25．（1）13x =，23x =-；（2）4
【分析】
（1）利用直接开平方法求解可得答案；
（2）根据常数项为0得出关于m 的方程，解之求出m 的值，结合一元二次方程的定义可得答案．
【详解】
（1）解：290x （直接开平方法）
29x =，
∴3x =±，
∴13x =，23x =-．
（2）解：∵关于x 的一元二次方程()22
1534m x x m m +++-=的常数项为0， ∴210340
m m m +≠⎧⎨--=⎩， 解得4m =，1m =-（舍去），
∴m 的值为4．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力，也考查了一元二次方程的定义，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
26．（1）14x =，22x =-；（2）6．
【分析】
（1）方程整理后，直接开平方即可求解；
（2）代数式225x x -+配方整理成()2
14x -+后，把x 的值代入计算即可．
【详解】
（1）由原方程得2(1)9x -=， ∴13x -=±，
解得：14x =，22x =-；
（2）∵2225(1)4x x x -+=-+，
将1x =代入得：
原式)2
114=-+ 24=+
6=．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程－直接开平方法以及求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．。