力是物体间的相互作用，这种作用使物体的运动状态发生变化或

力是物体间的相互作用，这种作用使物体的运动状态发生变化或使物体发生变形。

力对物体的作用有二种效应，一是有使物体的运动状态发生改变的趋势，称为外效应；二是有使物体发生变形的趋势，称为内效应。

力是看不见也不可直接度量的，可以直接观察或度量的是力的作用效果。

使1千克（kg ）质量的物体产生1米/秒2（m/s 2）加速度的力，在国际单位制中就定义为1牛顿（N ）。

力的常用单位为N 或kN 。

力是矢量。

力不仅有大小，还有方向。

力对物体的作用效果，取决于力的大小、方向和作用点，称为力的三要素。

对刚体而言，因为力可沿其作用线滑移而不改变对刚体的作用效果，故力的三要素为力的大小、方向和作用线。

因此，对于刚体而言，力是滑移矢。

因为力是物体间的相互作用，所以一物体对另一物体有力作用的同时，也必然受到该物体的反作用力作用。

所以，力（作用力和反作用力）是成对出现的，作用在不同的物体上。

牛顿第三定律指出,两物体间相互作用的力，总是大小相等、方向相反、沿同一直线，分别作用在两个物体上的。

若干个共点力，可以合成为一个合力。

且力的合成满足矢量加法规则。

2.1.1 力的合成 ( 几何法 )
力矢量可以用平行四边形法则进行合成和分解，如图2.1(a )所示。

作用在刚体上的二个力F 1、F 2，只要其作用线不平行，由于力可以沿其作用线滑移，总可以移至其作用线的交点O ，合力F R 即可用矢量和表示为： F R =F 1+F 2
合力F R 与其分力F 1、F 2对于刚体有着相同的作用效应。

图2.1(a ) 之力的平行四边形，可以简化为三角形。

如图2.1(b)所示，将二分力首尾相接，则与分力首尾相对的第三边即为所求之合力F R 。

这样得到的三角形，称为力三角形。

(a )平行四边形法则
图2.1 力的合成 ( 几何法 )
(b)力三角形
R
F 2
(c)汇交力系 (d)力多边形
2
图2.1(c) 中作用线汇交于同一点的若干个力组成的力系，称为汇交力系或共点力系。

利用力三角形，将各力逐一相加，可得到从第一力到最后一力首尾相接的多边形，如图2.1(d) 所示；则多边形的封闭边即为该汇交力系的合力。

用力多边形求汇交力系的合力时，同样应当注意，合力的指向是从第一力的起点(箭尾)指向最后一力的终点(箭头)。

上述力矢量求和的方法，称为几何法。

例2.1图中固定环上作用着二个力F1和F2，若希望得到垂直向下的合力F R=1kN，又要求力F2尽量小，试确定θ角和力F1、F2的大小。

解：作力三角形如图。

由正弦定理有：
F1/sinθ=F R/sin(180︒-20︒-θ) (1)
F2/sin20︒= F R/sin(180︒-20︒-θ) (2)
由F2最小的条件，还有
d F2/dθ= -F R sin 20︒cos(160︒-θ )/sin2(160︒-θ )=0 (3)
由(3)式知cos(160︒-θ)=0，即θ=70︒时，F2最小。

将θ=70︒代入(1)和(2)式，即可求得：F1=940N，F2=342N。

2.1.2 力的合成( 投影解析法)
下面讨论利用力的投影求汇交力系合力的方法。

力F在任一轴x 上的投影，定义为力的大小乘以力与轴正向夹角的余弦。

如图2.3(a)所示，力F 在任一轴x上的投影为：
例2.1图
x
图2.3 力在轴上的投影
(a) 力在任一轴x上的投影(b) 合力的投影
F x =F cos α --- (2-1)
显然，若力与轴正向夹角大于90︒，则力在轴上的投影为负，故力的投影是代数量。

在图2.3(b)中，力F 1与轴x 正向夹角是锐角，投影F 1x 为正，其大小等于a c ；力F 2与轴x 正向夹角是钝角，故投影F 2x 为负，大小等于bc 。

故也可以说力在任一轴上投影的大小等于力的大小乘以力与轴所夹锐角的余弦，其正负则由从力矢量起点到终点的投影指向与轴是否一致确定。

由图2.3(b)中，F R 是F 1、F 2的合力，其在轴x 上的投影为正且大小等于a b 。

可见： x x Rx F F bc ac ab F 21)(+=-+== ---(2-2)
即：合力在任一轴上的投影等于各分力在该轴上之投影的代数和。

此即合力投影定理。

例2.2 推力F =200N ，作用在置于斜面的物体上，如图2.4(a )所示。

试求： 1)力F 沿斜面法向y 和切向x 的分力及力F 在轴上的投影。

2)力F 沿铅垂方向y'和斜面切向x 的分力及其在轴上的投影。

解：1) 力F 沿正交坐标轴x 、y 的分力和力F 在x 、y 轴上的投影。

依据平行四边形法则，以合力F 为对角线，作图如图2.4(b)。

则分力的大小为： x
F =F cos70︒=68.4N
y
F =F cos20︒=187.9N
力F 在x 和y 轴上的投影为： F x = -F cos70︒=68.4N F y = -F cos20︒=187.9N
可见，力F 在正交（直角）坐标系x 、y 中的投影分量与沿坐标轴分解的分力大小相等。

2)力F 沿非正交的铅垂方向y'和斜面切向x 的分力和力F 在x 、y ′ 轴上的投影。

F
x
(a )
(b)
图2.4 例2.2图
作平行四边形如图2.4(c)。

在力三角形中F 、F x 、F y'的对角分别为60︒、50︒、70︒ 力F 沿铅垂方向y'和斜面切向x 的分力可由正弦定理求得，即：
x
F /sin50︒=F /sin60︒ ∴ x
F =176.9N
y F '/sin70︒=F /sin60︒ ∴
y F '
=217.0N
力在x 、y'轴上的投影则为：
F x = -Fcos70︒= -68.4N, F y'=AO= -Fcos50︒= -128.5N 。

故显然可见：力F 在非正交坐标系x 、y'中的投影分量与沿坐标轴分解的分力的大小是不相等的。

由力的投影之定义(2-1)式可见，力在任一轴上的投影的大小都不大于力的大小。

而力的平行四边形中的对角线却不一定大于二条边，故分力的大小不一定都小于合力。

如上例所示。

由上述讨论可知，在正交坐标系中，若干个共点力F 1、F 2、…、F n 的合力F R 沿坐标轴的分量F R x 、F R y 的大小分别等于力在坐标轴上的投影F R x 、F R y ，利用合力投影定理则有：
F R x = F 1x + F 2x +…+ F n x =∑F x
F R y = F 1y + F 2y +…+ F n y =∑F y 故合力F R 的大小和方向可写为：
α表示合力F R 与x 轴所夹的锐角，合力的指向由F R x 、F R y 的正负判定。

由(2-3)、(2-4)式求合力的方法，称为解析法。

例2.3 求图示作用在O 点之共点力系的合力。

解： 取正交坐标如图，合力F R
F R x =∑F x = -400N+250N×cos45︒-200N×4/5 = -383.2N
222
2)()(∑∑+=+=y x Ry Rx R F F F F F
---(2-3)
x
y Rx
Ry F F F F tg ∑∑=
=
α
F R y =∑F y ＝250N×cos45︒-500N+200N×3/5= -203.2N
合力F R 为：
2
2Ry
Rx R F F F +=
= 433.7N; α=arctan(203.2N/383.2N)=27.9︒。

因为F R x 、F R y 均为负，故α在第三象限，如图2.5所示。

2.1.3 二力平衡公理
现在讨论作用于物体上的二个力使物体处于平衡的最简单问题。

作用于刚体上的两个力平衡的必要和充分条件是：这两个力大小相等、方向相反，并作用在同一直线上。

如图2.6(a )所示，这是显而易见的公理，称为二力平衡公理。

反之，若刚体在且仅在二个力的作用下处于平衡，则此二力必大小相等、方向相反、且作用在两受力点的连线上。

图2.6 二力平衡
图2.6 (b) 中的三铰拱在力F 的作用下处于平衡，曲杆AB 、BC 二部分各自也是处于平衡的。

若不计杆的自重，则BC 杆是在B 、C 处受二力作用而处于平衡的，故B 、C 处的二个力必作用在二受力点B 、C 的连线上，且大小相等、方向相反，如图2.6(c)所示。

这类只在二点受力的无重杆或无重构件，在工程实际中常见，称为
二力杆或二力构件。

平衡的二力，对刚体的运动状态无影响。

故可推知，在力系中加上或减去一平衡力系并不改变原力系对刚体的作用效果。

(a )
(b)。