一次方程组的应用(含答案)-

14.一次方程组的应用
知识纵横
一次方程组是解决许多实际问题的有力工具,•它被广泛地应用于社会生活的多个领域,主要体现在:
首先,用于解代数式的化简与求值问题,一些表面与方程组无关的问题,•但经过分析,借助有关概念、性质、对问题的理解，我们可通过建立一次方程组为解决。

其次，用于解应用题，对于含有多个未知量的问题，我们运用方程组求解往往比单设一个未知数建立一元方程求解容易。

一般说来，许多应用题既可用列方程来解，又可用列方程组来解，它们有各自的优特点。

因此，解题时需具体问题具体分析，当列方程比较困难时，可改用列方程组来解决问题。

例题求解
【例1】若x+2y=3z=10,4x+3y+2z=15,则x+y+z=____________.
(2000年广东省中考题) 思路点拨三个未知数两个等式,x、y、z的值不惟一确定,•不妨视其中一个字母为常数,解关于另外两个字母的方程组.
解:5 提示:由条件得x=z,y=5-2z.
【例2】方程│x-2y-3│+│x+y+1│=1的整数解的个数是( ).
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
(“五羊杯”邀请赛试题) 思路点拨把1表示成两个非负整数的和,这两个数只能是0与1,•于是一个等式可裂变为两个等式.
解:选A 提示:由条件得
|23|0
|1|1
x y
x y
--=
⎧
⎨
++=
⎩
,或
|23|1
|1|0
x y
x y
--=
⎧
⎨
++=
⎩
【例3】项王故里的门票价格规定如下表:
某校初一甲、乙两班共103人(其中甲班人数多于乙班人数)去游项王故里,如果两班都以班为单位分别购票,一共需付486元.
(1)如果两班联合起来,作为一个团体购票,则可以节约多少元钱?
(2)两班各有多少名学生? (2002年宿迁市中考题)
思路点拨设甲班有x名学生,乙班有y名学生,则有以下三种可能情况:51≤x≤100,1≤y≤50;51≤x≤100,51≤y≤100;x>100,1≤y≤50,故分类讨论是解本例的关键.
解:(1)若51≤x≤100,1≤y≤50,则
103
4.55486,
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
解得
48
45
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
.
(2)若51≤x≤100,51≤y≤100,则
103
4.5 4.5486,
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
无正整数解.
(3)若x>100,1<y≤50,则
103
45486,
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
解得
29
74
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
,与x>100及1≤y≤50矛盾,
故甲班人数为58名,•乙班人数为45名.
【例4】某工程由甲、乙两队合做6天完成,厂家需付甲、乙两队共8700元;乙、丙两队合做10天完成,厂家需支付乙、丙两队共9500元;甲、丙两队合做5•天完成全部工程的
2
3
,厂家需付甲、丙两队共5500元.现在厂家要求不超过15天完成全部工程,可由哪队单独完成此项工程花钱最少?请说明理由. (天津市中考题)
思路点拨求出每队工作效率及每天需支付每队的费用,通过计算比较,进行正确的经济决策.
解:提示:可求得甲、乙、丙三队分别单独做需10天、15天、30天完成，
设甲、乙、丙三队分别做一天应付给a元、b元、c元，
则6()870010()95005()5500a b b c a c +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩, 解得800650300a b c =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
. 因10a=8000(元),15b=9750(元),故甲队单独完成此工程花钱最少.
【例5】某果品商店进行组合销售,甲种搭配:2千克A 水果,4千克B 水果;•乙种搭配:3千克A 水果,8千克B 水果,1千克C 水果;丙种搭配:2千克A 水果,6千克B 水果,1千克C 水果.已知A 水果每千克2元,B 水果每千克1.2元,C 水果每千克10元.某天该商店销售这三种搭配水果共441.2元,其中A 水果的销售额为116元,问C 水果的销售额为多少元? (2000年全国初中数学联赛试题) 思路点拨 数据多、关系复杂是解本例的难点，运用表格可以帮助我们梳理复杂的数量关系，商店每天销售额与甲、乙、丙三种搭配的销量有关，故不宜直接设元，从求出甲、乙、丙三种搭配的套数入手，运用整体方法求解。

解：提示：如图，设该天卖出甲种、乙种、丙种水果分别为x 、y 、z 套，则 2(232)1168.825.621.2441.2x y z x y z ++=⎧⎨
++=⎩ 即23258
2264531103x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩
②－①×11，得31(y+z)=465,故y+z=15.
所以,共卖出C 水果15千克,C 水果的销售额为15×10=150(元).
学力训练一、基础夯实
1.已知x=2,y=-1,z=-3是三元一次方程组
7
2325
mx ny z
nx y mz
x y z k
--=
⎧
⎪
--=
⎨
⎪++=
⎩
的解,则
m2-7n+3k=________.
2. (2003年绍兴市中考题)写出一个以
7
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
为解的二元一次方程组________.
3.某种电器产品,每件若以原定价的95折销售,可获利150元,若以原定价的75折销售,则
亏损50元,该种商品每件的进价为________元. (第12•届“希望杯”邀请赛试题) 4.如图,用8块相同的长方形地砖拼成一个矩形,则每
个长方形地砖的面积是( • ).
A.200cm2
B.300cm2
C.600cm2
D.2400cm2
(2003年黑龙江省中考题)
5. (2001年无锡市中考题)某商场根据市场信息,对商场中现有的两台不同型号的空调进行
调价销售,其中一台空调调价后售出可获利10%(相对于进价)•,•另一台空调调价后售出则要亏本10%(相对于进价),而这两台空调调价后的售价恰好相同,•那么商场把这两台空调调价后售出( ).
A.既不获利也不亏本
B.可获利1%
C.要亏本2%
D.要亏本1%
6.甲是乙现在的年龄时,乙10岁;乙是甲现在的年龄时,甲25岁,那么( ).
A.甲比乙大5岁
B.甲比乙大10岁
C.乙比甲大10岁
D.乙比甲大5岁 (全国初中数学竞赛题)
7.某班进行个人投篮比赛,受污损的下表记录了在规定时间内投进n个球的人数分布情况,
同时,已知进球3个或3个以上的人平均每人投进3.5个球;进球4个或4个以下的人平均每人投进2.5个球.问投进3个球和4个球的各有多少人.
40cm
(2002年上海市中考题)
8. 甲、乙班到集市购买苹果，价格如下：
甲班分两次共购买苹果70千克(第二次多于第一次),共付出189元,•而乙班则一次购买苹果70千克.
(1)乙班比甲班少付出多少元?
(2)甲班第一次、第二次分别购买苹果多少千克? (2003年常州市中考题)
9.已知某电脑公司有A型、B型、C•型三种型号的电脑,•其价格分别为A•型每台6000元,B 型每台4000元,C型每台2500元,我市东坡中学计划将100500•元钱全部用于从该电脑公司购进其中两种不同型号的电脑共36台,•请你设计出几种不同的购买方案供该校选择,并说明理由. (2003年黄冈市中考题)
二、能力拓展
10.若x、y满足x+3y+│3x-y│=19,2x+y=6,则x=________,y=________.
11.已知x+2y-z=8,2x-y+z=18,则8x+y+z=_______. (2002年重庆市竞赛题)
12.如图,a、b、c、d、e、f均为有理数,图中各行、•各列及两条对角线
(上海市竞赛题)
13.甲、乙分别自A、B两地同时相向步行,2小时后在中途相遇.相遇后,
甲、•乙步行速度都提高了1千米/小时.当甲到达B地后立刻按原路向A地返行,当乙到达A•地后也立刻按原路向B地返行.甲、乙两人在第一次相遇后3小时36分钟又再次相遇,则A、B两地的距离是________千米. (第11届“希望杯”邀请赛试题)
14.已知m2+2mn=384,3mn+2n2=560,则2m2+13mn+6n2-444的值是( ).
A.2001
B.2002
C.2003
D.2004 (2003年太原市竞赛题)
15.在一家三口人中,每两人的平均年龄加上余下一人的年龄分别得到47、61、60,那么这
三个人中最大年龄与最小年龄的差是( ).
A.28
B.27
C.26
D.25
16.买20枝铅笔、3块橡皮擦、2本日记本需32元;买39枝铅笔、5块橡皮擦、3本日记本需58元;则买5枝铅笔、5块橡皮擦、5本日记本需( ).
A.20元
B.25元
C.30元
D.35元 (第15届江苏省竞赛题)
17.如图,在长方形ABCD中,放入六个形状大小相同的长方形,所标尺寸如图所示,求图中阴
.
影部分面积
GDP是按市场价格计算的国内生产总值的简称.
百分点是百分比中相当于1%的单位,•这是用“和”或“差”分析不同时期百分比的一种表示形式。

•如，•工业总产值今年的增长幅度为19%•（也可以说成增长了19个百分点），去年的增长幅度为16%，今年比去年的增长幅度增加了(19-16)=3个百分点而不能说成增加了3%.
国债投资指国家发行长期建设国债的投资。

它已成为经济稳定快速增长的助推器，据测算：每a元钱的国债投资带动的投资总额可以达到4a元至5a元。

问题思考:
2000年国债投资带动GDP增长1.7个百分点，创造了120万个就业岗位；2000•年国债投资1500亿元，创造了150万个就业岗位；从2000年到2002年的三年里，•由于国债投资带动GDP增长而总共创造了400万个就业岗位。

已知2000年与2002年由国债投资带动GDP增长百分点的和，比2001年由国债投资带动GDP增长百分点的两倍还多0.1.
(1)若由国债投资带动的投资总额的40%将会转成劳务工资成为城乡居民的收入，请你估计2002年由国债投资带来的城乡居民收入的情况（数额范围）；
(2)若每年GDP增长1.7个百分点就会创造120万个就业岗位，再每增加一个百分点就创造k万个就业岗位，请你确定比例系数k的值，并测算2002年由国债投资带动GDP 增长了多少个百分点。

(2003年宜昌市试题)
19.某班参加一次智力竞赛,共a、b、c三题.每题或者得满分或者得0分,其中题a满分20
分,题b、题c满分分别为25分.竞赛结果,每个学生至少答对了一题,•三题全答对的有1人,答对其中两道题的有15人,答对题a的人数与答对题b•的人数之和为29人;答对题a的人数与答对题c的人数之和为25人;答对题b孤人数与答对题c的人数之和为20,问这个班的平均成绩是多少分? (全国初中数学联赛题)
20. (北京市竞赛题)团体购买公园门票,票价如下:
今有甲、乙两个旅游团,若分别购票,两团总计应付门票费1314元,•若合在一起作为一个团体购票,总计支付门票费1008元,问这两个旅游团各有多少人?
三、综合创新
21.某城市有一段马路需要整修,这段马路的长不超过3500米,今有甲、乙、•丙三个施工
队,分别施工人行道、非机动车道和机动车道.他们于某天零时同时开工,•每天24小时连续施工.若干天后的零时,甲完成任务;几天后的18时,乙完成任务;•自乙队完成的当天零时起,再过几天后的8时,丙完成任务,已知三个施工队每天完成的施工任务分别为300米、240米、180米,问这段路面有多长? (第17届江苏省竞赛题)
22.有三种物品,每件的价格分别是2元、4元和6元,现在用60元买这三种物品,•总数共买16件,而钱要恰好用完,则价格为6元的物品最多买几件?价格为2•元的物品最少买几件? (2002年河南省竞赛题)
答案
1.113
2.略
3.800元
4.B
5.D
6.A
7.9人和3人
8.(1)49元;(2)28千克、42千克.
9.有两种方案供该校选择,第一种方案是购进A型电脑3台和C型电脑33台;•第二种方案
是购进B型电脑7台和C型电脑29台.
10. 1
2
,5 提示:由3x-y<0,得
2419
26
x y
x y
-+=
⎧
⎨
+=
⎩
11.70
12.21 提示:a=6,b=5,c=1,d=0,e=7,f=2
13.36 提示:设A、B两地相距S千米,甲、乙两人速度和为V,
则
2
2(2) 3.6
S V
S V
=
⎧
⎨
=+⨯
⎩
,解得S=36. 14.D 15.A 提示:注意整体分析 16.C
17.44 提示:设小长方形长、宽分别为x、y,则x+3y=14,x+y-2y=6,解得x=8,y=2.
18.(1)因1500×40%×4=2400(亿元),1500×40%×5=3000(亿元),
故2002年由国债投资带来的城乡居民收入在2400～3000亿元之间.
(2)设2001、2002年国债投资带动GDP增长百分点分别为x、y个,
则
1.720.1
130120( 1.7)
150120( 1.7)
y x
k x
k y
+=+
⎧
⎪
=+-
⎨
⎪=+-
⎩
解得
1.8
2
100
x
y
k
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
19.提示:设x、y、z分别表示答对题a、题b、题c的人数,
则有
29
25
20
x y
x z
y z
+=
⎧
⎪
+=
⎨
⎪+=
⎩
,解得
17
12
8
x
y
z
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
,
答对一题的人数为37-1×3-2×15=4(人),全班人数为1+4+15=20(人),
故平均成绩为1720(128)25
20
⨯++⨯
=42(分)
20.提示:经分析知有一团人数不超过50,另一团人数超过50,但不超过100,为确定起见,
不妨设1≤x≤50,51≤y≤100 则
12
13111314
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
,解得
41
71
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
.
21.乙队最后一天完成240×18
24
=180(米),丙队最后一天完成180×
8
24
=60(米),
设甲队a天完成,过b天后的18时乙队完成,自乙队完成的当天零时起,再过c天后的8•时丙队完成,则300a=240(a+b)+180=180(a+b+c)+60,5a=4(a+b)+3=3(a+b+c)+1,
即
43
32
5332
a b
a b c
b c
=+
⎧
⎪
+=-
⎨
⎪+=-
⎩
, b=
3
5
c-•1,c=5,10,15…
若c=5,则b=2,a=11,
当c≥10时,b≥5,a≥23,这时马路超过3500米,•矛盾,
故马路的长为300×11=3300(米)
22.设价格为2元、4元和6元的物品分别买了x件、y件和z件,
由题意得
16
24660
x y z
x y z
++=
⎧
⎨
++=
⎩
, ②÷2-•①得y+2z=14.
故当y=0时,z最大为7;
当z=0时,y最大为14,此时x最小为2.。