宁夏中卫市2019届高三下学期第一次模拟考试数学(文)试卷 Word版含解析

宁夏回族自治区中卫市2019届高三第一次模拟（文）
数学试题
一、选择题（本大题共12小题）
1.设集合，，，则
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果.
详解：由并集的定义可得：，
结合交集的定义可知：.
本题选择C选项.
点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.
2.若复数z满足，其中i为虚数单位，则z在复平面内所对应的点位于
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】C
【解析】
，
在复平面内所对应的点的坐标为，位于第二象限，
故选：B．
3.命题“若，则且”的逆否命题是
A. 若，则且”
B. 若，则或”
C. 若且，则
D. 若或，则
【答案】D
【解析】
【分析】
根据已知中的原命题，结合逆否命题的定义，可得答案．
【详解】解：命题“若，则且”的逆否命题是“若或，则
”，
故选：D．
【点睛】本题考查的知识点是四种命题，难度不大，属于基础题．
4.下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．
【详解】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，为余弦函数，是偶函数，在区间上单调递减，不符合题意；
对于B，，为奇函数，不符合题意；
对于C，，是偶函数，在上，，为减函数，不符合题意；
对于D，，是偶函数，在上，，为增函数，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．
5.设x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为
A. 3
B.
C. 4
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，可知当直线在轴上的截距最小时最大，结合图象找出满足条件的点，联立直线方程求出点的坐标，代入目标函数可求的最大值．
【详解】解：由满足约束条件，作出可行域如图，
由，得，
由图可知，当直线过可行域内点时
直线在轴上的截距最小，最大．
联立，解得．
目标函数的最大值为．
故选：A．
【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，关键是正确作出可行域，是基础题．
6.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”则该人最后一天走的路程为
A. 24里
B. 12里
C. 6里
D. 3里【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人最后一天走的路程．
【详解】解：记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，
由，得，解得：，
，
故选：C．
【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的前项和，是基础的计算题．7.双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线的焦点重合，则mn 的值为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：抛物线y2＝4x的焦点为，所以双曲线中
考点：双曲线抛物线方程及性质
8.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意得，当输入值为时，不满足判断框中的条件；，满足判断框中的条件；，不满足判断框中的条件；满足下面一个判断框中的条件，退出循环，则输出的结果为，故选C．
考点：1、程序框图；2、条件结构及循环结构．
9.2018年暑假期间哈六中在第5届全国模拟联合国大会中获得最佳组织奖，其中甲、乙、丙、丁中有一人获个人杰出代表奖，记者采访时，甲说：我不是杰出个人；乙说：丁是杰出个人；丙说：乙获得了杰出个人；丁说：我不是杰出个人，若他们中只有一人说了假话，则获得杰出个人称号的是
A. 甲
B. 乙
C. 丙
D. 丁
【答案】B
【解析】
【分析】
分别假设甲、乙、丙、丁获得冠军，看是否满足“只有一人说了假话，”，即可得出结果. 【详解】若甲获个人杰出代表奖，则甲、乙、丙三人同时回答错误，丁回答正确，不满足题意；
若乙获个人杰出代表奖，则甲、丙，丁回答正确，只有乙回答错误，满足题意；
若丙获个人杰出代表奖，则乙、丙回答错误，甲、丁回答正确，不满足题意；
若丁获个人杰出代表奖，则甲、乙回答正确，丙、丁回答错误，不满足题意，
综上，获得杰出代表奖的是乙，故选B.
【点睛】本题主要考查推理案例，属于难题.推理案例的题型是高考命题的热点，由于条件较多，做题时往往感到不知从哪里找到突破点，解答这类问题，一定要仔细阅读题文，逐条分析所给条件，并将其引伸，找到各条件的融汇之处和矛盾之处，多次应用假设、排除、验证，清理出有用“线索”，找准突破点，从而使问题得以解决.
10.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知中几何体的三视图中，正视图是一个正三角形，侧视图和俯视图均为三角形，我们得出这个几何体的外接球的球心在高线上，且是等边三角形的中心，得到球的半径，代入球的表面积公式，即可得到答案．
【详解】解：由已知中知几何体的正视图是一个正三角形，侧视图和俯视图均为三角形，可得该几何体是有一个侧面垂直于底面，高为，底面是一个等腰直角三角形的三棱锥，如图．
则这个几何体的外接球的球心在高线上，且是等边三角形的中心，
这个几何体的外接球的半径．
则这个几何体的外接球的表面积为
故选：A．
【点睛】本题考查的知识点是由三视图求面积、体积，其中根据三视图判断出几何体的形状，
分析出几何体的几何特征是解答本题的关键．
11.已知圆M：经过椭圆C：的一个焦点，圆M与椭圆C的公共点为A，B，点P为圆M上一动点，则P到直线AB的距离的最大值为
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
分析：根据圆的方程求得圆与轴的交点坐标，再根据圆经过椭圆的一个焦点，即可求得，联立圆与椭圆的方程，即可求得线段所在的直线方程，从而可得到直线的距离的最大值.
详解：∵圆：
∴圆与轴的交点坐标为，
∵圆经过椭圆：的一个焦点
∴或
∴或
∵当时，圆与椭圆无交点
∴
联立，得.
∵
∴，即线段所在的直线方程为
∵圆与椭圆的公共点为，，点为圆上一动点
∴到直线的距离的最大值为
故选A.
点睛：本题考查椭圆的方程和运用，考查圆的方程和椭圆方程联立求交点，以及直线和圆的位置关系，解答本题的关键是确定线段所在的直线方程，通过数形结合，确定点坐标为时，取得最大值.
12.定义在R上的函数的导函数为，且，若存在实数x使不等式对于恒成立，则实数m的取值范围为
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由，令，可证明因此先减后
增，，原不等式转化为，
利用一次函数的性质可得结果.
【详解】由，令，
，
而是上的增函数，
，
因此在上递减，在上递增，
，
原不等式转化为，可得，
构造函数或，故选D.
【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立
（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数.
二、填空题（本大题共4小题）
13.设，向量，，且，则______．
【答案】2
【解析】
因为，所以
点睛：
(1)向量平行：，
,
(2)向量垂直：，
(3)向量加减乘：
14.已知函数的图象在点处的切线于直线平行，则实数
______
．
【答案】1
【解析】
【分析】
求出原函数的导函数，得到在处的导数，再由在处的切线与直线平行，得到在处的导数值，从而求得的值．
【详解】解：由，得，
，即在处的切线的斜率为，
在处的切线与直线平行，
，即．
故答案为：1．
【点睛】本题考查利用导数求曲线上某点的切线方程，考查了两直线的平行，斜率相等，是基础题．
15.在区间上随机取一个数x，则的值介于0到之间的概率为______．
【答案】
【解析】
试题分析：解：由于函数是一个偶函数，可将问题转化为在区间[0，1]上随机取一个数x，则的值介于0到0.5之间的概率,在区间[0，1]上随机取一个数x，,即x∈[0，1]时，要使cosπx的值介于0到0.5之间，需使
∴≤x≤1，区间长度为由几何概型知的值介于0到0.5之间的概率为,故答案为：．考点：几何概型
点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这
个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．
16.若函数（且）在区间上是单调减函数，且函数值从1减小到，则______．
【答案】
【解析】
解：因为
三、解答题（本大题共7小题）
17.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．
求角B的大小；
若的平分线AD交BC于D，，求的值．
【答案】() ()
【解析】
【分析】
由已知及余弦定理可求得，结合范围，可求B的值．
由正弦定理可得，进而根据同角三角函数基本关系式可求，根据二倍角的正弦函数公式即可求解的值．
【详解】解：在中，．
由余弦定理可得：，
，
由正弦定理可得：，
，
，的平分线交于，
,
【点睛】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
18.某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：
根据表中数据，问是否有的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；
已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．
附：
【答案】（1）有95%的把握（2）
【解析】
分析：（1）将列联表中的数据，代入公式，求得的值，即可做出判断；
（2）从名数学教师中任选人，列举出所有的基本事件的总数，即可利用古典概型及概率
的计算公式求解．
详解：解(1)将2×2列联表中的数据代入公式计算，得
χ2＝＝≈4.762.
由于4.762>3.841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．.
(2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间
Ω＝{(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，b3)，(a1，b1，b2)，(a1，b2，b3)，(a1，b1，b3)，( a2，b1，b2)，(a2，b2，b3)，(a2，b1，b3)，(b1，b2，b3)}．
其中a i表示喜欢甜品的学生，i＝1,2.b j表示不喜欢甜品的学生，j＝1,2,3.Ω由10个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的．.
用A表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则
A＝{(a1，b1，b2)，(a1，b2，b3)，(a1，b1，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b2，b3)，(a2，b1，b3)，( b1，b2，b3)}．
事件A是由7个基本事件组成，因而P(A)＝...
点睛：本题主要考查了古典概型及其概率的计算，独立性检验的应用，其中解答中准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．
19.如图的几何体中，平面，平面，为等边三角形，
，为的中点．
求证：平面；
求到平面的距离．
【答案】（1）见证明；（2）
【解析】
【分析】
通过取的中点，利用三角形的中位线定理和平行四边形的性质及线面平行的判定定理即可证明；
利用三棱锥的体积公式计算，即可求到平面的距离．
【详解】证明：取的中点，连接．
为的中点，且．
平面，平面，
，，
又，．
四边形为平行四边形，则．
平面，平面，平面．
连接，设到平面的距离为，
在中，，，
，
又，，
由，即（为正的高），
即点到平面的距离为．
【点睛】本题考查线面平行的判定定理和性质定理，利用等体积转化求三棱锥的高，属于中档题．
20.已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为，点
在椭圆C上，直线与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N
Ⅰ求椭圆C的方程；
Ⅱ在x轴上是否存在点P，使得无论非零实数k怎样变化，总有为直角？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（Ⅰ）；(II)或．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由题意可设椭圆标准方程为，结合已知及隐含条件列关于a，b，c的方程组，求解方程组得到的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设F，E，写出AE、AF所在直线方程，求出M、N的坐标，得到以MN为直径的圆的方程，由圆的方程可知以MN为直径的圆经过定点（±2，0），即可判断存在点P
试题解析：（Ⅰ）解法一：设椭圆的方程为，
因为椭圆的左焦点为，所以．
设椭圆的右焦点为，已知点在椭圆上，
由椭圆的定义知，所以．
所以，从而．
所以椭圆的方程为．
解法二：设椭圆的方程为，
因为椭圆的左焦点为，所以．①
因为点在椭圆上，所以．②
由①②解得，，．
所以椭圆的方程为．
（Ⅱ）解法一：因为椭圆的左顶点为，则点的坐标为．
因为直线与椭圆交于两点，，
设点（不妨设），则点．
联立方程组消去得．
所以，．
所以直线的方程为．
因为直线与轴交于点，
令得，即点．
同理可得点．
假设在轴上存在点，使得为直角，则．
即，即．
解得或．
故存在点或，无论非零实数怎样变化，总有为直角．解法二：因为椭圆的左顶点为，则点的坐标为．
因为直线与椭圆交于两点，，
设点（），则点．
所以直线的方程为．
因为直线与轴交于点，
令得，即点．
同理可得点．
假设在轴上存在点，使得为直角，则．
即，即．
解得或．
故存在点或，无论非零实数怎样变化，总有为直角．考点：椭圆的方程和简单性质，考查直线与圆位置关系的应用
21.已知函数．
求函数的单调递增区间；
设函数，函数．
若恒成立，求实数的取值范围；
证明：
【答案】（1）单调递增区间为．（2）①．②见证明
【解析】
【分析】
，解出即可得出单调区间．
函数，函数．
，对分类讨论，利用即可得出．
证明：由可得：，时满足：，只有时取等号依次取，即可证明．
【详解】解：，．
．
解得．
函数的单调递增区间为．
函数，函数．
，时，函数单调递增，不成立，舍去；
时，，
可得时，函数取得极小值即最小值，
，解得：．
实数a的取值范围是．
证明：由可得：，时满足：，只有时取等号．
依次取，相加可得：
．因此
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
22.在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
若直线与曲线有两个不同交点，求a的取值范围．
【答案】（1）的普通方程为，的直角坐标方程为，（2）
【解析】
【分析】
利用平方关系消去参数可得的普通方程，利用，可得的直角坐标方程；
根据直线的斜率可得．
【详解】解：曲线的普通方程为，
把，代入，
得直线的直角坐标方程为，即，
由直线：，知恒过点，
由，当时，得，
所以曲线过点，，
则直线的斜率为，
直线的斜率，
因为直线的斜率为，且直线与曲线有两个不同的交点，
所以，即，
所以的取值范围为
【点睛】本题考查了参数方程与直角坐标方程的转化，极坐标方程与直角坐标方程的转化，属中档题．
23.已知函数．
当时，求不等式的解集；
若，不等式对都成立，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）运用两边平方和平方差公式，可得不等式的解集；
（2）由题意可得，由绝对值不等式的性质可得的最大值，解不等式可得所求范围．
【详解】解：函数，
即为，
可得，
即，解得，
则原不等式的解集为；
若，不等式对都成立，
即有，
由
，
可得的最大值为，，
则，解得．
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题的运用，考查运算能力，属于基础题．。