专题13 平面向量-2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅲ专版)(原卷版)

【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，
若2=c a ，则cos ,=a c ___________． 【答案】
2
3
【解析】因为2=c a ，0⋅=a b ，
所以22⋅=⋅a c a b 2=，
222||4||5||9=-⋅+=c a b b ，所以||3=c ，
所以cos ,=a c
22
133⋅==⨯⋅a c a c ．故答案为：23
． 【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．
【母题原题2】【2018年高考全国Ⅲ卷理数】已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则
λ=___________．
【答案】
1
2
【解析】由题可得()24,2+=a b ，()2Q ∥c a +b ，()=1,λc ，420λ∴-=，即12λ=
，故答案为：12
． 【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题．解题时，由两向量共线的坐标关系计算即可．
【母题原题3】【2017年高考全国Ⅲ卷理数】在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且
与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r
，则λμ+的最大值为
A ．3
B ．
专题13 平面向量
C
D ．2
【答案】A
【解析】如图所示，建立平面直角坐标系．
设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ，
易得圆的半径r =
，即圆C 的方程是()2
2425x y -+=，
()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=u u u r u u u r u u u r ，若满足AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r
，
则21x y μλ
=⎧⎨
-=-⎩，,12x y μλ==-，所以12x
y λμ+=-+，
设12x z y =
-+，即102x y z -+-=，点(),P x y 在圆()2
2425
x y -+=上， 所以圆心(20),到直线
102x
y z -+-=的距离d r ≤
≤
，解得13z ≤≤， 所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A ．
【名师点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
【命题意图】主要考查考生的直观想象能力、数学运算能力和方程思想、数形结合思想的运用．
【命题规律】在高考中的命题重点有平面向量的线性运算、共线向量定理、平面向量基本定理及向量的坐标运算，主要以选择题和填空题的形式呈现，难度不大． 【答题模板】
1．向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
2．解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程（组）来进行求解． 3．两平面向量共线的充要条件有两种形式：
（1）若a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0； （2）若a ∥b （a ≠0），则b ＝λa ，应视题目条件灵活选择． 【知识总结】 1．向量的有关概念
向量的定义及表示：既有大小又有方向的量叫作向量．以A 为起点、B 为终点的向量记作 AB u u u r
，也可用
黑体的单个小写字母a ，b ，c ，…来表示向量．
向量的长度（模）：向量AB u u u r 的大小即向量AB u u u r 的长度（模），记为|AB u u u r
|．
（1）向量不同于数量，向量不仅有大小，而且还有方向． （2）任意向量a 的模都是非负实数，即|a |≥0．
（3）向量不能比较大小，但|a |是实数（正数或0），所以向量的模可以比较大小． 2．几种特殊向量 特殊向量 定义
备注
零向量 长度为0的向量 零向量记作0，其方向是任意的． 单位向量
长度等于1个单位的向量 单位向量记作a 0，a 0=
||
a
a ． 平行向量
方向相同或相反的非零向量
（也叫共线向量）
0与任意向量共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量． 相反向量
长度相等且方向相反的两个向
量
若a ，b 为相反向量，则a =–b ．
说明：
（1）要注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|=0；
（2）单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；
（3）任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此平行向量也叫作共线向量； （4）与向量a 平行的单位向量有两个，即向量
||a a 和–||
a a ． 3．平面向量运算的坐标表示
运算
坐标表示
和（差） 已知a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a +b =（x 1+x 2，y 1+y 2），a –b =（x 1–x 2，y 1–y 2）． 数乘 已知a =（x 1，y 1），则λa =（λx 1，λy 1），其中λ是实数．
任一向量的坐标
已知A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则 AB u u u r
=（x 2–x 1，y 2–y 1）．
说明：（1）相等的向量坐标相同；
（2）向量的坐标与表示该向量的有向线段的端点无关，只与其相对位置有关． 4．平面向量共线的坐标表示
（1）如果a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ∥b 的充要条件为x 1y 2–x 2y 1=0．
（2）A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）三点共线的充要条件为（x 2–x 1）（y 3–y 1）–（x 3–x 1）（y 2–y 1）=0，或（x 2–x 1）（y 3–y 2）=（x 3–x 2）（y 2–y 1），或（x 3–x 1）（y 3–y 2）=（x 3–x 2）（y 3–y 1）． 5．向量的数量积
（1）平面向量数量积的定义
已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫作a 与b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b =|a ||b |cos θ．
规定：零向量与任一向量的数量积为零． （2）向量数量积的性质
设a ，b 为非零向量，它们的夹角为θ，则
①设e 是单位向量，且e 与a 的夹角为θ，则e ·a =a ·e =|a |cos θ； ②a ⊥b ⇔a ·b =0；
③当a 与b 同向时，a ·b =|a ||b |；当a ，b 反向时，a ·b =–|a ||b |．
特别地，a ·a =a 2=|a |2或|a ④|a ·b |≤|a ||b |，当且仅当a 与b 共线，即a ∥b 时等号成立；
⑤cos θ=
·||||
a b
a b ． （3）向量数量积的运算律 ①交换律：a ·b =b ·a ；
②数乘结合律：（λa ）·b =λ（a ·b ）=a ·（λb ）； ③分配律：（a +b ）·c =a ·c +b ·c ． （4）平面向量数量积的几何意义 ①一个向量在另一个向量方向上的投影
设θ是a ，b 的夹角，则|b |cos θ叫作向量b 在向量a 的方向上的投影，|a |cos θ叫作向量a 在向量b 的方向上的投影． ②a ·b 的几何意义
数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 注意：投影和两向量的数量积都是数量，不是向量． 设两个非零向量a 与b 的夹角为θ，则 ①θ为锐角⇔a ·b >0且向量a ，b 不共线； ②θ为钝角⇔a ·b <0且向量a ，b 不共线；
③当a ·b >0时，cos θ>0，则θ是锐角或θ=0°（此时cos θ=1）； ④当a ·b <0时，cos θ<0，则θ是钝角或θ=180°（此时cos θ=–1）． 【方法总结】
1．只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用． （1）基底e 1，e 2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底； （2）基底给定，同一向量的分解形式唯一；
（3）如果对于一组基底e 1，e 2，有a =λ1e 1+λ2e 2=μ1e 1+μ2e 2，则可以得到112
2,
.λμλμ=⎧⎨=⎩
2．平面向量的线性运算的求解策略：
（1）进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．
（2）除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．
3．向量的线性运算
（1）向量的线性运算集中体现在三角形中，可构造三角形，利用向量加减法的三角形法则表示相关的向量，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，得出含相关向量的关系式． （2）向量线性运算的常用结论：
①在△AB C 中，若D 是BC 的中点，则AD u u u r =12
（AC u u u r +AB u u u r
）；
②O 为△ABC 的重心的充要条件是OA u u u r +OB uuu r +OC u u u r
=0；
③四边形ABCD 中，若E 为AD 的中点，F 为BC 的中点，则AB u u u r +DC u u u r =2EF u u u r
．
4．利用共线向量定理解题的策略
（1）a ∥b ⇔a =λb （b ≠0）是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用． （2）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向
量共线且有公共点时，才能得出三点共线．即A ，B ，C 三点共线⇔,AB AC u u u r u u u r
共线．
（3）若a 与b 不共线且λa =μb ，则λ=μ=0．
（4）OA u u u r =λOB uuu r +μOC u u u r
（λ，μ为实数），若A ，B ，C 三点共线，则λ+μ=1．
5．利用平面向量基本定理解题的策略
（1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算．
（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式．
注意：（1）若a ，b 为非零向量，且a ∥b ，则a ，b 的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错．
（2）零向量和共线向量不能作基底，基底通常选取确定整个几何图形的从同一结点出发的两边所对应的向量．
6．向量坐标运算问题的一般思路
（1）向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算． （2）巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．
（3）妙用待定系数法求系数：利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数．
7．求向量模长
利用数量积求模是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：
（1）a2=a·a=|a|2或|a
（2）|a±b；
（3）若a=（x，y），则|a
8．求向量模的最值（范围）的方法
（1）代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；
（2）几何法（数形结合法），弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解；
（3）利用绝对值三角不等式||a|–|b||≤|a±b|≤|a|+|b|求模的取值范围．
9．求向量夹角问题的方法
（1）定义法：当a，b是非坐标形式，求a与b的夹角θ时，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关
系，由cos θ=
·
||||
a b
a b
求得；
（2）坐标法：若已知a=（x1，y1）与b=（x2，y2），则cos<a，b
，<a，b>∈[0，
π]．
10．用向量法解决平面（解析）几何问题的两种方法：
（1）几何法：选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算；
（2）坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．
一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法．
11．平面向量常与几何问题、三角函数、解三角形等问题综合起来考查，解题关键是把向量关系转化为向量的有关运算，进一步转化为实数运算，进而利用相关知识求解．
1．【广西南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学】若向量()2,3=a ，
()1,2=-b ，
则·(2)-=a a b A ．5 B ．6 C ．7
D ．8
2．【广西壮族自治区南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学】若向量()2,3=a ，(),2x =b 且
·(2)3-=a a b ，则实数x 的值为
A ．1
2
-
B ．
12
C ．3-
D ．3
3．【广西钦州市2019届高三4月综合能力测试（三模）数学】已知平面向量,AB AC u u u r u u u r
的模都为2，
,90AB AC =o
uu u r uuu r ，若()0BM MC λλ=≠u u u u v u u u u v ，则()
AM AB AC +=uuu r uu u r uuu r g
A ．4
B ．2
C D ．0
4．【广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学】已知菱形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，120ABC =o ∠，则DE AC ⋅u u u v u u u v
的值为 A ．4 B ．–3
C D ．
5．【四川省百校2019届高三模拟冲刺卷数学】已知向量()()2,1,1,λ=-=a b ，若()()22+-∥a b a b ，则实数λ= A ．2 B ．-2 C ．
1
2 D ．1-
2
6．【贵州省遵义航天高级中学2019届高三第四次模拟考试数学】已知向量(2,1),(1,7)=-=a b ，则下列结论正确的是 A ．⊥a b B ．∥a b C ．()⊥-a a b
D ．()⊥+a a b
7．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷三》数学】已知ABC △是边长为a 的正
三角形，且AM AB λ=u u u u r u u u r ，(1)()AN AC R λλ=-∈u u u
r u u u r ，设()f BN CM λ=⋅u u u r u u u u r ，当函数()f λ的最大值为–2
时，a =
A ．
3 B ．
C D ．8．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷二》数学】已知向量()1,2=a ，
()2,m =b ，且⊥a b ，则m = A ．4 B ．1 C ．1-
D ．4-
9．【贵州省遵义航天高级中学2019届高三第七次模拟考试数学】已知向量=a b ,a b 间的夹角为
34
π
，则2-=a b
A B
C D 10．【西藏拉萨市2019届高三第三次模拟考试数学】已知向量,a b 的夹角为
2
π
，且()2,1=-a ，2=b ，则2+=a b
A ．
B ．3
C D
11．【云南省2019届高三第一次高中毕业生复习统一检测数学】设向量(1,)x x =-a ，(1,2)=-b ，若∥a b ，
则x =
A ．32
- B ．–1 C ．
23 D ．
32
12．【云南省保山市2019年普通高中毕业生市级统一检测数学】已知向量,a b 满足
()
+=⊥+a a b a a b ，则a 与b 的夹角是
A ．
56π B ．
23π C ．π3
D ．6
π
13．【云南省红河州2018届高三复习统一检测数学】在ABC △中，2CM MB =u u u u r u u u r ，AN CN =+0u u u r u u u r
，则
A ．2136MN A
B A
C =+u u u u r u u u r u u u r
B ．2376MN AB A
C =+u u u u r u u u r u u u r
C ．1263MN AC AB =-u u u u r u u u r u u u r
D ．7263
MN AC AB =-u u u u r u u u r u u u r
14．【四川省高2019届高三第一次诊断性测试数学】已知向量()1,1=-a ，()8,k =b ，若∥a b ，则实数
k =__________．
15．【广西柳州高级中学2017–2018学年高三5月模拟考试数学】已知向量()2,3=a ，(),6m =-b ，若⊥a b ，
则|2|+=a b __________．
16．【四川省峨眉山市2019届高三高考适应性考试数学】已知向量=a ，(,6)m =-b ，若⊥a b ，
则m =__________．
17．【广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考数学】已知向量()1,5=a ，()2,1=-b ，(),3m =c ．若
()⊥+b a c ，则m =__________．
18．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试数学】设向量(,1),(4,2)x ==a b ，且∥a b ，则实数x 的
值是__________．
19．【广西南宁市2019届高三毕业班第一次适应性测试数学】在正方形ABCD 中，E 为线段AD 的中点，
若EC AD AB λμ=+u u u v u u u v u u u v
，则λμ+=__________．
20．【广西桂林市、贺州市、崇左市2019届高三下学期3月联合调研考试数学】已知1=b ，2⋅=a b ，
则向量(2)-⋅=a b b __________．
21．【四川省棠湖中学2019届高三高考适应性考试数学】在直角坐标系xOy 中，已知点
(1,1),(2,3),(3,2)A B C ，若点P 满足PA PB PC ++=0u u u v u u u v u u u v ，则||OP uuu v ＝__________．
22．【四川省绵阳市2019届高三下学期第三次诊断性考试数学】已知向量a =（sin2α，1），b =（cos α，1），
若∥a b ，π02
α<<，则=α__________． 23．【四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学】如图，已知AB 为圆C 的一条弦，且2AB AC ⋅=u u u r u u u r
，则AB u u u r =______．
24．【四川省百校2019年高三模拟冲刺卷数学】已知向量()()2,1,1,λ=-=a b ，若()()22+-∥a b a b ，
则实数λ=__________．
25．【四川省乐山市高中2019届高三第三次调查研究考试数学】在ABC △中，4AB =，O 为三角形的外
接圆的圆心，若AO x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r (),x y ∈R ，且21x y +=，则ABC △的面积的最大值为_____．
26．【四川省乐山市高中2019届高三第三次调查研究考试数学】已知O 为原点，点()2,3A ，
()1,5B ，(),3C m ，若AB OC ⊥u u u r u u u r ，则实数m =__________．
27．【贵州省贵阳市2019届高三5月适应性考试（二）数学】直线230x y +-=与圆22220
x y x y +--=相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则||OA OB +=u u u r u u u r
__________．
28．【贵州省遵义市绥阳中学2019届高三模拟卷（二）数学】已知向量()()1,1,,2m =-=a b ，若5-=a b ，
则实数m =__________． 29．【云南省昆明市2019届高三1月复习诊断测试数学】已知向量()1,3=-a ，()1,t =b ，若()2-⊥a b a ，
则t =__________．
30．【云南省昆明市2019届高三高考模拟（第四次统测）数学】在边长为6的等边三角形ABC 中，
23
BD BC =u u u r u u u r ．则AB AD ⋅=u u u r u u u r __________． 31．【西藏山南市第二高级中学2019届高三下学期第一次模拟考试数学】已知向量()(),1,3,2x ==-a b ，
a b，则x __________．若∥。